2024年高考数学高频考点题型 第24练 平面向量的数量积及其应用（精练：基础+重难点）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

第24练平面向量的数量积及其应用(精练)

刷真题明导向

一、单选题

1.(2022•全国•统考高考真题)已知向量〃=(2,1)右=(—2,4),则()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】先求得”-人然后求得卜i

【详解】因为。-6=(2」)-(-2,4)=(4,-3),所以卜-8卜"2+(-3>=5.

故选：D

2.(2023♦全国•统考高考真题)已知向量a=(3,l),〃=(2,2),则统a+布-()

A.—B.姮C.叵D.毡

171755

【答案】B

【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得从而利用平面向量余弦

的运算公式即可得解.

【详解】因为公=(3,1))=(2,2),所以a+〃=(5,3),a-h=(l,-l),

则1+0=J52+32=后,卜_4=、后=应,(〃+/?)•([—力)=5x1+3x(-1)=2,

所以吟+碗»黑舒二悬丁冬

故选：B.

3.(2022•全国•统考高考真题)已知向量〉"满足|a|=l,Wb"|a-25|=3,则。力=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：2〃|2=|#2-4“功+4,『，

又・・・"|=1,|力|=V3,|«-2/?|=3,

，9=I—4〃6+4x3=13—4a-b，

••a-h=\

故选：C.

4.(2023•全国•统考高考真题)已知向量々=(1,1),〃=。,-1),若(。+切_L(a+〃b),则()

A.2+〃=1B.之+〃=一1

C.A//=1D.A/z=-1

【答案】D

【分析】根据向量的坐标运算求出〃+助，再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【详解】因为4=(1,1)/=。,_1),所以。+/1/?=(1+41—2),4+=，

由+%力)_!_(〃+可得，(4+•(〃+〃〃)=0,

即(1+4)(1+")+(1-#(1一〃)=0,整理得：即=-1.

故选：D.

5.(2022•全国•统考高考真题)已知向量。=(3,4),力=(l,0),c=a-仍，若<a,c>=<"c>,贝V=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

/、/、、9+3/+163+/

【详解】解：C=(3+r,4),cos(a,c)=cos(zb,c),gp——j二『，解得，=5,

故选：c

6.(2023・北京・统考高考真题)已知向量”，方满足d+1=(2,3),d-b=(-2,l),则laf-W、()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.

【详解】向量满足。+6=(2,3)间-〃=(-2,1),

所以laf-I62=(a+».(4-»=2x(-2)+3xl=-l.

故选：B

7.（2021♦浙江•统考高考真题）己知非零向量则是“£=）”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】如图所示，。4=。。8=〃,。。=孰84=〃-力，当46_10€时，。一〃与c垂直，（£-斗；0,所

以成立，此时。工，

・・・1"=""不是"=6的充分条件，

当〃=2时，4-〃=0，・•・”=。。=0,・•・>%=兀2成立，

Wb・；,是a=b的必要条件，

8.（2023•全国•统考高考真题）己知向量a,〃,c满足闷=W=l[c|=&,且〃+Z?+c=0»则cos5一c,Z?-c〉=

（）

■4C2「2

A.—B.—C.—D

555-?

【答案】D

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

【详解】因为A+5+d=0,所以£+〃=」，

即片+户+上.6=/,即1+1+2。必=2,所以由5=0.

因为尸c=l,所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动,

设P(cosO,sinO),0e[0,2/r],

所以PA=(3-cos。,-sin。),PB=(-cos^,4-sin^),

所以P8=(-cos0)x(3-cos0+(4-sin0)x(-sin。)

=CDS?。-3cos6—4sine+s"0

=1—3cos£?—4sin/7

=l—5sin（〃+o）,其中sin夕=2,cos^?=—,

55

因为一1Wsin（，+°）41,所以T41-5sin（e+°）«6,即2/VPBe[-4,6]；

故选：D

二、填空题

10.（2022.全国.统考高考真题）已知向量。=（也3）/=（1.m+1）.若“_L〃，则"?=

3

【答案】

4

【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.

