2023届高考数学特训营第3节-等比数列

第六单元第3节等比数列2023届1《高考特训营》·数学课程标准解读命题方向数学素养1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系1.等比数列的基本量运算数学运算数学抽象逻辑推理2.等比数列的判定与证明3.等比数列的性质及应用0102知识特训能力特训01知识特训知识必记拓展链接对点训练

2同一常数公比[探究]

若数列{an}满足an＋1＝qan(q≠0)，则{an}一定是等比数列吗？提示：不一定．需验证a1≠0.(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么________叫作a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒________．GG2＝ab

a1qn－1

[注意]

在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·________(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝________＝________．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为________．qn－m

ap·aq

qk(5)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别的，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．(6)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．[注意]

Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如：当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)总成立．[探究]

1.若数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}是等比数列吗？提示：不一定．当q＝－1时不是等比数列．2．如何正确把握等比数列基本量运算中设元的技巧？

(2)最大项：各项均为正数的等比数列，当q>1时，最大项为末项，当0<q<1时，最大项为首项；若a1<0，当q>1时，最大项为首项，当0<q<1时，最大项为末项．【例】(多选题)若{an}是公比为q(q≠0)的等比数列，记Sn为{an}的前n项和，则下列说法正确的是(

)A．若a1>0，0<q<1，则{an}为递减数列B．若a1<0，0<q<1，则{an}为递增数列C.若q>0，则S4＋S6>2S5ABD

【例】等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r的值为________．1．[易错诊断](1)在等比数列{an}中，a3＝4，a7＝16，则a3与a7的等比中项为________．答案：±8解析：设a3与a7的等比中项为G，因为a3＝4，a7＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8.【易错点拨】忽视“G2＝ab”是“a，G，b”成等比数列的必要不充分条件致误．(2)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5(e为自然对数的底数)，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________．答案：50解析：因为数列{an}为等比数列，且a10a11＋a9a12＝2e5，所以a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5，所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝lne50＝50.【易错点拨】等比数列性质及对数的运算性质不熟练致误．2．[教材改编]数列{an}的通项公式是an＝an(a≠0)，则其前n项和Sn＝________．3．[模拟演练](2022·陕西模拟)设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为Sn，S2n，S3n，则下列等式中恒成立的是(

)A．Sn＋S3n＝2S2nB．S2n(S2n－Sn)＝S3n(S3n－Sn)C．S＝S3nSnD．S2n(S2n－Sn)＝Sn(S3n－Sn)解析：由等比数列的性质得Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，化简得S2n(S2n－Sn)＝Sn(S3n－Sn)，故选D.D4．[真题体验](2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8等于(

)A．12 B．24C．30 D．32D02能力特训特训点1特训点2特训点3

特训点1等比数列基本量的计算【自主冲关类】B

2．(2022·湘东五校联考)十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．十二平均律的数学意义是在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，插入的第四个数应为(

)C

A

[锦囊·妙法]等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．典例1设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列．(2)求数列{an}的通项公式．特训点2等比数列的判定与证明【师生共研类】解：(1)由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．

◎思维发散◎1．(变条件)已知an＋1＝3an＋5，又应如何构造出一个等比数列？

2．(变条件)将条件“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不变，探求数列{an}的通项公式．解：由已知得当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n，∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，∴an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，当n＝1时上式也成立，故{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.

[提醒]

(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．1．(2022·全国模拟演练)已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列．解：(1)因为an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，因为数列{an}中各项均为正数，所以an＋1＋an＞0，所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列．

2．已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列．(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.解：(1)因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，所以Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)，则Sn＝2Sn－1－n＋4(n≥2)，所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2](n≥2)，又由题意知a1－2a1＝－3，所以a1＝3，则S1－1＋2＝4，所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．(2)由(1)知Sn－n＋2＝2n＋1，所以Sn＝2n＋1＋n－2，于是Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n

特训点3等比数列的性质及其应用【多维考向类】(2)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．[解题指导](1)应用方程根与系数的关系及等比数列的性质转化运算求解．(2)按照对数运算化简，应用等比数列性质整体代入求值．