专题01 特殊平行四边形的性质应用-备战2024-2025学年九年级数学上学期期末好题分类汇编（河南专用）

PAGE1PAGE2专题01特殊平行四边形的性质应用题型一利用菱形的性质求角度1．（22-23九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD＝118°，则∠CEB＝（

）A．59° B．62° C．60° D．72°【答案】A【分析】根据菱形的性质可得，∠ABD=∠CBD，从而得到∠CBD=31°，再由CE⊥BC，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴，∠ABD=∠CBD，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠BAD＝118°，∴∠ABC=62°，∴∠CBD=31°，∵CE⊥BC，即∠BCE=90°，∴∠CEB=59°．故选：A2．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，菱形中，，，且，连接交对角线于．则的度数是（

）

A．100° B．105° C．120° D．135°【答案】B【分析】由菱形及菱形一个内角为60°，易得△ABC与△ACD为等边三角形．由三线合一的性质求得∠ACE的度数．证得△BCE是等腰直角三角形，可求出∠CBE度数，用三角形外角的性质即可求得∠AFB．【详解】∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°，∴△ABC、△ACD是等边三角形，∵CE⊥AD，∴∠ACE=∠ACD=30°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°∵CE=BC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴∠E=∠CBE=45°∴∠AFB=∠CBE+∠ACB=45°+60°=105°，故选：B．3．（2023·河南·模拟预测）在菱形中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用菱形的性质求出∠ABD=40°，再利用等腰三角形的性质求出∠BAE=70°即可．【详解】在菱形ABCD∵∠ABC=80°，∴∠ABD=40°．∵BA=BE，∴∠BAE==70°．故选：A．4．（22-23九年级上·河南濮阳·期末）如下图，在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在上，连接．已知，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由翻折的性质知，，再由菱形的性质得，，最后利用三角形内角和定理可得答案．【详解】解：∵四边形是菱形，，∴，，∵沿直线翻折，使点B落在上，∴，，∴，，∴，，故选：B．5．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CF⊥AD于点E，且BC＝CF，连接BF交对角线AC于点M，则∠FMC＝．【答案】105°【分析】利用菱形的性质得出∠BCA＝60°，∠ACE＝∠DCE＝30°，∠CBD＝∠ABD＝30°，AC⊥BD，再利用等腰三角形的性质以及三角形外角的性质得出答案．【详解】∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CF⊥AD于点E，∴∠BCA＝60°，∠ACE＝∠DCE＝30°，∠CBD＝∠ABD＝30°，AC⊥BD，∴∠BCF＝90°，∵BC＝CF，∴∠CBF＝∠BFC＝45°，∴∠FBD＝45°－30°＝15°，∴∠FMC＝90°＋15°＝105°故答案为：105°．6．（23-24九年级上·河南荥阳·期末）如图，四边形是菱形，延长到点E，使．连接，若，则的度数为．【答案】/70度【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质得出，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∵，∴，故答案为：．7．（23-24九年级上·河南开封·期末）如图，在菱形中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于M，N两点，过M，N两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为．

【答案】/80度【分析】本题考查了作图—垂直平分线，菱形的性质，根据题意得，点E在的垂直平分线上，则，即可得，根据四边形为菱形得，，可得，即可得；掌握作图—垂直平分线，菱形的性质是解题的关键．【详解】解：根据题意得，点E在的垂直平分线上，∴，∴，∵四边形为菱形，∴，，∴，∴，故答案为：．8．（22-23九年级上·河南周口·期末）已知，菱形中，，对角线、相交于点O，点E在菱形的边上，且与顶点不重合，若，则的度数为．【答案】或【分析】①当点E在上时，此时可求出的度数，及的度数，结合，可求出的度数，再由可求出的度数；②当点E在上时，由①的结果可求出的度数．【详解】解：①当点E在上时，，菱形邻角和为，，菱形对角线即角平分线，，，，菱形对角线互相垂直，，；②当点E在上时，；综上可得的度数为或．故答案为：或．题型二利用菱形的性质求线段长9．（20-21九年级上·河南洛阳·期末）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形的斜边上的中线性质和菱形的面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键．由菱形的性质得，根据题意得，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴，∴菱形的面积，故选：．10．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在菱形中，对角线和相交于点，若，则菱形的周长为（

