高中数学选修2《导数在研究函数中的应用》课件

第一章导数及其应用本章内容1.1

变化率与导数1.2

导数的计算1.3

导数在研究函数中的应用1.4

生活中的优化问题举例1.5

定积分的概念1.6

微积分基本定理1.7

定积分的简单应用第一章小结1.3.1

函数的单调性与导数(第一课时)1.3.2

函数的极值与导数1.3.3

函数的最大(小)值与导数1.3.1

函数的单调性与导数(第二课时)1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数(第一课时)返回目录1.

函数的单调性与其导数有什么关系?2.

怎样用导数求函数的单调区间?学习要点xyoabcl1l2y=f(x)问题1:

如图,函数y

=

f(x)在区间(a,b)内,函数是增函数还是减函数?切线l1

的倾斜角是锐角还是钝角?这时函数的导数是正还是负?在区间(b,c)内呢?在区间(a,b)内,任一点的切线的斜率都为正,即在(a,b)内,f

(x)>0,这一段函数是增函数.在区间(b,c)内,任一点的切线的斜率都为负,即在(b,c)内,f

(x)<0,这一段函数是减函数.xyoabcl1l2y=f(x)问题1:

如图,函数y

=

f(x)在区间(a,b)内,函数是增函数还是减函数?切线l1

的倾斜角是锐角还是钝角?这时函数的导数是正还是负?在区间(b,c)内呢?一般地,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:

在某个区间(a,b)内,

如果f

(x)>0,

那么函数y=f

(x)在这个区间内单调递增;如果f

(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区域内单调递减.

例1.

已知导函数f

(x)的下列信息:当1<x<4时,f(x)>0;当x>4,或x<1时,f(x)<0;当x=4,或x=1时,f(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状.解:在区间(1,4)内,f

(x)>0,则在这区间内函数是增函数;在区间(-∞,1)与(4,+∞)内,则在(-∞,1)及(4,+∞)f

(x)<0,两区间内函数是减函数;当x=4,或x=1时,f(x)=0,曲线在这两点的切线平行于x

轴,这两点是曲线在那一段的顶点.xyo14例2.

判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

(1)

f(x)=x3+3x;

(2)

f(x)=x2-2x-3;

(3)

f(x)=sinx-x,x(0,p);

(4)

f(x)=2x3+3x2-24x+1.解:(1)f

(x)=3x2+3,解不等式3x2+3>0得x

R,即x(-∞,+∞),f(x)>0,∴函数在区间(-∞,+∞)上是增函数.xyo例2.

判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

(1)

f(x)=x3+3x;

(2)

f(x)=x2-2x-3;

(3)

f(x)=sinx-x,x(0,p);

(4)

f(x)=2x3+3x2-24x+1.解:(2)f

(x)=2x-2,解不等式2x-2>0得x>1,即x(-∞,1)时,f(x)<0,函数是减函数;x(1,+∞)时,f(x)>0,函数是增函数.xyo1例2.

判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

(1)

f(x)=x3+3x;

(2)

f(x)=x2-2x-3;

(3)

f(x)=sinx-x,x(0,p);

(4)

f(x)=2x3+3x2-24x+1.解:(3)f

(x)=cosx-1,解不等式cosx-1>0得x,即x(0,p)时,f(x)<0,函数是减函数.xyop例2.

判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

(1)

f(x)=x3+3x;

(2)

f(x)=x2-2x-3;

(3)

f(x)=sinx-x,x(0,p);

(4)

f(x)=2x3+3x2-24x+1.解:(4)f

(x)=6x2+6x-24,解不等式6x2+6x-24>0得函数是减函数.函数是增函数;即x(-∞,),或时,f(x)>0,时,f(x)<0,xyo练习:(课本26页)第1、4题.练习:(课本26页)1.

判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

(1)

f(x)=x2-2x+4;(2)

f(x)=ex-x;

(3)

f(x)=3x-x3;(4)

f(x)=x3-x2-x.解:(1)f

(x)=2x-2,解2x-2>0得x>1,∴函数在(-∞,1)上是减函数,即x>1时,f

(x)>0,x<1时,f

(x)<0.在(1,+∞)上是增函数.练习:(课本26页)1.

