初中数学 2024年江苏省宿迁市中考数学模拟试卷

2024年江苏省宿迁市中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.（3分）2024相反数的倒数是（）

2.（3分）如图所示几何体是由7个完全相同的正方体组合而成，它的俯视图为（）

3.（3分）下列计算正确的是（）

A.B.r/6-i-tz2=i/3C.（a2）3=a5D.a3*a=a4

4.（3分）如图，直线A&C。被直线CE所截，ZC=50°,则/I的度数为（

5.（3分）在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展

“书香成都”全民阅读服务活动，报名人数分别为：56,63,60,72,则这组数据的众

数是（）

A.56B.60C.63D.72

工-3<2x,

6.（3分）把不等式组,x+1）旦中每个不等式的解集在一条数轴上表示出来，正确的为

D.一305

7.（3分）如图，A从CO是。。的两条直径直的中点，连接4C,则NCQE的度数为（）

32°C.34°D.44°

8.（3分）如图，正六边形A4c。£厂的边长为6,以顶点A为圆心，则图中阴影部分的面积

6nC.8nD.12Tt

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。不需写出解答过程，请把答案直

接填写在答题卡相应位置上）

9.（3分）计算（'於八口）2的结果等于.

10.（3分）某班共有7名学生干部，其中5名是男生，2名是女生，其中是女生的概率

为.

11.（3分）将函数y=3x+l的图象平移，使它经过点（1,1）,则平移后的函数表达式

是.

12.（3分）据调查显示，在2021年的新冠疫情中，其中宿迁居民约逝世14300

人.

13.（3分）边数为7边形的正7边形内角和为.

14.（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于1500年前，共三卷，记有

许多有趣的问题.其中记载：“今有木，不知长短，余绳四五尺，屈绳量之，问木长几何？”

译成白话文：“现有一根木头，不知道它的长短.用整条绳子去量木头；将绳子对折后去

量，则绳子比木头短1尺.问木头的长度是多少尺？”你的计算结果是：木头的长度为

尺.

15.（3分）在平面直角坐标系中，抛物线），=/+队++。（启0）与x轴的一个交点坐标［2,

17.（3分）如图，在半径为2的。。中，两个顶点重合的内接正四边形与正六边

形

18.（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=i+l和双曲线），=-1,记为4,过

x

小作x轴的垂线交双曲线于点与，过以作y轴的垂线交直线于点A2,过A2作X轴的垂

线交双曲线于点82，过82作y轴的垂线交直线于点A3,…，依次进行下去，记点A/1的

横坐标为小，若41=2,则42020=.

三、简答题（本大题共10小题，共96分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必

要的文字说明，证明过程或演算步骤）

（1）用尺规作图作/W的垂直平分线E凡交A/3于点£,交AC于点尸（保留作图痕迹,

不要求写作法）;

（2）在（1）的条件下，求E尸的长度.

21.（8分）为了解某市初三学生的体育测成成绩和课外体育锻炼时间的情况，现从全市初

三学生体育测试成绩中随机抽取200名学生的体育测试成绩作为样本.体育成绩分为四

个等次：优秀、良好、及格、不及格.

体育锻炼时间人数

4«6

2«443

0«215

（1）试求样本扇形图中体育成绩“良好”所对扇形圆心角的度数；

（2）统计样本中体育成绩“优秀”和“良好”学生课外体育锻炼时间表（如图表所示）,

请将图表填写完整（记学生课外体育锻炼时间为工小时）;

（3）全市初三学生中有14400人的体育测试成绩为“优秀”和“良好”，请估计这些学

生中课外体育锻炼时叵不少于4小时的学生人数.

22.（8分）已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4,坡长八夕为26米，在斜坡底P处测得

该塔的塔顶8的仰角为45°,在坡顶人处测得该塔的塔顶8的仰角为76°.求：

（1）坡顶A到地面PQ的距离；

（2）古塔8C的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin76°40.97,cos76°~0.24,

23.（10分）某超市经销〜种商品，每千克成本为50元：经试销发现（千克）与销售单价x

（元/千克）满足一次函数关系，销售量的四组对应值如下表所示：

销售单价x（元/55606570

千克）

销售量y（千克）70605040

（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式：

（2）为保证呆天获得600元的销售利润，则该天的铛售单价垃定为多少？

（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利沟最大？最大利润是多少？

24.（10分）在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1、2、3、，

现从中任意摸出一个小球：将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球

（1）写出点M坐标的所有可能的结果；

（2）求点M在直线y=x上的概率；

（3）求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率.

