材料科学与工程基础标准答案

3.8铁具有BCC晶体结构，原子半径为0.124nm,原子量为55.85

g/moL计算其密度并与实验值进行比较。

答：BCC结构，其原子半径与晶胞边长之间的关系为：

a=4RJ*=4x0,124/1.732nm=0.286nm

333

V=a=(0.286nm)=0.02334nm=2.334x10〜?3cm3

BCC结构的晶胞含有2个原子，

.•,其质量为：7n=2x55.85g/(6.023xl023)=1.855xl0-22g

密度为p=1.855xIO'22g/(2.334x10”23m3)=7.95g/cm3

3・9计算钺原子的半径，已知Ir具有FCC晶体结构，密度为22.4

g/cnP,原子量为192.2g/mol0

答：先求出晶胞边长s再根据FCC晶体结构中。与原子半径的关系

求FCC晶体结构中一个晶胞中的原子数为4,

/?=4xl92.2g/(6.023xl02Wcm3)=22.4g/cm\求得Q=0.3848nm

由Q二弗求得/?二序=1.414x0.3848nm/4=0.136nm

3・10计算帆原子的半径，已知V具有BCC晶体结构，密度为5.96

g/cnP,原子量为50.9g/moL

答：先求出晶胞边长再根据BCC晶体结构中〃与原子半径的关系求

7?oBCC晶体结构中一个晶胞中的原子数为2,

/2x50.9g/(6.023x1023xa3cm3)=5.96g/cm+求得a=0.305nm

由Q=4/?/V3求得V31〃4=1.732x0・305nm/4=0.132nm3.ll一些

假想的金属具有图3口40给出的简单的立方晶体结构。如果

其原子量为70.4g/mol,原子半径为0.126nm,计算其密度。

答：根据所给出的晶体结构得知,=2R=2x0.126nm=0.252nm

一个晶胞含有1个原子，

-••密度为：p=1x70.4g/(6.023x1023x0.252^x10-21cm^

=7.304g/cm,

3.12Zr具有HCP晶体结构，密度为6.51g/cm\

(a)晶胞的体积为多少？用亦表示(b)如果c/a之比为1.593,计算c

和©值。

答：

对于HCP,每个晶胞有6个原子，Mzr=91.2g/mol.

因此：

6x91.2=1.396x10'28nl3/晶胞

K_______________

L6.51xl06x6.02xl0z3

(b)ASxAxsiiAOxAxAxAx—x1.593A7=4.13866T3

=4.1386f73=1.396xl0-2S,

求得〃=3.231x10〜"m=0.323nm,尸1.593“=0.515nm

3.13利用原子量，晶体结构，和书中给出的原子半径数据，计算Pb,

Cr,Cu和Co的理想密度，并与书中的实验数据做比较。Co的c/d

之比为1。623。

3.14错(Rh)的原子半径为0.1345nm,密度为1241g/cm\确定其晶体结

构是否为FCC或BCC晶体结构。

3.15下面列出的表为3种假定合金的原子量，密度和原子半径。判

断每种合金，其晶体结构是否为FCGBCC,或简单立方，并证明你

的结论。简单立方晶胞示在图340中。

合原子量密度原子半径

金(g/mol)(g/cm3)(nm)

A77.48.220.125

B107.613.420.133

C127.39.230.142

答：(1)单个原子质量：77.4/(6.02x1023)=：1.2857x10-22g

贝!J：n/Vc=8.22x10-21g/(1.2857xl0-22g-nm3)=63.934nm〜3

(2)单个原子质量：107.6/(6.02x1023)=1.787灯0・22g

212233

贝！hn/Vc=13.42x10-g/(1.787x10~g-nm)=75.098nm〜

3

若为简单立方：Vc=3二［2/?)3=(2x0.133)3=0.01882nm

则汕二1.41与简单立方晶胞存在1个原子不符，

故不是简单立方结构。

若为面心立方:Vc=cd=(2T2/?)3=(2x1,414x0J33尸二0.0532nn^

贝lj：片3.996与面心立方晶胞存在4个原子相符，因此是而心

立方结构。

3.16锡晶胞具有四方(tetragonal)对称，晶格常数a和〃各为0.583和

0.318nm«如果其密度，原子量和原子半径各为7.30g/cm3,118.69

g/mol和0.151nmj计算其原子致密度。

答：晶胞体积为：^/)=0.583^0.318=0.1081nm3

四方晶胞有几个独立原子：

3•17碘具有正交晶胞，其晶格常数心&和c各为0479,0.725和

0.978nmo(a)如果原子致密度和原子半径各为0.547和0.177nm,

确定晶胞中的原子数o(b)碘的原子量为126.91g/mol;计算其密度。

答：(a)单个原子体积：

4勺4x3.14x0.1773.