判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

(1)

f(x)=x2-2x+4;(2)

f(x)=ex-x;

(3)

f(x)=3x-x3;(4)

f(x)=x3-x2-x.解:(2)f

(x)=ex-1,解ex-1>0得x>0,∴函数在(-∞,0)上是减函数,即x>0时,f

(x)>0,x<0时,f

(x)<0.在(0,+∞)上是增函数.练习:(课本26页)1.

判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

(1)

f(x)=x2-2x+4;(2)

f(x)=ex-x;

(3)

f(x)=3x-x3;(4)

f(x)=x3-x2-x.解:(3)f

(x)=3-3x2,解3-3x2>0得-1<x<1,∴函数在(-∞,-1)或(1,+∞)上是减函数,即-1<x<1时,f

(x)>0,x<-1或x>1时,f

(x)<0.在(-1,1)上是增函数.练习:(课本26页)1.

判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

(1)

f(x)=x2-2x+4;(2)

f(x)=ex-x;

(3)

f(x)=3x-x3;(4)

f(x)=x3-x2-x.解:(4)f

(x)=3x2-2x-1,解3x2-2x-1>0得或

x>1,即或x>1时,f

(x)>0,时,f

(x)<0.∴函数在(-∞,

)或(1,+∞)上是增函数,在(

1)上是减函数.4.

证明函数f(x)=2x3-6x2+7在(0,2)内是减函数.证明:f

(x)=6x2-12x,解不等式

6x2-12x<0得0<x<2,即x

(0,2)时,f

(x)<0,∴

f(x)

在(0,2)内是减函数.【课时小结】1.

单调性与导数函数的单调性与其导数的正负有关:

在某个区间(a,b)内,

如果f

(x)>0,

那么函数y=f

(x)在这个区间内单调递增;如果f

(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区域内单调递减.

【课时小结】2.

用导数求函数的单调区间(1)求函数的导函数f(x);(2)解不等式f(x)>0,(3)解不等式f(x)<0,其解集是增函数区间;其解集是减函数区间.若定义域内没有常函数区间时,只需解一个不等式即可,在定义域全集内f(x)>0的解集是增函数区间,其补集是减函数区间.习题1.3A组第1、2题.习题1.3A组1.

判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

(1)

f(x)=-2x+1;(2)

f(x)=x+cosx,

(3)

f(x)=-2x-4;(4)

f(x)=2x3+4x.解:(1)f

(x)=-2∴函数在(-∞,+∞)上是减函数.即x

R,f

(x)<0,<0,习题3.3A组1.

判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

(1)

f(x)=-2x+1;(2)

f(x)=x+cosx,

(3)

f(x)=-2x-4;(4)

f(x)=2x3+4x.解:(2)f

(x)=1-sinx∴f

(x)>0,则函数在上是增函数.习题3.3A组1.

判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

(1)

f(x)=-2x+1;(2)

f(x)=x+cosx,

(3)

f(x)=-2x-4;(4)

f(x)=2x3+4x.解:(3)f

(x)=-2<0,∴函数在(-∞,+∞)上是减函数.即x

R,f

(x)<0,习题3.3A组1.

判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

(1)

f(x)=-2x+1;(2)

f(x)=x+cosx,

(3)

f(x)=-2x-4;(4)

f(x)=2x3+4x.解:(4)f

(x)=6x2+4>0,∴函数在(-∞,+∞)上是增函数.即x

R,f

(x)>0,2.

判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

(1)

f(x)=x2+2x-4;(2)

f(x)=2x2-3x+3;

(3)

f(x)=3x+x3;(4)

f(x)=x3+x2-x.解:(1)f

(x)=2x+2,解2x+2>0得x>-1,∴函数在(-∞,-1)上是减函数,即x>

-1时,f

(x)>0,x<-1时,f

(x)<0.在(-1,+∞)上是增函数.2.

