1.3 线段的垂直平分线第1课时（同步课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步课堂（北师大版）

北师大版数学八年级下册第1课时第一章三角形的证明3线段的垂直平分线学习目标1.学会综合法证明线段的垂直平分线的性质定理和判断定理.（重点）

2.通过探索、发现、猜测、证明等过程，发展学生的推理证明的能力、规范证明的书写格式.（难点）复习回顾1.全等的判定方法有：①SSS,②SAS,③ASA,④AAS,⑤

.HL2.下列判断一定正确的是（

）A.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等B.有一个角和一边对应相等的两个直角三角形全等C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D.有两边对应相等,且有一个角为30°的两个等腰三角形全等A一、创设情境，引入新知如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？ABC应建在C处.你能说说你的理由吗？二、自主合作，探究新知探究一：线段垂直平分线的性质定理我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.你能证明这一结论吗?已知：如图，AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意一点.求证：PA=PB．ACBPMN证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）；∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）．如果点P与点C重合，那么结论显然成立.二、自主合作，探究新知知识要点性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等．PAB∟温馨提示：这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.文字语言：符号语言：∵P在线段AB的垂直平分线上∴PA=PB例1：如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长为(

)A.6B.5C.4D.3二、自主合作，探究新知典型例题

B[解析]

∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB=PA.∵PA=5,∴PB=5.故选B.二、自主合作，探究新知探究二：线段垂直平分线的性质定理的逆定理逆命题：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．想一想：你能写出上面这个定理的逆命题吗？性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等．BPA已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．二、自主合作，探究新知证明：（方法一）过点P作已知线段AB的垂线PC，

∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL），∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．C性质定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．二、自主合作，探究新知ACBP.（方法二）把线段AB的中点记为C,连接PC.∵C为AB的中点，∴AC=BC.∵PA=PB,PC=PC，∴△APC≌△BPC(SSS)，∴∠PCA=∠PCB=90°，∴PC⊥AB，即P在AB的垂直平分线上.二、自主合作，探究新知判定定理：几何语言：ABP注意：这个结论经常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）的根据之一．知识要点到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.如图,∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).例2：如图所示，AC=AD，BC=BD，则(

)A.CD垂直平分线段AB

B.AB垂直平分线段CDC.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ACB二、自主合作，探究新知典型例题B解析:∵AC=AD,∴点A在线段CD的垂直平分线上.∵BC=BD,∴点B在线段CD的垂直平分线上,∴AB垂直平分线段CD.故选B.2.如图所示，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE.若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为 (

)A.8B.11C.16D.171.如图所示，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，则下列结论不一定成立的是(

)A.AB=AD B.CA平分∠BCDC.BC=CD D.AD=CD三、即学即练，应用知识DB三、即学即练，应用知识3.如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED=

cm；如果∠ECD=60°，那么∠EDC=

°．7604.如图所示，在△ABC中，点D在BC上，且BC=CD+AD，则点D在

的垂直平分线上.线段AB三、即学即练，应用知识5.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上的一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.求证:点E在AF的垂直平分线上.证明:∵E是BD的垂直平分线上一点,∴EB=ED,∴∠B=∠D.∵∠ACB=90°,∴∠A=90°-∠B,∠CFD=90°-∠D,∴∠CFD=∠A.又∵∠AFE=∠CFD,∴∠AFE=∠A,∴EF=EA,∴点E在AF的垂直平分线上.6.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.BAEDC三、即学即练，应用知识解：∵DE为AB的垂直平分线，

∴AE=BE.∵△BCE的周长等于50，∴BE+EC+BC=50，即AE+EC+BC=50，∴AC+BC=50.∵AC=27，

∴BC=23.四、课堂小结线段的垂直平分线性质定理判定定理线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等．到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.1.如图所示，在△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为 (

)A.40°B.50°C.80°D.100°2.如图所示，∠ACD=90°，∠D=15°，点B在AD的垂直平分线上，若AC=3，则BD的长为(

)A.3B.4C.5D.6五、当堂达标检测CD4.如图所示，在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以点A,C为圆心,大于AC的一半的长度为半径画弧,四弧交于两点M,N,作直线MN,交AC于点D,交BC于点E.已知∠C=32°,则∠BAE的度数为

.3.有下列说法:①若直线PE是线段AB的垂直平分线,则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB,EA=EB,则直线PE垂直平分线段AB;③若PA=PB,则P必是线段AB的垂直平分线上的点;④若EA=EB,则过点E的直线垂直平分线段AB.其中正确的是

.(填序号)五、当堂达标检测26°①②③5.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点.求证：PB=PC.

PBDCA五、当堂达标检测证明：∵AB=AC，∴A在线段BC的垂直平