第3讲 加法原理含答案4年级数学创新班秋季教师版

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■分类讨论

号堂辱普（标数法

（本讲）

枚举法

一、加法原理；一般地，如果完成一件事有〃类步骤（每一类中的任何一种方法都能独立完成这件事

情），第1类有成种不同的方法，第2类有〃匕种不同的方法，第3类有叫种不同的方法，……，第〃类

有叫种不同的方法，则完成这件事一共有N=/“+乃+的+……+/%种不同的方法。

二、加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这

样的问题可以使用加法原理解决。我们可以简记为：“加法分类，类类独立”。

三、分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其

次，分类时要注意满足两条基本原则：

①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；

②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.

只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确。

四、运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数。通俗地说，就是“整

体等于局部之和

分类要满足下列两个条件：

①计数对象在所分的类中不能重复；

②计数对象在所分的类中不能遗漏。

【课前引入】在日常生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，

又有几种可能的做法。那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决。

例如：王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有5次火车从北京到天津，

有4趟长途汽车从北京到天津。那么他在一天中去天津能有多少种不同的走去？

分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种

走法，如果乘长途汽车，有4种走法。上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的

走法C

在上面的问题中，完成一件事有2大类不同的方法。在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以

完成,并且2大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第1类的方法数加上第2类的方

法数C

一般地，如果完成一件事有〃类步骤（每一类中的任何一种方法都能独立完成这件事情），第1类有叫种

不同的方法、第2类有丐种不同的方法、第3类有吗种不同的方法、……、第〃类有犯，种不同的方法，

则完成这件事一共有N=叫+吗+用++mn种不同的方法。

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题

可以使用加法原理解决。我们可以简记为：“加法分类.类类独立“。

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分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类

时要注意满足两条基本原则：

①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；

②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.

