专题10 圆-5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（河北专用）

PAGE1试卷第=page22页，共=sectionpages102102页专题10圆1．（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键．【详解】解：设该扇面所在圆的半径为，，∴，∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为，∴，∴，∴是的正比例函数，∵，∴它的图像是过原点的一条射线．故选：C．2．（2023·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(

)

A． B． C． D．a，b大小无法比较【答案】A【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解．【详解】连接，

∵点是的八等分点，即∴，∴又∵的周长为，四边形的周长为，∴在中有∴故选A．【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键．3．（2022·河北·中考真题）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（

）A．cm B．cm C．cm D．cm【答案】A【分析】如图，根据切线的性质可得，根据四边形内角和可得的角度，进而可得所对的圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解．【详解】解：如图，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．，∠P＝40°，，该圆半径是9cm，cm，故选：A．【点睛】本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键．4．（2021·河北·中考真题）如图，等腰中，顶角，用尺规按①到④的步骤操作：①以为圆心，为半径画圆；②在上任取一点（不与点，重合），连接；③作的垂直平分线与交于，；④作的垂直平分线与交于，．结论Ⅰ：顺次连接，，，四点必能得到矩形；结论Ⅱ：上只有唯一的点，使得．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（

）A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对【答案】D【分析】Ⅰ、根据“弦的垂直平分线经过圆心”，可证四边形MENF的形状；Ⅱ、在确定点P的过程中，看∠MOF=40°是否唯一即可．【详解】解：Ⅰ、如图所示．∵MN是AB的垂直平分线，EF是AP的垂直平分线，∴MN和EF都经过圆心O，线段MN和EF是⊙O的直径．∴OM=ON，OE=OF．∴四边形MENF是平行四边形．∵线段MN是⊙O的直径，∴∠MEN=90°．∴平行四边形MENF是矩形．∴结论Ⅰ正确；Ⅱ、如图2，当点P在直线MN左侧且AP=AB时，∵AP=AB，∴．∵MN⊥AB，EF⊥AP，∴∴∴∴．∴．∵扇形OFM与扇形OAB的半径、圆心角度数都分别相等，∴．如图，当点P在直线MN右侧且BP=AB时，同理可证：．∴结论Ⅱ错误．故选：D【点睛】本题考查了圆的有关性质、矩形的判定、扇形面积等知识点，熟知圆的有关性质、矩形的判定方法及扇形面积公式是解题的关键．5．（2020·河北·中考真题）有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（

）A．淇淇说的对，且的另一个值是115°B．淇淇说的不对，就得65°C．嘉嘉求的结果不对，应得50°D．两人都不对，应有3个不同值【答案】A【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．【详解】解：如图所示：∵∠BOC=130°，∴∠A=65°，∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．故∠A′＝180°−65°＝115°．故选：A．【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．6．（2021·河北·中考真题）如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为（为1~12的整数），过点作的切线交延长线于点．（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；（2）连接，则和有什么特殊位置关系？请简要说明理由；（3）求切线长的值．【答案】（1）劣弧更长；（2）和互相垂直，理由见解析；（3）．【分析】（1）分别求出劣弧和直径的长，比较大小；（2）连接，，求出，即可得出垂直的位置关系；（3）根据圆的知识求出，又是的切线，利用三角函数求解即可．【详解】（1）劣弧，直径，因为，故劣弧更长．（2）如下图所示连接，，由图可知是直径，∴对应的圆周角∴和互相垂直．（3）如上图所示，∵是的切线∴，∴．【点睛】本题考查了圆的基本性质、特殊角的三角函数的基本知识．半圆（或直径）所对的圆周角是直角．在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．7．（2023·河北·中考真题）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，．计算：在图1中，已知，作于点．（1）求的长．操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．

探究：在图2中（2）操作后水面高度下降了多少？（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段与的长度，并比较大小．【答案】（1）；（2）；（3），，．【分析】（1）连接，利用垂径定理计算即可；（2）由切线的性质证明进而得到，利用锐角三角函数求，再与（1）中相减即可；（3）由半圆的中点为得到，得到分别求出线段与的长度，再相减比较即可．【详解】解：（1）连接，∵为圆心，于点，，∴，∵，∴，∴在中，．