3

【详解】由题意知：=〃?+3（用+1）=0,解得，〃=-二.

3

故答案为；

11.（2021•全国•统考高考真题）已知向量。=（1,3）,。=（3,4）,若（a-劝）_L。，则2=

【答案】|

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.

【详解】因为。一筋=（1,3）—4（3,4）=（1-343—44）,所以由（〃-肪）_L〃可得，

3（l-3A）+4（3-4^）-0,解得2-不.

3

故答案为：

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设。=（N，X）,〃=（X2，M），

4_1_604力=00z9+）1%=°，注意与平面向量平行的坐标表示区分.

12.（2021・全国♦统考高考真题）已知向量〃=（3,1）为=（l,0）,c=〃+幼.若alc，贝必=_

【答案】一日.

【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得我的值

【详解】"=（31）,〃=（1,0）,，<?=。+幼=（3+匕1）,

•.•a_Ld,.3c=3（3+k）+lxl=0,解得女=-果

故答案为：一学.

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量

P=（5，X），4=（々，％）垂直的充分必要条件是其数量积中2+M>2=0.

13.（2021.全国•高考真题）若向量满足同=3,,一4=5,a/=1,则|卜.

【答案】30

【分析】根据题目条件，利用a-b模的平方可以得出答案

【详解】・・・卜-4=5

；・卜-H-2a/=9+恸-2=25

.明=3日

故答案为：3后.

14.（2022・全国・统考高考真题）设向量〃，〃的夹角的余弦值为；，且何=1,川=3,则（2〃+。）包=.

【答案】11

【分析】设4与％的夹角为。，依题意可得COS6=g,再根据数量积的定义求出4.〃，最后根据数量积的运

算律计算可得.

【详解】解：设“与〃的夹角为0,因为〃与〃的夹角的余弦值为:，即COS0=；,

又卜|=1,W",所以4・。=同忖85。=lx3x；=1,

所以（2a+b）b=2ab+z/=+=2x1+32=11.

故答案为：11・

15.（2023.全国.统考高考真题）已知向量a,b满足卜-力|=6，,+.=|2〃-.，则卜卜.

【答案】石

【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令1-力，结合数量积的运算

律运算求解.

【详解】法一：因为卜+司=忸-可，即（〃+"=（2〃-

,irrrrrrrr般血殂2八，八

贝mJ〃2+2ab+b2=4a2—4ab+b2»整理得〃-2«Z?=0>

又因为卜一可―G,即

畸-如十九九3,所以小君.

法二：设；£」，则卜=\/5,a+〃=c+2b,2a-〃=2c+b,

由题意可得：（C+3『=（2；+,，贝叱

+4cb+4b=4c+4<:•力+/?»

整理得：:2」2,即可=口=6.

故答案为：6.

16.（2021•全国.统考高考真题）已知向量〃+/>+c=0，6/=1,|/?=|c|=2,ab+bc+c-a=-

【答案】4

【分析】由已知可得（。+力+。丫=0,展开化简后可得结果.

【详解】由已知可得(a+2+c)=a+b+c'+2^ab+bc+c-a^=9+2^ab+b-c+ca^=Ot

因此,ab+bc+c-a=--.

故答案为：-

三、双空题

17.(2021・天津・统考高考真题)在边长为1的等边三角形A3c中，。为线段BC上的动点，DE上AB且交

AB于点E.OF//A3且交AC于点R则I2BE+DFI的值为;(。E+。尸)。的最小值为

【答案】1*

【分析】设8E=x,由(24石+。户)2=4B£，48E•。产+。/可求出；将(。石+。尸)小化为关于*的关系式

即可求出最值.

【详解】设BE=x,...ABC为边长为1的等边三角形，DE1AB,

ZBDE=30,BD=2x,DE=瓜,DC=\-2x,

:DF//AB,为边长为1-标的等边三角形，OE1OF,

.•.(2BE+D尸丫=4BE2+4BEDF+DF,=4x2+4x(l-2x)xcos0+(l-2x)2=l>

:]2BE+DF|=1,

(DE+DF)DA=(DE+DF)(DE+EA)=I)F+DFEA

=(V3A-)2+(l-2x)x(l-x)=5x2-3x+l=5^x-j^j+—,

311

所以当x=X时，(DE”尸).D4的最小值为布.