判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

(1)

f(x)=x2+2x-4;(2)

f(x)=2x2-3x+3;

(3)

f(x)=3x+x3;(4)

f(x)=x3+x2-x.解:(2)f

(x)=4x-3,解4x-3>0得即x>

时,f

(x)>0,x<

时,f

(x)<0.∴函数在(-∞,

)上是减函数,在(

,+∞)上是增函数.2.

判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

(1)

f(x)=x2+2x-4;(2)

f(x)=2x2-3x+3;

(3)

f(x)=3x+x3;(4)

f(x)=x3+x2-x.解:(3)f

(x)=3+3x2>0,∴函数在(-∞,+∞)上是增函数.即x

R,f

(x)>0,2.

判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

(1)

f(x)=x2+2x-4;(2)

f(x)=2x2-3x+3;

(3)

f(x)=3x+x3;(4)

f(x)=x3+x2-x.解:(4)f

(x)=3x2+2x-1,解3x2+2x-1>0得x<-1,或即x>1或时,f

(x)>0,时,f

(x)<0.∴函数在(-∞,-1)或(+∞)上是增函数,在(-1,

)上是减函数.1.3.1函数的单调性与导数(第二课时)返回目录1.

如何从函数增加的快慢分析图象的形状?2.

如何从导数值的大小分析函数图象的形状?学习要点增函数复习:减函数图象倾斜:切线斜率:导数正负:左低右高左高右低k>0k<0y>0y<0

例3.

如图,水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h

与时间t

的函数关系图象.(1)(2)(3)(4)thothothotho(A)(B)(C)(D)匀速增高增高加速增高减速先减速后加速thothothotho匀速增高增高加速增高减速先减速后加速函数匀速增加,图象成直线.函数增加速度加快,图象逐渐变陡峭.函数增加速度减慢,图象逐渐变平缓.结论:一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数图象就“平缓”一些.xyoy=f(x)函数y=f(x)中,各处切线先是逐渐变陡,后又渐变平缓,函数的导数先增后减.先逐渐增大,后又减小.随着x

的增大,图象先平缓,后陡峭,再平缓.即斜率变化率也是先增大,后减小.如图,结论:一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数图象就“平缓”一些.函数y=g(x)中,各处切线先是逐渐变平缓,后又逐渐变陡峭,函数的导数先减后增.即斜率先大,后小,再大.随着x

的增大,图象先陡峭,后平缓,再陡峭.变化率也是先减小,后增大.xyoy=g(x)如图,结论:一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数图象就“平缓”一些.函数y=h(x)中,各处切线也是先平缓,后陡峭,函数的导数为负,且绝对值逐渐增大.逐渐增大,且增加的速度越来越快.当x<0时,随着x

的增大,图象先平缓,后陡峭.x

接近0时,变化率减小的速度很快.如图,xyoy=h(x)即斜率的绝对值同理可分析x>0的情况.

练习(补充).

如图,|OA|=2,|OB|=1,∠AOB=30,以A为圆心,AB为半径作圆弧BDC与线段OA的延长线交于点C.甲乙两质点同时从点O出发,甲先以速率1沿线段OB行至点B,再以速率3沿圆弧BDC行至点C后停止;乙以速率2沿线段OA行至点A后停止.设t

时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)=0),则函数y=S(t)的图象大致是()OABCDOty(A)Oty(B)Oty(D)Oty(C)分析:甲,乙从0开始到1秒时,面积增加的速度在增加,导数是增函数,函数图象应逐渐变陡.所以排除B,D.第1秒结束后,乙在A点不动,甲沿BDC匀速运动,面积匀速增加,即增加的速度不变,导数是一个定值,函数图象没有平缓变化,是一条直线.所以应选A.【课时小结】导数与函数增速及函数图象如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数图象就“平缓”一些.练习:(课本26页)第2、3题.习题1.3B组第1题.

2.

