2024-2025高二第一学期期末模拟试卷解析版

2024-2025高二第一学期期末模拟试卷（考试时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上。2.回答第I卷和第Ⅱ卷时，用黑色签字笔把答案填写到答题卡上。写在本试卷上无效。一、单选题（每小题5分，共40分，请将答案填在答题卡相应位置）1.某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（）A.36种 B.60种C.75种 D.85种【答案】C【解析】【详解】小明有三种选课方法，小强和小豆各有五种选课方法，故共有种选课方法.故选：C.2.设，且，则等于（）A. B.9 C. D.【答案】B【解析】【详解】因为，且.根据向量平行的性质，可得.解得，.把，代入，可得.故选：B.3.已知焦点在轴上的椭圆与椭圆：的离心率相同，且的长轴长比其短轴长大4，则的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】设焦点在轴上的椭圆：，由已知得，即①，又椭圆：的离心率为，所以②，①②联立解得，，所以椭圆的标准方程为.故选：C.4.已知四面体ABCD如图所示，其中点为的重心，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】由点为的重心，故，则，即，则.故选：D.5.若直线与曲线至少有一个公共点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】直线恒过定点，由，得到（），所以曲线表示以点为圆心，半径为，且位于直线右侧的半圆（包括点，1,0），如下图所示：当直线经过点时，与曲线有一个交点，此时，当与半圆相切时，由，得，由图可知，当时，与曲线至少有一个公共点，故选：B.6.如图，在长方体中，M，N分别为棱，的中点，下列判断中正确的个数为（）①直线；②平面；③平面ADM.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【详解】设长方体棱长为，以D为坐标原点，分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则故,,故直线不成立，①不正确；在长方体中，平面，②正确，因为，设平面ADM的法向量为，则，令，则，则，而，故，故平面ADM.不成立，故③错误，故选：B7.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有（）A.252个 B.300个C.324个 D.228个【答案】B【解析】【详解】（1）若四位数中含有数字0不含数字5，则选法是，可以组成四位数个；（2）若四位数中含有数字5不含数字0，则选法是，可以组成四位数个；（3）若既含数字0，又含数字5，选法是，排法是若0在个位，有种，若5在个位，有种，故可以组成四位数个．根据加法原理，共有个．故选：Ｂ．8.过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【详解】由题意得，，渐近线方程为.因为，所以直线的方程为.由得，即，由得，即，所以，，因为，所以，整理得，所以双曲线的离心率.故选：D.二、多选题（每小题有两个或三个正确答案，每小题全部选释正确得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分，共18分，请将答案填在答题卡相应位置）9.已知，分别为直线，方向向量，为平面的法向量，则（）A. B.C. D.直线与所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】【详解】对于A，，所以，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，是直线的方向向量，为平面的法向量，因为，所以直线或直线，故C错误；对于D，设直线与所成的角为，，则，故D正确.故选：ABD.10.2024年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争力排名，在极超音速和水下无人机等23个领域中，中国在其中19个领域领先.某科技博主从这19个领域中选取了A，，，，，六个领域，准备在2024年1月1—6日对公众进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则（）A.A，在后3天介绍的方法种数为144B.，相隔一天介绍的方法种数为96C.不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为504D.A在，之前介绍的概率为【答案】ACD【解析】【分析】对于ABC：根据题意结合排列数、组合数分析求解；对于D：根据排列组合结合古典概型分析求【详解】A，在后3天介绍的方法种数为，A正确；，相隔一天介绍的方法种数为，B错误；不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为（或），C正确：A在，之前介绍的概率为，D正确；故选：ACD.11.