初中数学基础几何模型手册

初中数学基础几何模型手册

初中数学基础几何模型手册，都是几何基本功，掌握之后可以为自己的几何学习打好坚固的基础，

适合大部分学生使用，人手T分，必备的秘籍手册。

一、平行线中的几何模型

第一篇

平行线中的几何模型

1、平行线

篇一平行线中的几何模型

模型一“猪蹄模型”

aM证明:

加国所示.过点。作<W〃a.«'J^MON=Zl

•：allb.ONHa

:.ONUb

;.ZNOQ=Z3

~b------•••/2=ZMZV+ZA"

若“〃人，时/2=/1+/3.-.Z2=Z1*Z3

模型二“铅笔模型”

aM证明：

如困所示.这点O作ON〃a.则NMJN+41800

,/a/lb.ON〃a

:.ONHb

—5-----JQ:.ZNOQ+Z3^\WP

••N2=ZAQV+/JV卬

若"〃b,HZl+Z2+Z3=360°ZUZ2+Z>3«r

模型三“靴子模型”

证明：

如国所示.过点。作ON〃a.则/.MON+/I=I8(尸

二_*va!lb,ON//a

:.ONHb

..ZM^Z>I8O°

•••/A3=ZWN+/2

..ZA/OAr+Z2+Z3=I8(F

若“〃6,财/1=/2+/3,.ZI=Z2+Z3

模型四“尖尖角模型”

证明：

十NO

如困所示.过点。作ON//a,M'lZ.WO.V*Zi=180°

■，a//b,ONHa

:.ONHb

..ZA①*Z3=I8O°

•­zwavNOQ3

../A8+/2+Nl1800

若“〃/>,JHZ3=ZI+Z2/.Z3=ZI+Z2

篇一平行线中的几何模型

模型五3左右角模型”

若。〃8，

证明：

如图所示,分冽过点4、4……4.作直线。的平行线4、4……且4、卜……如将

幺、……分冽分为//、尔3/4........Za.P皿、

由题意可知：＜|///,///2……Wb

•.”〃―/.Z«,=ZAf+Za（猪珞模型的结论）

;/i///:,/./B：=Z/?1+Za........

"B-，N

上述等式左右两边分别加和可用：

/4+/2+........+/%+/旦二乙W+4+N4+........+乙如+/丹

模型六“植皮擦模型”

去a〃b,则ZA/+4+42+.........+Z4»T+/N=I80°・〃

证明：

如困所示.分别过点4、4……4,1作直投。的平行仪4、/：……/…且4、/：……如将

Z4'//：……/儿，分别分为/%、小/%、/4........Za.p皿、

由题盘可知：a///,///2……ilb

■：a///tt.,.ZA/+/4二］80°

.•./月.24180。...

v/.,//6.7.Z.p„,*ZN180°

上逐号式左右两边分别加和可存：NA/+4+幺+....+N4T+NN=180°F

【总结】平行线辅助线作法一过拐点作平行.

二、三角形中单几何模型

篇二三角形中的几何模型

模型一“8字”模型

证明：

①・.,ZBOD是AABO和三角彩△C8的外角

/.，BOD=4+ZBNC+ZD

.•Z+N8=/C+N。

②・.在/^8。中，OA+OB>AB

在△CO。中，OC^OD>CD

..04+08+OC+OD>4B+CD

即AD+BC4B+CD

结论：①4+/8=/C+ZD

@AD+BC>AB^CD

模型二飞镖模型

证明：如困，延长8。交/C于点£

①根据三角形的外角性廉：

ZBEC=NA+，B,

NBDC=ZBEO，C.

