2024年人教版中学七7年级下册数学期末解答题培优试卷及答案

2024年人教版中学七7年级下册数学期末解答题培优试卷及答案

一、解答题

1.如图，在9x9网格中，每个小正方形的边K均为1,正方形A6CQ的顶点都在网格的格

点上.

（1）求正方形A8CO的面积和边长；

（2）建立适当的平面直角坐标系，写出正方形四个顶点的坐标.

2.如图，用两个面积为8cm2的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形.

（1）大正方形的边长是cm；

（2）请你探究是否能将此大正方形纸片沿着边的方向裁出一个面积为14cm2的长方形纸

片，使它的长宽之比为2:1,若能，求出这个长方形纸片的长和宽，若不能，请说明理

由.

3.工人师傅准备从一块面积为36平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为24平方分

米的长方形的工件.

（1）求正方形工料的边长；

（2）若要求裁下的长方形的长宽的比为4:3,问这块正方形工料是否满足需要？（参考数

据：>/2»1.414>>/3as1.732）

4.小丽想用一块面枳为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁处一块面积为300cm2的长

方形纸片.

⑴请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；

⑵若使长方形的长宽之比为3:2，小丽能用这块纸片裁处符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽

设计一种裁剪方案，若不能，请简要说明理由.

5.有一块正方形钢板，面积为16平方米.

（1）求正方形钢板的边长.

（2）李师傅准备用它裁剪出一块面积为12平方米的长方形工件，且要求长宽之比为

3:2,问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由.（参考数

据：>/2«1.414,5/3«1.732）.

二、解答题

6.已知直线48〃CD,点P、Q分别在48、CD上，如图所示，射线PB按逆时针方向以每

秒12。的速度旋转至以便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按逆时针方向每秒3。旋转

至Q0停止，此时射线P8也停止旋转.

(1)若射线P8、QC同时开始旋转，当旋转时间10秒时，P8与QC1的位置关系为；

(2)若射线QC先转15秒，射线P8才开始转动，当射线P8旋转的时间为多少秒时，

PB7/QC.

（备用图）~Q（答用图）Q

1.如图1,B48IICD,ZC=£A.

(1)求证：ADW8C；

(2)如图2,若点£是在平行线A8,8内，4。右侧的任意一点，探究N84£,ZCDE,

NE之间的数量关系，并证明.

(3)如图3,若NC=90。，且点E在线段8c上，DF平分NEDC,射线DF在NEDC的内

部，且交8c于点M,交4E延长线于点F,N4ED+NA£C=180。，

①直接写出N4ED与NFDC的数量关系：

②点P在射线D4上，且满足/0EP=2NF,ADEA-^PEA=-^ADEBf补全图形后，求

ZEPD的度数

8.阅读下面材料：

小亮同学遇到这样一个问题：

己知：如图甲，ABf/CD,E为48,8之间一点，连接8E,DE,得到N8ED.

求证：ZBED=ZB+ZD.

(1)小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整.

证明：过点£作EF//48,

则有NBEF=—.

AB//CD,

_//_,

ZFED=_.

ZBED=ABEF+NFED=ZB+ZD.

(2)请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，

已知：直线a//b,点48在直线。上，点C,。在直线b上，连接AD,BC,8E平分

NA8C,0E平分NAOC,月.8£,所在的直线交于点R

①如图1，当点8在点4的左侧时，若N48c=60。，AADC=70°,求N8EO的度数；

②如图2,当点8在点4的右侧时，设NA8C=a,^ADC=6,请你求出NBE。的度数

(用含有凌，6的式子表示).

9.已知八8118,线段EF分别与48,C。相交于点E,F.

(1)请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答:

如图1,当点P在线段EF上时，已知NA=35。，NC=62。，求N4PC的度数；

解：过点P作直线PHII48,

所以N4=N4PH,依据是____；

因为4811CD,PHWAB,

所以PHIICD,依据是；

所以NC=(),

所以NAPC=()+()=Z4+ZC=97°.

(2)当点P,。在线段EF上移动时(不包括£,F两点)：

①如图2,N4PQ+/PQC=N4+NC+180。成立吗？请说明理由；

②如图3,ZAPM=2ZMPQ,ZCQM=2Z.MQP,ZM+ZMPQ+ZPQ/Vf=180°,请直接写

出NM,NA与NC的数量关系.

10.如图，已知A8//CD,CN是N8CE的平分线.

(1)若CM平分N6C£>,求乙如N的度数；

(2)若CM在N88的内部，且CMLCN于C,求证：CM平分NBCO；

(3)在(2)的条件下，过点B作5P_LB。，分别交CM、CN于点P、。，/PBQ绕着

(用含有/月的式子表示).

(1)［问题提出］如图②，ABHCE,/88=73°,则：ZB=_.