（2）∵与半圆的切点为，∴∵∴于点，∵，，∴，∴操作后水面高度下降高度为：．（3）∵于点，∴，∵半圆的中点为，∴，∴，∴，∴，，∵，∴．【点睛】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、求弧长和解直角三角形的知识，解答过程中根据相关性质构造直角三角形是解题关键．8．（2022·河北·中考真题）如图，四边形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．(1)求证：△PQM≌△CHD；(2)△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；②如图2，点K在BH上，且．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．【答案】(1)见详解(2)①；②；③【分析】（1）先证明四边形是矩形，再根据算出CD长度，即可证明；（2）①平移扫过部分是平行四边形，旋转扫过部分是扇形，分别算出两块面积相加即可；②运动分两个阶段：平移阶段：；旋转阶段：取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，过点G作于T；设，利用算出，，，利用算出DG，利用算出GT，最后利用算出，发现，从而得到，度数，求出旋转角，最后用旋转角角度计算所用时间即可；③分两种情况：当旋转角＜30°时，DE在DH的左侧，当旋转角≥30°时，DE在DH上或右侧，证明，结合勾股定理，可得，即可得CF与d的关系．【详解】（1）∵，∴则在四边形中故四边形为矩形，在中，∴，∵∴；（2）①过点Q作于S由（1）得：在中，∴平移扫过面积：旋转扫过面积：故边PQ扫过的面积：②运动分两个阶段：平移和旋转平移阶段：旋转阶段：由线段长度得：取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，则H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，过点G作于T设，则在中：设，则，，，，∵DM为直径∴在中：在中：在中：∴，PQ转过的角度：s总时间：③设CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，当旋转角＜30°时，DE在DH的左侧，如图：∵∠EDF=30°，∠C=30°，∴∠EDF=∠C，又∵∠DEF=∠CED，∴，∴，即，∴，∵在中，，∴，∴当旋转角≥30°时，DE在DH上或右侧，如图：CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，同理：可得综上所述：．【点睛】本题考查动点问题，涉及到平移，旋转，矩形，解直角三角形，圆的性质，相似三角形的判定和性质；注意第（2）问第②小题以PM为直径作圆算出是难点，第（2）问第③小题用到相似三角形的判定和性质．9．（2020·河北·中考真题）如图，点为中点，分别延长到点，到点，使．以点为圆心，分别以，为半径在上方作两个半圆．点为小半圆上任一点（不与点，重合），连接并延长交大半圆于点，连接，．（1）①求证：；②写出∠1，∠2和三者间的数量关系，并说明理由．（2）若，当最大时，直接指出与小半圆的位置关系，并求此时（答案保留）．【答案】（1）①见详解；②∠2=∠C+∠1；（2）与小半圆相切，．【分析】（1）①直接由已知即可得出AO=PO，∠AOE=∠POC，OE=OC，即可证明；②由（1）得△AOE≌△POC，可得∠1=∠OPC，根据三角形外角的性质可得∠2=∠C+∠OPC，即可得出答案；（2）当最大时，可知此时与小半圆相切，可得CP⊥OP，然后根据，可得在Rt△POC中，∠C=30°，∠POC=60°，可得出∠EOD，即可求出S扇EOD．【详解】（1）①在△AOE和△POC中，∴△AOE≌△POC；②∠2=∠C+∠1，理由如下：由（1）得△AOE≌△POC，∴∠1=∠OPC，根据三角形外角的性质可得∠2=∠C+∠OPC，∴∠2=∠C+∠1；（2）在P点的运动过程中，只有CP与小圆相切时∠C有最大值，∴当最大时，可知此时与小半圆相切，由此可得CP⊥OP，又∵，∴可得在Rt△POC中，∠C=30°，∠POC=60°，∴∠EOD=180°-∠POC=120°，∴S扇EOD==．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角，切线的性质，扇形面积的计算，掌握知识点灵活运用是解题关键．10．（2024·河北·中考真题）已知的半径为3，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设．(1)当点B与点N重合时，求劣弧的长；(2)当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值；(3)设点O到的距离为d．①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值；②直接写出d的最小值．【答案】(1)(2)点B到的距离为；(3)①；②【分析】（1）如图，连接，，先证明为等边三角形，再利用等边三角形的性质结合弧长公式可得答案；（2）过作于，过作于，连接，证明四边形是矩形，可得，，再结合勾股定理可得答案；（3）①如图，由过点A的切线与垂直，可得过圆心，过作于，过作于，而，可得四边形为矩形，可得，再进一步利用勾股定理与锐角三角函数可得答案；②如图，当为中点时，过作于，过作于，，此时最短，如图，过作于，而，证明，求解，再结合等角的三角函数可得答案．【详解】（1）解：如图，连接，，∵的半径为3，，∴，∴为等边三角形，∴，∴的长为；（2）解：过作于，过作于，连接，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，，∵，，∴，而，∴，∴点B到的距离为；∵，，∴，∴，∴；（3）解：①如图，∵过点A的切线与垂直，∴过圆心，过作于，过作于，而，∴四边形为矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，即；②如图，当为中点时，过作于，过作于，∴，∴，此时最短，如图，过作于，而，∵为中点，则，∴由（2）可得，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设，则，∴，解得：（不符合题意的根舍去），∴的最小值为．【点睛】本题属于圆的综合题，难度很大，考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，切线的性质，熟练的利用数形结合的方法，作出合适的辅助线是解本题的关键．11．（2024·河北邯郸·二模）如图，在两个同心圆中，分别是大圆和小圆的直径，且与不在同一条直线上，则可直接判定以点A，C，B，D为顶点的四边形是平行四边形的条件是（

）A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分【答案】D【分析】本题主要考查圆的性质和平行四边形的判定，在两个同心圆中，分别是大圆和小圆的直径，且与不在同一条直线上，可得,故可判断四边形是平行四边形【详解】解：在两个同心圆中，分别是大圆和小圆的直径，且与不在同一条直线上，∴,∴四边形是平行四边形故选：D12．（2024·河北石家庄·二模）如图，已知直线1外一点P，要过点P作直线1的平行线，现有甲、乙、丙三种尺规作图方案，下面对三种方案评价正确的是（

）A．甲、乙方案正确，丙方案错误 B．甲、丙方案正确，乙方案错误C．乙、丙方案正确，甲方案错误 D．甲、乙、丙方案都正确【答案】D【分析】根据尺规作图作相等的角、圆周角定理、垂直平分线等知识点，熟练掌握常见的尺规作图方法成为解题的关键．根据尺规作图作相等的角、圆周角定理、垂直平分线逐个方法判断即可．【详解】解：根据尺规作图可知：即甲、乙方案正确；根据圆周角定理、垂直平分线的性质可得即丙方案正确．故选D．13．（2024·河北石家庄·三模）如图，锐角中，，要作的高线，下列说法正确的是（

）甲的作法：乙的作法：丙的作法A．只有甲对 B．只有乙和丙对 C．只有甲和丙对 D．甲，乙，丙都对【答案】D【分析】本题考查了尺规作图以及圆周角定理，三角形内角和性质，平角概念，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据垂直平分线得出，结合等边对等角即可判断甲；根据圆周角定理得出，结合平角概念进行列式计算，即可判断乙；作一个角等于已知角，结合，即可判断丙；即可作答．【详解】解：∵甲的作法是做的垂直平分线∴∵∴则甲对；∵乙的作法：作的垂直平分线，且以为直径作圆∴∴则乙对；丙的作法是作∴则丙对；故选：D．14．（202·河北邢台·二模）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，若与的交点为，则点是（

）A．的外心 B．的内心C．的重心 D．的中心【答案】B【分析】本题考查了翻折变换以及角平分线的性质，三角形的内心的性质，根据折叠的性质可知点为角平分线的交点，根据角平分线的性质可知点到三边的距离相等．【详解】解：如图：过点作，，，

由题意得：，，为角平分线的交点，，点到三边的距离相等．点是的内心．故选：B．15．（2024·河北邯郸·二模）如图，直线，相交于点，则在直线，上到点的距离为的点有（