只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确。

经典例必

【例1】小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的

纪念品11种。那么，小宝买1种礼物可以有多少种不同的选法？

【分析】小宝买1种礼物分3类：

第1类，买玩具，有8种方法；

第2类，买课外书，有20种方法：

第3种，买纪念品，有11种方法；

由加法原理，小宝买1种礼物有8+20+11=39种方法。

【例2】小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的

纪念品11种。那么，小宝买2种礼物可以有多少种不同的选法？

【分析】小宝买2种礼物有3类方法：

第1类，买玩具+课外书，有8x20=160种方法；

第2类，买玩具+纪念品，有8x11=88种方法；

第3种，买课外书+纪念品，有20x11=220种方法；

由加法原理，小宝买2种礼物有160+88+220=468种方法。

【思考】小宝如果要选3种不同类的礼物有多少种选法，需要用加法原理吗？

不需要用加法原理；

由乘法原理，小宝如果要选3种不同类的礼物有8x20x11=1760种方法。

【例3】小明、小华、小红三人去公园游玩，想排成一行拍照留念，但为了节约，相同的人员组合只拍一

张（例如：小明和小华两人不管谁站左边，只拍一张请问他们共有多少种不同的照法？

【分析】（方法一）小明、小华、小红三人去公园游玩，想排成一行拍照留念可按照相的人数分3类计算：

第1类，1个人照，有3种情况：小明、小华、小红：

第2类，2个人照，有3种情况：小明和小华，小明和小红，小华和小红；

或者看哪一个人没参加，没参加的人共有3种情况：小红没参加、小华没参加、小明没参加；

第3类，3个人照，有1种情况；

由加法原理，小明、小华、小红共有3+3+1=7种不同的照法。

（方法二）对于每个人都有照相和不照相2种可能，去掉3人都不照相的情况：

小明、小华、小红共有23-1=7种不同的照法。

【例G由数字1、2、3可以组成多少个正整数？（每个数字最多只能用I次）

【分圻】按组成的正整数的数位分3类：

第1类，组成一位数，有3个；

第2类，组成二位数，有3x2=6个；

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第3类，组成三位数有3x2xl=6个；

由加法原理，由数字1、2、3可以组成3+6+6=15个正整数。（每个数字最多只能用1次）。

【例5】从1~8中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？

【分圻】假设第1数小于第2个数，按第I个数的值，将和大于10的取法分为5类：

第1类，第1个数为3,则第2个数为8,有1种情况；

第2类，第1个数为4,则第2个数为7、8,有2种情况；

第3类，第1个数为5,则第2个数为6、7、8,有3种情况：

第4类，第1个数为6,则第2个数为7、8,有2种情况；

第5类，第1个数为7,则第2个数为8,有I种情况：

由加法原理，从1~8中每次取2个不同的数相加，

有1+2+3+2+1=9种取法使和大于10。

【例6】大林和小林共有小人书不超过9本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？

【分析】按大林和小林共有小人书的本书分10类：

第1类：大林和小林共有9本的话，有10种可能；第2类：大林和小泳共有8本的话，有9种可能；

第3类：大林和小林共有7本的看，有8种可能；第4类：大林和小林共有6本的话，有7种可能；

第5类：大林和小林共有5本的话，有6种可能；第6类：大林和小林共有4本的话，有5种可能；

第7类：大林和小林共有3本的话，有4种可能；第8类：大林和小林共有2本的话，有3种可能；

第9类：大林和小林共有1本的话，有2种可能；第10类：大林和小林共有。本的话，有1种可能；

由加法原理，大林和小林各自有小人书的数目

有10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55种可能的情况。

【例7】从1000〜1234中每次取2个不同的数相加，和大于等于2009的共有多少种取法？

【分圻】假设第1数W第2个数，按第1个数的值，将和大于等于2009的取法分为9类：

第1类，第1个数为1000,则第2个数为1009~1234中的整数，有226种情况；

第2类，第1个数为1001,则第2个数为1008~1234中的整数，有227种情况；……

第5类，第1个数为1004,则第2个数为10057234中的整数，有230种情况；

第6类，第1个数为1005,则第2个数为1005~1234中的整数，有230种情况；

第7类，第1个数为1006,则第2个数为1006~1234中的整数，有229种情况；……

第235类，第1个数为1233,则第2个数为1233~1234中的整数，有2种情况；

第235类，第1个数为1234,则第2个数为1234,有1种情况；

由加法原理，从1000〜1234中每次取2个不同的数相加，

有（226+227+.......+230）+（230+229+........+2+1）=27705种取法使和大于2009。

【例8】一把硬币全是2分和5分的（2种硬币都有），这把硬币一共有1元。请问这一把硬币有多少种不

同的情况？

【分析】若5分硬币的个数为奇数个时，无论2分硬币的个数为多少个，都无法凑成1元。

按5分硬币的个数分9类。由加法原理，这一把硬币有9种不同情况。

类别

5分硬币的个数

2分硬币的个数

【例9】用若干个1分、2分、5分的硬币组成一角钱（不要求每种硬币都有），共有种不同的

方法。

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【分析】按照5分的个数分为3类：

第1类，当5分的个数为。时，2分的个数可能为0、1、2、3、4、5,

对应的1分的个数为10、8、6、4、2、0,共6种；

第2类，当5分的个数为1时，2分的个数可能为0、1、2,

对应的1分的个数为5、3、1,共3种；

第3类，当5分的个数为2时，2分的个数可能为0,对应的1分的个数为0,共1种：

由加法原理，用若干个1分、2分、5分的硬币组成一角钱（不要求每种硬币都有）

有6+3+1=10种不同的方法。

【例10】一个文具店中橡皮的售价为每块5角，圆珠笔的售价为每支1元，签字笔的售价为每支2元5角。

小明要在该店花5元5角购买其中两种文具，他有种不同的选择。

【分圻】小明要在该店花5元5角购买其中两种文具分为3类：

第1类，当小明买了圆珠笔和橡皮时，圆珠笔可以买1、2、3、4、5支，

对应橡皮有9、7、5、3、1块，有5种情况；

第2类，当小明买了签字笔和橡皮时，签字笔可以买1、2支，

对应橡皮有6、1块，有2种情况；

第3美，当小明买了圆珠笔和签字笔时，签字笔可以买1支，对应圆珠笔有3块，有1种情况；

由加法原理，小明在文具店购买2种文具共有5+2+1=8种不同的选择。

【例11］在图中的“我爱春蕾杯”有种不同的读法。

我-爱-春一蕾-杯我-爱I-春1-蕾1-杯1

\\\\\\\\

爱-春一蕾-杯爱1-春2-蕾3-杯4

\\\\\\

春一蕾-杯春1-蕾3-杯6

\\\\

蕾-杯蕾1-杯4

\\

杯杯1

1分彳斤】标数法，如图所示，“我爱春蕾杯”有1十4十6十4+1=16种不同的徒法。

【例12】图中有10个编好号码的房间，你可从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间

走到小号码，从1号房间走到10号房间共有种不同的走法。

【分析】标数法，如图所示，从1号房间走到10号房间共有22种不同的走法。

【例13］如图，小思从x市开车到y市，她必须遵照下图箭头所指示的方向行驶。请问小思由x市到y市

共有多少种不同的路径？

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【分圻】（方法一）标数法，如图所示，小思由x市到y市共有io种不同的路径。