函数y=f(x)的图象如图所示,试画出导数f

(x)图象的大致形状.xyoy=f(x)abc解:0<x<a

时,图象的切线平行x

轴,斜率为0,则导数为0.a<x<b

时,图象切线的斜率为负,且逐渐减小,则导数小于0,且是减函数,接近x=b,导数趋x>b

时,图象的切线平于x

轴,则导数为0.向负无穷大.f

(x)练习:(课本26页)3.

讨论二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的单调区间.解:f

(x)=2ax+b,解不等式2ax+b>0,(1)当a>0时,解得即时,f

(x)>0,函数是增函数;时,f

(x)<0,函数是减函数.(2)当a<0时,解得即时,f

(x)>0,函数是增函数;时,f

(x)<0,函数是减函数.xyoB组

利用函数的单调性,证明下列不等式,并通过函数的图象直观验证:(1)sinx<x,x

(0,p);(2)

x-x2>0,x

(0,1);

(3)ex>1+x,x≠0;(4)lnx<x<ex,x>0.证明:(1)设f(x)=sinx-x,x(0,p).则

f

(x)=cosx-1<0,∴

f(x)=sinx-x,在

(0,p)上是减函数.∵x>0,∴

f(x)<f(0)=sin0-0=0,即sinx-x<

0,得sinx<x.xyop1y=xy=sinxB组

利用函数的单调性,证明下列不等式,并通过函数的图象直观验证:(1)sinx<x,x

(0,p);(2)

x-x2>0,x

(0,1);

(3)ex>1+x,x≠0;(4)lnx<x<ex,x>0.证明:(2)设f(x)=x-x2,x(0,1).则

f

(x)=1-2x,解1-2x>0得即当时,f(x)是增函数,时,f(x)是减函数.当时,f(x)>f(0),

x-x2>0-0=0;当时,f(x)>f(1),

x-x2>1-1=0;B组

利用函数的单调性,证明下列不等式,并通过函数的图象直观验证:(1)sinx<x,x

(0,p);(2)

x-x2>0,x

(0,1);

(3)ex>1+x,x≠0;(4)lnx<x<ex,x>0.证明:(2)设f(x)=x-x2,x(0,1).则

f

(x)=1-2x,解1-2x>0得即当时,f(x)是增函数,时,f(x)是减函数.当时,f(x)>f(0),

x-x2>0-0=0;当时,f(x)>f(1),

x-x2>1-1=0;且综上所述得x

(0,1),x-x2>0.xyo1B组

利用函数的单调性,证明下列不等式,并通过函数的图象直观验证:(1)sinx<x,x

(0,p);(2)

x-x2>0,x

(0,1);

(3)ex>1+x,x≠0;(4)lnx<x<ex,x>0.证明:(3)设f(x)=ex-1-x,x≠0.则

f

(x)=ex-1解不等式ex-1>0得x>0.即x>0时,f(x)是增函数,得f(x)>f(0),

ex-1-x>

e0-1-0=0;x<0时,f(x)是减函数,也得f(x)>f(0),

ex-1-x>

0.∴

ex>1+x.xyo1y=1+xy=ex-1B组

利用函数的单调性,证明下列不等式,并通过函数的图象直观验证:(1)sinx<x,x

(0,p);(2)

x-x2>0,x

(0,1);

(3)ex>1+x,x≠0;(4)lnx<x<ex,x>0.证明:(4)设f(x)=lnx-x,x>0.当0<x<1时,f(x)>0,f(x)是增函数,则f(x)<f(1)则

f

(x)=

-1,=ln1-1=-1<0,即lnx-x<0,

lnx<x;当x>1时,f(x)<0,f(x)是减函数,也得f(x)<f(1),当x=1时,ln1<1成立.

lnx<x;综上所述,x>0时,lnx<x成立.B组

利用函数的单调性,证明下列不等式,并通过函数的图象直观验证:(1)sinx<x,x

(0,p);(2)

x-x2>0,x

(0,1);

(3)ex>1+x,x≠0;(4)lnx<x<ex,x>0.证明:(4)又设g(x)=x-ex,x>0.当x>0时,g(x)<0,g(x)是减函数,∴

g(x)<g(0)则

g

(x)=1-ex,=0-e0=-1<0,即x-ex<0,

x<ex.∴当x>0时,lnx<x<ex.xyo1y=xy=ex1y=lnx1.3.2函数的极值与导数返回目录

1.

