2024-2025学年高中数学第三章概率3.1.1随机事件的概率学案含解析新人教A版必修3

PAGE第三章概率3.1随机事务的概率3．1.1随机事务的概率[目标]1.了解随机事务发生的不确定性和频率的稳定性以及频率与概率的区分；2.通过实例，正确理解概率的意义，体会概率思想方法及应用价值．[重点]正确理解频率与概率的关系，以及概率在实际中的应用．[难点]概率的意义的正确理解及随机试验结果的随机性与规律性的关系．学问点一事务的分类[填一填]1．确定事务：在条件S下，肯定会发生的事务，叫做相对于条件S的必定事务，简称为必定事务；在条件S下，肯定不会发生的事务，叫做相对于条件S的不行能事务，简称为不行能事务．必定事务和不行能事务统称为相对于条件S的确定事务，简称为确定事务．2．随机事务：在条件S下可能发生也可能不发生的事务，叫做相对于条件S的随机事务，简称为随机事务．3．事务：确定事务和随机事务统称为事务，一般用大写字母A，B，C，…表示．[答一答]1．定义中的“条件S”是唯一的吗？提示：这里的S可以是一个条件，也可以是一组条件(可以理解为一个条件的集合)，此处的定义与初中教材中的定义(在肯定条件下)有所不同，新定义的表述更加简洁．2．指出下列事务是必定事务、不行能事务还是随机事务．(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．(3)若x∈R，则x2＋1≥1.(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.提示：由题意知：(1)(2)中事务可能发生，也可能不发生，所以是随机事务；(3)中事务肯定会发生，是必定事务；由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不行能小于2，所以(4)中事务不行能发生，是不行能事务．学问点二频率与概率[填一填]1．频率在相同条件S下重复n次试验，视察事务A是否出现，称n次试验中事务A出现的次数nA为事务A出现的频数，称事务A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事务A出现的频率，其取值范围是[0,1]．2．概率(1)定义：一般来说，随机事务A在每次试验中是否发生是不行预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事务A发生的频率会渐渐稳定在区间[0,1]中某个常数上．这个常数称为事务A的概率，记为P(A)，其取值范围是[0,1]．(2)求法：由于事务A发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率．[答一答]3．随机事务的频率具有相对的稳定性，在大量重复试验时，频率会在一个常数旁边摇摆．随机事务A在n次试验中发生了m次，则这个常数肯定就是eq\f(m,n)吗？提示：不肯定．当试验的次数n很大时，这个常数才近似地认为是eq\f(m,n).4．频率与试验次数有关吗？概率呢？提示：(1)频率是事务A发生的次数与试验总次数的比值，当然与试验次数有关．频率本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事务发生的频率会不同．(2)概率是一个确定的数，是客观存在的，与试验做没做、做多少次完全无关．比如，假如一个硬币是质地匀称的，则掷硬币一次出现正面朝上的概率是0.5，与做多少次试验无关．5．“小概率事务肯定不发生，也许率事务肯定发生”，这种说法对吗？提示：不对．小概率(接近0)事务很少发生，但不代表肯定不发生；也许率(接近1)事务常常发生，但不代表肯定发生．类型一事务的推断[例1]指出下列事务是必定事务、不行能事务还是随机事务：(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2)三角形的内角和为180°；(3)没有空气和水，人类可以生存下去；(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面对上；(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；(6)科学技术达到肯定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．[解](1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事务．(2)全部三角形的内角和均为180°，所以是必定事务．(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不行能事务．(4)同时抛掷两枚硬币一次，不肯定都是正面对上，所以是随机事务．(5)随意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事务．(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不行能事务．要推断事务是何种事务，首先要看清条件，因为三种事务都是相对于肯定条件而言的.其次再看它是肯定发生，还是不肯定发生，还是肯定不发生，肯定发生的是必定事务，不肯定发生的是随机事务，肯定不发生的是不行能事务.[变式训练1]下列事务中，随机事务的个数是(C)①某地1月1日刮西北风；②当x是实数时，x2≥0；③一个电影院某一天的上座率超过50%.A．0 B．1C．2 D．3解析：①③是随机事务，②是必定事务．类型二试验结果分析[例2]下列随机事务中，一次试验各指什么？试写出试验的全部结果．(1)抛掷两枚质地匀称的硬币多次；(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集．