（方法二）树形图，如图所示，，卜思由x市到丫市共有io种不同的路径。

s-丫

p

L\Y

QTSTY

M->QTSTY

x♦Q-sfy

N，RFs—y

RTSTY

o、

srY

RTSTY

o

sfy

【例14］如图所示，从A点到8点的最近路线有多少条?

4A

【分析】标数法：每一点的走法数为其左面的走法数与下面的走法数的和,

如图所示，从A点到8点的最近路线有20条。

【例15］如图所示，从A点到8点，如果要求经过C点和。点的最近路线有多少条?

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【分析】（方法一）标数法：从A点到B点，如果要求经过。点和。点的最近路线有600条。

（方法二）标数法：从A点到。点的最近路线有10条；

从C点到。点的最近路线有10条；从。点到3点的最近路线有6条；

由乘法原理，从A点到8点，经过。点和£）点的最近路线有10x10x6=600条。

【例16］如图所示，从4点到“点，如果要求经过C点或。点的最近路线有多少条?

【分圻】（方法一）标数法：从A点到8点，如果要求经过C点或。点的最近路线有1155条。

（方法二）标数法：从A点到C点的最近路线有35条；

从C点到8点的最近路线有21条；

由乘法原理，从A点到B点，经过C点的最近路线有35x21=735条。

从A点到。点的最近路线有28条；

从。点到8点的最近路线有15条；

由乘法原理，从A点到8点，经过。点的最近路线有28x15=420条。

由加法原理，从A点到8点，经过。点或。点的最近路线有735+420=1155条。

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【例17］如图所示,从A点到8点，如果要求经过。点或。点的最近路线有多少条?

D

C

A

【分析】标数法：从A点到。点的最近路线有10条：从C点到8点的最近路线有126条；

由乘法原理，从A点到5点，经过C点的最近路线有10x126=1260条。

从4点到。点的最近路线有210条；从力点到〃点的最近路线有6条；

由乘法原理，从A点到8点，经过。点的最近路线有210x6=1260条。

其中从C点到。点，最近路线有10条，

由乘法原理，从A点到8点，经过。点的最近路线有10x10x6=60）条，被重复计算。

由加法原理，从A点到8点，经过C点或。点的最近路线有1260+1260—600=1920条。

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【例18］如图，中国象棋的棋子“车”按象棋中走法规则沿着棋盘路线的最短路径从左下角走到右上角,

一共有多少种不同的走法？（注：中国象棋中，“车”每一步可以沿直线移动任意多格）

41237」（）6

514

【分析】标数法，如图所示，

中国象棋的棋子“车”按象棋中走法规则沿着棋盘路线的最短路径从左下角走到右上角,

一共有106种不同的走法。

【例19】把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙三个人，每人至少1支，问有多少种方法？

【分祈】（方法一）按甲得到铅笠支数分5类：

第1类，甲分到铅笔有5支，乙分到铅笔有1支，

对应丙分到铅笔有1支，有1种情况；

第2类，甲分到铅笔有4支，乙分到偌笔有2、1支，

对应丙分到铅笔有1、2支，有2种情况；

第3类，甲分到铅笔有3支，乙分到铅笔有3、2、1支，

对应丙分到铅笔有1、2、3支，有3种情况：

第4类，甲分到铅笔有2支，乙分到铅笔,有4、3、2、1支，

对应丙分到铅笔有1、2、3、4支，有4种情况；

第5类，甲分到铅笔有1支，乙分到铅笔有5、4、3、2、1支，

对应丙分到铅笔有1、2、3、4、5支，有5种情况；

由加法原理，把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙三个人，每人至少1支，

有1+2+3+4+5=15种方法。

（方法二）插板法：把7支铅笔看做7个O,

O与O之间有6个空，最左边的O左边有1个空，最右边的O右边有1个空，共有8个空;