25.（10分）如图，AB是0。的直径，P为AB延长线上任意一点，尸。切O。于点Z）,连

接CQ交AB于点E.

求证：（1）PD=PE；

26.（1（）分）某通讯公司挂出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另

一种无月租费（分钟）与收费y（元）之间的函数关系如图所示.

（1）有月租费的收费方式是（填①或②），月租费是元：

（2）分别求出①、②两种收费方式中），与自变量x之间的函数关系式；

（3）请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议.

27.（12分）四边形A8CD是正方形，5。是对角线，点M,AO上，且不与端点重合，MN

与BD交于点E.

（I）如图①，若BO平分NMBM直接写出线段MN,4V之间的等量关系：

（2）如图②，若不平分NMBM探究发现中线MMAN之间的等量关系还成立吗？

若成立请证明：若不成

立请说明理由；

（3）如图③，在矩形A8CQ中，AB=4,点、E、尸分别在边C。、AO上，BF=5,直接

A在点8的左侧），交y轴十点。，点A的坐标为（・1,0）,对称轴与x轴交十点E.

（1）填空：。=，点3的坐标是：

（2）连接8。，点M是线段8。上一动点（点M不与端点8,。重合），过点M作MN

（点N在对称轴的右侧），过点N作NH_Lx轴，垂足为，，点P是线段OC上一动

点，当△“八〃的周长取得最大值时qPC的最小值；

（3）在（2）中，当△MNF的周长取得最大值时，如图2,把点P向下平移2阴,

连接AQ,把△4OQ绕点。顺时针旋转一定的角度a（0°<a<360°）,其中边A'Q'

交坐标轴于点G.在旋转过程中，是否存在一点G,请直接写出所有满足条件的点。

2024年江苏省宿迁市中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.（3分）2024相反数的倒数是（

C.2024D.-2024

【分析】根据相反数和倒数的定义进行解答，即可得到答案.

【解答】解：・・・2024的相反数是-2024,

・•・2024相反数的倒数是

故选:B.

【点评】本题考查了倒数和相反数的定义，解题的关键是熟记定义进行判断.

2.（3分）如图所示几何体是由7个完全相同的正方体组合而成，它的俯视图为（）

B.

C.D.

【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案.

【解答】解：从上向下看，可得如图:

故选：D.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图.

3.（3分）下列计算正确的是（）

A.a3+a=a4B.a6-ra2=a3C.（a2）3=a5D.

【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数国的除法判断8选项；根据辕的乘方

判断C选项；根据同底数器的乘法判断。选项.

【解答】解：A选项，/与。不是同类项，不能合并；

8选项，原式=/,故该选项不符合题意：

C选项，原式=/,故该选项不符合题意；

。选项，原式=/,故该选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了合并同类项，同底数冢的乘除法，幕的乘方与积的乘方，掌握〃”・/

=。〃也是解题的关键.

4.（3分）如图，直线AB,C。被育线CE所截，ZC=50°,则N1的度数为（）

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补即可得出答案.

【解答】解：〈ABi/3,

.\Z1+ZC=18O°,

.,.Zl=1800-ZC=180°-50°=130°.

故选：c.

【点评】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键.

5.（3分）在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展

“书香成都”全民阅读服务活动，报名人数分别为：56,63,60,72,则这组数据的众

数是（）

A.56B.60C.63D.72

【分析】根据众数的定义求解即可.

【解答】解：由题意知，这组数据中60出现3次，

・•・这组数据的众数是6。,

故选：B.

【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若

几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据.

（x-3<L2x,

6.（3分）把不等式组」x+1中每个不等式的解集在一条数轴上表示出来，正确的为

【分析】先解出不等式组中的每一个不等式的解集，然后即可写出不等式组的解集，再

在数轴上表示出每一个不等式的解集即可二

【解答】解：解不等式x-3V2x,得x>-2,

解不等式晋?当得xW5,

故原不等式组的解集是-5VxW5,

其解集在数轴上表示如下：

故选：C.

