【教无忧】高中数学同步讲义（人教B版2019选择性必修三）第02讲 5.1.2 数列的递推（2知识点 6题型 强化训练）【KS5U 高考】

.1.2数列的递推课程标准学习目标（1）理解递推公式的含义，掌握递推公式的应用；（2）理解数列的前项和，掌握由求。（1）理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项；（2）了解用累加法、累乘法由递推公式求通项公式。知识点01数列的递推关系1、数列的递推公式如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系（也称递推公式或递归公式）2、数列的通项公式与递推公式的区别与联系递推公式通项公式区别表示与它的前一项（或前几项）之间的关系表示与之间的关系联系（1）都是表示数列的一种方法；（2）由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式。【即学即练1】（2023·广东佛山·高二校联考阶段练习）在数列中，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，所以，，，.故选：B知识点02数列的前项和1、概念：一般地，给定数列，称为数列的前项和。2、与的关系：一般地，如果数列的前项和为，那么当，由，，所以，因此【即学即练2】（2022·广东江门·高二统考期末）已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，当时，，故选：C【题型一：由递推关系求数列的项】例1．（2023·北京西城·高二北京师大附中校考期末）已知数列满足，且，那么（）A．4B．5C．6D．8【答案】C【解析】由题，，所以．故选：C．变式1-1．（2023·广东·高二校联考期末）在数列中，若，则下列数不是中的项的是（）A．-1B．-2C．3D．【答案】A【解析】由题意得，所以为周期数列，且周期为4.故选：A.变式1-2．（2023·广东广州·高二统考期末）已知数列满足，（），则（）A．2B．4C．8D．16【答案】B【解析】因为，（），所以.故选：B.变式1-3．（2023·河南开封·高二统考期末）已知数列的首项为，递推公式为，则．【答案】【解析】由题意，.变式1-4．（2023·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知数列满足：（为正整数），若，则所有可能的取值集合为.【答案】【解析】若，则,,或，当时,,或，若,则；若,则，当时,,,或，综上所述，或或或，集合．【方法技巧与总结】根据递推关系写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可。另外，解决这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式。【题型二：求数列的递推关系式】例2．（2023·全国·高二课堂例题）分别写出下列数列的一个递推关系，并求出各个数列的第7项：（1）1，2，4，7，11，…；（2），2，5，8，11，…；（3）1，，4，，16，…．【答案】（1），；（2），；（3），【解析】（1）因为：，，，，所以，即．从而．（2）因为，所以3，即．从而．（3）因为，所以．即．从而．变式2-1．（2023·重庆九龙坡·高二统考期末）数列的递推公式可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】数列第一项是1，AB是通项公式的形式，故AB错误；观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的，所以递推公式为，故C正确，D错误.故选：C.变式2-2．（2022·高二课时练习）数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是（）A．，B．，，C．，D．，，【答案】B【解析】设数列1，3，6，10，15，…为，则，，，，…，n=1时，A、D不合题意；而中不包含，由此可得数列满足.故选：B．变式2-3．（2023·江西抚州·高二抚州市第一中学校考阶段练习）裴波那契数列，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列满足，且.洛卡斯数列是以数学家爱德华·洛卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴当时，，∴，故，∵，∴，，故，∴.故选：C.变式2-4．（2024·全国·高三专题练习）（多选）意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列说法正确的是（）A．B．是奇数C．D．【答案】AD【解析】由已知得数列满足递推关系.选项A：，A正确；选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，2022＝674×3，恰好能被3整除，且为偶数，所以也为偶数，故B错误；选项C：若选项C正确，又，则，同理，依次类推，可得，显然错误，故C错误；选项D：，所以，故D正确．故选：AD．【方法技巧与总结】根据已知数列，确定相邻两项或相邻三项的关系。【题型三：数列周期性的应用】例3．