初中数学自主招生训练 03 代数方程（含解析）

专题03代数方程

一.选择题（共10小题）

1.（2020•南岸区自主招生）2020年5月以来，各地根据疫情防控工作需要，对重点人群进

行核酸检测.为尽快完成检测任务，某地组织甲、乙两支医疗队，分别开展检测工作，

甲队比乙队每小时多检测15人，甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%.若

设甲队每小时检测x人，根据题意，可列方程为（）

A.空2=-500一x（1-10%）B.日2x（1-10%）=50°

xx-15xx-15

c.32_=_§22＞义(1-10%)D.60°，X(1-10%)=-^52

x-15xx-15x

2.（201”柯桥区自主招生）方程组.的所有整数解的组数是（）

x+y=l

A.2B.3C.4D.5

3.（2019•南丹区校级自主招生）已知。是实数，则以下式子一定正确的是（）

B.a3>a2

C.2=a

D.关于。的方程J西=J助的实数解是±1

4.（2019•顺庆区校级自主招生）解关于x的方程」——f=x不会产生增根,则女的

x-1X2,xx+1

值是（）

A.2B.1C.ZW2且kW—2D.无法确定

'2_

5.（2018•青羊区自主招生）已知〃是奇数，机是偶数，方程2018x+3y=n有整数解即、

13x+28y=m

%.则（）

A.乂）、yo均为偶数B.xo、和均为奇数

C.刈是偶数，加是奇数D,3是奇数，加是偶数

6.（2013•青羊区校级自主招生）方程4x+ll-67x+2+Yx+27To6+2=1的实数根的个

数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

7.（2013•日照）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，

乙志愿者加入此项工作，且甲、乙两人工作效率相同，结果提前3天完成任务，则甲志

愿者计划完成此项工作的天数是（）

A.8B.7C.6D.5

8.（2020•浙江自主招生）方程为+3-班-1+4x+8-6夷-1=1的解的情况是（）

A.无解B.恰有一解

C.恰有两个解D.有无穷多个解

9.（2017•青羊区自主招生）关于x的方程/-/-2x+l=0的根的情况是（）

A.只有一个正根B.有三个正根

C.有两个正根，一个负根D.有一个正根，两个负根

10.（2016•深圳）施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际

每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米.设原计划

每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（）

A.2000_2000=2B.2000__2000_=2

xx+50x+50x

C2000.2000=2D_2000_2000

xx-50x-50x

二.填空题（共7小题）

11.（2021•黄州区校级自主招生）黄冈首届半程马拉松于5月6日在遗爱湖公园起跑，小林

与小雨两名同学为参加比赛，在学校运动场400米环形跑道上进行训练，两人各自以恒

定的速度沿逆时针方向跑步，已知每隔12分钟小林追上小雨一次，小林每圈花费的时间

比小雨少10秒，则小林跑步的速度为每秒米.

12.（2020•浙江自主招生）若方程9-3x+l=O的根也是方程/+ad+bx+c=o的根，则〃+〃+2c

f如x+l+电y-l=2

13.（2020♦浙江自主招生）方程组的解是

|x+y=26

14.（2020•浙江自主招生）若关于“方程/-37+2x+m（x-1）=0的三个实根可以作为三

角形的三边长，则实数机的取值范围是.

15.（2019•武侯区校级自主招生）已知关于x的方程

4X2-2X+142_4X+4+WX2-6X+9』恰好有两个实数解，则机的取值范围

为

16.(2018•温江区校级自主招生)若4sii?18°-2sin2180-3sinl8°+1=0,则sinl8°

x-y_x+y

17.（2018•浦东新区校级自主招生）关于x、y的方程组［x-y有____组解.

yVx=l

三.解答题（共5小题）

18.（2020•渝中区校级自主招生）2020年2月，因新冠肺炎确诊病例不断增加，湖北某医

疗救治中心计划购买一批无创呼吸机和双向呼吸机，两款共200台，预算分别为56万元

和156万元.已知每台双向呼吸机的售价是每台无创呼吸机售价的2倍少1000元.