；./iWX>/"N8+NC

结论：①“=4+N8+NC②根据三角彩两边之和大于第三边：

®AB+AC>BD+CD

AB+AE>BD+DE,DE+EC>CD

:.AB+AE+DE+EC>BD+DE+CD

：.AB+AC>BD^CD

篇二三角形中的几何模型

模型三“角平分线+飞镖''模型

内内飞镖证明：

根据飞愫模型的结论可知：

A

/\ZP=Z4+ZJ5P+Z/ICP

:BP、CP分别是。和乙ICB的角平分找

..aBP+ZACP

二；(/48C+//fC团

BC

=1(I8O0-Z4)

BP、”分别是4贸和4C6的

角平分线，则：/尸=900+；乙4

.•./尸=90°,4

2

内外飞镖证明：

A由外向定理律：

NPCD=/P+NPBC,

/V.^LACD=N/+N/8C,

...BP平分N4BC、CP*分乙心

BP是4BC的先斗分物,C『是../P8C=g//8C,ZPCD=|ZJCD

4C8的外角平分线，则：

，P=CPCD-NPRC

=；(Z^CD-48C)=gZJ

外外飞镖证明：

A由外角定理科：

ZDBC=//+//C8.

/BCE=ZA^ZABC,

/.ZDBC+ZBCE=zS4+1800

0XX:BP平分NDBC,CP中分/BCE

：.ZPBC=-ZDBC.ZPCB--£BCE

BP、CP分别是/48C和4CB的22

外角平分'则：。-；

"=904/PBC+Z.PCB=90°+-ZJ

2

..ZP=90°--ZJ

2

三、全等三角形中的几何模型

全等三角形中的几何模型

①手拉手模型，共定点，等有角，赶紧找全等和相似吧。

篇三全等三角形中的几何模型

模型一手拉手模型

证明：

vZ.BAC=Z.DAE

NB4DHE

在MBD和MCE中

AB=AC

<£BAD=ZCAE

AD=AE

ZUfiD^ZUC£(SAS)

常见应用图形

等边三角形证明：

外图①所示：

,:MBC和2DE是等边三角杉

..AB=AC,AD=AE,£BAC=ZDAE=60°

ZBAD=4CAE

在MBD和MCE中

AB^AC

NBHD=/C4E

AD=AE

X4BD^AACE(SAS)

如四②所示：

•.•SABD^MCE

ZABD=Z.ACE

&MBH杂ACOH中

Z.ABD+ZBAC+ZBHA=180°

Z.BOC+Z.CHO+iACE=180°

•••Z.BHA=£CHO

../8OC=/8dC=60°

如困③，过点/作4“_L8/)・ANICE

MBD^MCE:.BD=CE.SWW)二S。,

JS\UK>-J8Q•儿".Ss=；CE7N

条件：NBC和MDE是答边三角形

结论：①3BD9MCE..AM=AN.

②ZBOC=Zfi/fC=/DAE=60。：.AO平分/BOE

③连接40,AO中分ZBOE

结论都是非常经典的，这个需要熟记。

篇三全等三角形中的几何模型

等边三角形证明：

”论①(2XD的证法同上.

*图①，逢按,WN

•••MBD^MCE

:.&DB=ZAEC

•・•M8C和3DE是等边三角册

.,.AD=AE.ZBAC=ZD/I£=60°

•:B、A.£三点共投

/.Z.DAC=180°-ZBAC-ZDAE=60°

在从MW和AE4v中

ZDAC=Z.DAE

AD-AE

Z.ADB=ZAEC

条件：A18C和AW圮是等边三角彩，：.A4DA/^A.4EJV(ASA)

且8、A.£三战共畿..AM=AN

结论：①MBgMCE.•.&4A/N是多边三角册.

②ZBOC=NBAC=Z.DAE=60°/.ZNMA=60°=ZBAC

③建核.40,.40年分工BOE:.MNHAB

④MNHAB{MMN是等边三角彩)如国②所示，&OB上取OP=OC.连

⑤OB_(U+OCgOE=OA+OD)按CP

•••ZBOC=60℃=OC

..AOPC是等边三角彩

，NOCP=60。.CP二CO

2BCP=/ACO

任&ETCP和A/KO中

BC=AC

，BCP=^ACO

CP=8

..A^CP^A^CCXSAS)

/.BP=OA

..OB=OP+BP=OC^OA

同理可设：OE=OA+OD

手拉手模型的拓展运用

篇三全等三角形中的几何模型

常见应用图形

等腰直角三角形证明：

证法同等边三角形.