什么叫函数的极大值和极小值?其图象各是什么特点?2.

怎样求函数的极大值和极小值?学习要点

问题1:

已知函数y

=

f(x)的图象如图,哪些点处的函数值大于附近的函数值?哪些点处的函数值小于附近的函数值?猜测这些点处的导数等于多少?这些点左右的导数各有什么特点?xyoabcde左正右负左正右负左正右负左负右正左负右正x=a,c,e处的函数值大于各自附近的函数值.x=b,d处的函数值小于各自附近的函数值.这些点处的导数等于0.上顶点处,左右导数的特点是:(如图)下顶点处,左右导数的特点是:(如图)

问题1:

已知函数y

=

f(x)的图象如图,哪些点处的函数值大于附近的函数值?哪些点处的函数值小于附近的函数值?猜测这些点处的导数等于多少?这些点左右的导数各有什么特点?xyoabcde一般地,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称极值.左正右负左正右负左正右负左负右正左负右正极值点处的导数

.极大值左边的导数

,右边的导数

.极小值左边的导数

,右边的导数

.xyoabcde左正右负左正右负左正右负左负右正左负右正等于0大于0小于0小于0大于0问题:

怎样求函数的极值例4.

求函数f(x)

=

x3-4x+4的极值.解:①求导数:②解导数的不等式y

≥0:=x2-4.

x≤-2或x≥2.

x

=±2

是极值点.xy

=(x+2)(x-2)(-∞,-2)(-2,2)(2,+∞)+-+-22∴当x

=-2时,函数有极大值f(-2)=当x

=2时,函数有极小值f(2)=x2-4≥0,③列表确定极值:注意:导数为0的点不一定是极值点.如:f(x)=x3,f

(x)=3x2=0,

x=0,如图,x=0不是y=x3

的极值点.xyoy=x3极值点的导数为0,此点左右的导数必须异号.一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是:

解方程f

(x)=0.当f

(x0)=0时:

(1)如果x0

附近的左侧f

(x)>0,右侧f

(x)<0,那么f(x0)是极大值;(2)如果x0

附近的左侧f

(x)<0,右侧f

(x)>0,那么f(x0)是极小值.练习:(课本29页)第1、2题.

1.

如图是导函数y=f

(x)的图象,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.xyoax1bx2x3x4x5x6y=f

(x)解:导函数为0的点是x2,x4,x6.点x2

的左导数正,右导数负,则f(x)是左增右减,所以f(x2)是极大值.点x4

的左导数负,右导数正,则f(x)是左减右增,所以f(x4)是极小值.点x6

的左导数正,右导数也正,则f(x)在x6

左右都是增函数,所以x6

不是极值点.···y=f(x)的大致图象如图:xyoax1bx2x3x4x5x6y=f(x)x1,x3,x5

处最陡,x6处最平但不是极值点.2.

求下列函数的极值:(1)

f(x)

=6x2-x-2;

(2)

f(x)=x3-27x;(3)

f(x)=6+12x-x3;(4)

f(x)

=3x-x3.解:(1)f

(x)=12x-1,由12x-1>0得则xf

(x)-+∴当时,函数取得极小值2.

求下列函数的极值:(1)

f(x)

=6x2-x-2;

(2)

f(x)=x3-27x;(3)

f(x)=6+12x-x3;(4)

f(x)

=3x-x3.解:(2)f

(x)=3x2-27,由3x2-27>0得则xf

(x)-+∴当x=-3时,函数取得极大值f(-3)=54.x<-3或x>3.x<-3x>3-3<x<3-33+当x=3时,函数取得极小值f(3)=-54.2.

求下列函数的极值:(1)

f(x)

=6x2-x-2;

(2)

f(x)=x3-27x;(3)

f(x)=6+12x-x3;(4)

f(x)

=3x-x3.解:(3)f

(x)=12-3x2,由12-3x2>0得则xf

(x)+-∴当x=-2时,函数取得极小值f(-2)=-10.-2<x<2.x<-2x>2-2<x<2-22-当x=2时,函数取得极大值f(2)=22.2.