）

A．24 B．8 C． D．【答案】D【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键．由菱形的性质得，再由勾股定理求出的长，即可得出结论．【详解】解：∵四边形为菱形，，在中，由勾股定理得：，∴菱形的周长，故选：D．11．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图①，在菱形中，垂直于的直线（直线与菱形的两边分别交于E、F两点，且点在点的上方）沿方向从点出发到点停止运动，设直线平移距离为，的面积为，若与之间的函数图象如图②所示，则的值为（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】本题主要考查对动点问题的函数图象，三角形的面积，一次函数的图象，菱形的性质等知识点的理解和掌握．作，，由图②知，利用三角形面积公式求得，即，再利用待定系数法求得图②中线段的解析式，据此求解即可．【详解】解：作，，垂足分别为，，由图②知，当F点与重合时，，∴，∴，∵四边形是菱形，∴，当F点与重合时，，∴，∴，即，设图②中线段的解析式为，∴，解得，∴图②中线段的解析式为，当时，，∴．故选：A．12．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是菱形的对角线BD的中点，AD轴且，，点C的坐标是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意得出是等边三角形，则，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出点的坐标，根据中心对称的性质即可求解．【详解】解：如图所示，设与轴交于点，∵四边形是菱形，∴，∵，，∴是等边三角形，则，∵是菱形的对角线BD的中点，∴∵AD轴，则，∴∴，，∴∵关于对称，∴,故选：D．13．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，在菱形中，，，交于点，为的中点，连接并延长，交于点，点为的中点，连接，则．【答案】【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线，由菱形的性质可得，，，由勾股定理计算出，由三角形中位线定理可得，，证明可得，再由，即可得到答案，熟练掌握相关知识并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：∵四边形是菱形，，，∴，，，在中，由勾股定理，得，∵点为的中点，∴是的中位线，∴，，∴，，∵为的中点，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：．14．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，菱形中，对角线，相交于点O，点E为的中点，连接，若，则菱形的周长为．【答案】28【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理，先根据菱形的性质可得，再根据三角形中位线定理即可得的长，由此即可求解．【详解】解：∵四边形是菱形，，，即O是的中点，点是边的中点，，是的中位线，，∴菱形的周长：，故答案为：28．15．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，中，，，点是射线上一动点，连接，作点关于直线的对称点，当四边形是菱形时，线段的长为．【答案】或/或【分析】此题考查了菱形的性质，角所对直角边是斜边的一半和勾股定理，分当点在上时和当点在延长线上时两种情况即可，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．【详解】当点在上时，如图，∵四边形是菱形，∴，∵，∴是等边三角形，∴；当点在延长线上时，如图，连接，∵四边形是菱形，∴，，，，，∴，，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，故答案为：或．16．（22-23九年级上·河南开封·期末）如图，在菱形中，，，M为边的中点，N为边上一动点（不与点B重合），将沿直线折叠，使点B落在点E处，连接，，当为等腰三角形时，的长为．

【答案】4或【分析】分两种情况①当时，连接，作于，由菱形的性质得出，，，得出，，，求出，，由折叠的性质得，，，证明，得出，证出、、三点共线，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当时，，此时点与重合，与点重合，，是等边三角形，（含这种情况）．【详解】解：分两种情况：当时，连接，作于，如图1所示：

四边形是菱形，，，，，，，，，，，，为的中点，，由折叠的性质得：，，，在和中，，，，，、、三点共线，设，则，，在中，由勾股定理得：，解得：，即；当时，，此时点与重合，与点重合，如图2所示：