V=-------------------=0.0232nm3

33

3

晶胞体积：Vc=ahc=0.479x0.725x0.978=0.3396nm

晶胞中的原子数为：

APFxPA0.547x0.3396

i=----n二8原子/晶胞

(b)单个原子体积：

77X77/_8x126.912i33

P_0.3396X6.02X1023=4.96x10〜g/mn=4.96g/cm

3•18Ti具有HCP晶胞，其晶格常数之比〃为1.58,如果Ti原子的

半径为0.1445nm,⑶确定晶胞体积，(b)计算Ti的密度，并与文献

值进行比较。

3.19Zn具有HCP晶体结构,c/G之比为1.856淇密度为7.13g/on\计

算Zn的原子半径。

3.20Re具有HCP晶体结构，原子半径为0.137nm,而之比为1.615。

计算Re晶胞的体积。

答：Re具有HCP晶体结构，则t/=2R=2x0.137=0.274nm

六边形底面积A：4=asin60°x^0.2742x3xV3/2=0.195nm2

晶胞的体积：Ax^oi95xl.615a=0.195x0.274x1.615

=0.0863nm3

3.21下面是一个假想金属的晶胞，(a)这一晶胞属于哪个晶系？

(b)属于哪个晶体结构？(c)计算材料的密度，已知原子量为141

g/molo

答：属正方晶系，体心正方结构。晶胞体积：0.4x0.3x03=0.036(nm3)

单个原子质量：141g/(6.02xl()23)=2.342x10〜22(g)

密度：2.342x10-22/0.036=

3.22金属间化合物AuCu?晶胞为：

(1)边长为0374nm的立方晶胞

(2)Au原子位于立方体的所有8个角上

(3)Cu原子位于立方体6个面的中心。

3.23金属间化合物AuCu晶胞为：

(1)四方晶胞，边长a=0.289nm；c=0.367nm

(2)Au原子位于立方体的所有8个角上

(3)Cu原子位于立方体中心。

3.24画出体心和正交晶体结构的草图。

3•25对于陶瓷化合物，决定晶体结构的组元离子的两个特征是什

么？

答：离子半径和电荷决定晶体结构

3.26证明配位数为4时，阳离子与阴离子半径之比最小值为0.225o

ZCBD=109°28z

BCD=ZBDC=(180o-109°28F)/2=35°16z

0.944_0,577

H

1.154r=0.944r+0.944r

BC=BD=rA+AAc

rc：

sinl09.47sin35.27

〜CDBD

等式两边用厂A相除，并整理得：0.21=0.944(rc/rA)