【点评】本题考查解一-元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关

键是明确解一元一次不等式组的方法，会在数轴上表示不等式组的解集.

7.（3分）如图，AB,CD是。0的两条直径标的中点，连接BC,则NCQE的度数为（）

A.22°B.32°C.34°D.44°

【分析】连接OE,根据等腰三角形的性质求出NOCB,根据三角形内角和定理求出/

BOC,进而求出NCOE,再根据圆周角定理计算即可.

【解答】解：连接OE,

•：OC=OB,NABC=22°,

.\ZOCB=ZABC=22°,

AZBOC=1800-22cX2=136°,

•・・E是劣弧萩的中点,

・・・在=踊，

/.ZC(7E=Ax136°=68°,

由圆周角定理得：/CDE=*COE=V，

【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，在同圆或

等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

8.（3分）如图，正六边形4BCDE尸的边长为6,以顶点A为圆心，则图中阴影部分的面积

A.4TTB.6TTC.8nD.12n

【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可.

【解答】解：:正六边形的外角和为360°,

・•・每一个外角的度数为360°+6=60°,

・••正六边形的每个内角为180°-60°=120°,

•・•正六边形的边长为6,

_120^X82

:.S阴影一12n,

360

故选：D.

【点评】考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正六边形

的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大.

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。不需写出解答过程，请把答案直

接填写在答题卡相应位置上）

9.（3分）计算（灰-、「）2的结果等于5・2\汴.

【分析】利用完全平方公式计算.

【解答】解：原式=3-2\,反+2

故答案为5-

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行

二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵

活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

10.（3分）某班共有7名学生干部，其中5名是男生，2名是女生，其中是女生的概率为

2

7

【分析】共有7名学生，女生有2名,利用概率公式可得答案.

【解答】解：是女生的概率为:22

7

故答案为:

，事件A可能出现的结果数

【点评】此题主要考查了概率，关键是掌握概率公式P（4）=

所有可能出现的结果数.

11.（3分）将函数y=3x+l的图象平移，使它经过点（1,1）,则平移后的函数表达式是v

=31-2

【分析】根据函数图象平移的性质得出女的值，设出相应的函数解析式，再把经过的点

代入即可得出答案.

【解答】解：新直线是由一次函数y=3x+l的图象平移得到的，

,新直线的&=6,可设新直线的解析式为：），=31+从

•・•经过点（I,2）,

解得b=-2,

・•・平移后图象函数的解析式为y=3x-4；

故答案为：y=3x・2.

【点评】此题考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k

和〃的值的变化.

12.（3分）据调查显示，在2021年的新冠疫情中，其中宿迁居民约逝世示3（）（）人143X

104.

【分析】将一个数表示成。X10〃的形式，其中lW|a|V10,〃为整数，这种记数方法叫做

科学记数法，据此即可求得答案.

【解答】解：14300=1.43X1（）4,

故答案为:3.43X104.

【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键.

13.（3分）边数为7边形的正7边形内角和为900°.

【分析】利用多边形的内角和列式计算即可.

【解答】解：（7-2）X180°=900°,

即正七边形为900°,

故答案为：900°.

【点评】本题考查多边形的内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键.

14.（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书丁1500年前，共三卷，记有

许多有趣的问题.其中记载：“今有木，不知长短，余绳四五尺，屈绳量之，问木长几何？”

译成白话文：“现有一根木头，不知道它的长短.用整条绳子去最木头；将绳子对折后去

量，则绳子比木头短I尺.问木头的长度是多少尺？”你的计算结果是：木头的长度为

6.5尺.

【分析】设木头长工尺，则绳子长（x+4.5）尺，可得：工+4.5=x-1,即可解得答案.

2

【解答】解：设木头长X尺,

根据题意得：*4.5=]_1,

7

解得x=6.6,

・•・木头长6.5尺.

故答案为：75.

【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方

程.