(2)［类比探究］在图①中，探究N8AD、N8和N8C0之间有怎样的数量关系？牙用干勺

缱的性质说明理由.

(3)［拓展延伸］如图③，在射线8C上取一点。，过。点作直线MN使MN〃4。，BE平分

NA8C交4?于£点，OF平分N80/V交4)于F点，OG//BE交AD于GM当C点沿着射

线4。方向运动时，NFOG的度数是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这

个不变的值.

13.如图1,0为直线A8上一点，过点0作射线OC,ZAOC=30\将一直角三角板

(ZAf=30°)的直角顶点放在点。处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线

AO50B

备用图1备用图2

(1)几秒后ON与。C重合？

(2)如图2,经过f秒后，MN//AB,求此时，的值.

(3)若三角板在转动的同时，射线OC也绕。点以每秒6。的速度沿“1页时针方向旋转一周,

那么经过多长时间OC与OM重合？请画图并说明理由.

(4)在(3)的条件下，求经过多长时间。。平分N例0B?请画图并说明理由.

14.已知3ABC,DE//AB交AC于氤E,DF//AC交AB于氤F.

(1)如图1,若点D在边BC上，

①补全图形；

②求证：ZA=^EDF.

(2)点G是线段AC上的一点，连接FG,DG.

①若点G是线段AE的中点，请你在图2中补全图形，判断NAR7,/EDG,NDGF之间

的数量关系，并证明；

②若点G是线段EC上的一点，请你直接写出4FG,NEDG,/以右之间的数量关系.

15.已知两条直线/】，加/illh,点48在直线上，点＞4在点6的左边，点C,。在直

线〃上，且满足乙位心=43。=115”.

(1)如图①，求证：ADWBC；

(2)点M,N在线段CD上，点M在点N的左边且满足NM4C=N54C,且AN平分

ZC4D：

(I)如图②，当乙48=30°时，求/D4M的度数；

(II)如图③，当NC4D=8〃W时，求NAC。的度数.

四、解答题

16.在AABC中，射线4G平分N84C交8c于点G,点。在8c边上运动(不与点G重

合)，过点。作OEII4C交48于点E.

(1)如图1,点D在线段CG上运动时，DF平分NEDB

①若NBAC=100。，ZC=30°,则NAFD=；若NB=40。，则NAFD=

②试探究/AFD与NB之间的数量关系？请说明理由；

(2)点D在线段BG上运动时，ZBDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F试探究

NAFD与NB之间的数量关系，并说明理由

17.如图，AABC中，N48C的角平分线与N4C8的外角N4CD的平分线交于4.

(1)当NA为70。时，

,/ZACD-Z.480=N

/.ZACD-Z.ABD=°

84、CAi是NABC的角平分线与NACB的外角NACD的平分线

Z41CD-ZAiBD=-(Z.ACD-Z.ABD)

2

z41=°；

(2)N48c的角平分线与N4CD的角平分线交于4,NZh8C与4CD的平分线交于4,

如此继续下去可得4、…、4,请写出N4与/4的数量关系；

(3)如图2,四边形48CD中，NF为N48C的角平分线及外角NDCE的平分线所在的直线

构成的角，若N4+ND=230度，则NF=.

(4)如图3,若£为8A延长线上一动点，连EC,NAEC与N4CE的带平分线交于。，当E

滑动时有下面两个结论：①NQ+/4的值为定值；②NQN4的值为定值.其中有且只

有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值.

18.如图1,已知A8IICD,8E平分N48D,DE平分N8DC.

(1)求证：ZBED=90°；

(2)如图2,延K6E交CD丁点点尸为线段£片上动点，ZEDF=a,N48户的角平

分线与NCDF的角平分线OG交于点G,试用含a的式子表示NBGD的大小；

(3)如图3,延长BE交CD于点H,点F为线段上一动点，NE8M的角平分线与

NFDN的角平分线交于点G,探究N8G。与N8FD之间的数量关系，请直接写出结

论：.

不与点A重合，点D在直线L上，点A的右侧，过D作I3JJ1，点E在直线b上，点D的

下方.

(Db与b的位置关系是:

(2)如图1,若CE平分NBCD,且NBCD=70。，则NCED=。，ZADC=。；

(3)如图2,若CD_LBD于D,作NBCD的角平分线，交BD于F,交AD于G.试说明：

ZDGF=ZDFG；

(4)如图3,若NDBE=NDEB,点C在射线AM上运动，NBDC的角平分线交EB的延长

线于点N,在点C的运动过程中，探索NNNBCD的值是否变化，若变化，请说明理由；

若不变化，请直接写出比值.

20.已知A8〃C。，点E是平面内一点，NCDE的角平分线与N4BE的角平分线交于点F.