故答案为：1;工.

tt

【A组在基础中考查功底】

一、单选题

1.(2023・河南.校联考模拟预测)已知向量。=(3,1),b=(x-2)f若〃//人则,+〃|=()

A.0B.5C.MD.10

【答案】C

【分析】根据共线先求出工,根据向量的模的坐标公式即可.

【详解】因为4/必，所以3x(—2)—x=0,解得x=-6.

所以a+5=(3』)+(—6,-2)=(-3,-1),

P+b|=7(-3)2+(-i)2=Vio.

故选：C.

2.(2023・河南•校联考模拟预测)设名仇c都是单位向量，且,=/1c，则向量〃的夹角等于()

JI°兀八兀c71

A.-B.-C.-D.一

6432

【答案】C

【分析】根据等式将c移到另一端,两边同时平方，由a,〉c都是单位向量可求出的夹角.

【详解】由〃=〃一°,可知c=〃-a,故，=。一2〃•力+〃，所以=

设。次的夹角为6,即cos0=3,又046W兀，所以。=方.

故选：C.

3.(2023♦江苏苏州•模拟预测)已知向最.在向量。上的投影向量是-专人且〃=(1/)，则〃/=()

C.一包D.2

A.-6B.拒

22

【答案】A

【分析】根据向量a在向量B上的投影向量求出同cosk3,代入〃.〃的定义式即可.

【详解】因为向量a在向量力上的投影向量是-卓明所以忖88卜力〉=-4M，

因此a.〃三同小05卜』»一孝回,卜一孝,=_曰><(1+1)=—石.

故选：A.

4.(2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨市第四中学校校考模拟预测)如图，已知C的半径为2,网=2,则4C=

C.2D.2石

【答案】C

【分析】判断形状可得/CAB,然后根据数量积定义直接求解即可.

TT7F

【详解】由题知，H8c为正三角形，所以NCAB=G，所以AB.4c=2X2C0S5=2.

JJ

故选：c

5.(2023♦四川•校联考模拟预测)已知向量。=(4,—2),〃=(x-l,2),若“J.b，则(一力卜()

A.3&B.26C.3D.5

【答案】D

【分析】依题意可得〃包=0,即可求出工的值，在求出〃-方的坐标，从而求出其模.

【详解】因为。=(4,一2),^=(x-l,2),且所以。力=4(x-l)-2x2=。，所以x=2,

所以〃=(1,2),。-〃=(4,-2)-(1,2)=(3,-4),所以4-4=/2+(-4)2=5.

故选：D.

6.(2023•山东潍坊・三模)已知平面向量〃与b的夹角是60。，且同=2/=(1,2),则()

A.8+2不B.4-石C.8-5/5D.4+26

【答案】C

【分析】利用模的公式可得到忖=不，然后利用数量积的运算津即可得到答案

【详解】由匕=。,2)可得忖-6,

因为平面向量〃与〃的夹角是60。，且同=2,

所以a・(2a_b)=2,|-«-/?=2|t/|-1«|•|/?|cos60°=8->/5

故选：C

7.(2023•人大附中校考三模)已知向量。=(l,2)〃=(3x),a与〃+力共线，则〃卜()

A.6B.20C.2后D.5

【答案】C

【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.

【详解】由题意知，£+5=(4,2+x)

又“〃(.+〃)，所以lx(2+x)=2x4,所以《=6,

所以力=(3,6),所以a-〃=(-2,-4),

所以|〃-勿="(-2)2+(-4)2=2后.

故选：C

8.(2023•浙江•校联考模拟预测)已知单位向量。也。满足.+力+c=0,其中c=(l,。)，则加+。在c上的投

影向量是()

(3⑸C⑸(3Q(3

A.B.C.-,0D.--,0

I22J(22JU)\2)

【答案】D

【分析】根据投影向量的计算公式求值即可.