已知抛物线上任意一点处的切线方程可以表示为．直线、、分别与该抛物线相切于点Ax1,y1、Bx2,y2、，、相交于点，与、分别相交于点、，则下列说法正确的是（）A.点落在一条定直线上B.若直线过该抛物线焦点，则C.D.【答案】BCD【解析】【详解】对于A选项，由题意可知，直线的方程为，即①，同理可知，直线的方程为②，联立①②可得，，即点，同理可得、，无法确定点横坐标与纵坐标之间的关系，A错；对于B选项，若直线过该抛物线的焦点，若直线的斜率不存在，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，联立可得，，由韦达定理可得，直线的斜率为，直线的斜率为，因为，则，B对；对于C选项，由抛物线的定义可得，，由A选项可知点，易知点，所以，，C对；对于D选项，，，所以，，D对.故选：BCD.三、填空题（每小题5分，共15分．请将答案填写在答题卡相应位置）12.的展开式中的系数为____________.【答案】7【解析】【详解】的展开式通项为，故的展开式中的系数为，故选：7.13.已知表示一个三位数，如果满足且，那么我们称该三位数为“凸数”，则没有重复数字的三位“凸数”的个数为________．【答案】【解析】【详解】由题意可知，在、、三个数中，最大，分以下两种情况讨论：①若、、中有一个为，则最大的数放中间，放在个位上，另外一个数放在百位上，此时，满足条件的没有重复数字的三位“凸数”的个数为个；②若、、三个数都不为零，则最大的数放中间，另外两个数分别放在个位和百位上，此时，满足条件的没有重复数字的三位“凸数”的个数为.综上所述，没有重复数字的三位“凸数”的个数为个.故答案为：.14.在棱长为的正方体中，、、分别为、、中点，、分别为直线、上的动点，若、、共面，则的最小值为______.【答案】【解析】【详解】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设点、，其中、，易知、，则，，，因为、、共面，则存在、，使得，即，解得，所以，，即，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分．请将答案填写在答题卡相应位置）15.已知点，，.（1）求线段的垂直平分线的方程；（2）已知圆过点，求圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】依题意，设线段的中点为，因，，则，直线的斜率为：,故线段AC的垂直平分线的斜率为，故其直线方程为：，即；【小问2详解】仿照（1），同理可求得线段的垂直平分线的方程为,即，由解得：，即圆心为，圆的半径为：,故圆的方程为：.16.（1）计算；（2）已知.①求；②求.【答案】（1）252；（2）①；②1093【解析】【详解】（1）由.（2）①在中，取得，取得……①，所以.②取得……②，①+②得，所以.17.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，，求直线方程．【答案】（1）（2）或【解析】【小问1详解】抛物线的焦点坐标为1,0，所以椭圆中，因为椭圆的离心率为，即，所以，，所以椭圆方程为【小问2详解】当直线斜率不存在时，易知此时，不合题意；所以直线斜率存在，设过抛物线焦点的直线方程为y=kx−1，如下图所：联立得，设，则，根据焦点弦公式可得，解得，，所以直线方程为或18.如图，在三棱锥中，，，，二面角为直二面角，为线段的中点，点在线段上（不含端点位置）.（1）若平面，求值；（2）若，求的值；（3）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【小问1详解】由平面，平面平面，平面，故，又为线段的中点，故为线段的中点，即；【小问2详解】由，则，则，由，，则，有，故，又二面角为直二面角，故平面平面，由平面平面，，平面，故平面，又平面，故，即有、、两两垂直，故可建立如图所示空间直角坐标系，有A0,0,0、、、、，即、、，设，则，若，则，解得，即，故；【小问3详解】，，，则，设平面与平面的法向量分别为m=x1,y1,z，令，则有，，，，即可取、，由平面与平面所成锐二面角的余弦值为，则有，整理得，解得或，即或，故或.19.法国数学家加斯帕尔·蒙日是18世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆C：.，则称圆心在原点O，半径为的圆为“椭圆C的伴随圆”.已知椭圆C：的左焦点为，点在C上，且.（1）求椭圆C的方程以及椭圆C的伴随圆的方程；（2）将向上平移6个单位长度得到曲线，已知，动点E在曲线上，探究：是否存在定点，使得为定值，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）已知不过点A的直线l：与椭圆C交于M，N两