山东省青岛市青岛大学附属中学2020-2021学年八下期末数学试题（解析版）

2020-2021学年度第二学期期末质量检测八年级数学试题（满分：120分时间：120分钟）一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1.以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出答案．【详解】解：A、此图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、此图形是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．

故选：C．【点睛】此题主要考查了中心对称图形的定义，关键是找出图形的对称中心．2.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A.ABC的三条中线的交点B.ABC三边的垂直平分线的交点C.ABC三条角平分线的交点D.ABC三条高所在直线的交点【答案】C【解析】【分析】直接根据角平分线的性质即可得出结论．【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点．故选：C．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上点到角两边的距离相等时解题的关键．3.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分得出不等式组的解集，根据解集在数轴上表示方法即可得答案．【详解】，解不等式①得：x＞-2，解不等式②得：x≤2，∴不等式的解集为-2＜x≤2，∴不等式组的解集在数轴上表示如下：故选：B．【点睛】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，正确得出各不等式的解集，熟练掌握解集的表示方法是解题关键．注意：表示解集时，带等号的要用实心点表示，不带等号的用空心点表示．4.如图，的顶点坐标为，，，若将绕点按顺时针方向旋转90°，再向左平移2个单位长度，得到，则点的对应点的坐标是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出旋转平移后的图形即可解决问题．【详解】解：旋转，平移后的图形如图所示，，故选：A【点睛】本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．5.如图，在中，，点，分别是，上的点，，，点，，分别是，，的中点，则的长为（）．A.4 B.10 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到PD=BF=6，PD∥BC，根据平行线的性质得到∠PDA=∠CBA，同理得到∠PDQ=90°，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵点P，D分别是AF，AB的中点，∴PD=BF=6，PD//BC，∴∠PDA=∠CBA，同理，QD=AE=8，∠QDB=∠CAB，∴∠PDA+∠QDB=90°，即∠PDQ=90°，∴PQ==10，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．6.如图，在平行四边形中，于点，把以点为中心顺时针旋转一定角度后，得到，已知点在上，连接．若，，则的大小为（）A.140° B.155° C.145° D.135°【答案】C【解析】【分析】根据题意求出∠ADF，根据平行四边形的性质求出∠ABC、∠BAE，根据旋转变换的性质、结合图形计算即可．【详解】解：∵∠ADC=70°，∠CDF=15°，∴∠ADF=55°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=70°，AD∥BC，∴∠BFD=125°，∵AE⊥BC，∴∠BAE=20°，由旋转变换的性质可知，∠BFG=∠BAE=20°，∴∠DFG=∠DFB+∠BFG=145°，故选：C．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、旋转变换的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．7.如图，在中，，，平分，交于点，于点，有下列结论：①；②点在线段的垂直平分线上；③；④．其中，正确的结论有（）．A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【分析】首先求出∠C=30°，∠ABC=60°，再根据角平分线的定义，直角三角形30°角的性质，线段的垂直平分线的定义一一判断即可．