条件：&I8C和A4/）月是等腰直角三角彩

钻论：①AJ8Z）SA/!CE

②BD=CE且BDLCE

③连接40,/1O平分NCOD

正方形证明：

谓法同等边三角野.

条件：正方册.48C。和正方彩4EFG

结论：①MDESMBG

<^BG=DEA.BGIDE

③连接,40,,40平分/8Q£

顶一相等的等相三角形证明：

证法同等边三角形.

条件：418（.和AW）£是等腰三角彩

nNBAC=/D4E=a

结论：①MBgMCE

②/BOC=a

③连接4。，AO十分ZBQE

②半角模型

篇三全等三角形中的几何模型

模型二半角模型

模型特点：共顶点+等线段+顶角含半角

A条件：4B=AC,//)/£=

问题：探究BD、DE、三条微段

同的大小关系

辅助段作法：旋转凑等角

常见应用压形

60。含30。证明：

如图所示，将空点彳逆时什或

A

验60。得到A4C厂.逢拄£尸

•.A48。是多边三角彩，/。/£=30。

/.，B4D+NCAE=30°

---MCFgMBD

:.FA=DA,CF=BD"AC=ZBAD

nDEC

.*.ZfX£=30°=ZDAE

条件：AJ8C是等边三角形，在AD/f七和AE4£中

/)、£是边AC上两点，且/力/£=30。

AD=AF

结论：BDfCE>DE

NDAE=ZFNE

AE=AE

.•.AD/£9AE4£(SAS)

:.EF=DE

在ACEF中,Cf+C£>•

:.BD+CE>DE

1200含60°证明：

证法网上.

条件：AB=AC,/8/C=120°,

D、£是边6c上两点，AZD/f£=6O°

结论：BD+CE>DE

半角模型

篇三全等三角形中的几何模型

正方形中单半角模型

篇三全等三角形中的几何模型

常见应用图形

90。含45。证明：

如出所示.延长£8至点,W.使

BM=DF,14UAM

•••西边册ABCD是正方杉

，止皿ZD=ZJ^C=90°

:.ZABM=9Q0

•:BM-DF

..A/IW^ZUDF(SAS)

/.AM=AF,/BAM=£DAF

：.AM=AF

条件：E、，是正方彩48CQ的边8C、CD•./BAD=90°.Z£^F=45°

上的点，且/£/尸=45°/8/E+/Z”/=45°

年论：①EF=BE+DF/./BAE+/.BAM-45°.即4MAE=45°

②AC£7•.的周长等于正方形边长的2..AV〃*AE4£(SAS)

倍:.EF=EM二BE?DF

③若AHLEF^AH^ABC“£F=C£+£〃+C尸

=CE»BE+DF+CF

④S\</J一S\w♦S、”,F

=BC+CD=2BC

•"3=SWME=EF

AB=AH

又'：S\'au=S.wS\w二+S、3

90°含45。证明：

沃法网上.

条件：E、尸是正方册ABCD妁边.CB、DC

延长线上的点，且NEAF450

年论：①EF=DF-BE

②AC£F的周长等于。尸的2倍

③若/f//l£F,JHAll-AB

④SgS\4/M-

三、一线三垂直的模型

篇三全等三角形中的几何模型

模型三一线三垂直模型

证明：

VABLBD.DEA.BD

/B=/。=90°,.\£A+£ACB=90°

,・♦ACICE,

：.£ACE^W

/.NDCE+NACB=90。

ZDCE=ZA

条件：ABLBD.DE1.BD,ACLCEAC^CE

且彳C=C£:.ZU8cCD£(AAS)

结论：①MBCWACDE;.AB=CD、BC=DE

②八B«DE=BD:.AB+DE=BD

证明：

证法同上.

条件：ABLBD.DEA.BD,ACLBE

区AC=BE

结论：①MBCWMDE

②AB-DE=CD

证明：

证法同上.