）A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个【答案】C【分析】本题考查了圆的定义．以点为圆心，以为半径作圆，该圆与两直线的交点即为所求的点．【详解】如图，以点为圆心，以为半径作圆，该圆与两直线有个交点，则满足条件的点有个，故选C．16．（2024·河北石家庄·一模）如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点，若，，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形外角的性质等等，连接，先证明，则，即可利用三角形外角的性质得到，由，可得，再由三角形外角的性质可得，即，由此即可打得到答案．【详解】解：如图所示，连接，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故选：A．

17．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，点C在以为直径的半圆O上，，点D在上，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，结合为半圆O的直径，得到，结合，得到，利用圆周角定理，得到，结合解答即可．本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键．【详解】连接，∵为半圆O的直径，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故选B．18．（2024·安徽安庆·三模）如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义，作直径，根据勾股定理求出，根据余弦函数的定义求出，根据圆周角定理得到，等量代换即可．【详解】解：如图所示：作直径，在中，，，又（圆周角定理），故选A.19．（2024·河北邯郸·三模）如图，是四边形的外接圆，点是的内心，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题重点考查三角形的内切圆的定义与性质、圆内接四边形的对角互补、同角的补角相等、三角形内角和定理等知识，由点是的内心，得，，则，而，所以，求得，则，由，，得，于是得到问题的答案．【详解】解：点是的内心，，平分，平分，，，，，，，，，，，故选：C．20．（2024·河北沧州·一模）如图，在凸四边形中，，，，，下列同学关于对角线的长的说法中，正确的是（

）甲：长度可以为3；乙：长度可以为4；丙：长度可以为5．A．只有甲正确 B．只有乙正确C．甲、乙两人均正确 D．乙、丙两人均正确【答案】B【分析】本题考查解直角三角形，点到圆上一点的最值，连接，易得点在以为直径的半圆上，连接，得到，推出为直角三角形，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的取值范围，即可得出结论．【详解】解：连接，∵，∴点在以为直径的半圆上，连接，则：，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，又，∴，∵，∴，又∵，∴的长可以是4；故选B．21．（2024·河北石家庄·二模）如图，弓形中，所在圆的圆心为点O，作关于直线对称的，经过点O，，点P为上任一点（不与点A，B重合），点M，N分别是，的中点，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，求弧长，弧与圆心角之间的关系，过O作于D，交于C，由垂径定理得到，，由对称性得到，解直角三角形得到，则．求出，再证明，则由弧长公式可得的长．【详解】解：如图，过O作于D，交于C，，，关于对称的经过原本所在圆的圆心O，，在中，，，，．，，∴，连接，点M、N分别是、的中点，，，的长．故选C．22．（2024·河北邯郸·三模）如图，在中，直径，点D为上方圆上的一点，，于点E，点P是上一点，连接，得出下列结论：Ⅰ：阴影部分的面积随着点P的位置的改变而改变，其最小值为．Ⅱ：阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为．下列判断正确的是（