(1)若点E的位置如图1所示.

①若N4BE=60°,ZCDE=30°,则/F=___°；

②探究NF与NBED的数量关系并证明你的结论；

(2)若点E的位置如图2所示，/尸与N8£。满足的数量关系式是—.

(3)若点£的位置如图3所示，NCDE为锐角,且NEN；4+45。，设NF=a,则a的取

值范围为—.

【参考答案】

一、解答题

1.(1)面积为29,边长为；(2),,,,图见解析.

【分析】

(1)面积等于一个大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，再利用算术平方根定义求

得边长即可；

(2)建立适当的坐标系后写出四个顶点的坐标

解析：(1)面积为29,边长为回；(2)40,5),8(2,0),C(7,2),0(5,7),图见解

析.

【分析】

(1)面积等于一个7x7大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，再利用算术平方根

定义求得边长即可；

(2)建立适当的坐标系后写出四个顶点的坐标即可.

【详解】

解：(1)正方形的面积S正方姓皿=72-4X；X2X5=29,

正方形边长为形=后；

(2)建立如图平面直角坐标系，

则40,5),3(2,0),C(7,2),£)(5,7).

【点睛】

本题考查了算术平方根及坐标与图形的性质及割补法求面积，从图形中整理出直角三角形

是进一步解题的关键.

2.(1)4；(2)不能，理由见解析.

【分析】

(1)根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；

(2)先设未知数根据面积=14(cm2)列方程，求出长方形的边长，将长方形

的长与正方形边长比较大小再

解析：(1)4；(2)不能，理由见解析.

【分析】

(1)根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；

(2)先设未知数根据面积=14(cm2)列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方

形边长比较大小再判断即可.

【详解】

解：(1)两个正方形面积之和为：2x8=16(cm?),

・••拼成的大正方形的面积=16(cm?),

•••大正方形的边长是4cm；

故答案为：4；

(2)设长方形纸片的长为2xcm,宽为xcm,

则2x*x=14,

解得：x=-77>

2x=2近>4,

不存在长宽之比为2:1且面积为14cm2的长方形纸片.

【点睛】

本题考查了算术平方根，能够根据题意列出算式是解此题的关键.

3.（1）6分米；（2）满足.

【分析】

（1）由正方形面积可知，求出的值即可；

（2）设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米，根据面积得出方程，求出，求

出长方形的长和宽和6比较即可.

【详解】

解：（

解析：（1）6分米；（2）满足.

【分析】

（1）由正方形面积可知，求出J记的值即可；

（2）设长方形的长宽分别为4a分米、3。分米，根据面积得出方程，求出〃，求出长方形

的长和宽和6比较即可.

【详解】

解：（1）正方形工料的边长为后=6分米；

（2）设长方形的长为4a分米，则宽为3a分米.

则4/3〃=24,

解得：a=y/2>

.•长为4"5.656<6,宽为3”4.242<6.

」•满足要求.

【点睛】

本题主要考查了算术平方根及实数大小比较，用了转化思想，即把实际问题转化成数学问

题.

4.（1）可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段

作为宽即可裁出符合要求的长方形；（2）不能，理由见解析.

【解析】

（1）解：设面积为400cm2的正方形纸片的边长为acm

解析：（1）可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即

可裁出符合要求的长方形；（2）不能，理由见解析.

【解析】

（1）解：设面积为400cm2的正方形纸片的边长为acm

/.a2=400

又丁a>0

a=20

又・..要裁出的长方形面积为300c门2

若以原正方形纸片的边长为长方形的长，

则长方形的宽为：300+20=15（cm）

・•・可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符

合要求的长方形

（2）•「长方形纸片的长宽之比为3：2

「•设长方形纸片的长为3xcm,则宽为2xcm

6x2=300

x2=50

又<x>0

「.x=5&

「•长方形纸片的长为LSX/5

又（15甸2=450>202

BP：15x/2>20

小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片

5.（1）4米（2）见解析

【分析】

（1）根据正方形边长与面积间的关系求解即可；

（2）设长方形的长宽分别为米、米，由其面积可得x值，比较长方形的长和宽

与正方形边长的大小可得结论.

【详解】

解

解析：（1）4米（2）见解析

【分析】

（1）根据正方形边长与面积间的关系求解即可；

（2）设长方形的长宽分别为3x米、2x米，由其面积可得x值，比较长方形的长和宽与正

方形边长的大小可得结论.

【详解】

解：（1）•••正方形的面积是16平方米，

二•正方形钢板的边长是加=4米；

（2）设长方形的长宽分别为3x米、2%米，

则女・2x=12,

£=2,

3x=3应＞4，2x=2夜＜4，

长方形长是3&米，而正方形的边长为4米，所以李师傅不能办到.