，是等边三角形，（含这种情况）；综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或4；故答案为：或4．17．（21-22九年级上·河南郑州·期末）中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线交两对边于E、F，则的长为cm．【答案】9.6【分析】根据菱形的性质得到根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵四边形是菱形，∵∴∴，故的长为,故答案为：9.6．题型三利用菱形的性质求面积18．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，四边形是周长为的菱形，其中对角线长为，则菱形的面积为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了菱形的面积公式，勾股定理，利用勾股定理先求出对角线的长度，再根据菱形的面积等于两条对角线的积的一半，即可求解，掌握菱形的面积公式是解题的关键．【详解】解：设对角线相交于点，则，，∵菱形的周长为，∴，∴∴，∴菱形的面积，故选：．19．（22-23九年级上·河南郑州·期末）已知在菱形中，，，则菱形的面积为（

）A．160 B．80 C．40 D．96【答案】D【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得的长，从而得到的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积．【详解】解：∵四边形是菱形，，∴，，∵在中，，∴，∴，∴．故选D．20．（21-22九年级上·河南开封·期末）如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H．则AH＝（）A．24 B．10 C． D．【答案】C【分析】先根据对角线求得边长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于底边乘以高即可求得【详解】如图设交于点，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，，解得故选C21．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，若，则菱形的面积是（

）

A． B．1 C． D．4【答案】C【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质及垂直平分线的性质，根据，得到，根据菱形得到，即可得到是等边三角形，根据勾股定理求出，即可得到答案；【详解】解：∵，∴，，∵四边形是菱形，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，故选：C．22．（18-19九年级·河南焦作·期末）已知菱形的周长是，一条对角线长是，则它的面积是．【答案】【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理；根据菱形的性质可得，，，，利用勾股定理求出，得到的长，再根据菱形的面积公式计算即可．【详解】解：如图，四边形是菱形，，，，，菱形周长为，，在直角三角形中，，，菱形的面积，故答案为:．23．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，四边形是边长为4的菱形，为其对称中心，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．若，则阴影部分的面积为．【答案】【分析】本题考查的是菱形的性质，利用割补法求解阴影部分的面积，如图，过作于，先求解菱形的高与面积，再利用菱形的性质可得阴影部分的面积是菱形面积的一半即可得到答案．【详解】解：如图，过作于，∵四边形是边长为4的菱形，，∴，，∴，，∴菱形面积为：；∵O是菱形两条对角线的交点，菱形是中心对称图形，∴，∴阴影部分的面积为．故答案为：24．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，四边形是菱形，点和分别是边和上的动点，线段的最大值是，最小值是，则这个菱形的边长是．

【答案】【分析】当点与重合，点与点重合时，线段的最大值是，当时，最小值是，如图所示（见详解），过点作延长线于，在，中，根据勾股定理即可求解．【详解】解：四边形是菱形，点和分别是边和上的动点，当点与重合，点与点重合时，线段的最大值是，当时，最小值是，如图所示，过点作延长线于，∵四边形是菱形，∴，当点与重合，点与点重合时，线段的最大值是，即，当时，最小值是，∴（是边上的高），且，∴在中，，，∴，设，则，在中，，即，解得，，∴，故答案为：．25．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，在菱形中，，，是对角线的交点，在边上任取一点E，连接，在边上取一点F，使，则，四边形的面积为．【答案】8【分析】本题主要考查菱形性质、含角的直角三角形性质和割补法求面积的相关内容，根据菱形性质和得为等边三角形即可求得答案；根据菱形性质得到点G到的距离相等，由已知得可证明≌则有面积相等，再利用直角三角形性质可以求得边长，根据割补法有即可求得答案．【详解】解：∵四边形为菱形，∴，∵，∴为等边三角形，∴；过点G作交于点K，作交于点H，如图，

∵，，∴，∵，∴，∵四边形为菱形，∴，∴≌，则，∵，∴在中，，得，，∴，，则，故答案为：8；．26．（22-23九年级上·河南安阳·期末）如图，在菱形中，与，将沿所在直线翻折得，若，，则与菱形重叠部分（阴影部分）的面积为．【答案】【分析】先证是等腰直角三角形，通过解直角三角形求出的面积，再利用折叠的性质和菱形的性质证明是等腰直角三角形，则重叠部分的面积．【详解】解：，，，是等腰直角三角形，，．由折叠的性质可知，，即．菱形中，，，，，，即是等腰直角三角形．，，，．，，重叠部分的面积．故答案为：．题型四矩形性质的理解及利用矩形的性质求角度27．（21-22九年级上·河南郑州·期末）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（

