《概率论与数理统计》练习题

PAGEPAGE13《概率论与数理统计》练习题一、单项选择题1.A、B为两事件，则=（）A．B．∪C．AD．∩2.对任意的事件A、B，有（）A．，则不可能事件B．，则为必然事件C．D．3.事件A、B互不相容，则（）A．B．C．D．4．设为随机事件，则下列命题中错误的是（）A．与互为对立事件 B．与互不相容C． D．5.任意抛一个均匀的骰子两次，则这两次出现的点数之和为8的概率为（）A．B．C．D．6.已知A、B、C两两独立，，，则等于（）A．B．C．D．7.事件A、B互为对立事件等价于（）（1）A、B互不相容（2）A、B相互独立（3）（4）A、B构成对样本空间的一个划分8.A、B为两个事件，则=（）A．B．C．D．9.、、为三个事件，则（）A．若相互独立，则两两独立；B．若两两独立，则相互独立；C．若，则相互独立；D．若与独立，与独立，则与独立10．设与相互独立，，，则（）A．0.2 B．0.4C．0.6 D．0.811．同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好三枚均为正面朝上的概率为（）A.0.125 B.0.25C.0.375 D.0.512．设A、B为任意两个事件，则有（）A.（A∪B）-B=A B.(A-B)∪B=AC.(A∪B)-BA D.(A-B)∪BA13．设A，B为两个互不相容事件，则下列各式错误的是（）A．P（AB）=0 B．P（A∪B）=P（A）+P（B）C．P（AB）=P（A）P（B） D．P（B-A）=P（B）14．设事件A，B相互独立，且P（A）=，P（B）>0，则P（A|B）=（）A． B．C． D．15．设事件A与B互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则有（）A．P()=l B．P(A)=1-P(B)C．P(AB)=P(A)P(B) D．P(A∪B)=116．设A、B相互独立，且P(A)>0，P(B)>0，则下列等式成立的是（）A．P(AB)=0 B．P(A-B)=P(A)P()C．P(A)+P(B)=1 D．P(A|B)=017．同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（）A．0.125 B．0.25C．0.375 D．0.5018．某射手向一目标射击两次，Ai表示事件“第i次射击命中目标”，i=1，2，B表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B=（）A．A1A2 B．C． D．19．某人每次射击命中目标的概率为p(0<p<1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为（）A．p2 B．(1-p)2C．1-2p D．p(1-p)20．已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，且AB，则P(A|B)=（）A．0 B．0.4C．0.8 D．121．一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为（）A．0.20 B．0.30C．0.38 D．0.5722．的密度为，则A=（）A．B．C．1D．2012P23．离散型随机变量的分布列为其分布函数为,则()A．0B．C．D．124．随机变量的密度函数则常数=（）A．B．C．4D．525．离散型随机变量的分布列为012 其分布函数为，则()A．B．C．D．126．设随机变量X服从参数为3的指数分布，其分布函数记为，则（）A． B．C． D．27．设随机变量的概率密度为则常数（）A． B．C．3 D．428．设随机变量与独立同分布，它们取-1，1两个值的概率分别为，，则（）A． B．C． D．29．设三维随机变量的分布函数为，则（）A．0 B．C． D．130．设随机变量和相互独立，且，，则（）A． B．C． D．31．设随机变量X的概率密度为f(x)=则P{0.2<X<1.2}的值是（）A．B．C．D．32．某人射击三次，其命中率为0.7，则三次中至多击中一次的概率为（）A.B.C.0.189D.0.21633．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y).其联合概率分布为（）YX012-10.20.10.1000.3020.100.2则F（0,1）=()A.B.C. D.0.835．设随机变量X在[-1，2]上服从均匀分布，则随机变量X的概率密度f（x）为（）A． B．C． D．36．设随机变量X~B，则P{X1}=（）A． B．C． D．37．设二维随机变量（X，Y）的分布律为YX12312则P{XY=2}=（）A． B．C． D．38．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为则当0y1时，（X，Y）关于Y的边缘概率密度为fY（y）=（）A． B．2xC． D．2y39．设函数f(x)在[a，b]上等于sinx，在此区间外等于零，若f(x)可以作为某连续型随机变量的概率密度，则区间[a，b]应为（）A．[] B．[]C． D．[]40．设随机变量X的概率密度为f(x)=，则P(0.2<X<1.2)=（）A．0.5 B．0.6C．0.66 D．0.741．设在三次独立重复试验中，事件A出现的概率都相等，若已知A至少出现一次的概率为19／27，则事件A在一次试验中出现的概率为（）A． B．