2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.2.2第1课时组合与组合数公式课时分层作业含解析新人教A版选修2-3

PAGE1-课时分层作业(五)组合与组合数公式(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列四个问题属于组合问题的是()A．从4名志愿者中选出2人分别参与导游和翻译的工作B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数C．从全班同学中选出3名同学出席深圳世界高校生运动会开幕式D．从全班同学中选出3名同学分别担当班长、副班长和学习委员C[A、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题．]2．已知平面内A，B，C，D，E，F这6个点中任何3点均不共线，则由其中随意3个点为顶点的全部三角形的个数为()A．3 B．20C．12 D．24B[Ceq\o\al(3,6)＝eq\f(6×5×4,3×2×1)＝20.]3．下列等式不正确的是()A．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！) B．Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)C．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(m＋1,n＋1)Ceq\o\al(m＋1,n＋1) D．Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1)D[由组合数公式逐一验证知D不正确．]4．若Aeq\o\al(3,n)＝12Ceq\o\al(2,n)，则n等于()A．8 B．5或6C．3或4 D．4A[Aeq\o\al(3,n)＝n(n－1)(n－2)，Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(1,2)n(n－1)，所以n(n－1)(n－2)＝12×eq\f(1,2)n(n－1)．由n∈N*，且n≥3，解得n＝8.]5．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有()A．36种 B．48种C．96种 D．192种C[甲选修2门有Ceq\o\al(2,4)＝6种选法，乙、丙各有Ceq\o\al(3,4)＝4种选法．由分步乘法计数原理可知，共有6×4×4＝96种选法．]二、填空题6．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)210[从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有Ceq\o\al(4,10)＝210种分法．]7．方程：Ceq\o\al(2x,4)＋Ceq\o\al(2x－1,4)＝Ceq\o\al(5,6)－Ceq\o\al(6,6)的解集为________．{x|x＝2}[由组合数公式的性质可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x≤4，,2x－1≤4，,2x∈N，,2x－1∈N，))解得x＝1或x＝2，代入方程检验得x＝2满意方程，所以原方程的解为{x|x＝2}．]8．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A，B，O，AB四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女肯定不是O型，若某人的血型为O型，则父母血型全部可能状况有________种．9[父母应为A或B或O，共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3)＝9种状况．]三、解答题9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？[解]从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故全部不同的最小三位数共有Ceq\o\al(3,6)＝eq\f(6×5×4,3×2×1)＝20个．10．求式子eq\f(1,C\o\al(x,5))－eq\f(1,C\o\al(x,6))＝eq\f(7,10C\o\al(x,7))中的x.[解]原式可化为：eq\f(x！5－x！,5！)－eq\f(x！6－x！,6！)＝eq\f(7·x！7－x！,10·7！)，∵0≤x≤5，∴x2－23x＋42＝0，∴x＝21(舍去)或x＝2，即x＝2为原方程的解．1．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若随意两条线的交点不同，则全部线段在圆内的交点有()A．36个B．72个C．63个D．126个D[此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，全部四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为Ceq\o\al(4,9)＝126个．]2．从4台甲型和5台乙型电视机中随意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有()A．140种 B．84种C．70种 D．35种C[可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,5)＝4×10＝40(种)取法，其次类，甲型2台、乙型1台，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,5)＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．]3．某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3人去参观展览．若恰有1名女同学入选的不同选法有20种，则该科技小组中男同学的人数为________．5[由题意得Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,x)＝20，解得x＝5(负值舍去)．所以该科技小组有5名男同学．]4．已知eq\f(C\o\al(m－1,n),2)＝eq\f(C\o\al(m,n),3)＝eq\f(C\o\al(m＋1,n),4)，则m与n的值分别为________．14,34[可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n！,2m－1！n－m＋1！)＝\f(n！,3m！n－m！)，,\f(n！,3m！n－m！)＝\f(n！,4m＋1！n－m－1！)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5m＝2n＋2，,7m＝3n－4，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝14，,n＝34.))]5．在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中随意抽出3件．(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？[解](1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有Ceq\o\al(3,100)＝eq\f(100×99×98,1×2×3)＝161700(种)．(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有Ceq\o\al(1,2)种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有Ceq\o\al(2,98)种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,98)＝9506(种)．(3)法一：抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种状况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,98)种，因此依据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,98)＋Ceq\