15.（3分）在平面直角坐标系中，抛物线丁=。d+队++。（aWO）与x轴的一个交点坐标[2,

【分析】根据抛物线的开口方向、对称釉、顶点坐标.、增减性，最大值（最小值）逐个

进行判断，最后做出选择即可.

【解答】解：抛物线与x轴的一个交点坐标为（2,0）,

・•・抛物线与工轴的另一个交点坐标为（2,0）；

当x=-1时,y=a~b+ct即a-b+c>5；

对称轴是直线x=l,即・小，就是2a+b=0,因此有2a+Z?+c=7；

对称轴是直线x=l,即・/-就是当x=l时故顶点为（6,-1）；

在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，y随x的增大而减小；

综上所述，正确的结论有①③④，

故答案为：①③④.

【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解决问题的关键，数

形结合是常用的方法.

16.（3分）因式分解：x2-4=（工+2）（工-2）.

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.

【解答】解：/-4=（A+8）（x-2）.

故答案为：（X+2）（x-4）.

【点评】此题主要考杳了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键.

17.（3分）如图，在半径为2的。。中，两个顶点重合的内接正四边形与正六边形一心

2瓦.

O

【分析】如图，连接。8,OF,根据题意得：ABFO是等边三角形，△C£>E是等腰直角

三角形，求得AABC的高和底即可求出阴影部分的面积.

【解答】解：如图，连接08，

根据题意得：是等边三角形，△CQE是等腰直角三角形，

:・BF=0B=2,

•••△8F0的高为：、n，CD=3(2-V3V5,

：,BC=^-(4-4+2娓退-1,

故答案为:6-5V3.

【点评】本题考查了正多边形和圆，三角形的面积，解题的关键是知道阴影部分的面积

等于4个三角形的面积.

18.（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=.x+l和双曲线），=-」，记为4,过

x

川作x轴的垂线交双曲线于点与，过以作y轴的垂线交直线于点A2,过A2作X轴的垂

线交双曲线于点82，过32作y轴的垂线交直线于点A3,…，依次进行下去，记点An的

横坐标为〃“，若41=2,则42020=2.

【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出小、①、42、B2、A3、

B3…,从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用202（）除以3,根据商的情况确定

出02020即可.

【解答】解：当m=2时，B7的横坐标与4的横坐标相等为m=3,

A2的纵坐标和81的纵坐标相同为第=-

B2的横坐标和As的横坐标相同为UL=-

A3的纵坐标和比的纵坐标相同为），8=-

用的横坐标和A3的横坐标相同为。3=-

A4的纵坐标和&的纵坐标相同为），5=-

B4的横坐标和A4的横坐标相同为43=2=01，

由上可知，46,42,43,al,45,…，3个为一组依次循环,

720204-4=673-1,

02020=41=6

故答案为：2.

【点评】本题考杳了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征,

依次求出各点的坐标，观察出每3次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本

题的难点.

三、简答题（本大题共10小题，共96分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必

要的文字说明，证明过程或演算步骤）

19.（8分）（1）计算：\/27+（2cos600）2020-（1）-2-|3+2^1：

（2）先化简，再求值：（X-2xy~y2）其中x=&,

【分析】（1）先计算2cos60°、（1）-2,再化简标和・|3+2，§],最后加减求出值;

（2）按分式的混合运算法则，先化简分式，再代入求值.

原式仃+（义三）2020_2

【解答】解：（1）=358（3+3、后

=3、汴+1・4・4・2^3

=7.

【点评】本题考查了二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幕、绝对值的

化简及分式的混合运算.题FI综合性较强，是中考热点.熟记特殊角的三角函数值和负

整数指数箱的意义是求（1）的关键，掌握分式的混合运算法则，化简分式是解决（2）

的关键.

20.（8分）如图，在RtZXAAC中，ZC=90°,48=10.

（I）用尺规作图作/小的垂直平分线石户，交人BF点E,交人C丁点尸（保留作图痕迹,

不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，求E尸的长度.

【分析】（I）根据要求作出图形即可：

（2）利用勾股定理求出BC,再利用相似三角形的性质解决问题即可.