（2023·天津宁河·高二统考期末）若数列的前项和，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当，则，而，显然不满足上式，所以.故选：D变式3-1．（2023·广西南宁·高二统考期末）已知数列满足，，则（）A．B．2C．12D．33【答案】A【解析】由递推公式代入计算可得；可得数列是以3为周期的周期数列，所以，故选：A.变式3-2．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市双城区兆麟中学校联考期末）已知数列满足，（），则（）A．B．0C．D．2【答案】B【解析】由，可得，，，因此为周期数列，且周期为3，故，故选：B变式3-3．（2023·天津南开·高二统考专题练习）数列满足,若，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,又，，，所以数列周期为，，故选：D变式3-4．（2023·河北·高二校联考阶段练习）在数列中，为的前项和，则的值可以为（）A．5B．4C．2D．0【答案】ABD【解析】由，得，于是，则数列是以6为周期的周期数列，由，得，因此以此类推，所以的取值仅有，故选：ABD【方法技巧与总结】一般情况下，通过对已知递推关系进行变形，结合周期性的定义确定数列的周期。但对于某些计算复杂的问题，可直接根据递推关系写出数列的项，通过观察具体的项的规律确定周期性。【题型四：由Sn求通项公式an】例4．（2023·吉林长春·高二校考期末）已知数列的前项和,则数列的通项公式为.【答案】【解析】在数列中，，当时，，当时，，∵，∴.变式4-1．（2023·吉林长春·高二长春市第六中学校考期末）设数列的前项和是，则．【答案】.【解析】结合题意：由可得：当时，,当时，,所以，，不满足，故.变式4-2．（2024·全国·高二课时练习）若数列的前项和，则此数列的通项公式为．【答案】【解析】由已知可得，当时，，两式相减可得，即，当时，，不满足上式，所以可得.变式4-3．（2023·四川成都·统考二模）在数列中，，，，则.【答案】【解析】依题意，，，则，两式相减得，当时，，所以.【方法技巧与总结】已知求的三个步骤：（1）先利用求出.（2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式．（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．【题型五：累加法求数列的通项或项】例5．（2023·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市十二中校考期末）在数列中，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：在数列中，，故选A.变式5-1．（2023·河南周口·高二周口恒大中学校考期末）已知数列满足，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，则，，，…，，以上各式相加可得，，，故选：B变式5-2．（2023·福建泉州·高二统考阶段练习）已知数列满足，，则.【答案】【解析】由可得，所以，，……，，累加可得，，即当时，也符合上式，所以.变式5-3．（2023·上海·高二校考期末）若数列满足，则的通项公式是．【答案】【解析】因为，所以，，…，，，所以，，又也满足上式，所以.【方法技巧与总结】若an+1−an=f(n)，则an两边分别相加得：a【题型六：累乘法求数列的通项或项】例6．（2024·全国·高二假期作业）已知数列的项满足，而，则＝（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得，所以，，，……，，，（），所以，所以，因为，所以，因为满足上式，所以，故选：B变式6-1．（2024·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则（）A．2023B．2024C．4045D．4047【答案】C【解析】，，即，可得，.故选：C.变式6-2．（2023·全国·高二课时练习）已知，，则数列的通项公式是（）A．nB．C．2nD．【答案】C【解析】由，得，即，则，，，…，，由累乘法可得，因为，所以，故选：C．变式6-3．（2023·山东济南·高二济南市莱芜第一中学校考阶段练习）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（）A．28B．29C．30D．31【答案】A【解析】由题意，即，所以，而，所以，由题意令，而是单调递增的，且发现，，所以满足不等式的最大正整数为28，故选：A.【方法技巧与总结】若an+1an=fn，则ana两边分别相乘得：a一、单选题1．（2023·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）在数列中，，，则的值为（）A．30B．31C．32D．33【答案】B【解析】在数列中，，，，，，．故选：B．2．（2023·重庆·高二重庆十八中校考期末）已知数列满足，，则（）A．B．C．2D．1【答案】C【解析】，，故数列周期为，故选：C3．（2023·重庆·高二重庆市第七中学校校考阶段练习）在数列中，，，，则（）A．