2025年湘师大新版高一数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘师大新版高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、设集合M={x|x=k∈Z}，N={x|x=k∈Z}，则M；N的关系为（）

A.M⊆N

B.M=N

C.M⊇N

D.M∈N

2、函数f（x）=的单调减区间为（）

A.（-∞；-2）

B.[-2；+∞]

C.（-5；-2）

D.[-2；1]

3、设集合则M、N的关系为（）A．B．C．D．4、从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A.A与C互斥B.B与C互斥但不对立C.任何两个均互斥D.B与C互斥且对立5、将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是A.B.C.D.6、下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A.y=cosxB.y=sinxC.y=lnxD.y=x2+17、下列叙述中，错误的一项为(

)

A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱住的底面B.棱柱的各个侧面都是平行四边形C.棱柱的两底面是全等的多边形D.棱柱的面中，至少有两个面相互平行8、若三棱锥的三视图如图所示；则该三棱锥的体积为(

)

A.80

B.40

C.803

D.403

9、执行如图所示的程序框图；则输出的i

值为(

)

A.4

B.5

C.6

D.7

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、已知且的夹角为120°，则||=____．11、圆锥底面半径为2，母线长为4，则圆锥的侧面积等于____．12、终边在轴上的角的集合是_____________________．13、【题文】已知直线l的倾斜角为π,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l1与直线l垂直,直线l2的方程为2x+by+1=0,且直线l2与直线l1平行,则a+b等于____.14、【题文】关于x的方程有实数根，则a的取值范围是________．15、【题文】设直线过点其斜率为1，且与圆相切，则的值为____16、【题文】．已知函数在区间和上递增，在区间和上递减，则的解析式可以是____．（只需写出一个符合题意的解析式）17、已知数列253327543

则2119

是该数列中的第______项.

评卷人得分三、解答题(共7题，共14分)18、对某电子元件进行寿命追踪调查；情况如下．

。寿命（h）100～200200～300300～400400～500500～600个数2030804030画出频率分布直方图；并估计元件寿命在100～400h以内的在总体中占的比例．

19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD20、已知函数且求的值；设求的值.21、【题文】已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＋m在区间上的最大值为2.

(1)求常数m的值；

(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)＝1，sinB＝3sinC，△ABC的面积为求边长a.22、【题文】已知函数满足对任意的恒有且当时，

（1）求的值；

（2）判断的单调性。

（3）若解不等式23、如图；B是线段AC上一点，经测量，点D位于点A的北偏东30°方向8km，位于点B的正北方向，位于点C的北偏西75°方向上，并且AB=5km．

（1）求点B与D之间的距离（精确到0.1km）；

（2）求点C与D之间的距离（精确到0.1km）．

（参考数据：=1.73，sin53°=0.80，cos38°=0.79）24、知三角形的三顶点A-4；0），B（24），0，2）．

求AB的面积S．评卷人得分四、证明题(共4题，共20分)25、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．26、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．27、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．28、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分五、作图题(共4题，共28分)29、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．30、作出函数y=的图象．31、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．32、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分六、综合题(共1题，共10分)33、数学课上；老师提出：

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的横坐标分别为xC、xD，点H的纵坐标为yH．

同学发现两个结论：

①S△CMD：S梯形ABMC=2：3②数值相等关系：xC•xD=-yH

（1）请你验证结论①和结论②成立；

（2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1；0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；

（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，又将条件“y=x2”改为“y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，那么xC、xD与yH有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、A【分析】

∵x==（2k+1），k∈Z；x==（k+2）；k∈Z

∴M⊆N

故选A

【解析】【答案】通过化简集合中元素的一般形式；比较分析来判断集合关系．

2、C【分析】

函数f（x）=的定义域为：{x|-5＜x＜1}；

设g（x）=5-4x-x2；它的对称轴为：x=-2，在x∈（-5，-2）上是增函数；

函数y=是减函数，所以函数f（x）=的单调减区间为：（-5；-2）

故选C

【解析】【答案】由题意先求函数的定义域；根据复合函数的单调性的判断方法，求出函数的单调减区间．

3、A【分析】因为集合M中集合N中因为k属于整数，那么可分母中的结合的关系，因此可知选A.【解析】【答案】A4、D【分析】A、C显然不是互斥的也不对立的.B、C是对立且互斥的.因而选D.【解析】【答案】D5、A【分析】将函数的图象向左平移个单位得：再向上平移1个单位，=【解析】【答案】A6、A【分析】【解答】解：对于A；定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；