[解](1)一次试验是指“抛掷两枚质地匀称的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．[一题多变](1)在例2(2)中，从集合A中任取2个元素组成A的子集，有哪些？(2)在例2(2)中集合A换为A＝{a，b，c，d，e}，其他条件不变，则结果如何？[解](1)试验结果有6个：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}．(2)试验结果有10个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，c，d}，{a，c，e}，{a，d，e}，{b，c，d}，{b，c，e}，{c，d，e}，{b，d，e}．不重不漏地列举试验的全部可能结果的方法(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必需首先明确试验中的条件．(2)依据日常生活阅历，依据肯定的依次列举出全部可能的结果，可应用画树状图、列表等方法解决．[变式训练2]袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．(1)从中任取1球；(2)从中任取2球．解：(1)条件为：从袋中任取1球．结果为：红、白、黄、黑4种．(2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种．类型三用频率估计概率[例3]某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据.(1)计算并完成表格；(2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？(3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？[分析]先依据频率的定义求出各试验的频率，再由频率去估算概率．[解](1)(2)当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.(3)获得铅笔的概率约是0.7.

概率的确定方法(1)理论依据：频率在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事务的概率．(2)计算频率：频率＝eq\f(频数,试验次数).(3)用频率估计概率．[变式训练3](1)从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499依据用频率分布估计总体分布的原理，该自动包装的食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为0.25.解析：由频率估计概率，食盐质量在497.5g～501.5g之间的频率是eq\f(5,20)＝0.25，故所求概率约为0.25.(2)在一个不透亮的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发觉其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是16个．解析：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，∴摸到白球的频率为1－15%－45%＝40%，故口袋中白色球的个数可能是40×40%＝16个．1．有下列现象：①掷一枚硬币，出现正面对上；②实数的肯定值不小于零；③若a>b，则b<a.其中是随机现象的是(B)A．②B．①C．③D．②③解析：①掷一枚硬币，可能出现反面对上，所以①是随机现象，②③均为必定现象．故选B.2．下面的事务，是不行能事务的有(B)①在标准大气压下，水加热到80℃②a，b∈R，则ab＝ba；③一枚硬币连续掷两次，两次都出现正面对上．A．② B．①C．①② D．③解析：①在标准大气压下，水只有加热到100℃时才会沸腾，所以①是不行能事务；②是必定事务；③3．下列说法正确的是(C)A．任何事务的概率总是在(0,1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定解析：必定事务发生的概率为1，不行能事务发生概率为0，所以任何事务发生的概率总在[0,1]之间，故A错，B、D混淆了频率与概率的概念，故错误．4．玲玲和倩倩是一对好挚友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，假如落地后一正一反，就我去；假如落地后两个朝上的面一样，就你去！”你认为这个嬉戏公允吗？答：公允．解析：两枚硬币落地的结果有正反，反正，正正，反反，因此两种状况各占eq\f(1,2)，是公允的．5．某公司在过去几年内运用了某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的运用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：(1)将各组的频率填入表中；(2)依据上述统计结果，估计灯管运用寿命不足1500小时的概率．解：(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)样本中运用寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中运用寿命不足1500小时的频率是eq\f(600,1000)＝0.6，即灯管运用寿命不足1500小时的概率约为0.6.——本课须驾驭的两大问题1．概率的性质(1)必定事务的概率为1.(2)不行能事务的概率为0.(3)随机事务A的概率为0≤P(A)≤1.必定事务和不行能事务看作随机事务的两个极端情形．2．“频率”和“概率”的区分和联系(1)区分：频率反映的是某一随机事务出现的频繁程度