2025年外研版2024高一数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版2024高一数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、已知集合A={1；2，3，4，5}，则至少含一个偶数的集合A的子集个数为（）

A.12个。

B.24个。

C.48个。

D.16个。

2、【题文】已知全集=或则图中阴影部分所表示的集合是()

A.B.C.D.3、【题文】[2013·江西高考]若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()A.4B.2C.0D.0或44、若点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上，则点P（c，），Q（b）和l的关系是（）A.P和Q都在l上B.P和Q都不在l上C.P在l上，Q不在l上D.P不在l上，Q在l上5、下列命题：

（1）钝角是第二象限的角；

（2）小于90°的角是锐角；

（3）第一象限的角一定不是负角；

（4）第二象限的角一定大于第一象限的角．

其中正确的命题的个数是（）A.1B.2C.3D.46、a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是()A.过A有且只有一个平面平行于a、B.过A至少有一个平面平行于a、C.过A有无数个平面平行于a、D.过A且平行a、b的平面可能不存在7、在递减数列{an}中，an=-2n2+λn，求实数λ的取值范围是（）A.（-∞，2）B.（-∞，3）C.（-∞，4）D.（-∞，6）评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)8、方程sin=logax（a＞0且a≠1）恰有三个不相等的实数根，则a∈____．9、关于数列有下列四个判断：①若成等比数列，则也成等比数列；②若数列{}既是等差数列也是等比数列，则{}为常数列；③数列{}的前n项和为且则{}为等差或等比数列；④数列{}为等差数列，且公差不为零，则数列{}中不会有其中正确判断的序号是______．（注：把你认为正确判断的序号都填上）10、设等差数列的前n项和为若则=______________．11、【题文】已知函数为上的奇函数，当时，则当时，____.12、【题文】圆柱形容器内盛有高度为3cm的水；若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm.

13、已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是______．14、已知定义在R上的两函数f（x）=g（x）=（其中π为圆周率；π=3.1415926），有下列命题：

①f（x）是奇函数；g（x）是偶函数；

②f（x）是R上的增函数；g（x）是R上的减函数；

③f（x）无最大值；最小值；g（x）有最小值，无最大值；

④对任意x∈R；都有f（2x）=2f（x）g（x）；

⑤f（x）有零点；g（x）无零点．

其中正确的命题有______（把所有正确命题的序号都填上）15、现在时针、分针都指向12点，20分钟后，时针和分针的夹角是______弧度．16、等差数列{an}中，a2与a6的等差中项为5a3与a7的等差中项为7则a4=______．评卷人得分三、计算题(共7题，共14分)17、解答下列各题：（1）计算：

（2）解分式方程：．18、（2009•庐阳区校级自主招生）如图所示的方格纸中，有△ABC和半径为2的⊙P，点A、B、C、P均在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．每个小方格都是边长为1的正方形，将△ABC沿水平方向向左平移____单位时，⊙P与直线AC相切．19、若⊙O和⊙O′相外切，它们的半径分别为8和3，则圆心距OO′为____．20、写出不等式组的整数解是____．21、计算：．22、（2005•兰州校级自主招生）已知四边形ABCD是正方形，且边长为2，延长BC到E，使CE=-，并作正方形CEFG，（如图），则△BDF的面积等于____．23、有一组数据：x1，x2，x3，，xn（x1≤x2≤x3≤≤xn），它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的xn，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的x1，余下数据的算术平均值为11．则x1关于n的表达式为x1=____；xn关于n的表达式为xn=____．评卷人得分四、证明题(共3题，共21分)24、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．25、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．26、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．评卷人得分五、解答题(共3题，共18分)27、在△ABC中，内角所对的边分别为已知（1）求证：成等比数列；（2）若求△的面积S.28、已知A、B、C为三个锐角，且A+B+C=π，若向量=（2sinA﹣2，cosA+sinA）与向量=（cosA﹣sinA；1+sinA）是共线向量．（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）求函数y=2sin2B+cos的最大值．29、已知函数f（x）=a-

（1）若2f（1）=f（2）；求a的值；

（2）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性并用定义证明．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、B【分析】

已知集合A={1，2，3，4，5}，则至少含一个偶数的集合A的子集，当偶数是一个时，共有个数C21（C3+C31+C32+C33）=16个；

当偶数有2个时：共有C3+C31+C32+C33=8；

满足题意的至少含一个偶数的集合A的子集个数为：16+8=24．

故选B．

【解析】【答案】通过集合A中偶数的个数；分1个，2个，求出集合A的子集的个数．

2、C【分析】【解析】

试题分析：∵或∴∴故选C

考点：本题考查了集合的运算。

点评：求解集合运算问题可应用数轴或韦恩图来描述“交”“并”“补”运算，从而使抽象问题形象化，增加计算的准确性.【解析】【答案】C3、A【分析】【解析】若a＝0，则A＝∅，不符合要求；若a≠0，则Δ＝a2－4a＝0，得a＝4，故选A.【解析】【答案】A4、A【分析】【解答】解：∵点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上。

