北京房山区2020-2021学年八下期末数学试题（解析版）

北京市房山区2020-2021学年八年级下学期期末考试数学一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分），下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1.下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【1题答案】【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可．【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键．2.函数的自变量x的取值范围是（）A.x≠0 B.x≠1 C.x≥1 D.x≤1【2题答案】【答案】B【解析】【详解】根据题意若函数y=有意义，可得x-1≠0；解得x≠1；故选B3.在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【3题答案】【答案】A【解析】【分析】利用平面直角坐标系点对称性质求解，关于x轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数．【详解】解：∵点A的横坐标为1，∴点A关于x轴对称的点的横坐标是1，∵点A的纵坐标为2，∴点A关于y轴对称的点的纵坐标是-2，∴点A（1，2）关于x轴对称的点的坐标是．故选：A．【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律．4.五边形的内角和是()A.180° B.360° C.540° D.720°【4题答案】【答案】C【解析】【分析】根据n边形的内角和为：，且n为整数，求出五边形的内角和是多少度即可．【详解】解：五边形的内角和是：(5﹣2)×180°＝3×180°＝540°故选C．【点睛】此题主要考查了多边形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确n边形的内角和为：，且n为整数．5.方程的解为（）A.或 B.或 C. D.【5题答案】【答案】B【解析】【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：，

开方，得x-3=±1，

解得：x=4或x=2，

故选：B．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．6.某少年军校准备从甲、乙、丙三位同学中选拔一人参加全市射击比赛．在选拔比赛中，三个人10次射击成绩的统计结果如下表．同学最高水平/环平均数/环中位数/环方差甲108.38.51.5乙108.38.52.8丙108.38.53.2经比较，推荐甲参加比赛，理由是甲的（）A.最高水平较高 B.平均水平较高 C.成绩好的次数较多 D.射击技术稳定【6题答案】【答案】D【解析】【分析】由最高水平，平均数，中位数相同的情况下可比较方差大小取最小的最稳定即可．【详解】解：甲、乙、丙三位同学高水平环数相同，平均数相同，中位数相同，甲方差乙方差丙方差，∴甲射击技术在三人中最稳定，根据射击技术稳定推荐甲参加比赛．故选择D．【点睛】本题考查最高水平，平均数，中位数，方差，掌握最高水平，平均数，中位数，用方差进行决策是解题关键．7.某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（）A.（7+x）（5+x）×3=7×5 B.（7+x）（5+x）=3×7×5C.（7+2x）（5+2x）×3=7×5 D.（7+2x）（5+2x）=3×7×5【7题答案】【答案】D【解析】【分析】根据关键语句“矩形衬纸的面积为照片面积的3倍”列出方程求解即可．【详解】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，根据题意得：（7+2x）（5+2x）=3×7×5，

故选：D【点睛】找到题中的等量关系，根据两个矩形的面积3倍的关系得到方程，注意的是矩形的间距都为等量的，从而得到大矩形的长于宽，用未知数x的代数式表示，而列出方程，属于基础题．8.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．连接BE，若BE⊥AF，EF=2，，则的长为（）A. B. C. D.【8题答案】【答案】D【解析】【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可证，在中，由勾股定理可求，即可求解．【详解】解：四边形是平行四边形，，，平分，，，，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是：证明．二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）9.在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若DE=2，则BC=___．【9题答案】【答案】4【解析】【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴BC=2DE=4，

故答案为：4．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．10.小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示，根据图中的信息，成绩较稳定的是____．