【详解】因为单位向量满足a+〃+c=0,

所以-c=a+/?=>（-<?）=[7+力）=a'+2ab+b=\=>ab=~~,

由投影向量计算公式可知2a+A在c上的投影向量是|2a+4cosW+"c）卡，

C

^（2t7+Z?）xc=（2a-3ab-b\xc

H-

故卜2苏一3aZ?_b]xc=—|c，而@=（1,0）,故一1去°）・

故选：D

9.（2023•浙江宁波・镇海中学校考模拟预测）已知同=2,忖=1,卜-2可=26，则向量Q在向量力方向上

的投影向量为（）

A.bB.-bC.也bD.-y/3b

【答案】B

【分析】先求出两个向量的数量积，再根据公式可求投影向量.

【详解】因为卜-2+2技故青-1因+4贬=12,

/、

故”6=-1,而向量。在向量力方向上的投影向量为ldxrr-^jr\=TTh=~b^

I同叫WH

故选：B.

10.（2023春.海南•高三海南中学校考阶段练习）已知向量满足|a|=2,|力|=5,且。与。夹角的余弦值为

则（。+助）・（3a-〃卜（）

A.-28B.-18C.12D.72

【答案】A

【分析】运用平面向量的数量积运算可求得结果.

【详解】因为|a|=2,出卜5,且。与方夹角的余弦值为

所以（a+2Z2）-（3a-Z?）=3W'+5a/-2W2=3x22+5x2x5x1-2x52=-28.

故选：A.

11.（2023・重庆•校联考三模）在△A3C中，A8MC=2，|罔=1且点。满足A/）=DC,则网=（）

3

A.x/5B.76C.GD.

2

【答案】D

【分析】根据向量线性运算和题干条件得到A/+AC?=5,从而得到,耳=|.

【详解】由题意得A8-AC=CB，AB2-2ABAC+AC2=CB2=\

故A6?+AC?=1+2A6AC=5，

因为点D满足8£>=DC,所以AQ=T(AB+AC),

平方得府=；(府+24840+4dx(5+4)=',

故回喝.

故选：D

12.(2023・河南♦校联考模拟预测)已知向量”，A满足何=3,恸=8,^a-b=7,则()

A.-24B.-12C.12D.24

【答案】C

【分析】根据数量积的运算律即可求解.

2

【详解】由=—a2--ab+b'=25--«-/?+64=49»

3933

所以a6=12.

故选：C.

13.(2023・辽宁•校联考二模)已知向量〃=(-2,1),》=(〃?,2),卜+力卜卜-则实数m的值为().

A.—1B.—C.!D.1

22

【答案】D

【分析】先求得〃+力,”0的坐标，再由卜+小卜-同求解.

【详解】解：因为向量d=(-2,1),。=(〃?,2),

所以〃+方=(-2+/〃,3),〃一力=(-2-777,-1),

又因为卜+同,

所以卜2+/行+32=,

解得〃?=1,

故选：D

14.（2023•全国•校联考模拟预测）若平面向量”，人满足|a|=0|〃|,且24+加〃与》垂直，则a与A的夹

角为（）

37r-2兀一冗

A.—B.—C.—D.一

4334

【答案】B

【分析】利用垂直的向量表示求出〃力的表达式，再利用向量夹角公式求解作答.

【详解】因为2a+与b垂直，贝！I（2a+,/?=。，即2〃力+J^〃~=0，化简得〃,力,

0..…2兀

而|a|=J5|〃|.则cu：；g，=""二2=1.又〈4力€[0.冗],有（a.b）=F，

''\a\\b\V2IM22

所以〃与6的夹角为弓.

故选：B

15.（2023・甘肃•模拟预测）平行四边形ABC。中，A8=5,AD=3,ACBD=O,则AC•g等于（

A.-8B.-4C.4D.8

【答案】A

【分析】利用转化基底的方法进行平面向量数量积的运算即可求解.

【详解】由题意知平行四边形A8C。中，AB=5tAD=3f

得40.30=40.：皿=；心+码（"）一必=1,0『—网）=3（9一25）=-8,

故选：A.