）．A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确 C．Ⅰ、Ⅱ都正确 D．Ⅰ、Ⅱ都不正确【答案】B【分析】此题考查了扇形面积和弧长、垂径定理、圆周角定理等知识，连接，证明，得到阴影部分的面积为，即可判断Ⅰ；证明当三点共线时，取得最小值，最小值为的长度，即为8，得到阴影部分的周长的最小值为，即可判断Ⅱ．【详解】解：连接，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴是等腰三角形，∵于点E，∴，∴，∴，∴，∴阴影部分的面积为∴阴影部分的面积随着点P的位置的改变而不改变，其值为．故Ⅰ错误；∵垂直平分，∴点D与点B关于对称，∴，当三点共线时，取得最小值，最小值为的长度，即为8，∴阴影部分的周长的最小值为，∴阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为．故Ⅱ正确；故选：B23．（2024·河北石家庄·模拟预测）下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．已知：如图1，P为圆外一点．求作：经过P点的切线．作法：如图2．（1）连接；（2）以为直径作圆，与交于C、D两点；（3）作直线、，则直线、就是所求作经过P点的切线．下列可作为以上作图依据的是．甲：直径所对的圆周角为直角；乙：经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；丙：同弧所对圆周角相等．【答案】甲乙【分析】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、切线的判定与性质．连接，，根据直径所对的圆周角为直角以及切线的判定可知、是所求作经过点的切线，进而可得答案．【详解】解：如图2，连接，，为直径，，，为的半径，、是所求作经过点的切线．可作为以上作图依据的是甲乙．故答案为：甲乙．24．（2024·河北唐山·三模）如图，已知扇形的半径等于2，，连接．进行尺规作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧在扇形内交于点，作射线，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧在扇形内交于点，作直线，分别交，于点，，连接．（1）等于；（2）．【答案】30/【分析】本题考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，二次根式的混合运算．作于点，设的半径为，利用余弦二次函数的定义求得，利用圆周角定理求得，利用勾股定理求得和的长，利用二次根式的混合运算求解即可．【详解】解：连接，作于点，设的半径为，由作图知是线段的垂直平分线，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，由作图知是的平分线，∴，∵是线段的垂直平分线，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，故答案为：30；．25．（2024·河北唐山·二模）木匠师傅用长，宽的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面（圆形桌面可以由一块木板锯成，也可以由拼接的木板锯成），有如下三种方案：方案一：如图1，直接锯一个半径最大的圆；方案二：如图2，沿对角线将矩形锯成两个三角形；适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案三：如图3，锯一块矩形拼到矩形下面，利用拼成的木板锯一个最大的圆．（1）方案二比方案一做出的圆形桌面的半径大；（2）方案三中所锯最大圆的半径是．【答案】/【分析】（1）由题意知，直接锯一个半径最大的圆的半径为，如图2，作于，于，则四边形是正方形，设正方形的半径为，则，由，可得，即，可求，然后求解作答即可；（2）设图3圆的半径为，，则新拼图形的水平长度为，竖直长度为，所截得的圆的直径最大为或，当时，即时，；当时，即时，；当时，即时，；然后作答即可．【详解】（1）解：由题意知，直接锯一个半径最大的圆的半径为，如图2，作于，于，则四边形是正方形，∴，，∴，设正方形的半径为，则，∵，∴，即，解得，，∴沿对角线将矩形锯成两个三角形；适当平移三角形并锯一个最大的圆的半径为，∵，∴方案二比方案一做出的圆形桌面的半径大，故答案为：；（2）解：设图3圆的半径为，，∴新拼图形的水平长度为，竖直长度为，∴所截得的圆的直径最大为或，当时，即时，；当时，即时，；当时，即时，；综上所述，所截得的圆的直径最大为，故答案为：．【点睛】本题考查了圆，切线的性质，正切，一次函数的应用等知识．熟练掌握圆，切线的性质，正切，一次函数的应用是解题的关键．26．（2024·河北邢台·模拟预测）石家庄水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光，据工作人员介绍，新建摩天轮直径为，最低点距离地面，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．(1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为______；(2)在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于两点）．①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）；②求此时两人所在座舱距离地面的高度差．【答案】(1)101(2)①两人所在座舱在摩天轮上的距离为；②两人所在座舱距离地面的高度差为．【分析】本题考查了解直角三角形的应用、圆的概念、弧长公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由题意得出最高点是直径加即可；（2）①求出圆心角的度数，再根据弧长公式进行计算即可；②求出的长，利用直角三角形的边角关系得出的长，进而求出的长，即可得解．【详解】（1）解：如图，，由题意得：，，当座椅转到点时，距离地面最高，此时，∴小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为；（2）解：①∵摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱，∴每相邻两个座椅之间所对的圆心角为，∴，∴的长为：，∴两人所在座舱在摩天轮上的距离为；②作于，，由题意得：两人所在座舱距离地面的高度差为的长，在中，，，∴，∴，∴两人所在座舱距离地面的高度差为．27．（2024·河北石家庄·二模）如图是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是，高为．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径、以及、组成的轴对称图形，直线为对称轴，点、分别是、的中点，如图，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角，发现并证明了点在上．请你继续跟着小明的思路，完成下列问题吗：(1)请求出所在的圆的半径；(2)计算的长．参考数据：，，，，，．【答案】(1)所在的圆的半径为(2)的长为【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、轴对称的性质、解直角三角形的应用等知识，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．（1）连接，交于点，设直线交于点，根据圆周角定理可得，解，根据，得出，进而求得的长即可；（2）解，根据，得出，进而求得、，根据该图形为轴对称图形，圆凳的上、下底面圆的直径都是，求出，根据、，得出答案即可．【详解】（1）解：如图，连接，交于点，设直线交于点，∵是的中点，点在上，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵直线是对称轴，∴，，，∴，∴，∴，，在中，，∴，∴，即所在的圆的半径为；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵该图形为轴对称图形，直线为对称轴，圆凳的上、下底面圆的直径都是，∴，∴，∴．28．（2024·河北邯郸·三模）如图是某款可折叠台灯的平面示意图，台灯罩为一个弓形，弦，点P是的中点，过P作，交所对的于点Q，，台灯支架与底座垂直，，底座放在水平面上．【计算】（1）如图1，当时，求所在圆的半径；【操作】将台灯罩从图1中的位置慢慢抬起直到所在的圆与相切，如图2．【探究】（2）在图2中画出所在圆的圆心O的位置（不说理由），并求出点P上升的高度；（3）求点M经过的路径的长．（参考数据：）【答案】（1）所在圆的半径为；（2）；（3）【分析】本题考查了圆中的垂径定理、圆的切线性质、三角函数、扇形的弧长，熟练掌握这些性质是解题的关键．（1）利用垂径定理结合勾股定理列式计算即可；（2）找出圆心O的位置，过点作于点，利用三角函数即可求解；（3）在（2）中利用三角函数求出的度数，再求，利用弧长公式计算即可．【详解】解：（1）设所在圆的圆心为点O，如图，连接，，∵点P是的中点，∴，，∵，∴、、共线，设所在圆的半径为，∴，在中，，∴，解得，∴所在圆的半径为．（2）如图，点O即为所在圆的圆心O的位置，过点作于点，∵，∴，∴，∴，即点P上升的高度为；（3）∵，，∴，∴点M经过的路径的长为．29．（2024·河北唐山·二模）一个工件槽的两个底角，点A，B的初始高度相同，尺寸如图1所示（单位：），将一个形状规则的铁球放入槽内，测得球落在槽内的最大深度为（E为球的最低点）．

(1)求该铁球的半径；(2)如图2，将这个工件槽的右边升高（）后，求该平面图中铁球落在槽内的弧的长度．（参考数据：，，）【答案】(1)铁球的半径为(2)【分析】（1）连接，垂径定理结合勾股定理，进行求解即可；（2）连接过点作，勾股定理求出的长，进而求出，得到，进而求出，再利用弧长公式进行求解即可．【详解】（1）解：连接，交于点，

由题意，得：，∴，设铁球的半径为，则：，，由勾股定理，得：，即：，解得：；∴铁球的半径为；（2）连接过点作，则：，，

在中，由勾股定理，得：，∴，由（1）知：，∴，∴，∴，∴，∴弧的长度为．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求弧长等知识点，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．30．（2024·河北邯郸·二模）如图1，水车是一种利用水流动力进行灌溉的装置，由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成．水车的示意图如图2，水车（看成）的半径是，水面（看成直线）与交于A，B两点，水车的轴心O到的距离为，水车上均匀分布着若干个竹筒，且水车以每秒的速度逆时针转动，如果把一个竹筒看作圆上一点P，从竹筒P刚露出水面开始计时，设运动的时间为t秒，解决下列问题：(1)求的长以及扇形的面积；（结果保留）(2)当时，求点P到直线的距离；(3)若接水槽所在的直线是的切线，且与射线交于点M，，当竹筒P第一次恰好在所在直线上时，求t的值．【答案】(1)，扇形的面积为(2)(3)42秒【分析】（1）由勾股定理可求，然后利用垂径定理可得的长；求出，然后利用扇形面积公式计算即可；（2）连接，过点P作，垂足为D，根据题意得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；（3）延长交于点C，则点C为最高点，可知当点P在上，此时点P是切点，连接，则，然后分在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的度数，最后利用平角定义进行计算即可解答．【详解】（1）∵在中，，，∴，∵，∴．∵，∴，∵，∴，∴扇形的面积．（2）连接，过点P作，垂足为D，由题意得：，在中，，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴3秒后，点P到直线的距离是；（3）延长交于点C，则点C为最高点，∵点P在上，且与相切，∴当点P在上，此时点P是切点，连接，则，在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴秒，∴当竹筒P第一次恰好在所在直线上时，t的值为42秒．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，切线的性质，垂径定理，勾股定理，以及扇形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．31．（2024·河北邯郸·二模）雨过天晴，人们常看到天空中出现彩虹，它是由阳光照射到空中弥漫的水珠上时出现的现象．在说明这个现象时，需要分析光线射入水珠后的光路．已知：一细束光线射入水珠，水珠可视为一个半径为的球，球心到入射光线的垂直距离为，折射光线．（参考数据：，）