【点睛】

本题考查了算术平方根的实际应用，灵活的利用算术平方根表示正方形和长方形的边长是

解题的关键.

二、解答题

6.(1)PB/XQC；(2)当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，

PB"IQC'

【分析】

(1)求出旋转10秒时，NBPBZ和NCQU的度数，设PB，与QU交于O,过。作

OEIIAB,根

解析：(1)PBUQC；(2)当射线P8旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB'WQC

【分析】

(1)求出旋转10秒时，NBP&和NCQC*的度数，设Pe与QC交于6过。作。EIMB,根

据平行线的性质求得NPOE和NQQE的度数，进而得结论：

(2)分三种情况：①当0VK15时，②当15〈区30时，③当30VY45时，根据平行

线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间.

【详解】

解：(1)如图1,当旋转时间30秒时，由已知得N8P&=10,12=120。，ZCQC=

3°xl0=30%

过。作OEIIAB,

■.ABUCD,

：.AB\\OEWCD,

：.ZPOE=1300-ZBP8'=60°,ZQOE=N

ZPOQ=90°,

：.PB」QC,

故答案为：PB」QC；

B---------------R——A

E-------------------*

(2)①当0VK15时，如图,则N8P8'=12<ZCQC=45<,+3t°,

「4811CD,PB'WQC,

/.ZBPB'=NPEC=NCQC,

即12t=45+3t,

解得，t=5；

.

②当15VH30时，如图，则N4PB'=12t-180。,ZCQC=3f+45\

：ABWCD,PB'WQC,

/.ZBPB'=N8EQ=/CQC,

即12t-180=45+36

解得，t=25；

③当30Vl445时，如图,则NBPB'=12t-360°,ZCQC=3t+45°,

♦

K---------------g__A

、、

、、、\

、、X、

、、、、

D~（备用中）bF7?

X、

B1

.ABWCD,PB'WQC,

/.Z8P8'=N8EQ=NCQC,

即12t-360=45+36

解得，t=45；

综上，当射线P8旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB'WQC.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨

论，运用方程思想解决几何问题.

7.(1)见解析；(2)ZBAE+ZCDE=ZAED,证明见解析；(3)①NAED-

ZFDC=45°,理由见解析；②50。

【分析】

(1)根据平行线的性质及判定可得结论；

(2)过点E作EFIIAB,根

解析：(1)见解析；(2)ZBAE+ACDE=AAED,证明见解析；(3)①N4ED-

ZFDC=45°,理由见解析；②50°

【分析】

(1)根据平行线的性质及判定可得结论：

(2)过点E作EFII48,根据平行线的性质得4811CDIIEF,然后由两直线平行内错角相等

可得结论；

(3)①根据NAED+NAEC=180。，NAED+NDEC+N4E8=180°,OF平分NEDC,可得出

2ZAED+(9O°-2ZFDC)=180°,即可导出角的关系；

②先根据/AED=AF+ZFDE,ZAED-AFOC=45°得出/DEP=2Z.F=90°,再根据NDEA-

NPEA=±NDEB,求出N4ED=50。，即可得出NEPD的度数.

14

【详解】

解：(1)证明：4811CD,

/.Z4+ZD=180°,

,/ZC=ZA,

/.ZC+ZD=180°,

：.AD\\8C；

(2)ZBAE+Z.CDE=£AED,理由如下：

如图2,过点E作EFIM8,

§2

「4811CD

「•4811CDIIEF

：.ZBAE=/AEFtZCDE=ZDEF

BPZFEA+NFEDMCDE+乙BAE

：.ZBAE+NCDE=NAED；

(3)®ZAED-Z.FDC=45°；

,/ZAED+Z.AEC=180\ZAED+Z.DEC+Z.AEB=130°f

ZAEC=NDEC+NAEB,

：.ZAED-Z.AEB,

OF平分/EDC

NDEC=2NFDC

：.ZD£C=90°-2ZFDC,

：.2ZAED+(90°-2ZFDC)=180°,

/.ZAED-Z.FDC=45°,

故答案为：N4ED-NFDC=45。：

②如图3,

图3

,/ZAED=ZF+ZFDE,ZAED-AF0C=45°,

ZF=45°,

ZD£P=2ZF=90°,

55

.・ZDEA-Z.PEA二——匕DEB:一/DEA,

147

/.ZPEA=*AED,

9

ZDEP^Z.PEA+NAED=-ZAED=90\

7

/.ZAED=70°t

,/ZAED+ZAEC=130°,

ZDEC+2AAED=180°,

ZDEC=40°,

：ADWBC,

/.Z4DE=ZDEC=40°,

在APDE中，ZEPD=13Q°-Z.DEP-ZAED=5Q°f

BPzEPD=50°.