16.（2023•江西上饶♦校联考模拟预测）在矩形48co中，AB=2,BC=0P为A3边的中点，则CP.8。

（）

A.-1B.4C.1D.G

【答案】A

【分析】利用向量月用4。表示。2.8。，结合数量积的定义求CP®）.

【详解】由已知CP=CB+/3P=-AQ—；A4,BD=AD-AB^

又网=2,回=6版明=0

所以CP8O=(-40—JA8)(AO-A8)=-AOA£)+；A8A8=-3+2=T.

所以CP3£>=-1.

故选：A.

!?

17.(2023・全国•高三专题练习)已知向量/〃=(1,幻,〃=(2。-1,3)0>0,〃>0),若〃?.〃=1，则一+工的最小值

ab

为()

A.7B.-+2^

2

C.7+4⑺D.4石

【答案】B

【分析】由数量积的运算公式求得〃=化简，+?=《〃+》)(，+5=:+2+半+2,结合基本不等

2abLab2ab

式，即可求解.

【详解】因为向量〃?=(1,。),n=(26-l,3)(a>0,〃>0),

若=1,可得2Z?—l+3a=l,即5〃+。=1,

12/3〜12、3b3。今、7,lb3a7.

贝m!iJl-+―=(―〃+/?)(—+—)=—+—+—+2>—4-2./--------=—+2\j3,

ab2ablab2\ab2

当且仅当2=半时，即8=6=4-20时，等号成立，

ab

所以的最小值为q+26.

ab2

故选：B.

二、多选题

18.（2023•广东梅州.大埔县虎山中学校考模拟预测）已知平面向量。=。,1）,〃=（-3,4）,则下列说法正确

的是（）

A.cos(a,b)=

10

在。方向上的投影向量为它“

B.

2

C.与少垂直的单位向量的坐标为

D.若向量4+劝与非零向量4-动共线，则2=0

【答案】AD

【分析】本题考查了平面向量的坐标运算，主要考查了两向量的夹角、投影向量、向量的平行与垂直的基

本知识，一一验证即可.

【详解】由题意知|a|=3,IM=5,G〃=_3+4=1,

则85〈〃力〉=金二=噂，因此A正确；

1411blI。

。在a方向上的投影向量为

|〃|cos〈a为〉•三=学•三因此B错误；

\a\\a\\a\\a\~2

与〃垂直的单位向量的坐标为

(匐或因此C错误：

因为a+Ab=(1-32,1+42),a—Xb=(I+341-42),

若向量"仍与向量〃-e共线，M(1-32)(1-4Z)=(1+32)(1+4A),

解得2=0,因此D正确.

故选：AD.

19.(2023•广东广州•统考三模〉己知向星〃=(1,2),1=(-2,1),则()

A.(a-力_L(a+))B.(a-b)//(a+b)

C.\a-b\=\a+b\D./?-a在a上的投影向量是a

【答案】AC

【分析】根据a-/,与〃+/，的数量积为。可得A正确；根据向量平行的坐标表示可得B错误；根据模长公式

可得C正确；求出投影向量可得D错误.

【详解】因为)=(3,1),«+/?=(-1,3),

所以(a-〃)(a+〃)=3x(-1)+lx3=O,(a-b)L(a+b)t故A正确;

因为3x3-lx(-|)=10w0,故B错误；

|«-/?|=710,|a+〃|=M,故C正确；

因为』=（-3,-1）在〃上的投影向量是气产乂言=*力…，故D错误.

故选：AC.

20.（2023・湖南•校联考二模）已知向量a=（2,-1）,〃//〃，忖=2口，c=（l,2）,则（）

A.aLcB.“卜卜|C./?=（4,—2）D.b=a+c

【答案】AB

【分析】A选项根据向量的数量积运算判断；

B选项根据模长公式计算；

C选项利用向量共线的关系结合模长公式计算；

D选项根据向量的加法进行判断.

