2025年沪教版高一数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪教版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、已知a,b均为单位向量，它们的夹角为那么|a+3b|=（）A.B.C.D.2、【题文】已知平面平面直线直线不垂直，且交于同一点则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、【题文】已知p：q：则是成立的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4、【题文】是“成等比数列”的（）

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件。

(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件5、若存在对于定义域为R的函数f（x），若存在非零实数x0，使函数f（x）在（﹣∞，x0）和（x0，+∞）上均有零点，则称x0为函数f（x）的一个“纽点”．则下列四个函数中，不存在“纽点”的是（）A.f（x）=x2+bx﹣1（b∈R）B.f（x）=2x﹣x2C.f（x）=﹣x﹣1D.f（x）=2﹣|x﹣1|6、已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t（小时）的函数表达式是（）A.x=60tB.x=60t+50tC.D.x=7、方程2x=x+1的解的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个8、已知圆C1：（x-3）2+y2=1，圆C2：x2+（y+4）2=16，则圆C1，C2的位置关系为（）A.相交B.相离C.内切D.外切9、已知abcd

都是常数，a>bc>d

若f(x)=2017鈭�(x鈭�a)(x鈭�b)

的零点为cd

则下列不等式正确的是(

)

A.a>c>b>d

B.a>b>c>d

C.c>d>a>b

D.c>a>b>d

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)10、方程的解x=____．11、在三角形ABC中，bcosC=CcosＢ，则三角形ＡＢＣ是____三角形。12、将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则____13、228与1995的最大公约数是。14、【题文】已知函数f(x)＝若f(a)＝a，则实数a＝________．15、【题文】已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)过点P(－1，－1)，c为椭圆的半焦距，且c＝b．过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M；N．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l1的斜率为－1；求△PMN的面积；

（3）若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．16、函数y=的定义域是____．17、终边在坐标轴上的角的集合为____________．18、求和11脳2+12脳3+13脳4++199脳100=

______．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)19、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．20、作出下列函数图象：y=21、作出函数y=的图象．22、画出计算1++++的程序框图．23、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

24、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．25、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．评卷人得分四、解答题(共2题，共18分)26、(本小题12分)已知函数（Ⅰ）用分段函数的形式表示该函数；（Ⅱ）画出该函数的图象；（Ⅲ）根据图象，写出函数的值域.27、（1）化简计算

（2）lg14-2lg+lg7-lg18．

评卷人得分五、证明题(共4题，共8分)28、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．29、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．30、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．31、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．评卷人得分六、综合题(共2题，共14分)32、取一张矩形的纸进行折叠；具体操作过程如下：

第一步：先把矩形ABCD对折；折痕为MN，如图（1）所示；

第二步：再把B点叠在折痕线MN上；折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图（2）所示；

第三步：沿EB′线折叠得折痕EF；如图（3）所示；利用展开图（4）所示．

探究：

（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．

（2）对于任一矩形；按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．

（3）如图（5）；将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达式为y=kx-k（k＜0）

①问：EF与抛物线y=有几个公共点？

②当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x，y），求的值．33、已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧）；且A点坐标为（-4，4）．平行于x轴的直线l过（0，-1）点．

（1）求一次函数与二次函数的解析式；

（2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系；并给出证明；

（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】【解析】试题分析：因为a,b均为单位向量，它们的夹角为那么可知ab=而对于（a+3b）2=1+9+6=13，可知向量的平方等于模长的平方，可知|a+3b|=选C.考点：向量的模【解析】【答案】C2、C【分析】【解析】解：因为平面平面直线直线不垂直，且交于同一点则“”是“”的充要条件，选C【解析】【答案】C3、A【分析】【解析】化简P：

化简q:【解析】【答案】A4、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B5、C【分析】【解答】解：A、f（x）=x2+bx﹣1（b∈R）为二次函数，△=b2+4＞0，有两个零点，且分布在图象对称轴x=两侧，则纽点为