【点睛】

本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的性质等知

识点是解题的关键.

8.（1）ZB,EF,CD,ZD；（2）①65°；（2）180°-

【分析】

（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；

（2）①如图1,过点E作EFIIAB,当点B在点A的左侧时，根据NABC=

60°,

解析：（1）ZB,EF,CD,ND：（2）①65。；②180。-：。+：夕

【分析】

（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；

（2）①如图1,过点E作EFII4B,当点8在点A的左侧时，根据NA8c=60。，AADC=

70。，参考小亮思考问题的方法即可求NBED的度数；

②如图2,过点E作EFIIA8,当点8在点4的右侧时，N48c=a,N40C=B，参考小亮

思考问题的方法即可求出/BED的度数.

【详解】

解：（1）过点E作EFII48,

则有NBEF=Z.B,

：ABWCD,

：.EFWCD,

：.ZFED=N0,

Z8ED=N8EF+NFFD=ZB+ZD；

故答案为：Z5；EF；CD；ZD：

（2）①如图1,过点E作EFIIAB,有/8EF=NEBA.

EFWCD.

：.ZFED=AEDC.

/.Z8EF+NFED=NEBA+,EDC.

即NBED=EBA+Z.EDC,

BE平分NABC,DE平分/ADC,

ZEBA=^Z.ABC=30°,ZEDC=ADC=35°,

/.Z8EO=NEBA+NEDC=65°.

答：N8E。的度数为65。；

②如图2,过点E作EFWAB,有NBEF+N£64=180°.

B

a

图2

/.ZBEF=130°-Z.EBA,

：ABWCD,

EFIICD.

：.ZFEO=NEDC.

：.Z8EF+NFED=180°-ZEB4+NEDC.

即/BED=130°-ZEBA+NEDC,

­：BE平分NABC,DE平分NADC,

：.ZEBA=^ABC=-a,ZEDC=^ADC=-fi,

2222

ZBED=130°-ZEBA+Z.EDC=130°--a+-fl.

22

答：NBED的度数为180°-+；夕.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质.

9.(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；

ZCPH；ZAPH,ZCPH：(2)①NAPQ+NPQC=NA+NC+180。成立，理由见

解答过程；②3NPMQ+ZA+ZC=360°.

解析：(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；NCPH；

ZAPH,ZCPH；(2)①/4PQ+ZPQC=ZA+NC+180。成立，理由见解答过程；

②3NPMQ+N4+ZC=360°.

【分析】

(1)根据平行线的判定与性质即可完成填空；

(2)结合(1)的辅助线方法即可完成证明；

(3)结合(1)(2)的方法，根据N4PM=2/MPQ,ZCQM=2ZMQP,

ZPMQ+ZMPQ+NPQM=180°,即可证明NPMQ,NA与NC的数量关系.

【详解】

解：过点P作直线PHII48,

所以N4=N4PH,依据是两直线平行，内错角相等；

因为4811CD,PHUAB,

所以PHIICD,依据是平行于同一条直线的两条直线平行；

所以NC=(ZCPH),

所以NAPC=QAPH)+(ZCPH)=Z4+ZC=97°.

故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；ZCPH；

ZAPH,ZCPH；

(2)①如图2,ZAPQ+NPQC=Z4+ZC+180。成立，理由如下:

^5

G，2l

---------------D

图2

过点P作直线PHII48,QGIIABt

：ABWCD,

■.ABWCDIIPHIIQG,

1.ZA=ZAPH,ZC=ZCQG,ZHPQ+ZGQP=180°,

/.Z4PQ+ZPQC=N4PH+ZHPQ+ZGQP+ZCQG=Z4+ZC+180°.

/.ZAPQ+ZPQC=NA+NC+1800成立；

②如图3,

图3

过点P作直线PHII48,QGII48,MNWABt

：ABWCD,

..ABWCDIIPHIIQGIIMN,

NA=NAPH,ZC=ZCQ6,ZHPQ+ZGQP=180°,乙HPM=£PMN,NGQM二

ZQMN,

：.ZPMQ=NHPM+ZGQM,

•••ZAPM=2AMPQ,ZCQM=2/MQP,ZPMQ+ZMPQ+ZPQM=180°,

/.Z4PM+ZCQM=Z4+ZC+ZPA他=2/MPQ+2ZMQP=2（180°-ZPMQ）,

/.3ZP/WQ+Z4+ZC=360°.

【点睛】

考核知识点：平行线的判定和性质.熟练运用平行线性质和判定，添加适当辅助线是关

键.