【详解】因为»=（2,-1）（1,2）=0,所以a_Lc，则A正确；

p|=|c|=x/5,则B正确；

因为a〃b,所以设8=勘=/1（2,-1）=（2九T）,因为卜卜2口二26,

所以424）2+（_几）2=2石,解得2=±2,所以〃=（4,-2）或h=（Y,2）,故C错误；

〃+c=（3,l）",故D错误.

故选：AB

21.（2023•山东滨州・统考二模）已知向量。=（1,刈，〃=（2,-4）,则下列说法正确的是（）

A.若1£+方卜JT6,则〃?=5B.若万〃6,则”?=一2

C.若〃工〃，贝=D.若，〃=1,则向量〃，人的夹角为钝角

【答案】BD

【分析】由向量模的计算公式判断A;由共线向量的坐标运算判断B;由向量垂直时数量积为。判断C；

由向量的数量积判断D.

【详解】解：对于A,因为a=（L⑼，=（2,-4）,所以。+/?=（3,小一4）,|«+/?|=^9+（/n-4）2=V10,

解得〃?=5或小=3,故A错误；

对于B,因为。〃〃，所以2〃?=-4,解得〃?=一2,故B正确；

11

对于C,因为所以4r力=2-4〃?=0，解得〃?=5，故C错误；

对于D,当〃7=1时，«=（U）,1/；=2-4=-2<0，又因为此时a,匕不共线，所以向量a,b的夹角为钝

角，故D正确.

故选：BD.

22.（2023・全国•高三专题练习）已知向量）=（2,1）,忖=2可，且“上”，则（）

A.（2,-4）B.（-2,7）C.（-2,4）D.（2,4）

【答案】AC

【分析】设〃的坐标，利用向量模的坐标公式及a_Lb关系，建立方程组解出来即可.

【详解】设b=",y）,

因为耳=24，a_Lb,

b2=4a2x2+y2=20

所以=>

ab=02x+y=0，

d，x=24[%=-2

解得/或一

y=-4[y=4

故〃=（2,T）或力=（-2,4）,

故选：AC.

23.（2023•全国•模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（）

A.若〃〃人，b//c»则a〃cB.若a与共线且模长相等，则〃=

C.若卜卜M且a与b方向相同，则D.（24卜〃=2（4引=（血》4恒成立

【答案】ABC

【分析】取8=0,可判断A选项；利用平面向量的概念可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选

项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.

【详解】对于A选项，取。=0，因为alb，b“c，则a、c不一定共线，A错；

对于B选项，若a与〃共线且模长相等，贝Ua=〃或4=-0,B错；

对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；

对于D选项，=动）•。恒成立，D对.

故选：ABC.

三、填空题

24.(2023・四川成都・树德中学校考模拟预测)已知向量a=(f-2,3),〃=(3,-l),且(。+2力)〃〃，则同=

【答案】3痴

【分析】利用向量共线的坐标运算即可求出结果.

【详解】因为4一0一2,3),b-(3.1),所以a+2Z>=(/+4,1),又(a[2b)〃b,

所以(r+4)x(T)-3xl=0,解得仁-7,所以d=(-9,3),故同=3亚.

故答案为：3加.

25.(2023•四川巴中•南江中学校考模拟预测)已知向量。=(1,2)/=(-2,3),若(妨+〃)_L(a-b),则女=

【答案】一

4

【分析】由数量积等于0并结合数量积的坐标运算公式即可求解.

【详解】由题意可得如+〃=(攵—2,2&+3)M-〃=(3,-1),

因为(妨+，

则(妨+到仅-6)=3("2)-侬+3)=0,解得2=9.

故答案为：

4

26.(2023•河南濮阳・濮阳一高校考模拟预测)若同=1,卜卜2,8)，则,+陷=.

【答案】瓜

【分析】根据给定条件，求出再利用数量积的运算律求解作答.

【详解】因为卜卜1,，』=2,a_L(a—2Z>),则〃.(〃—2/>)=J—2a/=1—2a-〃=0，解得。。〃二弓，

所以k+0=\[(a+b)2=\ja~+b+2ab=+2?+2xg=>/6.