）A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等【答案】D【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质，熟练掌握矩形和平行四边形的性质是解题的关键．由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．【详解】解：∵矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等，对角相等；平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等．∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等．故选：D．28．（23-24九年级上·河南郑州·期末）下列说法中正确的是（

）A．矩形的对角线互相垂直平分 B．菱形的对角线相等C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．有三边相等的四边形是菱形【答案】C【分析】本题主要考查了矩形、菱形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．利用矩形、菱形的性质和判定解答即可．【详解】解：A．矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直，故本选项不合题意；B．菱形的对角线互相垂直平分，但不相等，故本选项不符合题意；C．有三个角是直角的四边形是矩形，故本选项合题意；D．四条边都相等的四边形是菱形，故本选项不合题意．故选：C．29．（21-22九年级上·河南新乡·期末）关于矩形的性质，以下说法不正确的是（

）A．四个角都是直角 B．对角线相等C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形【答案】C【分析】根据矩形的性质逐一进行判断即可．【详解】解：矩形是轴对称图形，四个角都是直角，对角线相等，故A，B，D都对，不符合题意，而菱形是对角线互相垂直，矩形不具有这个性质，故C错误，符合题意，故选：C．30．（22-23九年级上·河南焦作·期末）如图，分别在长方形ABCD的边DC，BC上取两点E，F，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，则∠DAE＝()A．45° B．30° C．15° D．60°【答案】C【分析】长方形内角为90°，已知∠BAF=60°，所以可以得到∠DAF，又因为AE平分∠DAF，所以∠DAE便可求出．【详解】在长方形ABCD中，∠BAD＝90°∵∠BAF＝60°∴∠DAF＝90°﹣∠BAF＝30°又AE平分∠DAF所以∠DAE＝∠DAF＝15°故选C．31．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）如图，将含有的直角三角尺（）直角顶点A放到矩形的边上，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查矩形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等．设与的交点为点，由角的和差可求得，根据矩形的性质得到，从而，根据三角形的内角和定理求得，再根据对顶角相等即可得．【详解】设与的交点为点，∵，，∴，∵在矩形中，，∴∵，∴，∴．故选：D32．（22-23九年级上·河南信阳·期末）如图，在长方形中，连接，以为圆心适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，画射线交于点．若，则的大小为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用矩形的性质得到，则利用平行线的性质可计算出，再由作法得平分，所以，然后根据三角形的内角和定理得到的度数．【详解】解：在长方形中，∵，，∴，由作法得：平分，∴，∵，∴，故选：B．33．（23-24九年级上·河南济源·期末）如图将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，若旋转角为，为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设与交于点，根据旋转的性质和矩形的性质，分别求出的度数，利用四边形的内角和为，求出的度数，利用对顶角相等，即可得出结论．【详解】解：设与交于点，∵将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为，∴，∴，∵，∴，∴；故选A．34．（22-23九年级上·河南洛阳·期末）如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，若，则°．

【答案】【分析】根据矩形的性质，得到，进而得到，即可求出的度数，再根据角度和差即可求解．【详解】∵四边形是矩形，∴，由旋转性质可知，，，，∵，，∴，∴，∴，故答案为：．题型五利用矩形的性质求线段长35．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，已知直线，相邻两条平行线间的距离都等于1，若矩形的四个顶点分别在三条直线上，且，则矩形的面积等于（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据题意设，则，，利用等面积法建立等式求出的值，即可求得矩形的面积．【详解】解：四边形是矩形，，，设，则，，直线，相邻两条平行线间的距离都等于1，，解得或（不合题意，舍去），，则，矩形的面积．故选：D．36．（23-24九年级上·河南商丘·期中）如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（