（1）求该救治中心计划分别购进无创呼吸机和双向呼吸机各多少台？

（2）为了表达对湖北疫区人民支持，呼吸机生产厂家立即对两款呼吸机均进行打折零利

润销售，实际售价均在原售价的基础上下降了〃％,根据救治中心一线医护人员的实际需

求，双向呼吸机的实际购买量比原计划增加了工％,结果购买双向呼吸机比购买无创

12

呼吸机多花费了90.4万元，求。的值.

19.（2019•镜湖区自主招生）解下列方程（组）

(1)(2019-x)3+(x-2018)3=1：

9/二3y

1+9x22

2

9y_3z

1+9y22.

9z2_3x

1+9z22

20.（2019♦徐汇区校级自主招生）已知解方程：7a-Va+x=-

4.2..

21.（2019•青羊区校级自主招生）（1）已知J+4〃+l=0,Ha+1供求加的值.

3a3+ma2+3a

⑵解方程：2x2-3X+2XA/X2-3X+3=1,

22.（2017♦萧山区校级自主招生）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的包

手机二月售价比一月每台降价500元.如果卖出相同数量的Iphone4手机，那么一月销

售额为9万元，二月销售额只有8万元.

（1）一月切力。〃e4手机每台售价为多少元？

（2）为了提高利润，该店计划三月购进物4s手机销售，已知1面。件4每台进价为3500

元，/p力前e4s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进

这两种手机共20台，请问有几种进货方案？

(3)该店计划4月对IphoneA的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone^

手机再返还顾客现金〃元，而小力。出4s按销售价4400元销售，如要使(2)中所有方案

获利相同，〃应取何值？

专题03代数方程

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.【解答】解：由题意可得，

_600_=_500_x（i・io%）,

xx-15

故选：A.

2.【解答】解：・・・yx2+3"2=i，

(9

x+3x+2=0或y=-l

.*.y=l或.9

y卉0J+3x+2为偶数

①当y=l时，

•・"+y=1,

，x=0,

，卜二°;

ly=l

②当»+3户2=0时，

(x+2)(x+1)=0,

解得x=-2或x=-1,

当x=・2时，

-2+y=l,

・・・)，=3,

当x=-1时，

-l+y=l,

・・・)，=2,

所以卜7或卜=[

Iy=3Iy=2

③当y=・l时,・l+x=l,

此时?+3x+2=4+6+2=12,

.Y符合题意，

y=-l

综上所述所有整数解的组数为4,

故选：C.

3.【解答】解：A、G=IH，所以4选项错误；

B、当a=-l时，a3=-1,片=1,则/Vtz2,所以8选项错误;

C、(5)2=小所以C选项正确；

。、当。=-1时，中+产每所以。选项错误.

故选：C.

4.【解答】解：去分母得，x("l)-k=x(x-1),

解得上

2

・・・方程1r=_^不会产生增根,

x-1乂2-1x+1

・・・xW±l,

2

即〃W±2.

故选：C.

5.【解答】解：方程2018x+3y卬有整数解回、功,

13x+28y=m

.••201&X0+3yo2=〃?,13x()+281yo=〃？

Vxox和为整数，

・・・2OI8xo为偶数，28泗为偶数，

•・”是奇数，机是偶数，

・•・3和2是奇数，13即为偶数，

工川是奇数，刀0为偶数，

故选：C.

6.［解答］解：原方程可变形为d(x+2)-6Jx+5+9+4(x+2)-104x+5+25=1,

设Nx+2=y，贝Ux+2=)?

•••7y2-6y+9+7y2-10y+25=1

即y-3)2+7(y-5)2=b

・・・|y-3|+|y-5|=1

①当0WyV3时，

3-y+（5-y）=1,

解得y=£,

由于y的值不在当yV3的范围内，不合题意.