求下列函数的极值:(1)

f(x)

=6x2-x-2;

(2)

f(x)=x3-27x;(3)

f(x)=6+12x-x3;(4)

f(x)

=3x-x3.解:(4)f

(x)=3-3x2,由3-3x2>0得则xf

(x)+-∴当x=-1时,函数取得极小值f(-1)=-2.-1<x<1.x<-1x>1-1<x<1-11-当x=1时,函数取得极大值f(1)=2.【课时小结】1.

函数的极值

y=f(x)在x=x0及其附近有定义,如果f(x0)大于附近的f(x),则f(x0)是函数的一个极大值;如果f(x0)小于附近的f(x),则f(x0)是函数的一个极小值.xyoabcde极大值极大值极大值极小值极小值【课时小结】2.

导数与极值xyoabcde左正右负左正右负左正右负左负右正左负右正极值点处的导数

.等于0极大值左边的导数

,右边的导数

.大于0小于0极小值左边的导数

,右边的导数

.小于0大于0【课时小结】3.

用导数求函数的极值(1)求导数f

(x).(2)解导数不等式f

(x)≥0.(3)确定极值点和极值:如果函数连续,在f

(x)≥0的左端点处取得极小值,右端点处取得极大值.xyoabf

(x)≥0习题1.3A组第3、4、5题.习题1.3A组

3.

已知汽车在笔直的公路上行驶:

(1)

如果函数y=f(t)表示时刻t时汽车与起点的距离,请标出汽车速度等于0的点.

(2)

如果函数y=f(t)表示时刻t

时汽车的速度,那么(1)中标出点的意义是什么?tyoy=f(t)解:(1)速度为0,即导数为0,这些点即为函数的极值点x1,x2,x3,x4,x5,x6.x1x2x3x4x5x6(2)如果是速度的极值点,则速度函数的导数为0,即加速度为0.所以这些点表示该时刻的加速度为0.

4.

如图是导函数y=f

(x)的图象,在标记的点中,在哪一点处

(1)

导数y=f

(x)有极大值?

(2)

导数y=f

(x)有极小值?

(3)

函数y=f(x)有极大值?

(4)

函数y=f(x)有极小值?xyox1x2x3x4x5y=f

(x)解:(1)x=x2

时,导数有极大值f

(x2).(2)x=x1

及x=x4

时,导数有极小值f

(x1)和f(x4).(3)x=x3

时,函数有极大值f(x3).(4)x=x5

时,函数有极小值f(x5).5.

求下列函数的极值:(1)

f(x)

=6x2+x+2;

(2)

f(x)

=x3-12x;

(3)

f(x)=6-12x+x3;(4)

f(x)

=48x-x3.

解:(1)f

(x)=12x+1,由12x+1>0得则xf

(x)-+∴当时,函数取得极小值5.

求下列函数的极值:(1)

f(x)

=6x2+x+2;

(2)

f(x)

=x3-12x;

(3)

f(x)=6-12x+x3;(4)

f(x)

=48x-x3.

解:(2)f

(x)=3x2-12,由3x2-12>0得则xf

(x)-+∴当x=-2时,函数取得极大值f(-2)=16.x<-2或x>2.x<-2x>2-2<x<2-22+当x=2时,函数取得极小值f(2)=-16.5.

求下列函数的极值:(1)

f(x)

=6x2+x+2;

(2)

f(x)

=x3-12x;

(3)

f(x)=6-12x+x3;(4)

f(x)

=48x-x3.

解:(3)f

(x)=-12+3x2,由-12+3x2>0得则xf

(x)-+∴当x=-2时,函数取得极大值f(-2)=22.x<-2或x>2.x<-2x>2-2<x<2-22+当x=2时,函数取得极小值f(2)=-10.5.

求下列函数的极值:(1)

f(x)

=6x2+x+2;

(2)

f(x)

=x3-12x;

(3)

f(x)=6-12x+x3;(4)

f(x)

=48x-x3.