10.（1）90°；（2）见解析；（3）不变，180°

【分析】

（1）根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解；

（2）根据垂直的定义及邻补用的定义、角平分线的定义即可得解；

（3）,过，分别作，，根据

解析：(1)90。；(2)见解析；(3)不变，180°

【分析】

(1)根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解；

(2)根据垂直的定义及邻补角的定义、角平分线的定义即可得解：

(3)ZBPC+ZBeC=180°,过。，P分别作QG//AB,PH//AB,根据平行线的性质及

平角的定义即可得解.

【详解】

解(1):CNfCM分别平分N8CE和N8CD,

/.BCN=-ZBCE,NBCM=-/BCD,

22

,ZBCE+ZBCD=\S(rt

NMCN=/BCN+Z.BCM=-Z.BCE+-/BCD=-(ZBCE+ZBCD)=90°；

222

(2);CM1CN,

.•.NMCN=90。，即NBCV+N3CM=90°,

:.2^BCN+2ZBCM=180°,

CN是NBCE的平分线，

..ZBCE=2ZBCNt

:.ZBCE+2^BCM=,

又•.・ZBCE+=18(P,

:.ZBCD=2ZBCM,

又「CM在N8CD的内部，

二.CM平分N8CO；

(3)如图，不发生变化，4PC+N伙2c=180。，过。，户分别作QG//A8,PH//AB,

则有O7/MB//a/〃CQ,

・•.NBQG=ZABQ,ZCQG=ZECQt/BPH=/FBP,NCPH=4DCP,

vBPIBQ,CP1CQ,

/.NPBQ=NPCQ=90P,

ZABQ+ZPBQ+FfiP=180°,NECQ+NPCQ+NDCP=T80°,

ZABQ+ZFBP+ZECQ+ZDCP=180^,

4BPC+NBQC=/BPH+NCPH+ZBQG+Z.CQG

=ZABQ+ZFBP+ZECQ+NDCP=180°,

.•."PC+N8QC=180°不变.

【点睛】

此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质及作出合理的辅助线是解题的关键.

三、解答题

11.;2.平行于同一条直线的两条直线平行；3.(1)；(2).

【分析】

1、根据角度和计算得到答案；

2、根据平行线的推论解答；

3、(1)根据角平分线的性质及1的结论证明即可得到答案；

(2)根据B

解析：1.72；2.平行于同一条直线的两条直线平行；3.(1)3。+3夕；(2)

180—ctH—B.

22

【分析】

1、根据角度和计算得到答案；

2、根据平行线的推论解答；

3、(1)根据角平分线的性质及1的结论证明即可得到答案；

(2)根据8E平分N43CDE平分ZAOC,求出==过点E作

EFWAB,根据平行线的性质求出/8EF=ga,ZDEF=180°-ZCDE=180°-^/7,再利用

周角求出答案.

【详解】

1、过点E作EF//AB

则有N8E产=/反

因为A5//CD,

所以耳7/CD①

所以//石。=/力，

所以/BEF+ZFED=NB+ZD,

即4瓦)=72;

故答案为：72;

2、过点七作E尸//A3,

则有=

因为AB//C。，

所以EFIICD(平行于同一条直线的两条直线平行)，

故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；

3、(1).•平分ZABQDE平分NADC,

过点£作EFIIABt由1可得/BED=NBEF+NFED=ZABE+NCDE,

11c

■.ZBED=-CC+—J3,

故答案为：ga+g4;

图1

(2),/8E平分445coE平分N4OC,

/.ZABE=-ZABC=-a,ZCDE=-ZADC=-fl

2222t

过点E作EFWAB则/48E=/BEF=-a,

t2

.ABHCD,

/.EFWCD,

/.NCOE+NOE产=180°,

Z.DEF=180°-ZCDE=180°-^,

2

ZBED=360O-ZDEF-ABEF=360°-(180°-i/7)-=180-+；夕.

此题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，平行线的推

论，正确引出辅助线是解题的关键.

12.(1);(2),见解析；(3)不变，

【分析】

(1)根据平行线的性质求出，再求出的度数，利用内错角相等可求出角的度

数；

(2)过点作II,类似(1)利用平行线的性质，得出三个角的关系；

(3)运用

解析：(1)23°；(2)NBCD=ZA+NB,见解析：(3)不变，ZFOG=25°

【分析】

(1)根据平行线的性质求出NA=N£)CE=50。，再求出N8CE的度数，利用内错角相等可

求出角的度数；

(2)过点C作CEIIAB,类似(1)利用平行线的性质，得出三个角的关系；

(3)运用(2)的结论和平行线的性质、角平分线的性质，可求出NFOG的度数，可得结

论.

【详解】

(1)因为CEIIAB,

所以ZA=NDCE=50。，NB=NBCE

因为NBCD=73°,

所以ZBCE=NBCD—/DCE=23°,

故答案为：23°

(2)/BCD=ZA+/B,

如图②，过点。作CEIIAB,

贝|JNA=NDCE,ZB=ZBCE.