②当3WyV5时

y-3+5-y=1,此时方程无解；

③当卢5时，

y-3+y-5=1»

解得y=g,

2

由于y的值不在当y25的范围内，不合题意.

综上原方程无解.

故选：A.

7.【解答】解：方法1、设甲志愿者计划完成此项工作需x天，故甲的工效都为:1

x

由于甲、乙两人工效相同，则乙的工效为工

X

甲前两个工作日完成了工X2,剩余的工作量甲完成了工（X-2-3），

XX

乙在甲工作两个工作日后完成了工（X-2-3），

x

则2+2（，-2-3）=],

xx

解得x=8,

经检验，x=8是原方程的解.

故选：A.

方法2、设甲志愿者计划完成此项工作需。天，则一天完成工作总量的工，

a

由于甲、乙两人工效相同，则乙的一天完成工作总量的工，

a

甲实际工作了（a-3）天，乙比甲少工作两天，实际工作了（a-5）天，

即用甲的工作量加乙的工作量=1,建立方程2X（fl-3）+lx（。-5）=1,

aa

故选：A.

8.【解答】解：将方程变形为J（«刁.2）2T（后1-3）2=1…①，

若'xT>3,则①成为（Vx_l-2）+（Vx-l-3）=1,即Yx-l=3,得x=10；

若TxT<2,则①成为（2T乂-1）+（3--xT）=1,即MxT=2,得x=5；

若2<后1<3,即5VXV10时，则①成为（后1-2）+（3-正工）=1,即1=1,这

是一个恒等式，满足5VxV10的任何x都是方程的解，

结合以上讨论，可知，方程的解是满足5WxW10的一切实数，即有无穷多个解.

故选：D.

9.【解答］解：关于x的方程/-/-2x+l=0变形为/-x-2=1

7

在坐标系中画出函数y=d-X-2与函数y=-2的图象如图:

由图象可知，函数y=7・x-2与函数y=-上的交点在第三象限一个，第四象限两个,

x

・♦・关于”的方程-2r+l=0有两个正根，一个负根，

故选：C.

10.【解答】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+50）米，

根据题意，可列方程：2000__200^=2>

xx+50

故选：A.

二.填空题（共7小题）

11•【解答】解：设小林跑步的速度为x米/秒，则小雨跑步的速度为J-—米/秒,

12X60

依题意，得：一嚓「-驷＞=1（）,

400x

.一12X6。

解得：XI=--，。=5,

9

经检验，司=-地，也=5均为原分式方程的解，x=5符合题意.

9

故答案为：5.

12.【解答】解：设川是方程*-3x+l=O的一个根，则相2-3帆+1=0,所以毋=3〃?_].

由题意，，"也是方程x4+ad+加r+c=0的根，所以m4+am2+bfn+c=0,

把n?=3m-1代入此式，得（3m-1）2+am2+bm+c=O,整理得（9+a）+（-6+b）

/n+c+1=0.

从而可知：方程$・3户1=0的两根也是方程（9+a）W+（-6+幻x+c+l=O的根，

这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，

从而有（9+〃）/+（-6+b）x+c+\=k（x2-3x+l）（其中Z为常数），

所以9+。=女，-6+b=・3k,c+\=k.

所以。=2-9,b=-3k+6,c=k-1,

因此，a+h-2c=k-9+（-32+6）+⑵-1）=-5.

故答案为-5.

13.【解答】解：设x+l=a,j-\=b,则原方程可变为+脆=2①，

a+b=26②

由②式又可变化为（我+如）（江-仁+江）=26，

把①式代入得（V?一位+抬）=13,这又可以变形为（圾+如）2-3宜=13,

再代入又得-3切花=9,

解得ab=-27,

又因为a+b=26,

所以解这个方程组得（秆27或卜二T,

lb=-llb=27

于是⑴卜+『27,解得卜侬；

y-l=-ly=0

（2）fx+1=-1,解得卜=-2.

y-l=271y=28

Xj=26>2:-2

故答案为，

了1=0y2=28

14.【解答】解：由原方程变形可得：（x-1）（？-2x+m）=0,

・•・方程的三个实根中其中一根满足R=1,

由/・2x+m=0,得△=4-4”20,

设方程两根为X2,工,

贝11犯+犬3=2,X2*X3=m,

若方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长,

m>0

则《△=4-4m>0,

|x2"x3|<1

X3|=2=

由咫■V（x2+x3）-4X2X3VT^＜1可得相＞弓，

解得：

4

故答案为：2■〈机《1.