(1)圆心到折线的距离；(2)求光线与折线所夹的劣弧的长．(3)若这条光线在第一次射出水珠的线路与水珠所在的相切，请直接写出光线与所在直线所夹的锐角的度数．【答案】(1)圆心到折线的距离为(2)(3)【分析】（1）过点作于点，勾股定理求得，即可求解；（2）过点作于点，连接，依题意，，勾股定理求得，进而得出，，根据圆周角定理得出，进而根据弧长公式，即可求解．（3）过点作交于点，由（2）可得，则，进而根据切线的性质，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，

∵∴又∴，即圆心到折线的距离为（2）解：如图所示，过点作于点，连接，

依题意，∴在中，，∵，∴，∴∴∴（3）解：如图所示，过点作交于点

由（2）可得，则∴∴又∵是的切线∴∴即光线与所在直线所夹的锐角的度数为．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，求弧长，切线的性质，解直角三角形；熟练掌握以上知识是解题的关键．32．（2024·河北沧州·二模）如图1、图2，半圆O的直径，的长．作于点E，交半圆O于点D．(1)①求的大小；②求弦的长；(2)如图2，过点C作半圆O的切线．请直接写出点D到切线的距离．【答案】(1)①；②；(2)3．【分析】此题考查了弧长公式，圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数：（1）①根据弧长公式求出的度数，利用圆周角定理求出的大小；②利用吹净定理及三角函数求出的长；（2）连接，求出，证得是等边三角形，得到，．求出．作于点F，利用三角函数求出答案．【详解】（1）解：①∵半圆O的直径，∴半圆O的半径等于6，又∵的长，∴，解得：，∴；②∵于点E，∴，，又∵，∴；（2）如图2，连接，∵，∴，又∵，∴是等边三角形，∴，．∴．作于点F，∴．故答案为3．33．（2024·河北邯郸·模拟预测）李阿姨正在练习扇子舞，如图1，她握住扇子的端点Q，将扇子绕点Q在平面内逆时针旋转一周．佳佳认真观察扇子的运动，画出示意图（图2），研究其中的数学问题．经测量可得，，扇形从与重合的状态开始绕点Q逆时针旋转，点P的对应点为点M．(1)当点落在弧上时，求的度数，并判断点O是否在直线上；(2)当所在直线与扇形第一次相切时，求点经过的路径的长；(3)连接，当扇形转动一周时，求的取值范围．【答案】(1)，在(2)(3)【分析】（1）连接，可证得为等边三角形，得，再结合，即可求解；（2）由切线的性质可知，，再根据弧长公式即可求解；（3）由题意可知当扇形旋转一周时，点M的轨迹是以点Q为圆心，的长为半径的一个圆，向两侧延长，分别交大圆Q于点A，B，可知，的长分别为的最小值和最大值．连接，过点O作于点D，交于点E，再解直角三角形求得的长度即可求解．【详解】（1）解：点O在直线上，理由如下：如图1，连接，为等边三角形，，，∴点O在直线上；（2）当扇形的半径所在直线与扇形第一次相切时，如图2，则，；∴点经过的路径的长为；（3）根据题意可知旋转中心为点Q，为定值，∴当扇形旋转一周时，点M的轨迹是以点Q为圆心，的长为半径的一个圆．如图3，向两侧延长，分别交大圆Q于点A，B，∴，的长分别为的最小值和最大值．连接，如图4，过点O作于点D，交于点E，∴的取值范围为【点睛】本题考查等边三角形、图形的旋转、特殊锐角三角函数值、圆的切线、弧长公式，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．34．（2024·河北石家庄·二模）如图1，在中，，，，动点从点出发，在边上做往返运动，由到的速度为，返回时速度为，动点从点C出发，沿折线运动，在边上的速度为，在边上的速度为，当点到达点时，两点均停止运动.当运动时间为时，以线段为直径作.(1)时，点C与的位置关系是________；(2)点在上时，与的另一交点为.①如图2，当点Q运动到点A时，求弧的长度（保留）；②如图3，当时，求的值；③直接写出为何值时，与边或相切.【答案】(1)点在上.(2)①②③3或【分析】本题考查了切线的性质，求弧长、勾股定理及圆周角定理推论的应用，（1）求出，确定当时，P在上，Q在上，从而得出结论；（2）①求出即可求出弧长；②证出从而列出方程并解方程即可解决；③分两种情况：当与相切时或当与相切时，分别求出即可．【详解】（1）解：在中，，，，，点从C到A的时间为，点从B到C的时间为，当时，P在上，Q在上，为直径，，点在上；（2）①当点Q运动到点A时，点P恰好运动到点C，连接，为直径，，，，，，的长度为；②当时，，，设与交于点N，连接，为直径，，，，，解得：；③如图2所示，当与相切时，此时，，如图4所示，当与相切时，此时，，，，，，在中，，，，解得：，经检验，是原方程的解，又符合题意，综上所述，为3或时，与边或相切．35．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，，，，O是的中点，D是线段上一点，以O为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到扇形．(1)如图1，若点D与点B重合，①判断：点C上（填“在”或“不在”）；②求A，E两点间的距离．(2)如图2，设交于点，交于点G，若于点O，求阴影部分的面积；(3)当扇形所在圆与的边相切时，求的长．【答案】(1)①在②10(2)(3)或【分析】（1）①根据，可判断：点C在上．②根据，，，得到，结合O是的中点，得到，结合得到，从而判定是等边三角形，即可计算；（2）根据，，，得得到，根据得到，从而得到，利用扇形面积公式计算解答即可；（3）分扇形所在圆与边相切，求的长即可．【详解】（1）∵O是的中点，，∴，∴点C在上．故答案为：在．②∵，，，∴，，∵O是的中点，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴；（2）∵，，，∴，，∴，∵，，∴∴，∵，∴，∴，∴．（3）当所在的圆与相切于点时，则，∵，，∴，∴，∵，∴的长为；当所在的圆与相切于点时，则，∵，，∴，∴，∵，∴的长为；综上所述，的长为或．