即有：rc/rA=0.223

3.27证明配位数为6时，阳离子与阴离子半径之比最小值为0・

414o

提示：利用NaCl晶体结构，并假设阴离子和阳离子在立方体边和

面对角线相切。

答:如图所示：考虑GHF三角形,

则

GH=rA+rc=HF

GF=2FA；

GFsin45°=GH,

则有2厂AXA/2/2=rA+rc

等式两边用m相除：

72=l+/-c/r%即有：rc/rA=1.414-1=0.414

3.28证明配位数为8时，阳离子与阴离子半径之比最小值为0.732o

答：

3.29根据离子电荷和离子半径预测下列材料的晶体结构：

(a)CsI(b)NiO(c)KI(d)NiS,证明结果。

答：r(Cs+)：0.170；r(Ni2+)：0.069：r(K+)：0.138；

r(I-)：0.220；r(O2-)：0.140；r(S2-)：0.184；

(1)0.732V宣二詈=0.773v1.0；根据阳离子与阴离子之比，每个阳

离子的配位数是8,预测的晶体结构是氯化锥型晶体结构。

(2)0.414<r(Ni+)/r(O2-)=0.069/0.14=0.493<0.732；根据阳离子与

阴离子之比，每个阳离子的配位数是6,预测的晶体结构是氯

化钠型晶体结构。

(3)0414<r(K+)/r<r)=0-138'0-220=0.627<0.732:根据阳离子与

阴离子之比，每个阳离子的配位数是6,预测的晶体结构是氯化钠

型晶体结构。

(4)0.225<r(Ni2+)/r(S2-)=0.069/0.184=0.375<0.414；根据阳离子

与阴离子之比，每个阳离子的配位数是4,预测的晶体结构是闪锌

矿型。

3.30表304中哪些阳离子能够形成氯化锂型晶体结构的碘化物。

lable3.4IonicRadiifurSeveralCcitionsandAnions(loraCooixliiicition

biRdifirjbiRdjfn^

GinAbi

AP+Q.053Bf0196

Ba2t0.136cr0.181

Ca"0.100F-0.133

0.170I-Q.220

Fc2t0.077o2-0.140

F严0.069s-0.184

0.138

Mg2*0.072

Mn-+O.(Xi7

N汩0.102

Ni”0.069

Si4*0.040

Th0.061

氯化铠型晶体结构中，阳离子的配位数为8,要求阳离子与阴离子的

半径之比的范围在0.732vm/Rv1.0,

则0・732x0.220V厂AV1.0x0.220,即有：0.161A<0,220

满足这一条件的阳离子只有；Cs+

3.31计算阳离子与阴离子半径之比为m/J0.732的氯化锚型晶体结

构的致密度。

答：以/、=0.732表明，阴离子与阳离互为相切，阴离子之间也相

切。

因此立方体八个角上的阴离子与体心的阳离子组成的晶胞的边长a=2

Pc,则晶胞的体积为V=(2rc)3=8rc?»晶胞中有一个独立的阳离子

和阴离子，它们所占的体积为：

44

尹(丘+亡)=*[(0.73203+，=5.829亡

致密度:

5.8290

APF二——=0.73

8吃

3.32表3.4给出了K+和€>2-离子半径各为0.138和0.140nm0每个

。•离子的配位数为多少？简单描述K2O的晶体结构。解释为

什么称为反荧石结构？

3.33画出PbO的三维晶胞：

(1)四方晶胞，。=0.397nm,0.502nm;

(2)氧离子位于立方体中心及两个正方形面中心；

(3)一个氧离子位于其他两个相对面(长方形)上坐标为

(0.5a,0237c)坐标的位置。

(4)其他两个相对的正方形面上，氧离子位于(0.5a,0.763c)坐

标的位置。

3.34计算FeO的密度，给出其具有岩盐结构。

答：0.414<r(Fe2+)/r(O2-)=0.077/0.140=0.55<0.732

阳离子的配位数为6,具有岩盐结构。

3.35MgO具有岩盐晶体结构，密度为3.58g/cm\

(a)确定晶胞边长

(b)假定MF+和02祠着边长正好相切时的边长长度为多少？

答：(a)p=(WA+n?c)/d'=3.58；

4x(24.312+15.999)_358xiQ-2i

6.02xl0%3八

求得：o=V0.0748=0.421nm

2+2

(b)。=2(rMg+ro-)=2x(0.072+0,140)=2x0.212=0.424nm

3.36计算金刚石的理论密度。C—C键长与键角为0.154nm和

109.5oo理论值与测理值进行比较。

答：首先我们需要根据键长确定晶胞的边长，图中给出了立方体晶

胞

的8分之1处C原子的八面体键合情况。

0=109.572=54.75°

^长二0.154nm

则ycos(54.75°)=a/4

求得：〃=4x0.154xcos(54.75。)

=0.356nm

金刚石晶胞中存在8个独立原子，其质量为:

m=8x12.011/(6.02x1023]=1.5961x10-22(g)

晶胞的体积为：二0.356-0.0451nm3

/.密度为：1.5961x10—22/(0.0451x10-21)=3.54g/cn?

实验测量的密度为3.51g/cn?

3.37计算ZnS的理论密度。Zn-S键长与键角为0.234nm和109.5%

ZnS的晶体结构与金刚石结

构相同。

求得:

“二4x0.234xcos(54.75°)

=0.540nm

ZnS的晶体结构中有4个独立

加=4x(65.37+32.064)/(6.02x1()23)=6.474x1O'22(g)

晶胞的体积为:V=a3=0.543=0.157nm3

•••密度为：尸屿6.47xlO・22/(0157x102)=4.12g/cnP

实验测量值为：Q=4.10g/c亦338cds具有立方晶胞，从X-射线

衍射数据可知，晶胞边长为0.582nm。如果测量的密度值为4.82

g/cm\每个晶胞中的Cd?+和多离子数量为多少？

密揭胞的体积＞9：闻=0.5823=o197nm3

一个晶胞所含分子的质量为：

m=pN=4.82x10-2，x0.197=0.950x10~21g

CdS的分子量为：112.4+32.064=144.464g/mol

/.晶胞中的分子个数为:

0.950X10~21X6.023X1023

=3.96=4

144.464

即每个晶胞中含有4个Cd?+和4个丽

339⑶利用表3•4中的离子半径计算CsCl密度。提示：修改3•4

题中的结果。(b)密度测量值为3•99g/cm3,如何解释密度的计算值

和测量之间的差

Cs位于体心，Cs和C1相切，

AB=res+厂ci—0.170+0.181=0.351nm

AC=gBC=胆

根据勾股定理：AB2=AC2+BC20.3512=@2）2+（屈/2）2=3

以/4,求得:么=0.405

CsCl的分子量为：132.91+3545=16&36g/mol,

晶胞体积为：V=0.4053=0.0664nm3

每个晶胞含有1个CsQ分子，则密度为:

168.36g

p----------------------------------------------=4.21g/cm3

6.023x1023x0.0664xIO'121cm3

3•40利用表3•4中的数据，计算具有荧石结构的CaF2的密度。

窗ca=0.100nmrp=0.181nm

AC=2rp+2rca=2x(0.100+0.181)=0.562nm

AC=72,B例

根据勾股定理：AC2=AB2+BC2

0.5622=(c〃2),+(V5Q/2)2=3d?/4,

求得：a=0.487nm

晶胞体积为:V=(0.487nm)3=0.1155nm3=1.155xlO-22cm3

1个晶胞中含有8个Ca和4个F,

质量为:m=8x40.08+4x18.998=396.632g/mol

396.632g

=5.70g/cm3

6.023xl023xi,i55xl0-22cm3

3.41假想的AX类型陶瓷，其密度为2.65g/cm：立方对称的晶胞边

长为0.43nmoA和X元素的原子量各为86.6和40.3g/molo由此判

断，其可能的晶体结构属于下列哪一种：岩盐结构，氯化锂结构或

者闪锌矿结构？

答：晶胞的质量为:

m=2.65xl0-21x0.433=0.21lx10n21g

晶胞中的独立分子数为:

0.211xl0n2,x6.023xl023

_____________________=1

(86.6+40.3)

因此，属于氯化铠结构。

3.42具有立方对称的MgFe2O4(MgO-Fe2O3)0晶胞边长为0-836nm0

如果材料的密度为4-52g/cn?,根据表34中的离子半径数据计算其

原子致密度。

答：晶胞的质量为：力口=4.52xl0・21x0.8363=2.64xl0・2$

MgFe2O4的分子量为：

M=24.312+2x55.847+4xl5.999=200.002g/mol

晶胞中的独立分子数为：

2.64xl0n2,x6.023xl023

_____________________〜8

200.002〜

根据表3.4中的离子半径数据，得出：

r\ig=0.072nm,厂珂二0.077nmjo=0.140nm

3

各对应的原子体积为：VMg=471X(0.072)*3=1.562x10-3nm

«e=4TTX(0.077)3/3=1.911X10-3nm3

VO=4TCX(0.140)3/3=1.149X10」nm3

晶胞体积为:V=(0.836nm)3=0.5843nm3

xn3

_8(VMe+2VFe+4Vo)8x(1.562+2x1.911+4x11.149)xlO_

APF----------------------0.5843-----------------=0・68

3.43A12O3具有六方晶系，晶格常数为〃04759nm,c=1.2989nm。

如果材料的密度为3.99g/cn?,根据表3.4中的离子半径数据计算其原

子致密度。

答：晶胞体积为:

dsin60°xdx3xc=0.4759x0,4759xA3/2xl.2989=0.2548nm3

晶胞的质量为：m=3.99x10-21x0.2548=1.017x10-21g

AbO?的分子量为：

M=2x26,982+3x15.999=101.961g/mol晶胞中的独

立分子数为：

1.017x10-21x6.023x10八

101.961=6

根据表3.4中的离子半径数据，得出：

/*AI=0.053nm,ro=0.140nm

各对应的原子体积为：VAI=4TTX(0.053)3/3=6.233X10"4nm3

Vo=47tx(0.140)3/3=1.149xl0-2nm3

4

6X(2VAI+3VO]_6X(2X6.233+3X11409)x10"

APF=V0.2548=0,84

3。44计算金刚石立方晶体结构的原子致密度（图3.16）o假定成键原

子相互接触，前为109.5。，晶胞内部的每个原子与最近邻晶

胞面心之间的距离为a/4（a为晶胞边长）。

(1)=109,572=54.75°

Y=2rc

则ycos(54.75°)=d/4

求得：

a-4x2rcxcos(54.75°)=4.617rc

33

晶胞的体积为：l/=^=(4.617rc)=98.419rc

金刚石晶胞中存在8个独立原子，其体积为：

Vc=8X4TTXr？/3=33.493n?