B、分别做y=2x与y=x2图象；如图交于两点，则有图可知纽点存在，可以取为0

C、f（x）=﹣x﹣1；函数图象。

只有一个零点；不存在纽点；

D；f（x）=2﹣|x﹣1|的纽点为1；

故选C．

【分析】本题以新定义的形式考察函数的零点，A利用二次函数的性质求解，B，C可以利用函数的图象求解，D利用绝对值求解．6、D【分析】【解答】解：由题意得A；B两地相距150km；

某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地；可得从A到B须要2.5小时，以50km/h的速度返回A地，从B到A需要3小时。

∴当0≤t≤2.5时；x=60t；

当2.5＜t≤3.5时；x=150；

当3.5＜t≤6.5时；x=150﹣50（t﹣3.5）；

故

故选D

【分析】由已知中A，B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1h后再以50km/h的速度返回A地，我们可以分别求出A到B，停留，及B到A时路程x（km）表示为时间t（h）的函数表达式，综合讨论结果，即可得到函数的解析式．7、C【分析】【解答】解：设f（x）=2x；g（x）=x+1，作出两个函数的图象如图；

由图象知两个函数有两个交点；

即方程程2x=x+1的解的个数2个；

故选：C

【分析】根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数进行求解即可．8、D【分析】解：∵圆C1：（x-3）2+y2=1，圆C2：x2+（y+4）2=16；

∴圆C1，C2的圆心坐标，半径长分别为C1（3，0），r1=1；C2（0，-4），r2=4．

∵|C1C2|==5，r1+r2=5；

∴|C1C2|=5=r1+r2；

则圆C1，C2外切．

故选D

由两圆的方程找出两圆心坐标与各自的半径；即可判断出两圆的位置关系．

此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，两圆半径为R，r，圆心距为d，当d＜R-r时，两圆内含；当d=R-r时，两圆内切；当R-r＜d＜R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆外离．【解析】【答案】D9、D【分析】解：由题意设g(x)=(x鈭�a)(x鈭�b)

则f(x)=2017鈭�g(x)

所以g(x)=0

的两个根是ab

由题意知：f(x)=0

的两根cd

也就是g(x)=2017

的两根；

画出g(x)(

开口向上)

以及直线y=2017

的大致图象；

则与f(x)

交点横坐标就是cd

f(x)

与x

轴交点就是ab

又a>bc>d

则cd

在ab

外；

由图得，c>a>b>d

故选D．

由题意设g(x)=(x鈭�a)(x鈭�b)

则f(x)=2017鈭�g(x)

由函数零点的定义求出对应方程的根，画出g(x)

和直线y=2017

的大致图象，由条件和图象判断出大小关系．

本题考查函数的零点、对应方程的根、以及函数图象之间的关系，考查转化思想、数形结合思想，构造法的应用，正确构造函数和画出图象是解题的关键．【解析】D

二、填空题(共9题，共18分)10、略

【分析】

由得，22x=4+3•2x；

∴22x-3•2x-4=0；

设t=2x，则t＞0，∴方程为：t2-3t-4=0；

解得；t=4或t=-1（舍去），∴x=2；

故答案为：2．

【解析】【答案】先把对数式转化为指数式22x=4+3•2x，再设t=2x；并求出t的范围，再代入转化为关于t的二次方程进行求解．

11、略

【分析】【解析】试题分析：【解析】

∵ccosB=bcosC，∴由正弦定理，化边为角得到sinCcosB=sinBcosC，∴sin（B-C）=0，∴B=C，∴是等腰三角形。考点：正弦定理【解析】【答案】等腰12、略

【分析】的图象向左平移个单位可得所以【解析】【答案】13、略

【分析】用更相减损术来算228和1995的最大公约数1995-228=17671767-228=15391539-228=13111311-228=10831083-228=855855-228=627627-228=399399-228=171228-171=57171-57=114114-57=57【解析】【答案】5714、略