【点睛】本题考查了三角函数的应用，解直角三角形，切线的性质，弧长公式，扇形面积公式，等边三角形的判定和性质，熟练掌握三角函数，切线性质，弧长及其扇形的面积是解题的关键．36．（2024·河北唐山·二模）如图，在正方形中，，以点C为圆心，1为半径作圆，交于点E，P是上的任意一点，将点P绕点D顺时针方向旋转，得到点Q，连接，．(1)连接，求证：；(2)当与相切于正方形外部时，求线段被所截弦的长；(3)当时，求劣弧的长度．【答案】(1)见解析(2)(3)劣弧的长度为【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定与性质、圆的切线的性质及勾股定理的应用，（1）直接证明即可证明结论；（2）设与交于点F，连接，证明，根据勾股定理求出即可；（3）作交延长线于点H，设，则，在中，，列方程并求出，进而求出，即可求出结论．【详解】（1）证明：如图：在正方形中，，，，，；（2）设与交于点F，连接，与相切于点P，在中，；（3）如下图，作交延长线于点H，设，则，在中，，，在中，，，，解得：，劣弧的长度．37．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图1，平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的与对角线交于，两点，交于，两点．(1)当为中点时，求的长；(2)①如图2，当与边相切于点时，的长为__________；②当时，通过计算比较弦和的大小关系；(3)当与平行四边形的边恰好有一个公共点时，直接写出的值或取值范围__________．【答案】(1)3(2)①，②弦长大于的长．(3)或．【分析】本题考查了切线的判定、直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用等知识，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键．（1）根据，解直角三角形求出，在直角三角形中求出即可解答；（2）①当与边相切于点时，则，即，可得，继而由列方程求出；②连接，，分别求出，，进而求出，，再比较大小即可；（3）分当与相切时，点在圆内，两种情况讨论，画出图形求解．【详解】（1）解：如图，连接，∵，，，∴，∵为中点，∴，∵在平行四边形中，，∴，∵是直径，∴，∴，∴（2）解：①连接，当与边相切于点时，则，即，∵，∴，∴，∵，又∵，，∴，∴，②连接，，∵，∴，∴，，∴，∵，∴；（3）①当与相切时，设切点为，如图，由上述结果可知，，，∴，，即当，与相切，与平行四边形的边的公共点的个数为1，②过点，如图，与平行四边形的边的公共点的个数为，∵在平行四边形中，，∴，∴是直径，此时，当时，点在圆内，与平行四边形的边的公共点的个数为1，综上所述，的值的取值范围是或．38．（2024·河北石家庄·二模）如图①，垂直平分线段，，以点为圆心，2为半径作，点是上的一点，当A，D，O三点共线时，连接交于点，此时，如图②将扇形绕点逆时针旋转，得到扇形．(1)求证：；(2)①当点到的距离最大时，判断与的位置关系，并说明理由；②连接，若，直接写出的长．【答案】(1)见解析(2)①相切，理由见解析；②或【分析】本题主要考查切线的判定，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，弧长公式：（1）由旋转的性质得，，根据证明可得答案；（2）①由得，即可得到答案；②分两种情况，由弧长公式计算可得结果【详解】（1）解：垂直平分线段，，由旋转的性质得，，，；（2）解：①相切．理由如下：当点到的距离最大时，与相切．由得，是的半径，与相切：②垂直平分线段，，，；如解图①，，，，的长为；如解图②，，，，的长为．综上所述，的长为或．39．（2024·河北邯郸·模拟预测）是半圆O的直径，，C为弧上的一个动点．(1)连接，，如图1，求阴影部分面积和的最小值（结果保留π）；(2)如图2，在半圆O的右侧有一，点P在射线上，，，，当与半圆O切于点Q时，求点H到射线的距离；(3)如图3，在点C的运动过程中，将半圆O沿折叠，弧与交于点D，连接．若，直接写出的度数．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查圆的综合，勾股定理，三角形的相似，圆内接四边形的知识；解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．（1）设，，根据可求出，利用求出，然后利用不等式的性质求解即可；（2）过点作于，连接，利用勾股定理求出，证明，得出，即可求解；（3）设点在弧上的对应点为，连接，，，利用三角形内角和定理求出，利用圆内接四边形的性质求出，利用折叠的性质求出，然后利用三角形内角和定理求解即可；【详解】（1）解：设，，是半圆的直径，，，，，即，，即，阴影部分面积和的最小值为；（2）过点作于，连接，是切线，，，，，，，∴，，，即，，故点H到射线AB的距离为；（3）如图，设点在弧上的对应点为，连接，，，，，，，折叠，，；40．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图1和图2，中，，，，点D在射线上，过点B的切于点D，交直线于另一点E，连接，设．

(1)如图1，当圆心O在边上时，求的大小以及的长度；(2)如图2，当D在线段延长线上，且时，求x的值；(3)当点D不与点B重合时：①求圆心O到直线的距离h（用含x的式子表示）；②当时，直接写出x的值．【答案】(1)，(2)(3)①或；②【分析】（1）连接，利用切线的性质结合圆周角定理求得是等边三角形，证得，求得，然后解直角三角形即可求得的长度；（2）作于点，利用切线的性质结合垂径定理求得，再利用三角函数的定义即可求解；（3）①分当D在线段延长线上和D在线段上时，两种情况讨论，同（2）求得，利用正切函数的定义即可求解；②由，得，推出，据此列式计算即可求解．【详解】（1）解：连接，

∵是的切线，∴，∵是的直径，∴，∵，，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴；（2）解：连接，，作于点，