【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，∴∠C=30°，∠ABC=60°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=30°，∴∠EBC=∠C，∴EB=EC，∴ACBE=ACEC=AE，故①正确，∵EB=EC，∴点E在线段BC垂直平分线上，故②正确，∵AD⊥BE，∴∠BAD=60°，∵∠BAE=90°，∴∠EAD=30°，∴∠EAD=∠C，故④正确，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴AB=2AD，∵∠BAC=90°，∠C=30°，∴BC=2AB=4AD，故③正确，故选：D．【点睛】本题考查角平分线的性质，线段的垂直平分线的定义，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8.如图，直线与分别交轴于点，，则不等式的解集为（）．A. B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】观察图象，可知当x＜0.5时，y=kx+b＞0，y=mx+n＜0；当0.5＜x＜2时，y=kx+b＜0，y=mx+n＜0；当x＞2时，y=kx+b＜0，y=mx+n＞0，二者相乘为正的范围是本题的解集．【详解】解：由图象可得，当x＞2时，（kx+b）＜0，（mx+n）＞0，则（kx+b）（mx+n）＜0，故A错误；当0＜x＜2时，kx+b＜0，mx+n＜0，（kx+b）（mx+n）＞0，但是没有包含所有使得（kx+b）（mx+n）＞0的解集，故B错误；当时，kx+b＜0，mx+n＜0，故（kx+b）（mx+n）＞0，且除此范围之外都不能使得（kx+b）（mx+n）＞0，故C正确；当x＜0.5时，y=kx+b＞0，y=mx+n＜0；当x＞2时，y=kx+b＜0，y=mx+n＞0，则（kx+b）（mx+n）＜0，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了利用函数图象来解一元一次不等式，数形结合是解答本题的关键．二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）9.若分式的值为零，则x的值为_____．【答案】1【解析】【分析】由题意直接根据分式的值为零时分子等于零，分母不等于零进行分析计算即可．【详解】解：因为分式的值为零，所以，解得：.故答案为：1.【点睛】本题考查分式的值为零的条件．注意掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件分子为0，分母不为0．10.当时，分式的值为________．【答案】2025【解析】【分析】把分式化简为，然后把b的值代入计算即可．【详解】解：∵，当时，原式＝2021+4＝2025．故答案为：2025【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握利用平方差公式对分式进行化简是解题的关键．11.崂山区某自行车店，新进单价为1200元的自行车，标价为每辆1680元．五一期间，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%，则最多可以打折．【答案】7.5．【解析】【分析】设打x折，根据利润率不低于5%，列出不等式，然后求解即可得出答案．【详解】解：设打x折，根据题意得：，解得：，则最多可打7.5折．故答案为：7.5．【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出不等关系式即可求解．12.用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．图中，____度．【答案】36°.【解析】【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．【详解】，是等腰三角形，度．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．解题关键在于知道n边形的内角和为：180°（n﹣2）．13.若不等式组无解，则m的取值范围是_____．【答案】m＜【解析】【分析】先解原不等式组，再根据大大小小取不了的口决可得到m的取值范围.【详解】解：解不等式组可得，因为不等式组无解，所以m＜．【点睛】本题考查了一元一次不等式组，掌握不等式组的解法是解题关键.14.关于x的方程有增根，则m的值为_____【答案】-1【解析】【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．【详解】方程两边都乘（x−3），得2−x−m＝2（x−3）∵原方程增根为x＝3，∴把x＝3代入整式方程，得2−3−m＝0，解得m＝−1．故答案为−1．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．15.如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为________．