【10题答案】【答案】小明【解析】【分析】观察图象可得：小明的成绩较集中，波动较小，即方差较小，故小明的成绩较为稳定．【详解】解：根据方差的意义知，波动越小，成绩越稳定，观察图象得：小明的成绩波动不大，小林的成绩波动较大，∴成绩较稳定的是小明，故答案为：小明．【点睛】此题主要考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．11.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．如果AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，这个条件可以是_______________．（写出一种情况即可）【11题答案】【答案】AB=CD或AD∥BC等，答案不唯一【解析】【详解】根据平行四边形判定方法添加即可，答案不唯一，例如AB=CD或AD∥BC等.12.一次函数y=kx+b（k≠0）的图象不经过第一象限，请你写出一组满足条件的，的值：______，_____．【12题答案】【答案】①.-1②.-2（答案不唯一）【解析】【分析】由一次函数y=kx+b（k≠0）的图象不经过第一象限，可得直线过第二、四象限或第二、三、四象限可知k，b的取值，即可写出．【详解】解：∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象不经过第一象限，直线过第二、四象限或第二、三、四象限，∴k＜0，b≤0，故k=-1，b=-2等（不唯一）．故答案为：-1，-2．【点睛】此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知一次函数的性质．13.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________．【13题答案】【答案】m＜9【解析】【分析】利用判别式的意义得到△=62-4×1×m＞0，然后解m的不等式即可．【详解】解：根据题意得△=62-4×1×m＞0，解得m＜9，故答案为：m＜9.【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．14.把代数式化为（x－m）2+k的形式，其中m，k为常数，则=______，=_____．【14题答案】【答案】①.1②.2【解析】【分析】完全平方公式：，结合所给的式子进行转化，即可得出结果．【详解】解：则，．故答案为：1；2．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解答关键是对完全平方公式的掌握与应用．15.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx和y＝﹣x+3的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式kx＜﹣x+3的解集是_____．【15题答案】【答案】x＜1【解析】【分析】写出直线y＝kx在直线y＝﹣x+3下方所对应的自变量的范围即可．【详解】观察图象即可得不等式kx<－x+3的解集是x＜1．【点睛】本题主要考查了一次函数的交点问题及一次函数与一元一次不等式之间的关系，会利用数形结合思想是解决本题的关键．16.已知一次函数与轴，轴分别交于点，点，若，则的值是_____________．【16题答案】【答案】2或-2【解析】【详解】一次函数y=kx+2(k≠0)与y轴的交点B的坐标为（0，2），所以OB=2，因OB=2OA，可得OA=1，当点A的坐标为（1，0）时，代入即可求得k=-2，当点A的坐标为（-1，0）时，代入即可求得k=2，所以k的值是2或-2．三、解答题（本题共9道小题，17题每小题5分，18题5分，19-24题每题6分，25题7分，共68分）17.解下列一元二次方程：（1）；（2）；（3）；（4）．【17题答案】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】（1）先移项，再开方，即可得出方程的解；（2）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出两个方程的解即可；（3）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出两个方程的解即可；（4）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出两个方程的解即可．【详解】解：（1）x2-16=0，x2=16，x=±4，即x1=4，x2=-4；（2）x2-3x=0，x（x-3）=0，x=0或x-3=0，解得：x1=0，x2=3；（3）x2-4x-5=0，（x-5）（x+1）=0，x-5=0或x+1=0，解得：x1=5，x2=-1；（4）3x2+5x-2=0，（3x-1）（x+2）=0，3x-1=0，x+2=0，解得：．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．18.有这样一个作图题目：画一个平行四边形ABCD，使AB＝3cm，BC＝2cm，AC＝4cm．下面是小红同学设计的尺规作图过程．作法：如图，①作线段AB＝3cm，②以A为圆心，4cm为半径作弧，以B为圆心，2cm为半径作弧，两弧交于点C；③再以C为圆心，3cm为半径作弧，以A为圆心，2cm为半径作弧，两弧交于点D；④连结AD，BC，CD．所以四边形ABCD即为所求作平行四边形．根据小红设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下列证明．证明：∵以A为圆心，4cm为半径作弧，以B为圆心，2cm为半径作弧，两弧交于点C，∴BC＝cm，AC＝cm．∵以C为圆心，3cm为半径作弧，以A为圆心，2cm为半径作弧，两弧交于点D，∴CD＝3cm．AD＝2cm．又∵AB＝3cm，∴AB＝CD，AD＝．∴四边形ABCD是平行四边形（）（填推理依据）．【18题答案】【答案】（1）见解析；（2）2，4，BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．【解析】【分析】（1）根据题干要求画出图形即可．（2）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可．【详解】解：（1）四边形ABCD即为所求．（2）∵以A为圆心，4cm为半径作弧，以B为圆心，2cm为半径作弧，两弧交于点C，∴BC＝2cm，AC＝4cm．∵以C为圆心，3cm为半径作弧，以A为圆心，2cm为半径作弧，两弧交于点D，∴CD＝3cm．AD＝2cm．又∵AB＝3cm，∴AB＝CD，AD＝BC．∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．故答案为：2，4，BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．【点睛】本题考查作图-复杂作图，作平行四边形，平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．19.一次函数与正比例函数的图像都经过点．（）分别求出这两个函数的解析式．（）求这两个函数图像与轴围成的三角形面积．【19题答案】【答案】（），；（）．【解析】【分析】（1）运用待定系数法分别求出两个函数的表达式；

（2）根据函数的解析式求出函数y=x-4与x轴的交点，又已知两图象都经过点（2，1），计算三角形的面积．【详解】解：（）当时，，∴，当时，，∴．（）令，则，∴与轴交点为，令，则，∴与交点为，又∵与轴交于原点，∴．20.关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）请你给出一个的值，并求出此时方程的根．【20题答案】【答案】（1）见解析；（2）（答案不唯一）．【解析】【分析】（1）求出，再根据根的判别式得出答案即可；