∴，，∵是的切线，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；（3）解：①当D在线段延长线上时，由（2）得，∴，∵，，，，，∴，∵圆心O到直线的距离h，∴，∴，∴；当D在线段上时，

同理，∴，∵，，，，，∴，∵圆心O到直线的距离h，∴，∴，∴；综上，圆心O到直线的距离或；②∵，∴，

由（2）得，∴，∴，∵，，，，，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，等角的余角相等，垂径定理，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．41．（2024·河北石家庄·三模）如图，点B为线段上一点，，，过B作于B，且，以为邻边作矩形，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，优弧交于N，交于M，设旋转角为．(1)若扇形的面积为，则________；(2)连接，判断与扇形所在圆的位置关系，并说明理由；(3)设P为直线上一点，沿所在直线折叠矩形，若折叠后所在的直线与扇形所在的相切，直接写出的长．【答案】(1)(2)相离，见解析(3)的长为或或或【分析】（1）由题意知，，可求，进而可求；（2）如图1，连接，作于，则，由勾股定理得，，由，即，可求，由，可得与扇形所在圆相离；（3）①当折叠后所在的直线与扇形所在的圆B相切时，切点为Q，如图2，当点Q在的左侧时，连接，则，由，可得，则，，，进而可求；②如图3，当点Q在右侧时，同理可得：，，则，进而可求．③当与圆相切时，如图3，由折叠知：，同理，，，，则，进而可求；④当在左侧与圆相切时，如图4，同理可得：，．【详解】（1）解：由题意知，，解得，，∴，故答案为：；（2）解：相离，理由如下；如图1，连接，作于，∵，∴，∵，，∴，由勾股定理得，，∴，即，解得，，∵，∴与扇形所在圆相离；（3）解：①当折叠后所在的直线与扇形所在的圆B相切时，切点为Q，如图2，当点Q在的左侧时，连接，则，∴，∴，∴，∴，∴，∴；②如图3，当点Q在右侧时，同理可得：，∴，∴，∴，∴．③当与圆相切时，如图3，由折叠知：，同理，，又∵，∴，∴，∴；④当在左侧与圆相切时，如图4，同理可得：，；综上，的长为或或或．【点睛】本题考查了扇形面积，勾股定理，矩形与折叠，直线与圆的位置关系，切线的性质，正弦，正切等知识．熟练掌握扇形面积，勾股定理，矩形与折叠，直线与圆的位置关系，切线的性质，正弦，正切是解题的关键．42．（2024·河北唐山·二模）已知所在圆的直径为，圆心为为上一点，相交于为的切线，与的延长线交于．(1)求的度数．(2)如图1，若点为的中点．①当时，的长为_________；②求证：．(3)如图2，若，判断与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)(2)①；②证明见解析(3)；理由见解析【分析】（1）连接，如图所示，由直径所对的圆周角是直角，结合题中条件及圆的性质得到是等边三角形，即可得到答案；（2）①连接，如图所示，由（1）中是等边三角形，得到；再由点为的中点，根据圆周角定理可得，求出所对的圆周角，结合题意，根据弧长公式代值求解即可得到答案；②根据切线性质及（1）中是等边三角形，得到，再由等腰直角三角形性质等量代换得到，最后由等腰三角形的判定与性质即可得到答案；（3）连接并延长，交于点，如图所示，由切线性质得到，再由垂径定理得到，结合圆周角定理及对顶角，求出，从而由平行线的判定即可得证．【详解】（1）解：连接，如图所示：∵为直径，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴；（2）解：①连接，如图所示：∵为直径，，由（1）知是等边三角形，即，为直径，点为的中点，，的长为，故答案为：；②证明：∵为的切线，∴，∵，∴，若点为的中点，则，∴，∴，∴，∴；（3）解：，理由如下：连接并延长，交于点，如图所示：∵为的切线，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴．【点睛】本题考查圆综合，涉及直径所对的圆周角是直角、等边三角形的判定与性质、圆的性质、圆周角定理、弧长公式、切线性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握相关几何判定与性质，灵活运用，根据题意作出恰当辅助线是解决问题的关键．43．（2024·河北廊坊·二模）在数学综合与实践活动课上，淇淇以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．(1)操作判断淇淇将两个完全相同的矩形纸片和拼成“”形图案，如图①．试判断：的形状为．(2)深入探究淇淇在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积．探究二：连接，取的中点，如图③．求线段长度的最大值和最小值．【答案】(1)等腰直角三角形；(2)探究一：；探究二：的最大值为，最小值为．【分析】（1）由，可知是等腰三角形，再由，推导出，即可判断出是等腰直角三角形，（2）探究一：证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，在中，勾股定理列出方程，解得，即可求的面积；探究二：连接，由勾股定理得，进而根据三角形的三边关系即可得解．【详解】（1）解：两个完全相同的矩形纸片和，，是等腰三角形，，．，，，∵，∴，∴，，，，是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形；（2）探究一：，，，，，，，，，，，在中，，，解得，，的面积；探究二：连接，