∴a+=1，b+=1

则

化简得c+=1

∴点P（c，）在直线l上。

而b+=1

则Q（b）在直线l上。

故选A．

【分析】先根据点M、N在直线上，则点坐标适合直线方程，通过消元法可求得a与c的关系，从而可判定点P（c，），Q（b）和l的关系，选出正确选项．5、A【分析】【解答】解：∵大于90°小于180°的角为钝角；∴钝角的终边在第二象限，钝角是第二象限的角正确；

小于90°的角包含负角；负角不是锐角，∴小于90°的角是锐角错误；

﹣330°是第一象限的角；∴第一象限的角一定不是负角错误；

120°是第二象限的角；390°是第一象限的角，120°＜390°，∴第二象限的角一定大于第一象限的角错误．

∴正确的命题只有（1）．

故选：A．

【分析】分别由钝角、锐角及象限角的概念逐一判断四个命题得答案．6、D【分析】【分析】先将异面直线a和b平移到空间一点A，然后确定一个平面，如果a?α，b?α，则a∥α，b∥α，由于平面α可能过直线a、b之一；即可得到结论．

【解答】过点A可作直线a′∥a，b′∥b；

则a′∩b′=A．

∴a′、b′可确定一个平面；记为α．

如果a?α，b?α，则a∥α，b∥α．

由于平面α可能过直线a、b之一，因此，过A且平行于a、b的平面可能不存在．

故选D7、D【分析】解：∵数列{an}是递减数列，∴an+1＜an；

∴-2（n+1）2+λ（n+1）＜-2n2+λn；

化为：λ＜4n+2；

∵数列{4n+2}为单调递增数列；

∴λ＜6；

∴实数λ的取值范围是（-∞；6）．

故选：D．

由数列{an}是递减数列，可得an+1＜an；化简利用数列的单调性即可得出．

本题考查了数列的递推关系、通项公式、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】【答案】D二、填空题(共9题，共18分)8、略

【分析】

作图分析，y=sin与y=logax（a＞0，a≠1）；

要使得原方程恰有三个不相等的实数根；

转会为两函数图象有三个不同的交点．

当a∈（0，1）时，y=loga3＞-1，y=loga7＜-1，得：a∈（）

当a∈（1；+∞）时，y=loga5＜1，y=loga9＞1，得：a∈（5，9）

故答案为：．

【解析】【答案】将方程的根转化为函数图象的交点；画出两个函数的图象，结合图象列出不等式，求出a的范围．

9、略

【分析】试题分析：①对于数列-1，1，-1，1，满足a，b，c，d成等比数列，但a+b=0，b+c=0，c+d=0，所以a+b，b+c，c+d不是等比数列，所以①错误．②若数列{an}既是等差数列又是等比数列，则数列{an}必是非零的常数列，所以an=an+1成立，所以②正确．③当a=0时，数列{an}既不是等差数列也不是等比数列，所以③错误．④在等差数列中，若am=an，则a1+（m-1）d=a1+（n-1）d，因为d≠0，所以m=n，与m≠n矛盾，所以④正确．故答案为：②④．考点：命题的真假判断与应用；等差数列与等比数列的综合．【解析】【答案】②④10、略

【分析】试题分析：由等差数列的性质得考点：等差数列的性质和前项和公式的应用.【解析】【答案】190.11、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】413、略

【分析】解：∵A={x|x≤1}；B={x|x≥a}；

且A∪B=R；如图，故当a≤1时，命题成立．

故答案为：a≤1．

利用数轴；在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．

本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．【解析】a≤114、略

【分析】解：∵f（x）+f（-x）=+=0；

g（x）-g（-x）=-=0；

∴f（x）是奇函数；g（x）是偶函数，故①正确；

∵g（x）是偶函数；

∴g（x）R上不可能是减函数；故②不正确；

可判断f（x）在R上单调递增；g（x）左减右增；

故f（x）无最大值；最小值；g（x）有最小值，无最大值；

故③正确；

f（2x）=

2f（x）g（x）=2••=

故④成立；

∵f（0）=0；∴f（x）有零点；

∵g（x）≥g（0）=1；∴g（x）没有零点；

故⑤正确；

故答案为：①③④⑤．

可求得f（x）+f（-x）=0；g（x）-g（-x）=0，故①正确；

易知g（x）R上不可能是减函数；故②不正确；

可判断f（x）在R上单调递增；g（x）左减右增；从而判断；

化简f（2x）=2f（x）g（x）=2••=故④成立；

易知f（0）=0；g（x）≥g（0）=1，故⑤正确．

本题考查了函数的性质的判断与应用，属于基础题．【解析】①③④⑤15、略

【分析】解：如图所示，

OA表示分针时针初始位置；OC表示分针20分钟后的位置，OB表示时针20分钟后的位置；

则∠AOC=×2π=

∠AOB=××2π=

∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=-=

故答案为：．

画出图形；表示出分针时针初始位置，分针20分钟后的位置以及时针20分钟后的位置，根据圆周角以及时；分的划分，求出答案即可．

本题考查了弧度制的应用问题，解题时应建立数学模型，应用数学知识解答问题，是基础题．【解析】16、略

【分析】解：∵等差数列{an}中，a2与a6的等差中项为5a3与a7的等差中项为7

∴

解得

∴．

故答案为：．

利用等差中项、等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a4．

本题考查等差数列第4项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．【解析】5三、计算题(共7题，共14分)17、略