【解答】解：（1）如图，直线E尸即为所求；

(2)VZ/\CB=90°,AC=8,

Agc=VAB2-AC2=7105-82=5>

/垂直平分线段48,

•**AE=EB=5»

•・・NA=N4,ZAEF=ZACB=90°,

・•・XAEfsXACB,

【点评】本题考查考查-基本作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正

确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

21.（8分）为了解某市初三学生的体育测试成绩和课外体育锻炼时间的情况，现从全市初

三学生体育测试成绩中随机抽取200名学生的体育测试成绩作为样本.体育成绩分为四

个等次：优秀、良好、及格、不及格.

体育锻炼时间人数

44W6

62

2<x<443

0WxV215

（1）试求样本扇形图中体育成绩“良好”所对扇形圆心角的度数；

（2）统计样本中体育成绩“优秀”和“良好”学生课外体育锻炼时间表（如图表所示）,

请将图表填写完整（记学生课外体育锻炼时间为4小时）；

（3）全市初三学生中有14400人的体育测试成绩为“优秀”和“良好”，请估计这些学

生中课外体育锻炼时间不少于4小时的学生人数.

【分析】（1）直接利用扇形统计图得出体育成绩“良好”所占百分比，进而求出所对扇

形圆心角的度数；

（2）首先求出体育成绩“优秀”和“良好”的学生数，再利用表格中数据求出答案；

（3）直接利用“优秀”和“良好”学生所占比例得已学生中课外体育锻炼时间不少于4

小时的学生人数.

【解答】解：（1）由题意可得：

样本扇形图中体育成绩“良好”所对扇形圆心角的度数为：（1-15%-14%-26%）X360°

=162°：

（2）•・•体育成绩“优秀”和“良好”的学生有:200X（1-14%-26%）=120（人）,

・・・6W%W6范围内的人数为：120-43・15=62（人）；

故答案为：62；

(3)由题意可得:受14400=7440(人),

答：估计课外体育锻炼时间不少于4小时的学生人数为7440人.

【点评】此题主要考查了扇形统计图以及利用样本估计总体，正确利用扇形统计图和表

格中数据得出正确信息是解题关键.

22.（8分）已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4,坡长AP为26米，在斜坡底P处测得

该塔的塔顶8的仰角为45°,在坡顶A处测得该塔的塔顶8的仰角为76°.求：

（1）坡顶A到地面P。的距离；

（2）古塔3c的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin76u%0.97,cos76u仁0.24,

【分析】（I）过点A作垂足为点“，利用斜坡AP的坡度为I：2.4,得出

PH,4P的关系求出即可;

=旨，求出即可.

（2）利用矩形性质求出设BC=x,则X+I0=24+O〃，再利用tan76°

【解答】解：（1）过点A作垂足为点”.

•••斜坡”的坡度为卜22嘲=目

设AH=5km,则PH=12k

由勾股定理,得A尸=13人机.

-26.解得攵=2.

：.AH=\0（〃］）.

答：坡顶A到地面PQ的距离为10〃?.

(2)延长8c交PQ于点O.

VBC1AC,AC//PQ,

LBDLPQ.

，四边形是矩形，CD=AH=\().

*：ZBPD=45°，

二PD=BD.

设BC=xm,则x+10=24+。，.

：.AC=DH=x-14.

在RtZXABC中，tan76°喂即会

解得x=当，即x、19,

【点评】此题主要考查了坡度问题以及仰角的应用，根据已知在直角三角形中得出各边

长度是解题关键.

23.（10分）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现（千克）与销售单价x

（元/千克）满足一次函数关系，销售量的四组对应值如下表所示：

销售单价x（元/55606570

千克）

销售量y（千克）70605040

（1）求），（千克）与/（元/千克）之间的函数表达式；

（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利涧最大？最大利润是多少？

【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；

（2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解•元二次方程组即可；

（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可.

【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为了=去+〃（女力0）,将表中数据（55、（60

55k+b=70,

’60k+b=60，

解得：、k"2.

|b=180

・•・），与x之间的函数表达式为y=-2x+180.

（2）由题意得：（x-50）（-21+180）=600,

整理得：A-2-l40,t+4800=3,

解得xi=60,X2=80.

答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/

千克.

（3）设当天的销售利润为w元，贝I」：

w=（x-50）（-81+180）

=-2（x-70）2+800,

•・•・6<0,

・••当x=70时,卬烛大1ft=800.