对于B；sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；

对于C；定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；

对于D；定义域为R，为偶函数，都是没有零点；

故选A．

【分析】利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择7、A【分析】解：在A

中；棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱住的底面；

例如正六棱柱的相对侧面互相平行；故A错误；

在B

中；由棱柱的定义知棱柱的各个侧面都是平行四边形，故B正确；

在C

中；由棱柱的定义知棱柱的两底面是互相平行且全等的多边形，故C正确；

在D

中；棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形；

相邻的公共边互相平行；有这些面围成的几何体是棱柱，由此得到D正确．

故选：A

．

利用棱柱的定义和性质直接求解．

本题考查命题真假的判断，考查棱柱的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．【解析】A

8、D【分析】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥；

由俯视图和侧视图知；底面是一个直角三角形，两条直角边分别是2+34

由正视图知；三棱锥的高是4

隆脿

该几何体的体积V=13隆脕12隆脕4隆脕(2+3)隆脕4=403

故选：D

．

由三视图知该几何体是一个三棱锥；由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．

本题考查三视图求几何体的体积以，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．【解析】D

9、B【分析】解：模拟程序的运行；可得。

S=0i=0

不满足条件S>20

执行循环体，i=1S=2

不满足条件S>20

执行循环体，i=2S=6

不满足条件S>20

执行循环体，i=3S=12

不满足条件S>20

执行循环体，i=4S=20

不满足条件S>20

执行循环体，i=5S=30

满足条件S>20

退出循环，输出i

的值为5

．

故选：B

．

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算变量S

的值并输出对应的i

的值；模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．【解析】B

二、填空题(共8题，共16分)10、略

【分析】

∵向量与的夹角为120°，并且||=1，||=2；

所以=cos120°=-1；

∴||===．

故答案为．

【解析】【答案】利用两个向量的数量积的定义，求出的值，再由求出||==的结果．

11、略

【分析】

圆锥的侧面积=4×4π÷2=8π．

故答案为：8π．

【解析】【答案】根据圆锥的侧面积就等于经母线长乘底面周长的一半．依此公式计算即可解决问题．

12、略

【分析】【解析】试题分析：由于终边在y轴的非负半轴上的角的集合为而终边在y轴的非正半轴上的角的集合为那么利用展开统一形式，得到故答案为考点：本试题主要是考查了终边相同的角的集合的表示。【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】由直线l的倾斜角得l的斜率为-1,l1的斜率为∵直线l与l1垂直,∴=1,得a=0.

又∵直线l2的斜率为-l1∥l2,∴-=1,b=-2.

因此a+b=-2.【解析】【答案】-214、略

【分析】【解析】

试题分析：令则关于x的方程有实数。

根可转化成有实根，所以

所以

考点：方程有根函数的最值。

点评：本题的关键是利用换元法，把方程有根的问题转化成函数最值的问题，属中档题.【解析】【答案】15、略

【分析】【解析】本试题主要是考查了直线与圆相切的位置关系的运用。

设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为y=x+a，根据直线与圆相切可知，圆心（0，0）到直线的距离等于半径∴a的值为±2，故填写为

解决该试题的关键是直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径得到结论。【解析】【答案】16、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】或等17、略

【分析】解：数列的等价条件为4253647586

则数列的通项公式为an=n+3n+1

由an=n+3n+1=2119

解得n=18

即则2119

是该数列中的第18

项；

故答案为：18

根据条件求出数列的通项公式即可得到结论．

本题主要考查数列的通项公式的求解，根据数列项的概率求出数列的通项公式是解决本题的关键．【解析】18

三、解答题(共7题，共14分)18、略

【分析】

由题意得样本频率分布表如下（4分）

。寿命（h）频数频率100～200200.10200～300300.15300～400800.40400～500400.20500～600300.15合计2001∴频率分布直方图如下．（4分）

由图可知；估计元件寿命在100h～400h以内的在总体中占的比例为0.65（3分）．

【解析】【答案】由题意知，本题已经对所给的数据进行分组，并且给出了每段的频数，根据频数和样本容量做出频率，填出频率分布表

结合频率分布表；画出坐标系，选出合适的单位，即可画出频率分布直方图；由频率分布图可以看出，寿命在100～400h内的电子元件出现的频率为0.65，我们估计电子元件寿命在100～400h内的比例为0.65．