故答案为：x/6

27.(2023・全国•高三专题练习)已知向量a，〃满足。二8=2,若a_L(a+2/)),则cos<0,«+2"=

【答案】昱

2

【分析】根据平面向量垂直的向量表示以及平面向量的夹角公式可求出结果.

【详解】由可知人(〃+20)=0,即忖2+2〃/=0,可得a.〃=—2,

又人(〃+2〃)=〃2+2卅=6,\a+2Z?|=+4|Z?|2+4ab=V4+16-8=2^,

b\a+2b)673

故cos<"〃+劝>=FFa+2旷2x26-2

故答案为：f

28.(2023・江西・统考模拟预测)已知单位向量〃满足囚-可=2卜|,则小力=

【答案】7

4

【分析】将|2。-田=2忖两边平方，根据数量积的运算律计算可得.

【详解】因为a,b为单位向量且满足囚-*2忖，

222

所以(2a-b『=4〃，BP4a-4ab+b=4bf

即4同2-44/+k|=4|/?|,解得

故答案为：7

4

29.(2023•全国•高三专题练习)已知非零向量〃，〃的夹角为60°,何=1,a(a-2b)=-\,则(a+2b)-〃=

【答案】9

【分析】根据数量积的定义结合数量积的运算律，即可求得答案.

【详解】由忖=1及a,〃夹角为60。可知〃/=WWCOS6()O=；M，

又s(a-2b)=,『一2。力=1一恸=一1,解得忖=2,贝!|〃.方=1,

故(a+26)•力三a•人+21(=1+8—9,

故答案为：9

30.(2023・全国•高三专题练习)已知向量a,匕满足。=(-2.4),白山=—5,则。在。上的投影向戢。=.

【答案】c

【分析】根据力在。上的投影向量3=l'lcos。•工即可求解.

【详解】设a与力的夹角为6,〃在•上的投影向量

,.naa-5a-5a1（1/

c=\b\cos0--=\a\\b\conO—^=—^=——=——=--a=\-,-l.

I«|I"|a|2（一2）2+42412J

故答案为：偿,-1.

31.（2023.陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形瓦6〃中，归尸一训=2,则HG/"=

【答案】-2

【分析】根据菱形对角线互相垂直，结合平面向量数量积公式求出答案.

【详解】设EG与五〃交于。，则EG_L"7且。是线段产〃的中点，

:]HF\=\EF-EH\=2t由平面向量数量积的几何意义知，

HGFH=-HGHF=-\HG\\HF，\COSZFHG=-\HF-\HO\=--\HF^=-2.

2

故答案为：-2

32.（2023•陕西西安•校考模拟预测）若平面四边形ABCD满足"+CQ=0,（钻-AO）-4C=0,则该四边

形一定是.

【答案】菱形

【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0知对角线互相垂直可知为菱形.

【详解】.AB+CD=0f:.AB=DC,

所以四边形ABCD为平行四边形，

.（AB-AD）AC=09:.DBAC=0f

所以DB垂直AC,所以四边形ABCD为菱形.

故答案为：菱形.

33.（2023•浙江温州•统考三模）在平行四边形A8CD中，若A8=[1,3）,AC=（2,4）,则.

【答案】4

【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AO,然后由数量积的坐标表示可解.

【详解】因为四边形ABCD为平行四边形,

所以AO=AC-AB

又A8=（1,3）,AC=（2,4）

所以45=（2,4）-（1,3）=（1,1）

所以AB/O=lxl+3x|=4

故答案为：4

【B组在综合中考查能力】

一、单选题

1.（2023•山西朔州•怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知菱形AAC。的边长为2,且方，则

（AB+AC）MQ的值为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】根据向量的数量积公式及运算律，结合菱形图形特征，计算求解可得.

【详解】由条件可知/加。=],所以/A8C=寺，

在木。中，由余弦定理4c2=4+4-2x2x2xcos与=12,可得,4=2后，

=f,菱形ABC。的对角线互相垂直，则向量4。与向量AZ）的夹角为

3o

iiuauuu.uunULUuuuuuuuun兀H

则（A3+AC）・AO=AO+4CAO=2x2xcos—+2x2>/5xcos—=8.