）A．3 B． C． D．4【答案】C【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，矩形的性质，先根据两点距离计算公式得到，再由矩形对角线相等即可得到．【详解】解；如图所示，连接，∵点的坐标是，∴，∵四边形是矩形，∴，故选：C．37．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第一象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点，以每秒的速度顺时针旋转，则当第2024秒时，矩形的对角线交点的坐标为（

）

A．2,0 B．0,2 C． D．【答案】C【分析】本题考查旋转变换，矩形的性质等知识，解题的关键是明确题意，发现点G的变化特点，利用数形结合的思想解答．每秒旋转，8次一个循环，，第2024秒时，矩形的对角线交点G与原位置的点G的坐标相同，由此可得到点G的坐标．【详解】解：∵四边形是矩形，，∴，，，∴，∵每秒旋转，，∴8次一个循环，∵，∴点G与原位置的点G的坐标相同，∴原位置的点G在第一象限的角平分线上，设，∴，解得：，∴点G的坐标为．故选：C．38．（22-23九年级上·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，为线段的中点，矩形的顶点，，连接按照下列方法作图：以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交CA、CD于点、；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧交于点；(3)作射线交AD于，则线段的长为(

)

A． B．1 C． D．【答案】C【分析】由作图可知，是的平分线，如图，过作于，由角平分线的性质可知，，由题意得，设，则，，在中，由勾股定理得，即，计算求解即可．【详解】解：由作图可知，是的平分线，如图，过作于，

由角平分线的性质可知，由勾股定理得：，∵矩形的顶点D，O为线段的中点，∴，，∴，设，则，，在中，由勾股定理得，即，解得，∴，故选：C．39．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，矩形中，，交于点O，M，N分别为，的中点．若，，则的长为（）A．8 B．10 C． D．【答案】D【分析】根据中位线的性质求出长度，再依据矩形的性质求出，最后根据勾股定理求出结果即可．【详解】解：∵M，N分别为，的中点，∴．∵四边形是矩形，∴，，∴，故D正确．故选：D．40．（23-24九年级上·河南郑州·期末）在矩形中，．点是边上一动点（不与点重合），以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，若，则的长为．【答案】2或【分析】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理的应用，分两种情况：点E在弧与的交点左侧和右侧，设，则，，所以，或，在中由勾股定理列方程，求出的值即可．【详解】解：在矩形中，∵，∴；设，则，∵，∴，①当点E在弧与的交点左侧时，则，在中，，∴，解得，或（不合题意，舍去）,∴；②当点E在弧与的交点右侧时，则，在中，，∴，解得，或（不合题意，舍去）；∴；综上，的长为2或．故答案为：2或．41．（23-24九年级上·河南漯河·期末）矩形中，，是的中点，点在直线上，且，若与关于直线对称，则的长为．【答案】或【分析】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，关键是要分两种情况讨论．分两种情况，如图①，由轴对称的性质得到，由勾股定理求出，得到，如图②，由轴对称的性质得到，由勾股定理求出，得到，即可得到的长为或．【详解】解：如图①，

与关于直线对称，，四边形是矩形，，，；如图②，

与关于直线对称，，四边形是矩形，，，，，，则的长为或．故答案为：或．42．（22-23九年级上·河南·期末）如图，在矩形中，，，把矩形绕点顺时针旋转得到矩形，当点落在射线上时，线段的长度为．

【答案】或【分析】根据正方形的边角性质得到，，，得到，根据旋转性质得到，，根据勾股定理得到，当点落在线段上，，根据勾股定理得到，当点落在射线上，，根据勾股定理得到．【详解】∵矩形中，，，，∴，由旋转知，，∴当点落在线段上，，∴；

