2024-2025学年高一数学同步试题（人教A版2019）4.1 指数（六大题型）

4.1指数目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳】 2题型一：由根式的意义求范围 2题型二：利用根式的性质化简或求值 3题型三：有限制条件的根式的化简 4题型四：根式与指数幂的互化 4题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求值 6题型六：整体代换法求分数指数幂 7【重难点集训】 9【高考真题】 16【题型归纳】题型一：由根式的意义求范围1．（2024·高一·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是（

）A．且 B． C． D．【答案】A【解析】直接根据开偶次方根，被开方数大于等于0，0的0次幂无意义.要使原式有意义，则解得且.故选：A.2．（2024·高一·全国·课后作业）若有意义，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】C【解析】要使有意义，需使，解得，表示为区间形式即.故选C.3．（2024·高一·全国·课后作业）若有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】因为，要使有意义，需满足，即或，即或.故选：D.4．（2024·高一·全国·课后作业）若有意义,则的取值范围是（

）A． B． C． D．或x>1【答案】D【解析】因为，要使有意义，需满足，即或.故选：D.5．（2024·高一·全国·课后作业）若有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以即，故选：D.题型二：利用根式的性质化简或求值6．（2024·高一·江苏南京·竞赛），求．【答案】【解析】法一：因为，，所以.法二：.故答案为：7．（2024·高一·北京顺义·开学考试）设，，则化简为.【答案】【解析】由于，，所以故答案为：8．（2024·高一·四川·开学考试）化简：.【答案】【解析】由二次根式的定义可知：，因为，所以，因此；故答案为：9．（2024·高一·上海·期中）当时，式子的值是.【答案】0【解析】因为，所以.故答案为：0.题型三：有限制条件的根式的化简10．（2024·高一·上海黄浦·期中）当时，化简.【答案】【解析】根据的正负，结合得到结果.因为，且，所以，故答案为：.11．（2024·高一·全国·专题练习）化简的结果为【答案】3+2/【解析】.故答案为：.12．（2024·高一·四川宜宾·阶段练习）化简的结果是．【答案】【解析】.故答案为：.题型四：根式与指数幂的互化13．（2024·高一·江苏·专题练习）将下列根式化为分数指数幂的形式：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）原式.（2）原式.（3）原式.14．（2024·高一·江苏·专题练习）用分数指数幂表示下列各式：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）15．（2024·高一·江苏·专题练习）把下列根式化成分数指数幂的形式，其中．(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.16．用分数指数幂的形式表示下列各式（）：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）；（2）（3）．题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求值17．（2024·高一·全国·课后作业）（1）化简：（a＞0，b＞0）；（2）求值：.【解析】（1）.（2）.18．（2024·高一·全国·课后作业）（1）化简：；（2）化简：；（3）已知，求的值.【解析】（1）原式；（2）原式；（3）因为，两边同时平方得，，整理得，，所以.19．化简：．【解析】原式．20．（2024·高一·河南漯河·期末）计算．(1)；(2)．【解析】（1）=；（2）.题型六：整体代换法求分数指数幂21．（多选题）（2024·高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】A：因为，所以，显然，所以，故正确；B：因为，故正确；C：因为，故正确；D：因为，所以，所以，所以，故错误；故选：ABC.22．（多选题）（2024·高一·河南漯河·阶段练习）已知，下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【解析】A：，故A正确；B：，故B正确；C：，故C正确；D：，故D正确；故选：ABCD.23．设，且．求的值．【解析】因为，且，所以.24．（2024·高一·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值：(1)；(2)【解析】（1）因为，故，故，而，故，故.（2）由（1）可得，故，故，故.【重难点集训】1．若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，，因为幂函数在0,+∞上单调递增，所以，又因为，所以，由上可知，故选：B.2．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，即，故，故故.故选：C3．估计的值应在（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【答案】C【解析】因为，且，所以.故选：C.4．若实数满足等式，则（

）A． B． C． D．4【答案】A【解析】由条件知，根据非负性可知，所以，故选：A.5．已知正数满足，则的最小值为（

）A．16 B． C．8 D．4【答案】D【解析】由正数满足，可得，即，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以又由，所以的最小值为.故选：D.6．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，得，则，故“”是“”的充分不必要条件．故选：A.7．下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，B选项错误；对于C选项，，C选项错误；对于D选项，，D选项正确.故选：D.8．若实数x，y满足，则的值可以是（

）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】因为，又，所以，设，则，即.因为，即，当且仅当，即时等号成立，解得，，所以的取值范围是故选：C.9．（多选题）已知正数a，b满足，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】A，因为，，当且仅当时等号成立，所以，即，正确；B，，当且仅当时等号成立，因为，，所以，正确；C，，当且仅当时等号成立，所以，所以，错误；D，，当且仅当时等号成立，所以，正确．故选：ABD10．（多选题）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】对选项A：，错误；对选项B：，正确；对选项C：，正确；对选项D：，错误；故选：BC11．（多选题）已知实数满足，下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】，故选项A正确；，故选项B错误；，故选项C正确；,,故选项D错误．故选：AC．12．已知，则.【答案】/【解析】因为，所以，即，所以，故答案为：13．已知正数满足，则的最小值为.【答案】9【解析】，可得，又，所以，当且仅当，即时取得最小值.故答案为：14．若，，，则．【答案】【解析】，，，所以，原式，故答案为：15．若，则.【答案】【解析】因为，所以，所以所以，，所以.故答案为：.16．（1）计算：；（2）已知，求值：.【解析】（1），（2）因为，所以，所以，则，所以，所以17．（1）计算：；（2）已知且，求下列各式的值：①；②．【解析】（1）原式；（2）①因为，所以，即，所以；②因为，又因为，所以18．计算求值：(1)；(2)若，求值.【解析】（1）原式（2）由，则，则，所以，则，所以.19．（1）计算：；（2）已知，求的值.【解析】（1）原式.（2）因为，则，故，又，而，故，故.【高考真题】1．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科数学）设，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，