C． D．42．设随机变量X，Y相互独立，其联合分布为则有（）A． B．C． D．43．设随机变量X的分布律为X012P0.30.20.5则P{X<1}=（）A．0 B．0.2C．0.3 D．0.544．下列函数中可作为某随机变量的概率密度的是（）A． B．C． D．45.随机变量服从二项分布，则（）A．2B．C．2，D．，46.可取无穷多个值，其概率分布为普阿松分布，则（）A．=3B．=C．=3，=D．=，=47.随机向量有,协方差，则A．1 B．37 C．61 D．8548.设X~B(10,),则（）A. B.C.1 D.49．已知随机变量X的分布函数为F(x)=则X的均值和方差分别为（）A.E(X)=2,D(X)=4 B.E(X)=4,D(x)=2C.E(X)=,D(X)= D.E(X)=,D(X)=50．设随机变量X的E（X）=,D(X)=，用切比雪夫不等式估计（）A. B.C. D.151．设二维随机变量（X，Y）的分布律为YX01010则E（XY）=（）A． B．0C． D．52．已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量X的方差为（）A．-2 B．0C． D．253．设是n次独立重复试验中事件A出现的次数，P是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的，均有（）A．=0 B．=1C．>0 D．不存在54．设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为2的指数分布，Y～B(6，)，则E(X-Y)=（）A． B．C．2 D．555．设二维随机变量(X，Y)的协方差Cov(X，Y)=，且D(X)=4，D(Y)=9，则X与Y的相关系数为（）A． B．C． D．156.设总体服从，为其样本，则服从（）57.设总体X服从，…为其样本，则服从（）58．设总体的分布律为，，其中.设为来自总体的样本，则样本均值的标准差为（）A． B．C． D．59．设随机变量，且与相互独立，则（）A． B．C． D．60.记F1-α(m,n)为自由度m与n的F分布的1-分位数，则有（）A. B.C. D.61．设x1,x2,…,x100为来自总体X~N（0，42）的一个样本，以表示样本均值，则~（）A．N（0，16） B．N（0，0.16）C．N（0，0.04） D．N（0，1.6）62．设总体X～N()，X1，X2，…，X10为来自总体X的样本，为样本均值，则～（）A． B．C． D．63．设X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本，为样本均值，则样本方差S2=（）A． B．C． D．64．设总体为来自总体的样本，均未知，则的无偏估计是（）A． B．C． D．66.总体服从，其中为未知参数,为样本,则下面说法错误的是()A．是EX的无偏估计量B．是DX的无偏估计量C．是EX的矩估计量D．是的无偏估计量67．矩估计必然是（）(1)无偏估计(2)总体矩的函数(3)样本矩的函数(4)极大似然估计68．设是未知参数的一个估计量，若，则是的（）A．极大似然估计B．矩估计C．无偏估计D．有偏估计二、填空题1.A、B为两事件，，，，则。2.一小组共10人，得到3张电影票，他们以摸彩方式决定谁得到此票，这10人依次摸彩，则第五个人摸到的概率为。3．有甲、乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为_______。4．某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.5，则4次射击中恰好命中3次的概率为_______。5．连续抛一枚均匀硬币6次，则正面至少出现一次的概率为___________。6．设事件A，B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.2,则P(A∪B)=___________。7．某人工作一天出废品的概率为0.2，则工作四天中仅有一天出废品的概率为___________。8．袋中有5个黑球3个白球，从中任取4个球中恰有3个白球的概率为___________。9．设A，B为两个随机事件，且A与B相互独立，P（A）=0.3，P（B）=0.4，则P（A）=__________。10．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为_________。11．将三个不同的球随机地放入三个不同的盒中，则出现两个空盒的概率为______。12．袋中有8个玻璃球，其中兰、绿颜色球各4个，现将其任意分成2堆，每堆4个球，则各堆中兰、绿两种球的个数相等的概率为______。13．已知事件A、B满足：P(AB)=P()，且P(A)=p，则P(B)=______。14．同时扔3枚均匀硬币，则至多有一枚硬币正面向上的概率为________。15．设随机事件A与B互不相容，且P(A)=0.2，P(A∪B)=0.6，则P(B)=________。16．设事件A与B相互独立，且P(A∪B)=0.6，P(A)=0.2，则P(B)=________。17．设，P(B|A)=0.6，则P(AB)=________。18．10件同类产品中有1件次品，现从中不放回地接连取2件产品，则在第一次取得正品的条件下，第二次取得次品的概率是________。19．某工厂一班组共有男工6人、女工4人，从中任选2名代表，则其中恰有1名女工的概率为________。20．设离散型随机变量的分布函数为则_______。21．设随机变量，则_______。22．设随机变量，则_______。23．设随机变量，则_______。24．已知当时，二维随机变量的分布函数，记的概率密度为，则_______.25．设二维随机变量的概率密度为则_______。26．已知随机变量X的分布函数为F(x)=则P{2<X≤4}=___________。27．已知随机变量X的概率密度为f(x)=ce-|x|，-∞<x<+∞，则c=___________。28．设二维随机变量(X,Y)的分布律为YX0502