【分析】【分析】（1）本题涉及零指数幂；负指数幂、二次根式化简、绝对值4个考点．在计算时；需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

（2）根据解分式方程的步骤计算：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．【解析】【解答】解：（1）

=2-1+2+-1

=3；

（2）原方程可变形为：=2；

去分母得：1-x=2（x-3）；

去括号移项得：3x=7；

系数化为1得：x=；

经检验，x=是原方程的根．18、略

【分析】【分析】平移后利用切线的性质作PD⊥A′C′于点D求得PD，再求得PA′的长，进而得出PA-PA′和AA″的长，即可求得平移的距离．【解析】【解答】解：∵A′C′与⊙P相切；

作PD⊥A′C′于点D；

∵半径为2；

∴PD=2；

∵每个小方格都是边长为1的正方形；

∴AB=5，AC=2；

∴cosA==；

∴PA′=PD÷cosA=2÷=；

∴AA′=5-，AA″=5+；

故答案为5-或5+．19、略

【分析】【分析】由两圆的半径分别为8和3，这两个圆外切，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可求得它们的圆心距．【解析】【解答】解：∵两圆的半径分别为3和8；这两个圆外切；

∴3+8=11；

∴它们的圆心距等于11．

故答案为：11．20、略

【分析】【分析】先解两个不等式，再求不等式组的解集，从而得出正整数解．【解析】【解答】解：；

解①得；x≤1；

解②得；x＞-2；

不等式组的解集为-2＜x≤1；

∴不等式组的整数解为-1；0，1．

故答案为-1，0，1．21、略

【分析】【分析】根据实数的运算顺序计算，注意：（）-1==2；任何不等于0的数的0次幂都等于1；=-2；由于1-＜0，所以|1-|=-1．【解析】【解答】解：原式=2+1×（-2）+=-1．22、略

【分析】【分析】根据正方形的性质可知三角形BDC为等腰直角三角形，由正方形的边长为2，表示出三角形BDC的面积，四边形CDFE为直角梯形，上底下底分别为小大正方形的边长，高为小正方形的边长，利用梯形的面积公式表示出梯形CDFE的面积，而三角形BEF为直角三角形，直角边为小正方形的边长及大小边长之和，利用三角形的面积公式表示出三角形BEF的面积，发现四边形CDEF的面积与三角形EFB的面积相等，所求△BDF的面积等于三角形BDC的面积加上四边形CDFE的面积减去△EFB的面积即为三角形BDC的面积，进而得到所求的面积．【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形；边长为2；

∴BC=DC=2；且△BCD为等腰直角三角形；

∴△BDC的面积=BC•CD=×2×2=2；

又∵正方形CEFG；及正方形ABCD；

∴EF=CE；BC=CD；

由四边形CDFE的面积是（EF+CD）•EC，△EFB的面积是（BC+CE）•EF；

∴四边形CDFE的面积=△EFB的面积；

∴△BDF的面积=△BDC的面积+四边形CDFE的面积-△EFB的面积=△BDC的面积=2．

故答案为：2．23、略

【分析】【分析】先表示n个数的和，在分别表示去掉最大或最小数后的数据的和，经过代数式变形可得到答案．【解析】【解答】解：由题意知，有：（x2+x3++xn）÷（n-1）=11；

∴（x2+x3++xn）=11（n-1）；

∵（x1+x2+x3++xn）÷n=10；

∴[x1+11（n-1）]÷n=10，∴x1=11-n；

又∵（x1+x2+x3++xn-1）÷（n-1）=9；

∴（x1+x2+x3++xn-1）=9（n-1）

∴[（x1+x2+x3++xn-1）+xn]÷n=10；

∴[9（n-1）+xn]÷n=10，∴xn=n+9．

故答案为：11-n；n+9．四、证明题(共3题，共21分)24、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．25、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．26、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．五、解答题(共3题，共18分)27、略

【分析】试题分析：（1）证明成等比数列，关键在于证明这是证明三个数成等比数列的常用方法；（2）在三角形中，注意这个隐含条件的使用，理解正弦定理与余弦定理的使用条件，不要搞混；（3）要注意符号，有时正负都行，有时需要舍去一个；(4）在解决