【答案】140°【解析】【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OB，根据等边对等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB＝OC，再根据等边对等角求出∠OCB＝∠OBC，根据翻折的性质可得OE＝CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．【详解】解：如图：连接OB、OC，

∵∠BAC＝70°，AO为∠BAC的平分线，

∴∠BAO＝∠BAC＝×70°＝35°，

又∵AB＝AC，

∴∠ABC＝（180°−∠BAC）＝（180°−70°）＝55°，

∵DO是AB的垂直平分线，

∴OA＝OB，

∴∠ABO＝∠BAO＝35°，

∴∠OBC＝∠ABC−∠ABO＝55°−35°＝20°，

∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，

∴OB＝OC，

∴点O在BC的垂直平分线上，

又∵DO是AB的垂直平分线，

∴点O是△ABC的外心，

∴∠OCB＝∠OBC＝20°，

∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，

∴OE＝CE，

∴∠COE＝∠OCB＝20°，

在△OCE中，∠OEC＝180°−∠COE−∠OCB＝180°−20°−20°＝140°，

故答案为：140°．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．16.如图1，是边长为2等边三角形；如图2，取的中点，画等边，连接；如图3，取的中点，画等边，连接；如图4，取的中点，画等边，连接，则的长为________．按照此规律一直画下去，则的长为________（用含的式子表示）．……【答案】①.②.【解析】【分析】过点C2作C2D⊥B1B2于点D，根据锐角三角函数的定义得出B1D的长，进而得出B1B2的长，同理可得出B2B3的长，找出规律即可得出结论．【详解】解：如图（2），过点C2作C2D⊥B1B2于点D，∵△AB1C1是边长为1的等边三角形，C2是AB1的中点，∴B1C2=B2C2=．∵△AB2C2是等边三角形，∴∠B1C2B2=120°，B1C2=B2C2，∴∠DB1C1=∠DB2C2=30°，∴B1D=B1C2•cos30°=×=，∴B1B2=2B1D=，同理可得，B2B3=，B3B4=…，∴BnBn+1=．故答案为：，．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，求出B1B2的长，找出规律是解答此题的关键．三、作图题17.如图，及上一点．求作：点，使得，且点到两边的距离相等．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）【答案】见解析【解析】【分析】过点A作AP⊥ON，再作∠MON的平分线，两者交点即为点P.【详解】解：如图所示，点即为所求．【点睛】本题主要考查了复杂作图，关键是掌握角平分线的作法和过一点作已知直线垂线的方法．四、解答题（本大题共有7小题，共68分）18.计算题（1）因式分解：．（2）因式分解：．（3）解不等式组：（4）解方程：．【答案】（1）；（2）；（3）不等式组解集为：；（4）方程的解为：．【解析】【分析】（1）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可；（2）先将式子变形，然后提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可；（3）分别求出不等式组中两个不等式的解集，然后整理即可得；（4）去分母化为一元一次方程，求解，然后检验即可得出．【详解】解：（1），；（2），，；（3），解不等式①可得：，解不等式②可得：，∴不等式组的解集为：；（4），，去分母得：，解得：，检验，当时，，∴方程的解为：．【点睛】题目主要考查因式分解的方法：提公因式法和公式法，解不等式组，解分式方程等，熟练掌握各求解方法是解题关键．19.先化简代数式，再从－2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．【答案】，2【解析】【详解】试题分析：首先将括号里面的进行通分，然后将除法改成乘法进行分式的化简，选择a的值时，不能使原分式没有意义，即a不能取2和－2.试题解析：原式=·=当a=0时，原式==2.考点：分式的化简求值.20.某水果店第一次用1200元购进一批大樱桃，很快售完；又用2500元购进第二批大樱桃，所购公斤数是第一批的2倍，但进价比第一批每公斤多了5元．（1）求第一批大樱桃每公斤进价多少元？（2）若以每公斤150元的价格销售第二批大樱桃，售出后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批大樱桃的销售利润不少于320元，剩余的大樱桃每公斤售价至少打几折（利润=售价-进价）？【答案】（1）第一批大樱桃每公斤进价为120元；（2）剩余大樱桃每公斤售价最少打7折【解析】【分析】(1)设第一批大樱桃每公斤进价元，根据大樱桃的进价保持不变，列出分式方程求解即可得到答案；(2)设剩余的大樱桃每公斤售价打折，销售利润不少于320元列出不等式，求解即可得到答案；【详解】（1）设第一批大樱桃每公斤进价元，根据题意，得：解得．经检验，是原方程的解且符合题意．答：第一批大樱桃每公斤进价为120元．（2）设剩余的大樱桃每公斤售价打折．根据题意，得：解得：，答：剩余大樱桃每公斤售价最少打7折．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式的应用，能根据题目意思列出方程并正确求解是解题的关键．21.如图，已知，过A作于M，交于E，过C作于N，交于F，连接、．