因为NBCD=NDCE+ZBCE,

所以/BCD=NBAD+NB,

(3)不变，

设=

因为BE平分NA8C,

所以NC6石=NABE=x.

由(2)的结论可知NBCD=4A£)+NABC,且/B4O=50°,

则：4c£)=500+2x.

因为MNIIAD,

所以/BON=ZBCD=50O+2x,

因为O尸平分N30N,

月f以/CCF=/NOF=-/RON=25°+r.

2

因为OGIIBE,

所以NCOG=NC8E=x,

所以NRG=NCOF-NCOG=25。+x-x=25。.

【点睛】

本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的性质证明角相

等，通过等量代换等方法得出角之间的关系.

13.(1)10秒；(2)20秒；(3)20秒，画图见解析；(4)秒，画图见解

析

【分析】

(1)用角的度数除以转动速度即可得；

(2)求出NAON=60。，结合旋转速度可得时间t；

(3)设NA0N=3

70

解析：(1)10秒；(2)20秒：(3)20秒，画图见解析；(4)—秒，画图见解析

3

【分析】

(1)用角的度数除以转动速度即可得；

(2)求出NAON=60。，结合旋转速度可得时间t；

(3)设NAON=3t,则/AOC=3(T+6t,由题意列出方程，解方程即可；

(4)根据转动速度关系和OC平分NMOB,由题意列出方程，解方程即可.

【详解】

解：(1)=30+3=10,

10秒后ON与OC重合；

(2)MNIIAB

/.ZBOM=ZM=30°,

,/ZAON+ZBOM=90°,

NAON=GO0,

/.t=604-3=20

经过t秒后，MNIIAB,t=20秒.

(3)如图3所示：

图3

/ZAON+ZBOM=90°,ZBOC=ZBOM,

•••三角板绕点O以每秒3。的速度，射线OC也绕O点以每秒6。的速度旋转,

设NA0N=3t,则NAOC=300+6t,

OC与OM重合，

「ZAOC+ZBOC=180°,

可得：(300+6t)+(90°-3t)=180°,

解得：t=20秒；

即经过20秒时间OC与OM重合；

/ZAON+ZBOM=90°,ZBOC=ZCOM,

.二三角板绕点O以每秒3。的速度，射线OC也绕O点以每秒6。的速度旋转,

设NA0N=3t,ZAOC=30°+6t,「ZBOM+ZAON=90°,

/.ZBOC=ZCOM=-i-ZBOM=^(90°-3t),

由题意得：180°-(30°+6t)(90°-3t),

70

解得：杪，

3

70

即经过一秒OC平分NMOB.

3

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，角的计算以及方程的应用，关键是应该认真审题并仔细

观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键.

14.(1)①见解析；②；见解析(2)①NAFG+NEDG=NDGF；②NAFG-

ZEDG=ZDGF

【分析】

(1)①根据题意画出图形；②依据DEIIAB,DFIIAC,可得

NEDF+ZAFD=180°,N

解析：(1)①见解析；②；见解析(2)①/AFG+/EDG=NDGF；@ZAFG-

ZEDGMDGF

【分析】

(1)①根据题意画出图形；②依据DEIIAB,DFWAC,可得NEDF+N4FD=180°,

ZA+Z4FD=180°,进而得出NEDF=ZA；

(2)①过G作GHIIA8,依据平行线的性质，即可得到

ZAFG+NEDG=Z.FGH+Z.DGH=NDGF；②过G作GHWAB,依据平行线的性质，即可得到

Z4FG-ZEDG=4FGH-Z.DGHMDGF.

【详解】

解：(1)①如图，

图1

②；DEWAB,DFWAC,

ZEDF+ZAFD=180\N4+N4FO=180°,

/.ZEDF-Z.A；

(2)①NAFG+Z.EDG=ADGF.

如图2所示,过G作GHII48,

「A8IIDE,

/.GHWDE,

ZAFG=NFGH,ZEDG=NDGH,

ZAFG+NEDGMFGH+NDGH=NDGF；

②NAFG-Z.EDG=NDGF.

如图所示，过G作GHII48,

：ABWDE,

GHWDE,

/.ZAFG=Z.FGH,ZEDG=NDGH,

ZAFG-Z.EDG=,FGH-乙DGH=4DGF.

【点睛】

本题考查了平行线的判定和性质：两直线平行，内错角相等.正确的作出辅助线是解题的

关键.

15.(1)证明见解析；(2)(I)；(II).

【分析】

(1)先根据平行线的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据平行线的判定

即可得证；

(2)(I)先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据隹的和差可得

解折；(1)证明见解析；(2)(I)ZDAM=5°；(D)ZACD=250.