则P{XY=0}=___________。29．设(X,Y)的概率密度为f(x,y)=则X的边缘概率密度为fX(x)=___________。30．设X与Y为相互独立的随机变量，其中X在(0，1)上服从均匀分布，Y在(0，2)上服从均匀分布，则(X，Y)的概率密度f(x,y)=__________。31．设随机变量X的概率密度则常数A=_________。X-101P2C0.4C32．设随机变量X的分布律为则常数C=_____。33．设离散型随机变量X的分布函数为F（x）=则P{X>1}=_________。34．设随机变量X的分布函数为F（x）=则当x10时，X的概率密度f（x）=__________。35．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为，则P{0X1,0Y1}=___________。36．设二维随机变量（X，Y）的分布律为YX12312则P{Y=2}=___________.37．设连续型随机变量X～N(1，4)，则～______。38．设随机变量X的概率分布为F(x)为其分布函数，则F(3)=______．39．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P{X≥1)=，则P{Y≥1)=__。40．设随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)=，则X的边缘分布函数Fx(x)=______。41．设二维随机变量(X，Y)的联合密度为：f(x，y)=，则A=______。42．设连续型随机变量X的分布函数为其概率密度为f(x)，则f()=________。43．设随机变量X～U(0，5)，且Y=2X，则当0≤y≤10时，Y的概率密度fY(y)=________。44．设相互独立的随机变量X，Y均服从参数为1的指数分布，则当x>0，y>0时，(X，Y)的概率密度f(x，y)=________。45．设二维随机变量(X，Y)的概率密度f(x,y)=则P{X+Y≤1}=________。46．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=则常数a=_______。47．设二维随机变量(X，Y)的概率密度f(x,y)=，则(X，Y)关于X的边缘概率密度fX(x)=________。48.设的联合分布为则49.设服从二项分布，则=。50.设服从二项分布，则。51.总体服从，则。52．设二维随机变量的分布律为YX0112则_______。X-11P53．设随机变量的分布律为，则=_______X-11P54.设随机变量X在区间[-1，2]上服从均匀分布。随机变量则_____。55.设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4。而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式有估计_。56.设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计__。57．设随机变量与相互独立，且，则与的相关系数_____。58．设随机变量，由中心极限定量可知，_______.(Φ(1.5)=0.9332)59.设随机变量X具有分布P{X=k}=，k=1,2,3,4,5，则D(X)=___________。60.若X~N(3,0.16)，则D(X+4)=___________。61.设Xi=(i=1,2,…,100)，且P(A)=0.8,X1，X2，…，X100相互独立，令Y=，则由中心极限定理知Y近似服从于正态分布，其方差为___________。62．设随机变量X~B，则D（X）=_________。63．设随机变量X的概率密度为则E（X）=________.64．已知E（X）=2，E（Y）=2，E（XY）=4，则X，Y的协方差Cov（X,Y）=____________。65．设随机变量X~B（100，0.2），应用中心极限定理计算P{16X24}=__________。（附：Φ（1）=0.8413）66．设X～N(0，1)，Y=2X-3，则D(Y)=______。67．设随机变量X与Y相互独立，其分布律分别为则E(XY)=________。68．设X，Y为随机变量，已知协方差Cov(X，Y)=3，则Cov(2X，3Y)=________。69.设随机变量X、Y的概率分布为YX-101010.070.180.150.080.320.20则与的相关系数=__。70.设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计__。71.