19、略

【分析】【解析】试题分析：（1）在△PAD中，因为E、F分别为AP，AD的中点，所以EF//PD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF//平面PCD.（2）连结DB，因为AB=AD，∠BAD=60°，所以△ABD为正三角形，因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD。又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD。考点：面面垂直的性质定理；面面垂直的判定定理；线面垂直的判定定理；中位线的性质。【解析】【答案】（1）见解析；（2）见解析。20、略

【分析】试题分析：(1)利用公式化简，要熟练掌握公式，不要把符号搞错，很多同学化简不正确；(2)求解较复杂三角函数的时，寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围；（3）要注意符号，有时正负都行，有时需要舍去一个；（4）三角函数的给值求值的问题一般是正用公式将“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角三角函数值，代入展开即可，注意角的范围.试题解析：【解析】

（1）解得5分（2）即即8分因为所以所以12分考点：（1）三角函数给值求值,(2）诱导公式的应用.【解析】【答案】(1)(2)21、略

【分析】【解析】(1)f(x)＝2sinx·cosx＋2cos2x＋m＝2sin(2x＋)＋m＋1.

因为x∈所以2x＋∈

因为函数y＝sint在区间上是增函数，在区间上是减函数；

所以当2x＋＝即x＝时，函数f(x)在区间上取到最大值．此时，f(x)max＝f＝m＋3＝2；得m＝－1.

(2)因为f(A)＝1，所以2sin＝1；

即sin＝解得A＝0(舍去)或A＝

因为sinB＝3sinC，所以b＝3c.①

因为△ABC的面积为所以S△ABC＝bcsinA＝bcsin＝即bc＝3.②

由①和②解得b＝3；c＝1.

因为a2＝b2＋c2－2bc·cosA＝32＋12－2×3×1×cos

所以a＝【解析】【答案】（1）m＝－1.（2）a＝22、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）采用附值：将代入即可出（2）由题中条件时，先设进而得到由函数单调性的定义，转为判断的符号即可，而进而可得这样即可得到在的单调性；（3）先由推出进而结合（2）中函数的单调性，可将不等式进而求解不等式即可.

(1)令可得即

故3分。

(2)任取且则

由于当时，∴5分。

∴

∴函数在上是单调递减函数8分。

(3)由得

∴10分。

函数在区间上是单调递减函数。

∴不等式

∴不等式的解集为14分.

考点：1.抽象函数；2.函数的单调性的证明；3.函数的单调性在求解不等式的应用；4.绝对值不等式.【解析】【答案】（1）（2）在单调递减；（3）23、略

【分析】

（1）设BD=x；点D位于点A的北偏东30°方向，有∠ADB=30°，由余弦定理可求点B与D之间的距离；

（2）在△ABD中；由正弦定理得sin∠ABD，△CBD中，求出sin∠DCB，由正弦定理得CD．

本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理、正弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．【解析】解：（1）设BD=x；点D位于点A的北偏东30°方向，有∠ADB=30°；

由余弦定理可得25=64+x2-16xcos30°，解得x=4±3；

∵4+3＞8，∴x=4-3≈3.9；

∴点B与D之间的距离约为3.9km；

（2）在△ABD中，由正弦定理得

∴sin∠ABD=

∴sin∠CBD=∴∠CBD=53°；

△CBD中；sin∠DCB=sin128°=0.79；

由正弦定理得CD=sin∠DBC×≈4.0；

∴点C与D之间的距离约为4.0km．24、略

【分析】

由中点坐公式有C中点坐标为：（1；1，再利用两即可得出；

直AC方程为：x-y+4=0由到直线的距离公式有△AB中AC的高h，利用两点之间的离公式可|A，利用=|B|•h；即得出．

本题查直线的方程中点标式、点到直线的距式、两点之间的距离式三角形面积计算式，考查了推能力与算能力，属于中档．【解析】解：由中坐标式有BC的坐为：（1；-1）；

又

即+y+4=0．

又由两点式方程有C边上中所直线的程为：

由点到直距离公式有：

∴．四、证明题(共4题，共20分)25、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．26、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．27、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．28、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．五、作图题(共4题，共28分)29、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=