B．1C．D．4【答案】B【解析】因为，，所以，所以，所以是周期为6的周期数列，因为，所以，又因为，所以，，所以.故选：B4．（2023·山西大同·高二大同一中校考阶段练习）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用表示解下n（，）个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下4个圆环所需的最少移动次数为（）A．7B．10C．12D．22【答案】A【解析】由已知可得，，.所以解下4个圆环最少需要移动7次.故选：A.5．（2024·全国·高二课时练习）已知数列满足，则的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，∴，故选：C.6．（2023·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串按一定移动圆环的次数决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要少移动的次数，数列满足且则解下5个环所需要最少移动的次数为（）A．7B．10C．16D．31【答案】C【解析】，故选：C.7．（2023·重庆·高二杨家坪中学校考阶段练习）数列的前n项和为，且满足，，则（）A．1011B．1013C．2022D．2023【答案】B【解析】因为，，所以所以数列是以3为周期的周期数列，且列，所以，故选:B.8．（2023·江苏南京·高二统考期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数m=6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1→4→2→1→……．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），．当时，使得的最小正整数n值是（）A．17B．16C．15D．10【答案】B【解析】时即.故选：B二、多选题9．（2023·四川达州·高二统考期末）已知数列满足，记为数列的前n项和，，，，记为数列的前n项和，则（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】由，显然，因此选项A正确；由，因此选项B正确；，因为，，所以，显然不一定恒成立，因此选项C不正确；由可知数列的最小正周期为，因为，所以，由，由，由，可得，，，，于是，由，所以数列的最小正周期为，且，，所以，因此选项D正确，故选：ABD10．（2023·河南鹤壁·高二鹤壁高中校考阶段练习）已知数列满足，，则（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】数列满足，，所以时，，此时，故B错误；，，，化为：．当时，．．，，故可知．故选：AD．11．（2023·贵州铜仁·高二统考期末）著名的冰雹猜想，又称角谷猜想，它是指任何一个正整数，若是奇数，则先乘以3再加上1；如果是偶数，就除以2.这样经过若干次变换后，最终一定得1，若是数列或中的项，则下列说法正确的是（）A．若，则需要4次变换得到1B．若，则需要7次变换得到1C．中的项变换成1的次数一定少于中的项变换成1的次数D．存在正整数，使得与的变换次数相同【答案】ABD【解析】对于选项A，，变化过程为：，4次变换得到1，A正确；对于选项B，，变化过程为：，7次变换得到1，B正确；对于选项C，举例说明，当时，，变化过程为：，16次变换得到1；，变化过程为：，3次变换得到1；C错误；对于D，举例说明，当时，，变换次数相同，D正确；故选：ABD.12．（2023·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》，在书中收录了一个有关兔子繁殖的问题.他从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，…，即从数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和．已知数列为斐波那契数列，其前n项和为，并且满足，，，则关于斐波那契数列，以下结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】斐波那契数列中，，，，，A错误；当时，，，三个式子相加，得：，B正确；当时，，则，C正确；当时，，则，D错误.故选：BC三、填空题13．（2023·天津宁河·高二统考期末）已知数列满足，，，则.【答案】2【解析】由题设，，，，.14．（2023·福建厦门·高二厦门外国语学校校考阶段练习）在数列中，，（），则.【答案】【解析】由（），得（），又，得，，，所以数列是以3为周期的数列，得.15．（2023·河北保定·高二定兴第三中学校联考期中）已知数列的前n项和为，且，，则．【答案】【解析】因为，所以，所以，，，，累加可得，化简可得.16．（2023·上海普陀·统考一模）若数列满足，（，），则的最小值是.【答案】6【解析】由已知，，…，，，所以，，又也满足上式，所以，设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增，因此在时递减，在时递