当点落在射线上，，∴．

故答案为：或．43．（22-23九年级上·河南开封·期末）已知如图，在矩形中，，对角线和相交于点，过点作于点，．求的长．【答案】3【分析】已知四边形是矩形，得到，，根据对角线和相交于点，得到．，结合，推出，进而得到，推出是等边三角形，即可求出的长．【详解】∵为矩形，∴，，∴．，∴，∵，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴即的长为3．44．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图1，在矩形中，，相交于点O，点E为上的一个动点，连接并延长到点F，使，连接．(1)若点E与点B重合（如图2），判断AF与的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)若以A，F，B，E为顶点的四边形是平行四边形，，请直接写出线段的长度．【答案】(1)且；(2)1或3【分析】（1）若点E与点B重合根据矩形得到，，结合，即可得到四边形为平行四边形；（2）先根据矩形的性质得到，，再根据三角形中位线的性质得到，，当为对角线时，如图1根据平行四边形的性质得到，则，即可得到一个答案；当为边时，如图，此时E点与D点重合，即可得到答案．【详解】（1）解：且，∵四边形是矩形，∴，，∵，∴,∴四边形是平行四边形，∴，；（2）解：∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，，当为对角线时，如下图∵四边形为平行四边形，∴，∴，∴，∵，∴；当为边时，如下图∵四边形为平行四边形，∴，∵，∴此时点E与点D重合，∴；综上所述的长度为1或3．题型六利用矩形的性质求面积45．（21-22九年级上·河南平顶山·期末）如图，过矩形对角线上一点作，分别交和于点和，连接，已知，则和的面积和等于（）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】作于，交于，根据矩形的对角线平分矩形面积的性质得到的面积等于，然后求解即可．【详解】解：作于，交于．则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，，，，，，∴和的面积和，故选：B．46．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．18【答案】C【分析】首先根据矩形的特点，作PM⊥AD于M，交BC于N，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最终得到S矩形EBNP=S矩形MPFD,即可得S△PEB=S△PFD，从而得到阴影的面积．【详解】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN∴S矩形EBNP=S矩形MPFD,又∵S△PBE=S矩形EBNP，S△PFD=S矩形MPFD，∴S△DFP=S△PBE=×2×8=8，∴S阴=8+8=16，故选：C．47．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD的面积是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件，先求Rt△AED的面积，再证明△ECD的面积与它相等．【详解】如图：过点C作CF⊥BD于F.∵矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，∠BAE=30°.∴∠ABE=∠CDF=60°,AB=CD,AD=BC=2,∠AEB=∠CFD=90°，∠AED=30°，∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF.∴S△AED=EDAE,S△ECD=EDCF.∴S△AED=S△CDE∵AE=1,DE=，∴△ECD的面积是.故答案选:D.48．（23-24九年级上·河南南阳·期末）矩形中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，根据图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分别求出两个阴影部分的面积和矩形的面积，即可求出答案．【详解】解：图中空白部分的面积，故选：B．49．（22-23九年级上·河南信阳·期末）如图，四边形和四边形都是矩形，且点A在上，设矩形和矩形的面积分别为，，则与的大小关系为（

）

A． B． C． D．不能确定【答案】A【分析】由矩形的性质可得，，从而可得答案．【详解】解：∵矩形的面积，，∴．故选：A．50．（22-23九年级上·河南焦作·期末）将矩形绕点旋转至矩形位置，此时的中点恰好与点重合，交于点．若，则的面积为．【答案】【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．【详解】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=AC′=AC，∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，∴∠EAC=∠ACD=30°，∴AE=CE，在Rt△ADE中，设AE=EC=x，则有DE=DC-EC=AB-EC=6-x，AD=，根据勾股定理得：x2=（6-x）2+（）2，解得：x=4，∴EC=4，则S△AEC=EC•AD=，故答案为：．51．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作于点E，连接，若，，则矩形的面积为．【答案】【分析】利用等腰三角形三线合一，以及三角形的中位线定理，求出，利用勾股定理，求出，进而求出，利用即可得解．【详解】解：∵四边形为矩形，∴，∵，∴，∴是的中位线，∴，在中，，∴，∴矩形的面积为；故答案为：．52．（20-21九年级上·河南登封·期末）为了迎接2021年春节，李师傅计划改造一个长为6m，宽为4m的矩形花池ABCD，如图，他将画线工具固定在一根4m木棍EF的中点P处．画线时，使点E，F都在花池边的轨道上按逆时针方向滑动一周．若将点P所画出的封闭图形围成的区域全部种植年花，则种植年花的区域的面积是m2．【答案】（24﹣4π）【分析】连接BP，则BP为Rt△BEF的斜边中线，从而当EF在从A滑向B的过程中，点P位于以B为圆心，2m为半径的四分之一圆弧上，EF在BC线段上滑动时，点P有一段在BC上，然后会在以C为圆心，2m为半径的四分之一圆弧上，同理可得点P在CD线段和DA线段上的运动轨迹，则种植年花的区域的面积可用矩形的面积减去4个四分之一圆弧的面积计算．【详解】解：连接BP，如图，由题意可知BP为Rt△BEF的斜边中线，∵EF＝4m，∴BP＝2m，∵AB＝DC＝4m，BC＝AD＝6m，∴点P的运动轨迹为四个圆心分别在点A，B，C，D，半径为2m的四分之一圆，以及BC和AD上的一段线段．长为6m，宽为4m的矩形花池ABCD的面积为6×4＝24（m2）．∴种植年花的区域的面积是：24﹣π×22＝(24﹣4π)（m2）．故答案为：(24﹣4π)．题型七正方形性质的理解及利用其性质求角度53．（21-22九年级上·河南郑州·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（

