2024-2025学年高中数学第二单元等式与不等式第15课均值不等式的应用课时同步练习含解析新人教B版必修第一册

其次单元等式与不等式第15课均值不等式的应用一、基础巩固1．若a＞1，则a＋eq\f(1,a－1)的最小值是()A．2B．aC.eq\f(2\r(a),a－1)D．3【答案】D【解析】∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋eq\f(1,a－1)＝a－1＋eq\f(1,a－1)＋1≥2eq\r(a－1·\f(1,a－1))＋1＝3.2．已知x＜0，则y＝x＋eq\f(1,x)－2有()A．最大值为0 B．最小值为0C．最大值为－4 D．最小值为－4【答案】C【解析】∵x<0，∴y＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,－x)))－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝eq\f(1,－x)，即x＝－1时取等号．3．设x＞0，则y＝3－3x－eq\f(1,x)的最大值是()A．3 B．－3eq\r(2)C．3－2eq\r(3) D．－1【答案】C【解析】∵x＞0，∴y＝3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x)))≤3－2eq\r(3x·\f(1,x))＝3－2eq\r(3).当且仅当3x＝eq\f(1,x)，且x＞0，即x＝eq\f(\r(3),3)时，等号成立．4．若x＞0，y＞0，且eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，则x＋y的最小值是()A．3B．6C．9 D．12【答案】C【解析】x＋y＝(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝1＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)＋4＝5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥5＋2eq\r(\f(y,x)·\f(4x,y))＝5＋4＝9.当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)＝1，,\f(y,x)＝\f(4x,y)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝6))时等号成立，故x＋y的最小值为9.5.若关于x的不等式对随意的恒成立，则实数x的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为,所以(当且仅当时等号成立），所以由题意，得，解得,故选C.6.若,则的最小值是（ ）A. B. C.4 D.2【答案】A【解析】，当且仅当时等号成立.7.某工厂第一年产量为,其次年增长率为,第三年的增长率为,这两年的平均增长率为,则(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】这两年的平均增长率为，，，，当且仅当，即时取等号.8.已知均为正实数,求证:.【答案】见解析【解析】∵，当且仅当时等号成立，∴，∴，∴，①同理，②.③①+②+③，得，当且仅当的时等号成立.二、拓展提升9.若实数满意,则的最小值为（ ）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】实数满意，则,当且仅当且时等号成立.故选C.10.设若，则的最小值为______．【答案】9【解析】因为，且，

且，

，

当且仅当时取等号，

结合可解得且，

故所求最小值为9

故答案为：911.若实数x，y满意x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．【答案】eq\f(2\r(3),3)【解析】x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2＋1.∴eq\f(3,4)(x＋y)2≤1.12.在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝eq\f(1,□)＋eq\f(9,□)，试求这两个数．【答案】见解析【解析】设eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝1，a，b∈N*，∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(9,b)))＝1＋9＋eq\f(b,a)＋eq\f(9a,b)≥10＋2eq\r(\f(b,a)·\f(9a,b))＝10＋2×3＝16，当且仅当eq\f(b,a)＝e