解:(4)f

(x)=48-3x2,由48-3x2>0得则xf

(x)+-∴当x=-4时,函数取得极小值f(-4)=-128.-4<x<4.x<-4x>4-4<x<4-44-当x=4时,函数取得极大值f(4)=128.1.3.3函数的最大(小)值与导数返回目录1.

什么叫函数的最大值和最小值?2.

怎样求函数的最大值和最小值?学习要点

问题1.

如图,函数y

=

f(x)在区间[a,b]

上有多少个极大值,多少个极小值?在这个区间最大的值是多少?最小的值呢?在闭区间[a,b]

上,

函数在x1,x3,x5

处取得极大值,在x2,x4

处取得极xyoabx1x2x3x4x5y=f(x)小值.在闭区间[a,b]上最大值只有一个f(x3),最小值也只有一个f(x4).

问题1.

如图,函数y

=

f(x)在区间[a,b]

上有多少个极大值,多少个极小值?在这个区间最大的值是多少?最小的值呢?xyoabx1y=g(x)又如图,在y=g(x)中,在闭区间[a,b]上有极小值g(x1),而无极大值.但有最小值g(x1),最大值g(b),一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.将此区间上所有极值连同端点的函数值进行比较,其中最大的一个就是最大值,最小的一个就是最小值.例5.

求函数f(x)

=

x3-4x+4在[0,3]上的最大值与最小值.解:解x2-4=0得x=±2.f

(x)=x2-4,在区间[0,3]上有=1.∴函数在[0,3]上的最大值是4,最小值是一般地,求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:(1)

求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;

(2)

将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.练习:(课本31页)共一个大题.练习:(课本31页)参照第1.3.2节的练习,求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:(1)

f(x)=6x2-x-2,x

[0,2];(2)

f(x)=x3-27x,x

[-4,4];(3)

f(x)=6+12x-x3,

x

[3];(4)

f(x)=3x-x3,

x

[2,3].解:(1)f

(x)=12x-1,由

12x-1=0得f(0)=60-0-2=-2.f(2)=622-2-2=20.∴函数在[0,2]上的最大值是20,最小值是练习:(课本31页)参照第1.3.2节的练习,求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:(1)

f(x)=6x2-x-2,x

[0,2];(2)

f(x)=x3-27x,x

[-4,4];(3)

f(x)=6+12x-x3,

x

[3];(4)

f(x)=3x-x3,

x

[2,3].解:(2)f

(x)=3x2-27,由

3x2-27=0得x=±3,f(-3)=(-3)3-27(-3)=54.f(3)=33-273=-54.∴函数在[-4,4]上的最大值是54,最小值是-54.f(-4)=44.f(4)=-44.练习:(课本31页)参照第1.3.2节的练习,求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:(1)

f(x)=6x2-x-2,x

[0,2];(2)

f(x)=x3-27x,x

[-4,4];(3)

f(x)=6+12x-x3,

x

[3];(4)

f(x)=3x-x3,

x

[2,3].解:(3)f

(x)=12-3x2,由

12-3x2=0得x=±2,f(2)=6+122-23=22.∴函数在[

,3]上的最大值是22,最小值是f(3)=15.练习:(课本31页)参照第1.3.2节的练习,求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:(1)

f(x)=6x2-x-2,x

[0,2];(2)

f(x)=x3-27x,x

[-4,4];(3)

f(x)=6+12x-x3,

x

[3];(4)

f(x)=3x-x3,

x

[2,3].解:(4)f

(x)=3-3x2,由

3-3x2=0得x=±1f(2)=3

2-23=-2.∴函数在[1,2]上的最大值是-2,最小值是-18.

[2,3],f(3)=3

3-33=-18.【课时小结】1.

函数的最大值与最小值一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.将区间[a,b]上所有极值连同端点的函数值进行比较,其中最大的一个就是最大值,最小的一个就是最小值.【课时小结】2.

求最值的方法一般地,求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:(1)

求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;

(2)

将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)