）A．当是矩形时，B．当是菱形时，C．当是正方形时，D．当是菱形时，【答案】C【分析】分别根据矩形、菱形、正方形、菱形的性质逐项判断即可求解．【详解】解：A.当是矩形时，，故原结论错误，不合题意；B.当是菱形时，，故原结论错误，不合题意；C.当是正方形时，，故原结论正确，符合题意；D.当是菱形时，，故原结论错误，不合题意．故选：C54．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，在正方形中，为边上的点，连接，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边对等角，三角形的外角性质，由旋转性质可得，，又四边形是正方形，则，再由等边对等角得，最后由三角形的外角性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】∵将绕点顺时针方向旋转得到，∴，，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，故选：．55．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）如图，在正方形的边上取一点E，连接并延长交的延长线于点F，将射线绕点A顺时针旋转后交的延长线于点G，连接，若，则的大小是（）A．α B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由“”可证，可得，由“”可证，可得，由角的数量关系可求解．．【详解】解：在上截取，连接，∵四边形是正方形，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵将射线绕点A顺时针旋转后交的延长线于点G，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选：C．56．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是．【答案】/45度【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、正方形性质、等腰三角形性质、等边三角形的性质的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．根据正方形性质得出，根据等边三角形性质得出，推出，根据等腰三角形性质得出，最后根据三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴．故答案为：．57．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）如图，正方形的对角线，交于点O，P为边上一点，且，则的度数为．【答案】/22.5度【分析】本题考查了正方形的性质，根据四边形是正方形，可得，，再根据，即可求出的度数．【详解】解：四边形是正方形，，，，，，．故答案为：．58．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，在正方形中，点F为上一点，交于点E．若，则等于°．【答案】65【分析】由三角形的外角性质可知：要求，只要求，由正方形的轴对称性质可知：，即可求出．【详解】四边形是正方形，具有关于对角线所在直线对称的对称性，，，，又是的外角，，故答案为：65．59．（21-22九年级上·河南商丘·期末）（1）问题发现如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，，，，求的度数．针对此问题，数学王老师给出了下面的思路：如图2，将绕点A逆时针旋转60°得到，连结，得到等边三角形，在中，根据三角形三边关系以及勾股定理……请根据王老师的思路提示，完成本题的解答；（2）类比延伸如图3，在正方形ABCD内部有一点P，若，试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）；（2），理由见解析【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到∠APB的度数；（2）把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出再求出，然后利用勾股定理得出等量代换得出．【详解】解：（1）如图2，将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到，连结，则为等边三角形．∴∴∴为直角三角形．∴∠APB的度数为90°+60°=150°．故答案为：直角；150°；（2）2PA2+PD2=PB2．理由如下：如图3，把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP′，连结．则∴是等腰直角三角形，∴∵∠APD=135°，∴，∴，在Rt中，由勾股定理得，∴．60．（19-20九年级上·河南安阳·期末）如图1，将边长为2的正方形如图放置在平面直角坐标系内．(1)如图2，若将正方形绕点O顺时针旋转，直接写出A点坐标______．(2)如图3，若将正方形绕点O顺时针旋转，求点B的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）作轴于点，则，，求出和，即可得出点A的坐标；（2）连接，过点作轴于，根据旋转角为，可得，求出，再利用勾股定理求出，然后在中，利用含直角三角形的性质和勾股定理求出和，进而可得点B的坐标．【详解】（1）解：如图2，作轴于，则，，，，A点的坐标为，故答案为：．（2）如图3，连接，过点作轴于，则，，，在中，，在中，，，点的坐标为．题型八根据正方形的性质求长度61．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（）