4

15.【解答】解：令尸NX2-2X+1-YX2_4X+4+21乂2-6乂+9

=V(x-l)2-V(X-2)2+27(X-3)2

=k-1|-|X-2|+2|X-3|

'5-2x(x<1)

<3(l<x<2)

-7-2x(2<x<3)>

2x-5(x>3)

画函数图象如图，要使原方程恰好有两个实数解，

则产，2.2乂+1-dx2-4x+4+A/x2-6x+9与丁=机的图象恰好有两个不同的交点，

由函数图象知帆＞1且加金3,

16.【解答】解：V4sin318°-2sin218°-3sinl8°+1=0,

.,.4sin3180-4sinl80-2sin218°+sinl8°+1=0,

/.4sinl8°(sin218°-1)-(2sin2180-sinl8°-1)=0,

4sinl8°(sin180-I)(sinl80+1)-(2sinl80+1)(sin180-1)=0,

(sinl80-1)(4sin2180+2sinl80-1)=0,

Vsinl8°-l#0,

A4sin2180+2sinl8°-1=0,

；・sinl8=^-l,(负值舍去)，

4

故答案为：返11.

4

17.【解答】解：把)，——"=1两边平方得到丁・X=1,则X=y2,

把x=V2代入方程Z-)'=)2得V28"=y+>;

当y=l时，x=l,

当yWl,则・2(x-y)=x+y,所以y=3x,x=X,

3

・*=今，解得y=加,

dy

3

rJ/3

经检验方程组的解为!xT或'3.

iy=1|y=^

故答案为2.

三.解答题(共5小题)

18.【解答】解：(1)设无创呼吸机售价4元，则双向呼吸机售价(2.1000)台,

依题意得：560000+1560000=200,

x2x-1000

整理得：X2-7200x+1400(X)0=0,

解得：Xi=200,X2=7000.

经检验，为=200,肥=7000都是原方程的解.

•・“元，2x-1000>0,

Ax=7000,

5600004-7000=80(台)，1560(X)04-(2X7000-1000)=120(台)，

答：该救治中心计划分别购进无创呼吸机80台，购进双向呼吸机120台；

(2)依题意得：无创呼吸机实际售价7000(1-°%)元，双向呼吸机实际售价(2X7000

-1000)(1-«%)=1300(1・〃%)元,

120(1+-La%)X13000(1-。％)=80X7000(1・〃％)+904000,

12

整理得：-65/+3300〃-1300800=0,

解得：a=34.69(负值舍去).

答:。的值为34.69.

19.【解答】解：(1)令勿=20197,〃=x-2018,

rm+n=l①

则lQQ，

mJ+nJ=l②

由①得n=\-m,

代入②得w3+(1-m)3=1,

化简得n?-m=0,

解得m=0或tn=1,

.\2OI9-x=OW<2O19-x=l,

・・・x=2019或x=2018；

x=0

（2）观察发现（y=0为一组解,

z=0

若x,y,z不为0,

「12

77与

2可金三式相加得成⑴2++小+匕2°,

•*•：1=0且;1=0且：『o，

3x3y3z

，1

1

解得一，

1

综上,该方程组的解为4

20.【解答］解：设瓦，则

则原式变形为：Na-y=x,

；・，=a-><2),

②-①得：x2-y2=-y-x,

(x+y)(x=0,

，x+y=O或x・y+1=0,

当x+y=O时,

•.”20,y20,

/•x=y=0>

・