（1）求证：；（2）求证：四边形为平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质得AD=BC，AD∥BC，则可证明四边形AMCN为平行四边形得到CM=AN，从而得到BM=DN；（2）证明△BME≌△DNF得到EM=DF，再利用四边形AMCN为平行四边形得到AM=CN，AM∥CN，则AE=CF，从而可判定四边形AECF为平行四边形．【详解】解：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵AM⊥BC，CN⊥AD，∴AM∥CN，∴四边形AMCN为平行四边形，∴CM=AN，∴BC-CM=AD-AN，即BM=DN；（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵AM⊥BC，CN⊥AD，∴∠EMB=∠FND=90°，在△BME和△DNF中，，∴△BME≌△DNF（ASA），∴EM=NF，∵四边形AMCN为平行四边形，∴AM=CN，AM∥CN，∴AE=CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形．【点睛】本题考查了考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．22.为了抗击新冠疫情，全国人民众志成城，守望相助．某地一水果购销商安排15辆汽车装运，，这3种水果共120吨进行销售，所得利润全部捐给国家抗疫．已知15辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种水果，每种水果所用车辆均不少于3辆．汽车对不同水果的运载量和销售每吨水果获利情况如下表所示：水果品种汽车运载量（吨/辆）1086水果获利（元/吨）80012001000（1）设装运种水果的车辆数为辆，装运种水果的车辆数为辆①求与之间的函数关系式；②设计车辆的安排方案，并写出每种安排方案．（2）若原有获利不变的情况下，当地政府按每吨60元的标准实行运费补贴．该经销商打算将获利连同补贴全部捐出．问：哪种车辆安排方案可以使这次捐款数（元）最多？捐款数最多是多少？【答案】（1）①y=152x；②有四种方案：A、B、C三种的车辆数分别是：3辆、9辆、3辆；或4辆、7辆、4辆；或5辆、5辆、5辆；或6辆、3辆、6辆；（2）采用A、B、C三种的车辆数分别是：3辆、9辆、3辆；捐款数最多是134400元．【解析】【分析】（1）①等量关系为：车辆数之和=15，由此可得出x与y的关系式；②由题意，列出不等式组，求出x的取值范围，即可得到答案；（2）总利润为：装运A种水果的车辆数×10×800+装运B种水果的车辆数×8×1200+装运C种水果的车辆数×6×1000+运费补贴，然后按x的取值来判定．【详解】解：（1）①设装运A种水果的车辆数为x辆，装运B种水果车辆数为y辆，则装C种水果的车辆是（15-x-y）辆．则10x+8y+6（15-x-y）=120，即10x+8y+90-6x-6y=120，则y=15-2x；②根据题意得：，解得：3≤x≤6．则有四种方案：A、B、C三种的车辆数分别是：3辆、9辆、3辆；或4辆、7辆、4辆；或5辆、5辆、5辆；或6辆、3辆、6辆；（2）w=10×800x+8×1200（15-2x）+6×1000[15-x-（15-2x）]+120×50=5200x+150000，根据一次函数的性质，当x=3时，w有最大值，是5200×3+150000=134400（元）．应采用A、B、C三种的车辆数分别是：3辆、9辆、3辆．【点睛】本题考查了一次函数的应用及不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定x的范围，得到装在的几种方案是解决本题的关键．23.阅读探究小明遇到这样一个问题：在中，已知，，的长分别为，，，求的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即的3个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法，（1）图1中的面积为________．实践应用参考小明解决问题的方法，回答下列问题：（2）图2是一个的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为，，的格点．②的面积为________（写出计算过程）．拓展延伸（3）如图3，已知，以，为边向外作正方形和正方形，连接．若，，，则六边形的面积为________（在图4中构图并填空）．【答案】（1）；（2）①作图见详解；②8；（3）在网格中作图见详解；31．【解析】【分析】（1）根据网格可直接用割补法求解三角形的面积；（2）①利用勾股定理画出三边长分别为、、，然后依次连接即可；②根据①中图形，可直接利用割补法进行求解三角形的面积；（3）根据题意在网格中画出图形，然后在网格中作出，，进而可得，得出，进而利用割补法在网格中求解六边形的面积即可．【详解】解：（1）△ABC的面积为：，故答案：；（2）①作图如下（答案不唯一）：②的面积为：，故答案为：8；（3）在网格中作出，，在与中，，∴，∴，，六边形AQRDEF的面积=正方形PQAF的面积+正方形PRDE的面积+的面积，故答案为：31．【点睛】本题主要考查勾股定理、正方形的性质、割补法求解面积及二次根式的运算，熟练掌握勾股定理、正方形的性质、割补法求解面积及二次根式的运算是解题的关键．24.如图，在平行四边形中，，．．点在上由点向点出发，速度为每秒；点在边上，同时由点向点运动，速度为每秒．当点运动到点时，点，同时停止运动．连接，设运动时间为秒．（1）当为何值时，四边形为平行四边形？（2）设四边形面积为，求与之间的函数关系式．（3）当为何值时，四边形的面积是四边形的面积的四分之三？求出此时的度数．（4）连接，是否存在某一时刻，使为等腰三角形