A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根据条件正方形边长为4，由勾股定理求出线段长，利用中位线得到长即可．【详解】解：连接，，

∵点E，F分别是，的中点，∴四边形是矩形，∴M是的中点，在正方形中，，，∴，在中，由勾股定理得，，在中，M是的中点，N是的中点，∴是的中位线，∴．故选：B．62．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕O点顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕O点连续旋转2023次得到正方形，如果点C的坐标为，那么点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正方形的性质和旋转的性质探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】解：如图∵四边形是正方形，，，，，连接，，∵将正方形绕点O顺时针旋转后得到正方形，，同理，∵每次旋转，，∴8次一循环∵，点的坐标与点重合即与关于O对称，．故选B63．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形中，，点E，F分别为上一点，且，连接交对角线于点G，点P，Q分别为的中点，则的长为（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】根据题意作出合适的辅助线，利用三角形中位线定理可以求得和的长，然后根据勾股定理即可求得的长．【详解】取中点，连接，取中点，连接，作交于点，如图所示，正方形的边长为12，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∵中点，点为的中点，∴，，，∴，∵中点，点为的中点，，，，∵，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴，，，故选：D．64．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点为上一动点．连接，作交于点，已知，则四边形的面积为（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】A【分析】已知四边形是正方形，，得到，，，，推出，结合，得到，可进一步证明，得到，进而得到，即可正确解答．【详解】∵四边形是正方形，，∴，，，∴，，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴四边形的面积为1．故选：A65．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，在正方形中，，是上一点，，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为．【答案】2【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．利用证明，得，再说明，得，，求出的长，再利用三角形三边关系可得答案．【详解】解：连接，将绕点逆时针旋转得，连接，，作于，由旋转可得：，，，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值为2，故答案为：2．66．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，正方形的边长为6，点E，F分别在上，，连接与相交于点G，连接，取的中点H，连接，则的长为．【答案】【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等．先用勾股定理求出的长，证明，推出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半进行求解即可．【详解】解：∵正方形的边长为6，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵取的中点H，连接，∴；故答案为：．67．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形的边长为，分别是边上的一点，将正方形沿折叠，使点恰好落在的中点处，点的对应点为点，则折痕的长为．【答案】【分析】连接交于点，作，分别交、于点、点，由正方形的性质得，，则，所以，由垂直平分，得，则，可证明四边形是平行四边形，得，再证明，则，于是得到问题的答案．【详解】解：连接交于点，作，分别交、于点、点，∵四边形是边长为的正方形，∴，，∵点为边的中点，∴，∴，由折叠得点与点关于直线对称，∴垂直平分，，∴，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：．68．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，等边三角形，边长为6，点D为边上一点，，以D为顶点作边长为6的正方形，连接，．将正方形绕点D旋转，当取最小值时，的长为．

【答案】8【分析】过点A作于M，由等边三角形的性质得出，，得出，在中，由勾股定理得出，当正方形绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，，即此时取最小值，在中，由勾股定理得出，在中，由正方形的边长及勾股定理即可得出．【详解】解：过点A作于M，

是等边三角形，边长为6，，，，，，在中，，当点E在DA延长线上时，，此时取最小值