答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大.

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际

问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键.

24.（10分）在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1、2、3、，

现从中任意摸出一个小球；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球

（1）写出点M坐标的所有可能的结果；

（2）求点M在直线y=x上的概率；

（3）求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率.

【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，注意要不

重不漏；

（2）注意点M在直线），=x上，即点M的横、纵坐标相等，求得符合要求的点的个数，

利用概率公式求解即可求得答案：

（3）依据题意先用列表法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式即可求出该事

件的概率.

【解答】解：⑴V

128

1(I,8)(1,2)(7,3)

2(3,1)(2,6)(2,3)

6(3,1)(2,2)(3,2)

・••点M坐标的所有可能的结果有九个：(1,1),5),3),1),2),3),1),6),3).

1

（2）P（点M在直线y=x上）=P（点M的横、纵坐标相等）=-：

(3)

223

4237

2335

3356

:.P（点M的横坐标与纵坐标之和是偶数）=,.

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重灾

不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.用到的知识点为：概率=所求

情况数与总情况数之比.

25.（10分）如图，是OO的直径，P为48延长线上任意一点，PD切于点力,连

接CO交AB于点£

求证：（1）PD=PE；

(2)PEZ=PA^PB.

【分析】（1）求PQ=P£,可证所对的角相等；连接。C、0。，C是半圆AC4的中点,

则C01AB；由切线的性质易知0D1.PD,则NCE。和NPOE是等角的余角，所以NCEO

=ZPDE,而NC£O和/尸EO是对顶角，等量代换后即可证得所求的结论：

(2)由于PD=PE,证尸Z)2=处.p氏可将乘积式化为比例式，然后证对应的三角形相

似即可，即连接A。、BD,证△P3QS/\PD4.

【解答】证明：(1)连接OC、0D,

•・・C是半圆AC4的中点

工/COA=NCOB

VZCOA+ZCOB=180°

・・・NCO4=NCO8=90°

AOD1PD,OC±AB.

AZPDE=90°-/ODE,

NPED=NCE()=9()“-NC,

又・：OC=OD,

：・4C=40DE,

：,/PDE=/PED.

：,PE=PD.

(2)连接4Q、BD,

：.ZADB=900.

VZBDP=900-ZODB,ZA=900-NORD,

又♦：/OBD=/ODB,：・4BDP=4A,

VZP=ZP,

•••△P。8s△%Q.

.PDPA.

••-------二--------9••P»=PA・PB.

PBPD

:.P3=PA*PB.

【点评】此题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质；能够正确的构建出相

似三角形是解答（2）题的关键.

26.（10分）某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另

一种无月租费（分钟）与收费y（元）之间的函数关系如图所示.

（1）有月租费的收费方式是①（填①或②），月租费是30元:

（2）分别求出①、②两种收费方式中），与自变量x之间的函数关系式；

（3）请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议.

°100200300400500x(分钟)

【分析】（I）根据当通讯时间为零的时候的函数值可以得到哪种方式有月租，哪种方式

没有，有多少；

（2）根据图象经过的点的坐标设出函数的解析式，月待定系数法求函数的解析式即可；

（3）求出当两种收费方式费用相同的时候日变量的值，以此值为界说明消费方式即可.

【解答】解：（1）©;30；

(2)设yi=Kx+30,由题意得：将(500,(500

500内+30=80,

・••依=0.1,

500口=100,

・“2=0.8

故所求的解析式为yi=0.8x+30；”=0.6x；

（3）当通讯时间相同E寸yi=y2,得8.2x=0.7x+30,解得x=300：

当x=300时，y=60.

故由图可知当通话时间在300分钟内，选择通话方式②实惠；

当通话时间超过300分钟时，选择通话方式①实惠；

当通话时间在300分钟时，选择通话方式①.

【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题.注

意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合

自变量的取值范围确定最值.

27.（12分）四边形A3CD是正方形，3。是对角线，点M,AO上，且不与端点重合，MN

与交于点E.