设随机变量X和Y的数学期望分别为―2和2，方差分别为1和4。而相关系数为―0.5，则根据切比雪夫不等式有估计_。72．设随机变量，则_______。73.设总体X~N，X1，…，X20为来自总体X的样本，则服从参数为___________的分布。74．设总体X的概率密度为x1,x2,…,xn为来自总体X的一个样本，为样本均值，则E（）=___________。75．设X1、X2、X3、X4为来自总体X～N（0，1）的样本，设Y=（X1+X2）2+（X3+X4）2，则当C=______时，CY～。76．设随机变量X～N(，22),Y～，T=，则T服从自由度为______的t分布。77．设总体X～N()，X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本，为其样本均值；设总体Y～N()，Y1，Y2，…，Yn为来自总体Y的样本，为其样本均值，且X与Y相互独立，则D()=________。78.是均匀总体的样本，是未知数，，则的无偏估计是。79.设是未知参数的一个估计量，若E()___________，则是的无偏估计。80．设总体，其中未知，现由来自总体的一个样本算得样本均值，样本标准差s=3，并查得t0.025(8)=2.3，则的置信度为95%置信区间是_______。81．设总体X服从参数为的指数分布，其概率密度为由来自总体X的一个样本算得样本平均值，则参数的矩估计=_______。82．设总体X服从参数为（>0）的泊松分布，x1,x2,…,xn为X的一个样本，其样本均值，则的矩估计值=__________。83．设总体X为指数分布，其密度函数为p(x;)=，x>0，x1，x2，…，xn是样本，故的矩法估计=______。84．由来自正态总体X～N(，12)、容量为100的简单随机样本，得样本均值为10，则未知参数的置信度为0.95的置信区间是______。()85．假设总体X服从参数为的泊松分布，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，其均值为，样本方差S2=。已知为的无偏估计，则a=______。86.设总体X的概率密度为，而是来自X的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计为____。87.总体服从，其中未知，已知。为其样本，作为的置信区间，其置信水平为。四、计算题、证明题。2.设，，。求。3.若，证明相互独立。4.设A、B是任意两个事件，其中A的概率不等于0和1，证明是事件A和B独立的充要条件。5.设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求6.一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，计算任取3个球恰好为一红、一白、一黑的概率。7.某地共发行3种报纸A、B、C。此地居民中，订购A报的占，订购B报的占35%，订购C报的占30%，同时订购A、B报的占30%，同时订购A、C报的占8%，同时订购B、C报的占5%，同时订购A、B、C报的占3%。求以下概率。（1）只订购A；（2）只订购A及B；（3）只订购一种报纸；（4）正好订购两种报纸；（5）至少订购一种报纸；（6）不订购任何报纸。**8．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率；（2）该件次品是由甲车间生产的概率。9．设A，B是两事件，已知P(A)=0.3，P(B)=0.6，试在下列两种情形下：（1）事件A，B互不相容；（2）事件A，B有包含关系；分别求出P(A|B)。10．某种灯管按要求使用寿命超过1000小时的概率为0.8，超过1200小时的概率为0.4，现有该种灯管已经使用了1000小时，求该灯管将在200小时内坏掉的概率。11.在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为，若乙机未被击落，则进行反击，击落甲机的概率为，若甲机未被击落，则再进行反击，击落乙机的概率为，求这几个回合中，（1）甲机被击落的概率；（2）乙机被击落的概率？12.三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别是、、。问能将此密码译出的概率是多少？13.一批产品共20件，其中5件次品，现从这20件产品中不放回地任意抽取三次，每次只取一件，求下列事件的概率：（1）在第一、二次取到正品的条件下，第三次取到次品；（2）第三次才取到次品；（3）第三次取到次品。14.设，，由以往的气象记录知，。（1）说明两市下雨有牵连；（2）求。15.某厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%、35%、20%。各车间的次品率依次为4%、2%、5%。现在从待出厂产品中检查出1个次品，试求它是由甲车间生产的概率？16.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲。假设男人女人各占一半，现随机地抽选一人，求此人恰好是色盲患者的概率多大？17.某人决定去甲、乙、丙三国之一旅游，这三国在此季节下雨的概率分别为，他去这三国旅游的概率分别为，求（1）他在旅游遇上下雨天的概率；（2）他在旅游遇上下雨天时正好在乙国旅游的概率。18.一台机床有时间加工零件A，其余时间加工零件B，加工零件A时停机概率0.3，加工零件B时停机概率0.4，问这台机床的开机率是多少?19.