【教无忧】2024-2025学年高一数学同步讲义（人教A版2019）4.1 指数（六大题型）

4.1指数目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 2【知识点梳理】 2【典型例题】 4题型一：由根式的意义求范围 4题型二：利用根式的性质化简或求值 6题型三：有限制条件的根式的化简 7题型四：根式与指数幂的互化 9题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求值 12题型六：整体代换法求分数指数幂 15

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一、整数指数幂的概念及运算性质1、整数指数幂的概念2、运算法则（1）；（2）；（3）；（4）．知识点二、根式的概念和运算法则1、次方根的定义：若，则称为的次方根．为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；0的奇次方根为零，记为．为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为．2、两个等式（1）当且时，；（2）知识点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．知识点三、分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：知识点四、有理数指数幂的运算1、有理数指数幂的运算性质（1）（2）（3）当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．知识点诠释：（1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；（2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如；（3）幂指数不能随便约分．如．2、指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算．知识点五、无理数指数幂一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点六、实数指数幂的运算性质①．②．③．【典型例题】题型一：由根式的意义求范围【典例1-1】（2024·高一·江苏·专题练习）若有意义，则a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由有意义，得，解得，所以a的取值范围是.故选：B【典例1-2】（2024·高一·全国·课后作业）若＋有意义，则a的取值范围是()A． B．C． D．且【答案】D【解析】由题设知：，可得.故选：D【方法技巧与总结】使根式有意义【变式1-1】（2024·高一·全国·课后作业）若有意义，则a的取值范围是（

）A．2,+∞ B．C． D．【答案】B【解析】由题意可知，且，∴a的取值范围是且．故选：B．【变式1-2】（2024·高一·全国·假期作业）若有意义，则的取值范围是（

）A． B．∪C． D．【答案】D【解析】因为，则，解得.故选：D.【变式1-3】（2024·高一·全国·课后作业）若有意义，则实数的取值范围是（

）A．2,+∞ B． C． D．【答案】C【解析】由负分数指数幂的意义可知，，所以，即，因此的取值范围是．故选：C.【变式1-4】（2024·高一·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是（

）A．x≥2 B．x≤3C．2≤x≤3 D．x∈R【答案】C【解析】由题意知，所以2≤x≤3.故选：C．题型二：利用根式的性质化简或求值【典例2-1】（2024·高一·云南昭通·期末）.【答案】1【解析】.故答案为：1【典例2-2】（2024·高一·陕西宝鸡·阶段练习）．【答案】【解析】故答案为：【方法技巧与总结】此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．【变式2-1】（2024·高一·上海·期中）化简：.【答案】【解析】.故答案为：.【变式2-2】（2024·高一·上海黄浦·期中）设是实数，若对任意负数，代数式恒为定值，则的值为．【答案】3【解析】由，得，因为对任意负数，代数式恒为定值，则有，解得，所以的值为3.故答案为：3【变式2-3】（2024·高一·全国·课后作业）已知，化简：．【答案】【解析】，故答案为：【变式2-4】（2024·高一·江苏·课后作业）化简方程，使结果不含根式，则方程为．【答案】【解析】本题可对方程两边同时平方并化简即可.因为，所以，即，，，，，故答案为：.题型三：有限制条件的根式的化简【典例3-1】（2024·高三·海南海口·阶段练习）若代数式有意义，则．【答案】1【解析】由题意可知：，∴∴故答案为：1【典例3-2】（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）若，则.【答案】【解析】因为，又因为，则，所以.故答案为：.【方法技巧与总结】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可【变式3-1】（2024·高一·上海·期中）当时，化简．【答案】【解析】因为，所以.故答案为：【变式3-2】（2024·高一·上海长宁·期末）当时，化简.【答案】【解析】因为，所以故答案为：【变式3-3】（2024·高一·全国·课后作业）若，则化简.【答案】【解析】因为所以，当时，原式；当时，原式.故答案为：【变式3-4】（2024·高一·全国·课后作业）当有意义时，化简的结果是．【答案】【解析】由有意义，得．所以．故答案为：【变式3-5】（2024·高一·山西太原·期末）若，化简的结果为．【答案】【解析】由可得，所求式子变形为.故答案为：题型四：根式与指数幂的互化【典例4-1】用分数指数幂表示下列各式（，）：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)计算．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【典例4-2】用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.【方法技巧与总结】（1）运算顺序（能否应用公式）；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂．【变式4-1】用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中）：(1)；(2)．【解析】（1）（）；（2）（）.【变式4-2】（2024·高一·广东广州·期中）用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤.(1)；(2)【解析】（1）.（2）.【变式4-3】（2024·高一·上海·专题练习）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求值【典例5-1】化简（式中各字母均为正数）：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）原式.（2）原式.（3）方法一（从里向外化）．方法二（从外向里化）．【典例5-2】（2024·高一·北京平谷·期中）化简、计算(1)计算：.(2)化简：；【解析】（1）原式.（2）原式.【方法技巧与总结】根式的化简结果应写为最简根式．（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数．【变式5-1】（2024·高一·陕西榆林·期中）计算：(1)；(2)（，）.【解析】（1）.（2）.【变式5-2】（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）（1）用分数指数幂的形式表示下式：；（2）求值：；（3）化简：.【解析】（1）;（2）；（3）.【变式5-3】计算下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）原式．（2）原式．（3）原式．【变式5-4】（2024·高一·辽宁朝阳·期末）计算：.【解析】原式.【变式5-5】（2024·高一·江西新余·期中）化简并求出下列各式的值：(1)；(2)已知，，求的值．【解析】（1）原式===.（2）原式===，因为，，所以原式==3.【变式5-6】（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）求值：(1)(2)【解析】（1）.（2）.题型六：整体代换法求分数指数幂【典例6-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知，计算：.【解析】因为，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以.【典例6-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知，求的值．【解析】因为，所以所以，所以故【方法技巧与总结】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式．【变式6-1】（2024·高一·湖南娄底·期末）已知，求下列各式的值：(1)；(2)．【解析】（1）由题意，所以.（2）由题意，所以.【变式6-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知方程的两根为，（）.(1)求的值；(2)求的值.【解