【分析】

(1)先根据平行线的性质可得/氏位＞=65。，再根据角的和差可得N8AO+NA8C=180。，

然后根据平行线的判定即可得证；

(2)(I)先根据平行线的性质可得N8AC=NACD=30。，从而可得NM4C=30。，再根

据角的和差可得ZDAC=35°,然后根据ZDAM=ZDAC-ZMAC即可得；

(U)设4WV=x,从而可得NCW=8x,先根据角平分线的定义可得

NC4N=gNC4O=4x,再根据角的和差可得NBAC=NM4C=5x,然后根据

NC4。+N8AC=NB4。=65。建立方程可求出x的值，从而可得/以C的度数，最后根据平

行线的性质即可得.

【详解】

(1)V/1///2,Z4DC=115°,

ZE4£>=180°-ZA£>C=65o,

又•••NABC=115。，

.■.ZBAD+ZABC=180°,

..AD//BC；

（2）（I）VZ,//Z2,ZACD=30°,

/.ZB4C=Z4CD=30°,

・・・NM4C=N8AC,

/.ZAMC=30°,

由（1）已得：ZBAD=65°,

:.ZDAC=ZBAD-ZBAC=35°,

:.ZDAM=ZDAC-^MAC=35°-30°=5°；

（n）设ZAWV=x,则NC4Z）=8x,

•••AN平分NC4D,

ACAN=-ZCAD=4x

2f

:.ZMAC=NCAN+/MAN=5x,

・.・NM4C=NiMC,

ZBAC=5x,

由（1）已得：ZBAD=65°,

/.ZC4D+ZBAC=ZBAD=65°,即8x+5x=65。，

解得x=5°,

:.ZBAC=5x=25°,

又Q"4,

:.ZACD=ABAC=25°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质、角的和差、角平分线的定义、一元一次方程的几何应用

等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键.

四、解答题

16.（1）①115。；110°；②，；理由见解析；（2）；理由见解析

【分析】

（1）①若NBAOIOO。，ZC=30°,由三角形内角和定理求出NB=50。，由平行

线的性质得出NEDB=Z030°：由

解析：（1）①115°；110°；（2）ZAFD=90o+^Z5；理由见解析；（2）

Z4FD=90°-izfi；理由见解析

【分析】

（1）①若NBAC=100。，ZC=30°,由三角形内角和定理求出NB=50。，由平行线的性质得

出/EDB=NC=30。，由角平分线定义得出NB4G=L/8AC=50。，NFDG=、NEDB=15。,由

22

三角形的外角性质得出NDGF=100。，再由三角形的外角性质即可得出结果；若NB=40。，则

ZBAC+ZC=180o-40o=140o,由角平分线定义得出N5AG=,NFDG=、NEDB,由

22

三角形的外角性质即可得出结果；

②由①得：NEDB=/C,/8AG=g/H4C=50°,NFOG=g/E£>B=15°,由三角形的外角

性质得出NDGF=ZB+ZBAG,再由三角形的外角性质即可得出结论；

(2)由(1)得：NEDB=/C,ZBAG=-ZBAC,NBO"=L/EOB=1NC,由三角形的外

222

角性质和三角形内角和定理即可得出结论.

【详解】

(1)①若NBAC=1OO°,ZC=30°,

贝B=180°-100O-30<,=50°,

DEIIAC,

ZEDB=ZC=30°,

「AG平分NBAGDF平分NEDB,

/.ZBAG=-ZBAC=50°tZFDG=-ZEDB=\50,

22

/.ZDGF=ZB+ZBAG=500+50°=100<),

ZAFD=ZDGF+ZFDG=100o+15o=115<,；

若NB=40°,则/BAC+ZC=180°-40°=140\

「AG平分NBAC,DF平分NEDB,

/.N3AG=L/BAC,4FDG=、NEDB,

22

ZDGF=ZB+ZBAG,

ZAFD=ZDGF+ZFDG=ZB+ZBAG+ZFDG

=ZB+i(ZBAC+ZC)

=40°+-xl400

2

=400+70o=110°

故答案为：115。；110°；

②4FQ=900+g/B；

理由如下：由①得：ZEDB=ZC,ZBAG=-ZBAC,ZFDG=-^EDB,

22

•/ZDGF=ZB+ZBAG,

/.ZAFD=ZDGF+ZFDG

=NB+NBAG+ZFDG

=+g(/班C+NC)

=ZB+-(180°-ZB)

=90°+-ZB；

2

(2)如图2所示：ZAFD=90°-2-ZB；

理由如下：

由(1)得：ZEDB=ZC,ZBAG=-ZBAC,ZBDH=-ZEDB=-ZC,

222

,/ZAHF=ZB+NBDH,

ZAFD=1800-ZBAG-ZAHF

=180°--/BAC-ZB-4BDH

2

=