条件：ABLBE.DELBD.ACLBD

且4B=BE

结论：①MBSMED

®AC-DE=CD

拓展延伸：一线三等角模型

篇三全等三角形中的几何模型

横型延伸一线三等角

条件：〃=4DCE=NB=a、AC=BE证明：

结论：①;②v£A=a,

AD+BE=AB..ZD+Z?ICD=l80o-tf

，：£DCE=a、

£ACD+ABCE=1800-a

/.£BCE=ZD

小，Z=/B、AC=BE

zMCD^A^£C(AAS)

/，和=8C

一AB-BC=AD+BE

条件：46C=ZE=N//7)=a,证明：

AC=BD结论：①MBCSABED;证法同上.

②AB-DE=CE

i

/\

―A*

4

N

-4

条件：£ABE=ZACD=ZEDF=a,证明：

AB=BE证法向上.

结论：①皿②

AC-DE=8

4

L

A

④婆氏模型（婆罗摩及多）

垂直推中点（构造一线三垂直）；中点推垂中线（倍长中线）

篇三全等三角形中的几何模型

模型四婆氏模型

证明：

如图所示.过点C、。作直找"M的垂

统,分别交于&P、0

9)iiMDQ^^EAH,HACP^2^BAH

(一战三垂直模型)

.1.DQ=AH、CP=AH

:.CP=DQ

ACAWKAD0A“AAS)

:.CM=DM

条件：ZVIBC和是等腰五角三角彩,vAQ=HE,AP=8H、MQ=MP

连接BE、CD,AHIBE关长HA..AM=AQ+A/Q=£//+1(BH-AQ)

文CD于点M

年论：①CM=DM」(W，+£〃)」8£

©AM-^BE22

••ACPM^^DQM,MDQ9M：AH,

③:S\«T>

''S\'“£-s、胸+s、机〃=s、“7>+s、3

=S\"“+S\〃>”=S\““

证明：

如图所示，延长/IM至点M使群

MV=4W.则AD.MV且

.•.DN=AE=AG、ZN二^MAE

:.DNUAE

.•.ZADN=1800-ZDAE=/BAG

・.・/£>«t/8

..A/fDN9As/G(SAS)

,•Syj”,=S\">\-S'Q,"+S\"R=S、“1t

条件：已知正方彩A8C。和*“正连接

•：BG=AN,AN-2AM,AM=

BG、DEM是DE中点，延长MA文

BG于点〃•/ZDAN+ZBAH=90。.ZD/LV-ZJfi/7

结论：①彳"J.SG：..乙48〃+/8/〃=90。，

②/A/ifiG：...N4HB=90°.即AH1BG

③S、4M**S、4O£

注：喜克报中点《构造一线三垂近）：中点推妻直（倍长中线）

模型条件弱化

全等三角形中的几何模型

四、全等三角形中的经典辅助线

①倍长中线

遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造"8字形"全等三角

形。

篇四全等三角形中的经典情助线

倍长中线

遇到三角形的中线，可倍长中线,使延长线段与原中线长相等，构造“8字形8全等三角形.

证明：

•.点。是8c边上的中点

:.BD=CD

vDEAD.且NFDC/4O8

^ABD^^ECD(SAS)

/.NABD，NECD

.AB//CE

条件：A48C中，点。是8c的中点

方法：延长.40对£,使DE・AD

特论：①噂②ABMCE

证明：

证法网上.

条件：△/AC中，点。是AC的中点,

上是4C边上任叁一点

方法：足长£。到广，松DF=DE

姑论：①ABDHACDE、②BFHCE

证明：

•.点。是8c的中点

..BD-CD

"ABD=ZECD

•:N4DB=NEDC

条件：加困，4〃4，点。是6c.的中点

41BD理△ECIXASA)

方法：延长,4。交.&于点£

结论：ANBD9AECD

②截长补短

截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条

线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种作法，

适合于证明线段的和、差、倍、分等关系的题目。若题目条件或求证结论中含有问题

a=b+c"的条件，需要添加辅助线时多考虑〃截长补短〃

篇四全等三角形中的经典辅助线

被长补短

截长法与补短法,具体做法是在某条线段上或取一条线段与特定线段相等，或是将某条

线段延长，使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，

适合于证明线段的和、差、倍、分等关系的题目.若题目条件或求证结论中含有

=+的条件,需要添加辅助线时多考虑“藏长补短”.

角平分线辅助线作法

证明：