（2）取m=0，代入方程得出，再求出方程的解即可．【详解】（1）证明：∵∴无论取何值时，,∴原方程总有两个实数根（2）答案不唯一取m=0，方程为解得：【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解题的关键．21.一次函数y=kx+1（k≠0）的图象过点P（-3，2），与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求k的值及点A、B的坐标；（2）已知点C（-1，0），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．【21题答案】【答案】（1），与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，1）；（2）D（4，1）或D（2，-1）或D（-4，1）．【解析】【分析】（1）将P（3，2）代入y=kx+1可求出k的值，由一次函数解析式可得出答案．（2）分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质可得出点D的坐标．【详解】解：（1）将P（3，2）代入得：函数表达式：，令y=0，x=3，令x=0，y=1，∴与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，1）；（2）分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（4，1）；②AB为对角线时，点D的坐标为（4，1），③AC为对角线时，点D的坐标为（2，1）．综上所述，点D的坐标是（4，1）或（4，1）或（2，1）．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．22.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【22题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）在△CAD中，由中位线定理得到MN∥AD，且MN=AD，在Rt△ABC中，因为M是AC的中点，故BM=AC，即可得到结论；（2）由∠BAD=60°且AC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=AC=AM=MC，得到∠BMC=60°．由平行线性质得到∠NMC=∠DAC=30°，故∠BMN=90°，得到，再由MN=BM=1，得到BN的长．【详解】（1）在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，且MN=AD，在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM=AC，又∵AC=AD，∴MN=BM；（2）∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°．∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴，而由（1）知，MN=BM=AC=×2=1，∴BN=．23.阅读下列材料：为引导学生广泛阅读古今文学名著，某校开展了读书月活动.学生会随机调查了部分学生平均每周阅读时间的情况，整理并绘制了如下的统计图表：学生平均每周阅读时间频数分布表平均每周阅读时间x（时）频数频率0≤x＜2100.0252≤x＜4600.1504≤x＜6a0.2006≤x＜8110b8≤x＜101000.25010≤x＜12400.100合计4001.000学生平均每周阅读时间频数分布直方图请根据以上信息，解答下列问题：（1）在频数分布表中，a=，b=；（2）补全频数分布直方图；（3）如果该校有1600名学生，请你估计该校平均每周阅读时间不少于6小时的学生大约有人．【23题答案】【答案】（1）80，0.275；（2）补全频数分布直方图见解析；（3）1000．【解析】【分析】（1）求出样本容量，总人数乘以0.2即可得到a，110除以总人数即可得到b．（2）根据（1）中计算和表中信息画图．（3）用样本中百分比含量×该校总人数估计总体的方法求解．【详解】解：（1）0≤x＜2这组中频数为10，频率为0.025，∴样本容量为10÷0.025=400，∴a=400×0.2=80；∴b=110÷400=0.275，故答案为：80，0.275；（2）（3）抽样中平均每周阅读时间不少于6小时的学生大约有250人，占样本的百分比为∴该校有1600名学生平均每周阅读时间不少于6小时的学生大约有人故答案为：1000．【点睛】本题考查了频数分布直方图、频数分布表，用样本百分比含量估计总体中的数量，掌握频数分布直方图、频数分布表两图结合，用样本百分比含量估计总体中的数量是解题的关键．24.如图，正方形ABCD中，E对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线CB于点F．（1）若点F在线段BC上，如图1，①若∠BAE=α，直接写出∠BFE的大小（用含α的式子表示）；②写出EA与EF的数量关系并加以证明；（2）若点F在线段CB的延长线上，如图2，用等式表示线段BC，BE和BF的数量关系并加以证明．【24题答案】【答案】（1）①∠BFE=180°-α；②EA=EF；证明见解析；（2），证明见解析．【解析】【分析】（1）①由可知：，②由正方形的轴对称性可证得AE=CE，然后通过推导角得出，从而EF=EC，即可证明AE=EF；

（2）作EG⊥BD交BC于点G，证，得，从而，转化为BG与BE的数量关系解决问题．【详解】（1）①∵

∴∠AEF=90°，

∵正方形ABCD，

∴∠ABC=90°，

∴

∵∠BAE=α，

∴∠BFE=180°-α②EA=EF连接CE∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD,∠ADE=∠CDE,∴△ADE≌△CDE∴AE=CE∴△ABE≌△CBE∴∠BCE=∠BAE=α∵∠EFC=∠BCE=α∴EF=EC∴EA=EF（2）证明：如图，过点E作EG⊥EB，交BC于点G∵AE⊥FE∴∠AEB=∠FEG∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠EBG=45°∴∠EGB=45°∴∠ABE=∠EGB∴EB=EG∴△ABE≌△FGE∴FG=AB=BC∴FB=CG在Rt△BEG中，BG=BE∴BC-BF=BC-CG=BG=BE.即【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．25.定义：对于给定一次函数（a≠0），把形如的函数称为一次函数的衍生函数．

（1）已知函数，若点P（1，m），Q（-1，n）在这个一次函数的衍生函数图象上，则m=，n=．（2）已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（1，2），C（-3，2），D（-3，0），当函数（）的衍生函数的图象与矩形ABCD有两个交点时，直接写出的取值范围．（3）已知点E（0，），以OE为一