''36

故选：D.

2.（2023•河南郑州•三模）若向量。、〃满足卜|=忖=,+叶，则向量力与向量的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【分析】已知式平方得=平方求得卜-〃|=6卜|，两种方法计算岳3-0）后可得结论.

【详解】[4第=|£+1,所以,+4=（a+〃）2Td+2a/+/d=1『，又〃3=WWcos卜力），所以

4.=一；忖，，

a-b=y](a-b)'-2«•Z?+|ft|=6”,

b.(a-b)=ba-bcos(b,a-b^=cos,

yih(a-b)=ha-h'=--^|«|=--|p,

所以忖9

6cos^,a-Z>^=-^p|,cos^b9a-b^=~~~

又0。4p,a—94180。，所以("a—b)=150。,

故选：D.

3.（2023・湖北•校联考三模）正/8C的边长为2,BM=2MC，则AB・AM=（）

A.2B.-C.-D.—

333

【答案】C

【分析】根据6M=2MC，表示出向量3C，再利用向量基本运算法则表示出向量八何，再利用向量额数量

积运算即可.

【详解】设A8=a,4C=力，如图所示:

所以4历=A8+|BC=AB+g(AC-A8)=a+gs-a)=史券

。+2力a2+2a-b

/.AB-AM=a-—3-

4+2x2x2xcos6008

33

故选：C.

4.（2023•全国•高三专题练习）如图所示，边长为2的正三角形/WC中，BD=BA+^AC,AE=AC+^CB,

则（）

c

E

DK\

AL

A.-IB.-2C.1D.2

【答案】D

【分析】由8O=8A+(AC,AE=AC+：C8,用A8,AC表示。石，然后利用数量积的运算律和定义求解.

JJ

【详解】解：因为8。=m+京。，AE=AC+^CBt

所以DE=AE-AD=AE-AB-BD，

=AC+-CB-AB-BA--AC,

33

=-AB+-AC

33f

所以OE.4»=+

1.0I

=-AB+-ACAB

33f

=：4/+44•网.cos60=2,

故选：D

5.(2023・湖北武汉・统考三模)已知力=(1,2),〃为单位向量，若〃电+卜小卜卜。，贝力=()

fx/52石1(62石］

A-y—B-——

z\/

CD.I--—

\/\/

【答案】D

1

【分析】根据题意结合数量积的定义分析可得反向，进而可得〃=一6，运算求解即可.

【详解】由题意可得：«-Z?+1«|-|z^=p/|­|z?|cos(a,+1«|•|/?|=|«|*|z>|(cos+1j<0,

因为a，W£(),则cos(a,/»+lKO,即cos(a,〃)K-1,

可得cos（a,〃）=_l,且可，

则〈0@=兀,即反向，

fa1r>/5rf>/52石］

可得歹"十与’一号

故选：D.

6.（2023春•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）从蛇中,\AB+AC\=2\AB-AC\，则sinA

的最大值为（）

A-B.逑C.±D.巫

5555

【答案】C

【分析】由|A8+4Cl=2|A8—ACI，两边|AB+AC『=4|AB—AC/，整理得到

\0\AB\\AC\cosA=3\AB\2+3|/4C|2,结合基本不等式进而得到cosA的最小值，再利用平方关系求解.

【详解】解：^\AB+AC\=2\AB-AC\»

两边同时平方得IA8+AC『=41AB-AC『，

展开整理得10A8-AC=3|A8『+3|AC|2,

即10|4BHAC|COSA=3|A8『+3|4C|2,

31ABi2+3|ACT6.|制时3

,"A-］0•网.|AC|-10.|AB|-|AC|-5）

当且仅当IAB|=|ACI时等号成立.

3

又sin?A+cos2A=1且siiiA>0,「.cosA=g时，

4

所以sinA取最大值

故选：C

7.（2023・四川成都•石室中学校考模拟预测）若〃工均为单位向量，且,=则k的值可能是（）

A.-2