若甲盒中装有三个白球，二个黑球；乙盒中装有一个白球，二个黑球。由甲盒中任取一球投入乙盒，再从乙盒中任取一个球。（1）求从乙盒中取得一个白球的概率；（2）若从乙盒中取得一个黑球，问从甲盒中也取得一个黑球的概率。20.已知甲、乙两箱装有同样的产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中只装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求（1）乙箱中次品数的数学期望；（2）从乙箱中任取1件产品是次品的概率。**21.设连续随机变量的分布函数为：，求(1)系数A；（2）；（3）概率密度。22.设随机变量的密度函数为，求（1）常数A；（2）分布函数；（3）。23.某车间的10部机器各自独立地工作，因修理调整等原因，每部机器停车的概率为。（1）求同时停车数目的概率分布；（2）假设同时停车的机器超过两部就会影响车间的生产，求车间的生产正常运行的概率。24.为保证设备正常运转，必须配备一定数量的维修人员，现有同类设备180台，且各台工作相互独立，任一时刻发生故障的概率都是，假设一台设备的故障由一人进行修理，问应配多少名维修人员，才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于。25.设求（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。26.某种元件的寿命（小时）的概率密度为，求5个元件在使用1500小时后，恰有2个元件失效的概率。27.袋中装有标上号码1，2，2的三个球，从中任取一个并且不再放回，然后再从袋中任取一球，以分别记为第一、第二次取到球上的号码数，求（）的分布律？28.设的联合密度为。求边际密度函数；（2）；（3）是否独立？**29.设，求下列的概率密度函数：（1）；（2）30．设二维随机变量的概率密度为，（1）分别求关于的边缘概率密度；（2）问X与Y是否相互独立，并说明理由。31．设随机变量X的概率密度为，（1）求X的分布；（2）求；（3）令Y=2X，求Y的密度。32．某地抽样调查结果表明，某次统考中，考生的数学成绩（百分制）X服从正态分布N（72，），且96分以上的考生占考生总数的2.3%.试求考生的数学成绩在60~84分之间的概率。（已知）33．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为，（1）分别求（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度；（2）问：X与Y是否相互独立，为什么？34．设有10件产品，其中8件正品，2件次品，每次从这批产品中任取1件，取出的产品不放回，设X为直至取得正品为止所需抽取的次数，求X的分布律。35．某气象站天气预报的准确率为0.8，且各次预报之间相互独立.试求：（1）5次预报全部准确的概率p1；（2）5次预报中至少有1次准确的概率p2。36．某地区年降雨量X（单位：mm）服从正态分布N（1000，1002），设各年降雨量相互独立，求从今年起连续10年内有9年降雨量不超过1250mm，而有一年降雨量超过1250mm的概率。（取小数四位，Φ(2.5)=0.9938，37．设二维随机变量(X，Y)只能取下列数组中的值：(0，0)，（-1，1），（-1，），（2，0），且取这些值的概率依次为，，，。（1）写出(X，Y)的分布律；（2）分别求(X，Y)关于X，Y的边缘分布律.38.设离散型随机变量的分布列为X-1012p0.10.20.30.4求（1）的分布函数；（2）（3）。39.设随机变量的密度函数为，，，求。40.设随机变量，随机变量，求的分布律及。41．设连续型随机变量X的分布函数为求：（1）X的概率密度；（2）；（3）。42．已知随机变量X，Y的相关系数为，若U=aX+b,V=cY+d,其中ac>0.试求U，V的相关系数。43．设离散型随机变量X的分布律如下，且已知E（X）=0.3，试求：（1）p1,p2;（2）D（-3X+2）。X01Pp1p244．设（X，Y）服从在区域D上的均匀分布，其中D为x轴、y轴及x+y=1所围成，求X与Y的协方差Cov(X,Y)。45．假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。问小店应组织多少货源，才能使平均收益最大？46．设随机变量X的概率密度为，且E(X)=.求：(1)常数a,b；(2)D(X)。47．设测量距离时产生的随机误差X～N(0,102)(单位：m)，现作三次独立测量，记Y为三次测量中误差绝对值大于19.6的次数，已知Φ(1.96)=0.975.(1)求每次测量中误差绝对值大于19.6的概率p；(2)问Y服从何种分布，并写出其分布律；(3)求E(Y)。48.若随机变量在所取的一切可能值中具有最小值a和最大值b，证明。49.设，，（1）已知相互独立，求；（2）已知，求。50.设服从普阿松分布，已知，求。51.某射手有3发子弹，射击一次命中的概率为，如果命中了就停止射击，否则一直独立地射到子弹用尽。求（1）耗用子弹数的分布列；（2）。52.设，试求常数C，使得。53.设随机变量，且二次方程无实根的概率为，求54.某机器一天内发生故障的概率为，一旦发生故障则全天停工，一周五个工作日内，如不发生故障可获利10万元，如只发生一次故障则可获利5万元，如果发生2次故障则不获利也不亏损，