∵保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，∴点在以为圆心，为半径的上运动，，，∵，∴的最大值为，最小值为，∵取的中点，∴的最大值为，最小值为．【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，圆的认识，三角形的三边的关系的应用，能够确定点的运动轨迹是解题的关键．44．（2024·河北邯郸·三模）如图1，在钢管的两侧分别放置三角形垫块可以将钢管架在水平面上方．钢管的底面截面如图中所示，与两个垫块分别相切于点K．C，垫块．和点K的位置不变，点C的位置随的度数的改变而变化，且始终保持圆心O到水平面的距离不变，设当点A，B重合时，点B到达了最左端的位置，已知．的半径为4．(1)若在K，C之间的劣弧长为求α的度数；(2)当点K，C到水平面的竖直高度一样时，求点A，B之间的距离；(3)当点A，B重合时，如图2，求点C到的距离．【答案】(1)(2)(3)2【分析】本题考查了圆的综合练习题，弧的长度公式，五边形内角和，解直角三角形，（1）连接，，由题意知，得到设劣弧所对的圆心角为长为解得然后在五边形中，求出，再求出，最后求出；（2）连接，得到，再求出，过点K作于点G，在中，求出，过点O作于点H，求出，在中，求出最后根据对称性，（3）当点A，B重合时，在中，，求出，求出，利用，得到平分，再求出，再利用，求出，从而求出点C到的距离为2．【详解】（1）解：连接，，由题意知．，设劣弧所对的圆心角为解得在五边形中，，∴，；（2）当点K，C到地面的竖直高度一样时，连接，可知，，，过点K作于点G，在中，，过点O作于点H，，在中，∴根据对称性，（3）当点A，B重合时，在中，，，∵，且，∴平分，∴，且，∴，∴点C到的距离为2．45．（2024·河北邢台·三模）如图1和图2，的半径为6，是直径，弦于点M，点E是上一点，连接并延长，交的延长线于点F，交的切线于点G，连接，．(1)求证：；(2)如图1，若，经过圆心O，求的长；(3)如图2，若点E是中点．①判断与的大小，并说明理由；②当，的长．【答案】(1)见解析(2)(3)①相等，见解析；②3【分析】（1）由是切线，可得，由，可证．（2）由题意知，，由题意可得，由勾股定理得，，则，，，根据的长为，求解作答即可；（3）①如图5，连接，则，，，，由点E是中点，可得，进而可得；②如图5，连接，由①可得，．则，设．则．，由勾股定理得，，即，计算求解，进而可求．【详解】（1）证明：∵是切线，∴，又∵，∴．（2）解：∵，，∴，由题意可得．由勾股定理得，．∴，∴．∴．∴的长为，∴的长为．（3）①解：，理由如下；如图5，连接，∴，∵是直径，∴．∵，∴．∴．∴．∵点E是中点，∴．∴．②解：如图5，连接，由①可知，．∴，∴．设．则．．由勾股定理得，，即，解得，（舍去），∴，∴的长为3．【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定，弧长，勾股定理，同弧所对的圆周角相等知识．熟练掌握切线的性质，平行线的判定，弧长，勾股定理，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．46．（2024·河北邯郸·三模）如图1，在正方形中，，点O，E在边上，且，，以点O为圆心，为半径在其左侧作半圆O，分别交于点G，交的延长线于点F．(1)半圆O的半径为，；(2)如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转（），点O的对应点为，点F的对应点为，设M为半圆上一点．①当点落在边上时，求点M与线段之间的最短距离；②当半圆交于P，R两点时，若的长为，求此时半圆与正方形重叠部分的面积；③当半圆与正方形的边相切时，设切点为N（异于点E），直接写出的值．【答案】(1)5，6(2)①1②③或【分析】（1）连接，如图1，先由正方形的边长与已知线段求得半径，再由勾股定理求得，进而得；（2）①如图2，过点作于点H，交半圆于点M，反向延长交AD于Q，由三角形的中位线求得，进而由线段和差求得即可；②由弧长公式求得的度数，再根据等边三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算便可；③分两种情况：当半圆与正方形的边相切时；当半圆与正方形的边相切时，分别求出结果便可．【详解】（1）解：连接，如图1，∵正方形中，，∴，．∵，，∴，∴半圆的半径为，，∴；故答案为：5，6；（2）①如图，过点作于点H，交半圆于点M，反向延长交于点Q，则．根据三点共线及垂线段最短可得此时点M到的距离最短，∵，∴四边形是矩形，∴，．∵，∴∵点是的中点，∴．又∵，∴．由图1可得，，．∴，即半圆的半径为5，∴．即点M到的最短距离为1；②由①可知半圆O的半径为5，如图，设的度数为，由题意得，的长为，∴，∴，∴．∵，∴∴是等边三角形，∴，∴此时半圆与正方形重叠部分的面积为；当半圆与正方形的边相切时，如图4，过点D作，与的延长线交于点H，作于点G，则，，，，，，，，；当半圆与正方形的边相切时，如图5，此时N与重合，则，，，，综上，或．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，弧长公式，解直角三角形等知识点，综合性强，属于压轴题，利用分类思想解决问题是本题的关键．47．（2024·河北石家庄·三模）已知四边形是边长为9的正方形，点在射线上．(1)如图1，当点位于边的中点时，以为圆心，以为半径作半圆，连接，点是半圆弧上任意一点．①点之间的最短距离为__________；②连接，若与相似，求的长；(2)如图2，当点位于边的延长线上，且时，以为圆心，以5为半径作半圆，交及其延长线于点．现将半圆绕点按逆时针方向旋转度，得到半圆，点的对应点为点．①当点、、三点共线时，求；②当半圆与正方形的边相切时，求圆心到边的距离．【答案】(1)①；②的长为或(2)①；②或或【分析】（1）①连接交半圆于，当点运动到，即、、共线时，最小，最小值等于的长，根据正方形的性质结合勾股定理求出的长即可得解；②求出，再分两种情况：当时；当时；分别利用相似三角形的性质求解即可；（2）①连接，作于，则为等腰直角三角形，由题意得：，，由等腰直角三角形的性质结合勾股定理求出、的长，再由正切的定义计算即可得出答案；②分三种情况：当半圆与相切时；当半圆与相切时；当半圆与相切时；分别求解即可得出答案．【详解】（1）解：①连接交半圆于，如图，∵，∴当点运动到，即、、共线时，最小，最小值等于的长，∵四边形是边长为的正方形，点位于边的中点，∴，，，∴，∴，即点之间的最短距离为；②∵四边形是边长为的正方形，点位于边的中点，∴，，，∴，当时，如图，∴，即，∴；当时，如图，∴，即，∴，综上所述，的长为或；（2）解：①如图，连接，作于，∵四边形是边长为的正方形，∴，，∴为等腰直角三角形，由题意得：，，∴，∴，∴，∴，∴；②当半圆与相切时，是切点为，连接，并延长交于，如图，∵半圆与相切，∴，∵四边形为正方形，∴，∴，∴四边形为矩形，∴，∵半圆的半径为，∴，∴，即此时圆心到的距离是；当半圆与相切时，设切点为，连接，作于，如图：∵半圆与相切，∴，∵，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，即此时圆心到的距离是；当半圆与相切时，此时切点记为点，如图：此时圆心到的距离是；综上所述，当半圆与正方形的边相切时，圆心到边的距离为或或．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、切线的性质、矩形的判定与性质、解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．48