【分析】【解析】若a≥0，则1－a＝a，得a＝若a<0，则＝a，得a＝－1.【解析】【答案】或－115、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）根据题意可得且加之的关系，可求得（2）由于直线的斜率已确定，则可由其与椭圆方程联立方程组，求出点M的坐标，因两直线垂直，故当时，用代替进而求出点N的坐标，得再由两点间的距离公式求出：即可求出的面积;（3）观察本题条件可用设而不求的方法处理此题，即设出点两点均在椭圆上得：观察此两式的结构特征是一致的，则将两式相减得由题中条件线段的中点在x轴上，所以从而可得此式表明两点横坐标的关系：可能相等;可能互为相反数，分两种情况分类讨论：当时，再利用可转化为进一步确定出两点的坐标或即可求出直线的方程为同理当求出直线的方程为．

试题解析：（1）由条件得且所以解得．

所以椭圆方程为：．3分。

（2）设方程为

联立消去得．

因为解得．5分。

当时，用代替得．7分。

将代入，得．

因为所以

所以的面积为．9分。

（3）设则。

两式相减得

因为线段的中点在x轴上，所以从而可得．12分。

若则．

因为所以得．

又因为所以解得所以或．

所以直线的方程为．14分。

若则

因为所以得．

又因为所以解得

经检验：满足条件，不满足条件．

综上，直线的方程为或．16分。

考点：1.椭圆方程;2.直线与椭圆的位置关系【解析】【答案】（1）（2）2;（3）或．16、（1]【分析】【解答】解：要使函数有意义，则需即

即有解得，．

则定义域为（1]．

故答案为：（1]．

【分析】要使函数有意义，则需运用对数函数的单调性及异常不等式的解法即可得到定义域．17、略

【分析】解：终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为{α|α=kπ+k∈Z}，故合在一起即为{α|α=n∈Z}

故答案为：{α|α=n∈Z}【解析】{α|α=n∈Z}18、略

【分析】解：隆脽11脳2+12脳3+13脳4++199脳100=1鈭�12+12鈭�13++199鈭�1100

=1鈭�1100=99100

故答案为：99100

结合数列的通项的特点；考虑利用裂项求和。

本题主要考查了数列的裂项求和方法的应用，属于基础试题【解析】99100

三、作图题(共7题，共14分)19、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．20、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．21、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可22、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．23、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．24、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。25、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．四、解答题(共2题，共18分)26、略

【分析】本题考查了由函数解析式画出函数图象，根据图象求出函数的值域和单调区间，考查了作图和读图能力．（1）根据x的符号分-2＜x≤0和0＜x≤2两种情况，去掉绝对值求出函数的解析式；（2）根据（1）的函数解析式，画出函数的图象；（3）根据函数的图象求出函数的值域和函数单调区间．【解析】

（Ⅰ）4分（Ⅱ）8分（Ⅲ）函数的值域为12分【解析】【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）函数的值域为27、略

【分析】

（1）原式===

（2）原式=lg14-lg+lg7-lg18=lg=lg1=0．

【解析】【答案】（1）利用指数幂的运算性质即可求出；

（2）利用对数的运算性质即可算出．

五、证明题(共4题，共8分)28、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．29、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．30、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．31、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．六、综合题(共2题，共14分)32、略

【分析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；以及矩形性质得出∠AEF=60°，∠EAF=60°，即可得出答案；

（2）根据矩形的长为a，宽为b，可知时，一定能折出等边三角形，当＜b＜a时；不能折出；

（3）①由已知得出得到x2+8kx-8k=0，△=（8k）2+32k=32k（2k+1）；再分析k即可得出答案；

②得出Rt△EMO∽Rt△A′AD，进而得出，即可求出答案．【解析】【解答】解：（1）△AEF是等边三角形

证明：∵PE=PA；

B′P是RT△AB′E斜边上的中线

∴PA=B′P；

∴∠EAB′=∠PB′A；

又∵PN∥AD；

∴∠B′AD=∠PB′A；

又∵2∠EAB′+∠B′AD=90°；

∴∠EAB′=∠B′AD=30°；

易证∠AEF=60°；∴∠EAF=60°；

∴△AEF是等边三角形；

（2）不一定；

设矩形的长为a，宽为b，可知时；一定能折出等边三角形；

当＜b＜a时；不能折出；

（3）①由；

得