（1）如图①，若BD立分NMBN,直接写出线段MN,AN之间的等量关系：

（2）如图②，若BD不平分NMBN,探究发现中线MMAN之间的等量关系还成立吗？

若成立请证明；若不成

立请说明理由；

（3）如图③，在矩形A8CO中，AB=4,点、E、尸分别在边CD、AO上，BF=5,直接

/ABN=/NBD=/DBM=/MBC=225°,根据全等三角形的性质得到BN=BM,求

得/BNM=/BMN,根据角平分线的性质即可得到结论；

（2）如图②中，延长3C到点从截取CH=4M连接根据正方形的性质和全等

三角形的判定和性质定理即可得到结论；

（3）如图③中，取4。，8C的中点P,Q,连接QP,连接/从根据已知条件推出四边

形A8Q尸是正方形，根据勾股定理得到从尸=而%^=3,设Q"=x，则尸”=x+3,

PH=4-x,根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：(1)MN=AN+CM,

理由：•・•四边形A8C0是正方形，

AZABD=ZCBD=45°,

,:乙NBM=45",BD平分/MBN,

・•・NABN=NNBD=NDBM=ZMZ?C=22.5°,

•；AB=BC,NA=NC=90°,

乌△CBM(ASA),

:,AN=CM,BN=BM,

・•・/BNM=4BMN,

:.BDLMN,

:・NBEN=NBEM=9C『,

♦:BN平分4ABD,

：.AN=EN,EM=CM,

・•・MN=EN+EM=AN+CM；

(2)(1)中MN,CM；

理由：如图②中，延长。。到点“，连接8"，

在△ABN与△CBH中，

'AN=CH

<ZA=ZBCH=90°>

AB=BC_______________

:.△ABNWACBH(SAS),

:.BN=BH,NABN=NHBC,

•・・/M8N=45",NABC=90°,

・・・NA8N+NC8M=45°,

:./CBN+NCBM=45,.即NM3N=NH3M,

在△M8N与△M8"中，

BN=BH

<ZMBN=ZHE.Jb

BM=BM

:.AMBN学AMBH(SAS),

；・MN=MH=CM+CH=CM+AN；

：.AP=AB=BQ=PQ=4tN4=90°,

・•・四边形ABQ尸是正方形，

在RtA48/中，A8=4,

.,.^F=7B24ZAB2=3*

・・・尸尸=8・3=1,

VZFfiE=45°,

由(1)同理得：FH=AF+QH,

设QH=x,则P7/=x+4,

Rt△切尸中，FH2=PH2+FP^,

:.(3+x)2=42+(4-x)7,

解得x=泮，

•・・Q是BC的中点，QH//CE,

:,BH=HE,

:,CE=1QH=^

【点评】本题考查了四边形的综合题，正方形的性历，全等三角形的判定与性质，等腰

直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角

形和等腰直角三角形是解题的关键.

28.（12分）如图1,在平面直角坐标系中，抛物线），=--20¥+3与k轴交于点A,B（点

A在点B的左侧），交y轴于点C,点A的坐标为（・1,0）,对称轴与工轴交于点E.

（1）填空：〃=-1,点8的坐标是（3,0）:

（2）连接点M是线段4。上一动点（点M不与端点8,D重合），过点M作MN

（点N在对称轴的右侧），过点N作N〃_Lx轴，垂足为"，点P是线段OC上一动

点，当△MNf的周长取得最大值时>1PC的最小值；

2

（3）在（2）中，当AMN尸的周长取得最大值时，FP+1,如图2,把点P向下平移2乎，

2

连接AQ,把△AOQ绕点。顺时针旋转一定的角度a（00<a<160°）,其中边A'Q'

交坐标轴于点G.在旋转过程中，是否存在一点G,请直接写出所有满足条件的点。

出答案；

（2）将（1）中所得的解析式写成顶点式，则可得点。的坐标，用待定系数法求得直线

8。的解析式，设点尸（用，-2m+6）,N（m,-m2+2m+3）,利用等角的三角函数值相

等得出C\MNF=2N5+5NR利用二次函数的性质求出使△"可尸的周长取得最大值时的

5

机值，在x轴上取点K（-遮，0）,则NOCK=30°,过厂作CK的垂线段R7交），轴

于点P,可得（FG卷PC）mg=FG，连接FC,尸K