33

APF=334932/98,419rc=0.340g/cm

3.45利用表3口4的离子半径数据，计算氯化钙的原子致密度。假设离

子沿着体对角线相切。

rcs=0J70nm/rci=0.181nm

AC-2rcs+2rci=0.702nm,

AC=72a^B=a

C

根据勾股定理：AC2=AB2+BC2

0.7022=a?+(A/2«y,求得：a=0.405nm

每个晶胞中含有一个独立的分子，其体积为：

3

Vcsci=4x7tx(/-cs)73+4x7tx(rc))?/3=4XTTX(0.170)/3+

4X7TX(0.181)5/3

=4x7tx0.00491/3+4x7rx0.00593/3=0.0454nm3

晶胞体积为：V=t?=(0.405)3nm3=0.0664nm3

/.APF=Vcsci/V=0.0454/0.0664=0.68

3.46根据成键，解释硅酸盐材料为何具有相对低的密度。

答：空间结构不如金属的空间结构排列的那么紧密；O,Si的结合有

空间键而且较长，但金属就不同，他们结合的键极短，并且原

子量较大，所以没有金属那样较高密度。

347确定SiO：一四面体中共价键之间的键角。

答：共价键之间的键角为：109.5。

3.48画出正交晶胞及其中的［12T］晶向和(210)晶面。

3.49画出单斜晶胞及其中的［0T1］晶向和(002)晶面。

3.50⑶给出两个向量的指数

十z

Direction2

晶向1:

XVmbZ

投影：

0aC

以a,b,c为单位的投影：01/21

化简为整数：012

用中括号禺起来：[012]

晶向2:

XVZ

投影：诊1/2/?—C

以为单位的投影：1/21/2-1

化简为整数；11-2

用中括号禹起来：[11习

（b）给出两个晶面的指数

sal/2b以db@单位的截

02

用圆括号圉起来：（020）

晶面2:

截距：V2i-1/2/?

以ch为单位的截距：

1/2-1/2

取倒数：2-2

用圆括号圉起来：（221）

3.51立方晶胞中画出下列晶向:

3.52确定下列立方晶胞中的晶向指数:

n•

4-Z

晶向A：

x-----yz

投影：O-by

以由物单位的投影：

0-1-1

化简为整数：

0-1-1

用中括号圉起来：[OTT]

晶向

B•x----------y-----------z---------

投影：-u1/2/?-0

以abc为单位的投影：-11/20

化简为整数：,210

用中括号圉起来：[210|

晶向c：

XVZ

投影：V&诊C

以由为单位的投影：1/21/21

化简为整数：112

用中括号围起来：1112]

晶向D：

X•V*Z

投影：]/2n1/2/?-C

以由为单位的投影：1/21/2-1

化简为整数：11-2

用中括号围起来：[112]

3口53确定下列立方晶胞中的晶向指数:

晶向A:

z

投影：・2/36/1/2/?0

以“,b,C为单位的投影：

-2/31/20

化简为整数：

-430

用中括号圉起来:|430|

晶向B：Xy

投影:2/3c

以oQc为单位的投影：2/3-12/3

化简为整数：2一32

用中括号围起来:1232]

晶向c：

y_z

投影：1/3o一b-C

以由为单位的投影：1/3-1-1

化简为整数：1-3一3

用中括号围起来：F1331

晶向D：

XyZ

投影：]/6a皿—

以dbc为单位的投影：1/61/2—

化简为整数：13-6

用中括号围起来：1136]

3.54对于正方晶体，举出与下列晶向等价的晶向指数。

答:(a)[101]:[10T],[TOI],[IOT]JO11],[Oil],[Oil],[Oil]

(b)[110]:[110],[ITO],[110]

(c)[010|:|010],[100],[TOO]

3.55(a)[100][111]晶向转变为六方晶胞Miller-Bravais系四指

数。

晶面

AXyZ

截距：距2"sb2/3c

以th为单位的截距•

1/2oO2/3

取倒数：

203/2

化简为整数：

403

+y

用圆括号圉起来：(403)

(b)同样对(010)和(101)晶面进行转变。

答：(a)[100|：1