2025年岳麓版高一数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年岳麓版高一数学下册阶段测试试卷970考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、在平面内有DABC和点O，若则点O是DABC的（）A.重心B.垂心C.内心D.外心2、【题文】设则等于()A.B.C.D.3、设函数满足且当时，又函数则函数在上的零点个数为（）A.3B.4C.5D.64、已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=若球O的体积为则这个直三棱柱的体积等于（）A.B.C.2D.5、已知样本：。10861013810121178911912910111211那么频率为0.2的范围是（）A.5.5～7.5B.7.5～9.5C.9.5～11.5D.11.5～13.56、已知sin（）=则cos（）=（）A.B.-C.D.-7、己知α是第三象限角，且tanα=则cosα的值是（）A.-B.C.D.-评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)8、已知正方体外接球的表面积为那么正方体的棱长等于________。9、Sn为数列{an}的前n项和，则an=____．10、化简的值为．11、【题文】P为△ABC所在平面外一点；O为P在平面ABC内的射影．

(1)若P到△ABC三边距离相等；且O在△ABC的内部，则O是△ABC的________心；

(2)若PA⊥BC；PB⊥AC，则O是△ABC的________心；

(3)若PA，PB，PC与底面所成的角相等，则O是△ABC的________心．12、【题文】函数的定义域为____13、【题文】已知函数若对任意实数均有意义,则的取值范围为____.14、已知函数则函数f（x）的值域为______．评卷人得分三、证明题(共8题，共16分)15、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．16、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．17、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．18、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．19、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．20、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．21、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．22、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．评卷人得分四、作图题(共3题，共9分)23、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．24、画出计算1++++的程序框图．25、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、B【分析】【解析】试题分析：∵∴∴=0,∴OB⊥AC，同理可得OA⊥BC，∴点O是△ABC的三条高的交点，故选B。考点：平面向量的数量积，向量垂直的条件。【解析】【答案】B2、C【分析】【解析】本题考查换底公式；对数的计算相关知识。

【解析】【答案】C3、B【分析】【解答】由题意可知函数均为偶函数，函数在上的零点即为函数图像的交点，分别作图像如图所示，它们在区间上有4个交点，故函数在上的零点个数为4；故答案选B.

4、B【分析】【解答】解：设△ABC和△A1B1C1的外心分别为O1、O2，连接O1O2；

可得外接球的球心O为O1O2的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C

△ABC中，cosA=

∵A∈（0，π），∴A=

根据正弦定理，得△ABC外接圆半径O1A==1

∵球O的体积为V=∴OA=R=

Rt△O1OA中，O1O==2，可得O1O2=2O1O=4

∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积S△ABC=AB•ACsin=

∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为S△ABC×O1O2=

故选：B

【分析】根据直三棱柱的性质和球的对称性，得球心O是△ABC和△A1B1C1的外心连线段的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C．在△ABC中利用正、余弦定理算出O1A=1，由球O的体积算出OA=然后在Rt△O1OA中，用勾股定理算出O1O=2，得三棱柱的高O1O2=4，最后算出底面积S△ABC=可得此直三棱柱的体积．5、D【分析】【解答】解：∵共20个数据；频率为0.2的频数为20×0.2=4；

又∵其中在11.5─13.5之间的有4个；

∴频率为0.2的是11.5～13.5．

故选D．

【分析】由频率的意义可知，每小组的频率=小组的频数÷样本容量．要使频率是0.2，频数应等于20×0.2=4．6、B【分析】【解答】解：

故选B．

【分析】利用诱导公式可得利用条件求得结果．7、D【分析】解：∵α是第三象限角，且tanα==则cosα＜0；

再根据sin2α+cos2α=1，求得cosα=-

故选：D．

由条件利用同角三角函数的基本关系；三角函数在各个象限中的符号，求得cosα的值．

本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．【解析】【答案】D二、填空题(共7题，共14分)8、略

【分析】【解析】试题分析：因为，正方体外接球的表面积为所以其直径为4，设正方体棱长为a，由正方体的对角线为其外接球直径，得，所以，正方体的棱长等于考点：正方体及其外接球的几何特征。【解析】【答案】9、略

【分析】

当n=1时，S1=-3×12+6×1+1=4；

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-3n2+6n+1-[-3（n-1）2+6（n-1）+1]=9-6n；

又n=1时，a1=9-6=3；不满足通项公式；

∴其通项公式为

故答案为：

【解析】【答案】根据数列{an}的前n项和Sn，表示出数列{an}的前n-1项和Sn-1，两式相减即可求出此数列的通项公式，然后把n=1代入看是否满足，求出的an即为通项公式．

10、略

【分析】【解析】

因为【解析】【答案】011、略

【分析】【解析】(1)P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，可知O到△ABC三边距离相等，即O是△ABC的内心；(2)由PO⊥平面ABC且BC平面ABC，得PO⊥BC，又PA⊥BC，PO与PA是平面POA内两条相交直线，所以BC⊥平面POA，从而BC⊥AO.同理AC⊥BO，所以O是△ABC的垂心；由PA、PB、PC与底面所成的角相等，易得Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，从而OA＝OB＝OC，所以O是△ABC的外心．【解析】【答案】(1)内(2)垂(3)外12、略

【分析】【解析】本题考查了函数的定义域的求解。

解：解得：

所以函数的定义域为【解析】【答案】（-1,1）13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】14、略

【分析】解：∵函数

∴f'（x）=1-

由f'（x）≥0；解得2≤x≤5，此时函数单调递增．

由f'（x）≤0；解得1≤x≤2，此时函数单调递减．

∴函数f（x）的最小值为f（2）=2

∵f（1）=1+4=5，f（5）=5+．

∴最大值为f（5）=

∴4

即函数的值域为：．

故答案为：．

求函数的导数利用函数的单调性求值域即可．

本题主要考查函数的值域的求法，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．【解析】三、证明题(共8题，共16分)15、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．16、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．17、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．18、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．19、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．20、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．21、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．22、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接