其中最左边和最右边空不能插板，2块不能插在同一个空：

2块板都在不同的空，考虑哪个空没有板，有4种情况；

一共有6x5+2=15种方法。

【例20】在所有的四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少个？

【分圻】（方法一）按千位数的值、百位数的值、十位数的值、个位数的值分类讨论:

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千位百位十位个位四位教

40004000

10()31(X)

3103010

0

013001

2002200

102110

1

012101

2

202020

0112011

022002

3001300

101210

2

011201

201120

1111111

1

021102

301030

211021

0

121012

031003

由加法原理，各位数字之和是4的四位数有1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)=20个。

(方法二)插板法：把4个“1”看做4个O,

。与O之间有3个空，最左边的O左边有1个空，最右边的O右边有1个空，共有5个空；

其中最左边的O左边有1个空不能插板，否则不是四位数。

3块板都在不同的空，考虑哪个空没有板，有4种情况；

3块板中，有2块板在同一空，另外1块板在另外一个空，有4x3=12种情况；

3块板在同一个空，有4种情况；

由加法原理，各位薮字之和是4的四位数有4+12+4=20个。

【例21】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？

【分析】设第i级楼梯有4种不同的走法。

第1级楼梯有1种不同的走法，4=1;

第2级楼梯有2种不同的走法，a2=2:

①先登1级、再登1级；

②直接登2级；

当i23,ieZ+时，第，级楼梯不可能一步登上，

当最后一步登2级时，有a,.种资法；

当最后一步登1级时，有种赘法；

由加法原理，%=4-2+《-1；类似于Fibonacci数列,即从第3项起，每个数为前2项的和。

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[1，当i=l时

即4=卜，当i=2时

，当iN3,icZW

数列｛4｝为1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、……

每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有89种不同走法。

【例22】有一堆火柴棒共12根，如果规定每次取1~3根，那么取完这堆火柴棒共有多少种不同取法？

【分圻】设取i根火柴棒有q种不同的取法。

取1根火柴棒有1种不同的取法，q=l;

取2根火柴棒有1种不同的取法，&=2:

①先取1根火柴棒、再取1根火柒棒；②直接取2根火柴棒；

取3根火柴棒有4种不同的取法，％=4：

①先取1根火柴棒、再取1根火柴棒、最后取1根火柴棒；

②先取1根火柴棒、再取2根火柴棒：

③先取2根火柴棒、再取1根火柒棒：④直接取3根火柴棒；

当i24,iwZ+时，i根火柒棒不可能一次取完，

当最后一次取3根火柴棒时，有a7种不同的取法；

当最后一次取2根火柴棒时，有q_2种不同的取法；

当最后一次取1根火柴棒时，有a”种不同的取法；

由加法原理，《=《_3+限2+a”1：类似于尸数列，即从第4项起，每个数为前3项的和。

，当i=l时

，当i=2W

，当》=对

，当iN4,icZ.时

数列｛《.｝为1、2、4、7、13、24>44、81、149、274、504>927、

规定每次取1~3根，取完这堆火柴棒共有927种不同取法。

【例23】一楼梯共13级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第13级，且要求第8级楼梯不能登上,

共有多少种不同走法？

【分析】设第i级楼梯有a,种不同的走法。

第1级楼梯有1种不同的走法，4=1;

第2级楼梯有2种不同的走法，a2=2:①先登J级、再登1级；②直接登2级；

第8级楼梯不能登，故有。种不同的走法，％=0:

当iN3,『工8,iwZ'时，第i级楼梯不可能一步登上，

当最后一步登2级时，有ay种餐法；

当最后一步登1级时，有4T种登法；

由加法原理，%=q_2+4_1；

美4以于Filmed数列,即除了第8项，从第3项起，室个数为前2项的和。

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，当i=l时

2，当i=2时

0，当i=8时

q_2+，当iN3,iH8,ieZ.时

数列｛《｝为1、2、3、5、8、13、21、0、21、21、42、63、105、

每步只能跨上一级或两级，要登上第13级，共有89种不同走法。

【例24】从1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内，

使在任意相邻两个圆圈内数字之和都是不能被3整除的奇数，那么最多能找出多少种不同的挑法

来？（六个数字相同、排列次序不同的都算同一种）

【分圻】因为任意相邻两个圆圈内数字之和都是不能被3整除的奇数；

又因为奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数；

所以任意两个相邻圆圈中的数为一奇一偶。

从2、4、6、8中选3个数填入3个不相邻的圆圈中，按没有填入的数分4类：

第1类，当填入的数为2、4、6时，

3和9不能同时填入（否则总有一个与6相邻，而3|3+6、3|9+6）,

1和7不能同时填入（否则总有一个与2相邻，而3|1+2、3|7+2）,

所以3个奇数中必有5,从3或9中选出1个,有2种选法，从1或7中选出1个，有2种选法,

由乘■法原理，有2.2=4种选法。

第2类，当填入的数为2、4、8时，

1、7不能填入（因为3|1+2、3|7+2、3|7+2、3|7+8）,

第3类，当填入的数为2、6、8时，

3和9不能同时填入（否则总有一个与6相邻，而3|3+6、3|9+6）,

I、7不能填入（因为3|1+2、3|7+2,3|7+2、3|7+8）,

所以不可能填这3个奇数；

第3类，当填入的数为4、6、8时，

3和9不能同时填入（否则总有一个与6相邻，而3|3+6、3|9+6）,

1和7不能同时填入（否则总有一个与8相邻，而3|1+8、3|7+8）,

所以3个奇数中必有5,从3或9中选出1个,有2种选法，从1或7中选出1个，有2种选法,

由乘法原理，有2x2=4种选法。

由加，原理，最多能找出4•14—9种不同的挑法来。

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【练习1】用100元钱购买2元、4元或8元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的买法？

【分祈】如果买0张8元饭票，还剩100元，可以购买4元饭票的张数为0~25张，

其余的钱全部购买2元饭票，共有26种买法；

如果买1张8元饭票，还剩92元，可购4元饭票0~23张，

其余的钱全部购买2元饭票，共有24种不同方法；

如果买2张8元饭票，还剩84元，可购4元饭票0~21张，

其余的钱全部购买2元饭票，共有22种不同方法；

如果买12张8元饭票，还剩4元饭票，可购4元饭票0~1张，

其余的钱全部购买2元饭票，共有2种方法：

由加法原理，用100元钱购买2元、4元或8元饭票若干张，没有剩找，共

有26+24+22++2=182不同的买法。

【练习2】小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不

同的纪念品II种。那么，小宝买2种礼物可以有多少种不同的选法？

【分祈】小宝买2种礼物有3类方法：

第1类，买玩具+课外书，有8x20=160种方法；

第2类，买玩具+纪念品，有8x11=88种方法；

第3种，买课外书+纪念品，有20x11=220种方法；

由加法原理，小宝买2种礼物有160+88+220=468种方法。

【练习3】如表所示，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字里能连续（即相

邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻），这里共有多少种完整的“我们学习好玩的数学”

的读法？

我们学习好

们学习好玩

学习好玩的

习好玩的数

好玩的数学

【分圻】由标数法，共有70种完整的“我们学习好玩的数学”的读法。

我1们1学1习1好1

们1学2习3好4玩5

学1习3好6玩10的15

习1好4玩10的20数35

好1沅5的15数35学70

【练习4】如图为街道示意图，从4到8的最短路线有多少种？

―8147.12B

1

A

【分圻】标数法：如图所示，从A到B的最短路线有12种。

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【练习5】如图为街道示意图，C处因施工不能通行，从A到8的最短路线有多少种?

【分圻】标数法，如图所示，从A到8的最短路线有6种。

【练习6】如街道示意图所示，有几处街区有积水不能通行，那么从A到3的最短路线有多少种?

【分析】标薮法：被积水覆盖的点的走法数为0,其余点的走法数为其左面的走法数与上面的走法数的和,

如图所示，从A点到8点的最近路线有22条。

【练习7】从A点走到8点，只能按照箭头的方向行走，从A点到8点有多少条不同的走法?

【分祈】标数法，如图所示，从4点走到8点共有108种不同的走法。

【练习8】有七张卡片：G］、团、囱、回、回、回从中任取3张可排列成三位数。若其中卡片回

旋转后可看作M，则排成的偶数有个。

【分圻】若要这个三位数为偶数，

则这个三位数的个住为2或6;

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当三位数的个位为2时，有15个:

当三位数的个位为6时，有23个;

排成的偶数有15+23=38个。

【练习9】学学和思思一起洗4个互不相同的碗，思思洗好的碗一个一个往上擂，学学再从最上面一个

一个地拿走放入碗柜擂成一擂，思思一边洗，学学一边拿，问学学擂好的碗一共有

种不同的擂法。

【分析】按思思洗碗的顺序将这4个碗依次标号为1、2、3、4,

则学学擂好的碗从下往上摆放形式如下：

1234、1243、1324、1342、1432、2134、2143、

2314、2341、2431、3214、3241、3421、4321,

学学擂好的碗一共有14种不同的擂法。

【练习10】学学和思思一起洗5个互不相同的碗，思思洗好的碗一个一个往上擂，学学再从最上面一个

一个地拿走放入碗柜擂成一擂，思思一边洗，学学一边拿，问学学擂好的碗一共有

种不同的擂法。

【分析】按思思冼碗的顺序将这5个碗依次标号为1、2、3、4、5,

学学擂好的碗从下往上摆放形式如下：

12345、12354、12435、12453、12543、13245、13254、13425、13452、13542、14325、14352、

14532、15432、21345、21354、21435、21453、21543、23145、23154、23415、23451、

23541、24315、24351、24531、25431、32145、32154、32415、32451、32541、34215、34251、

34521、35421、43215、43251、43521、45321、54321,

学学擂好的碗一共有42种不同的擂法。

【练习1。有不同的语文书16本，数学书24本，英语书33本，科学书52本，从中任取一本，共有多少

种取法？

【分圻】从不同的语文书6本，数学书4本，英语书3本，科学书2本任取一本分3类：

第1类，取语文书，有16种取法；

第2类，取数学书,有24种取发;

第3种，取英语书，有33种取法;

第4种，取科技节,有52种取法;

由加法原理，从不同的语文书6本，数学书4本，英语书3本，科学书2本任取一本

有16+24+33+52=125种取法c

【练习12】甲、乙、丙三个工厂共订300份报纸，每个工厂至少订了98份，至多102份，请问一共有多

少种不同的订法？

【分析】按甲厂的订报纸的份数分5类：

第1类，甲厂订报纸98份，则乙厂订报纸100、101、102份，

对应丙厂订报纸102、101>100份，有3种方法；

第2种，甲厂订报纸99份，则乙厂订报纸99、100、101、102份，

对应丙厂订报纸102、101、100、99份，有4种方法；

第3种，甲厂订报纸100份,则乙厂订报纸98、99、100、101、102份,

对应丙厂订报纸102、101、100、99、98份，有5种方法：

第4种，甲厂订报纸101份,则乙厂订报纸98、99、100、101份，

对应丙厂订报纸101、100、99、98份，有4种方法：

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第2种，甲厂订报纸102份，则乙厂订报纸98、99、100份，

对应丙厂订报纸100、99>98份，有3种方法；

由加法原理，甲、乙、丙三个工厂共订300份报纸，每个工厂至少订了98份，至多102份,

一共有3+4+5+4+3=19种不同的订法。

【练习13]如图所示，王老师从重庆到南京，他可以乘飞机、汽车直接到达，也可以先到武汉，再由武

汉到南京。他从重庆到武汉可乘船，也可乘火车；又从武汉到南京可以乘船、火车或者飞机。

那么王老师从重庆到南京有多少种不同走法呢？

【分析】从重庆到南京，按是否经过武汉，分为2类：

第1类从重庆不经过武汉直接去南京，有2种走法：

第2种从重庆经过武汉去南京，有2x3=6种走法；

由加法原理，王老师从重庆到南京一共有2+6=8种不同走法。

【练习14】十个盒子一共装了45个乒乓球，每个盒子里的乒乓球数都不相同。现在要取出若干盒子,

使剩下的乒乓球数是取出的球数的8倍，那么共有种不同的取法。

【分圻】因为每个盒子的乒乓球数都不相同；

又因为45=0+1+2+3+4+5+6+7+8+9;

所以这十个盒子的乒乓球数分别为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

所以要取出的球数为45+(8+1)=5个。

因为5=1+4、5=0+14-4.5=2+3、5=0+2+3、5=5、5=