2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.4.3对数函数的图象和性质的应用课时素养评价含解析新人教A版必修第一册

PAGE9-对数函数的图象和性质的应用(15分钟35分)1.函数y=f(x)是y=ax(a>0，且a≠1)的反函数，则下列结论错误的是()A.f(x2)=2f(x) B.f(2x)=f(x)+f(2)C.fQUOTE=f(x)-f(2) D.f(2x)=2f(x)【解析】选D.由题意，f(x)=logax，所以f(2x)=loga2x=loga2+logax=f(2)+f(x)，f(x2)=logax2=2logax=2f(x)，fQUOTE=logaQUOTE=logax-loga2=f(x)-f(2)，故D是错误的.2.若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.4【解析】选B.当a>1时，a+loga2+1=a，loga2=-1，a=QUOTE(舍去).当0<a<1时，1+a+loga2=a，所以loga2=-1，a=QUOTE.3.若函数f(x)=loQUOTE(-x2+4x+5)在区间(3m-2，m+2)上单调递增，则实数m的取值范围为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.依据对数的性质可得-x2+4x+5>0，解得-1<x<5.因为二次函数y=-x2+4x+5图象的对称轴为x=2，由复合函数单调性可得函数f(x)=loQUOTE(-x2+4x+5)的单调递增区间为[2，5)，要使函数f(x)=loQUOTE(-x2+4x+5)在区间(3m-2，m+2)上单调递增，只需QUOTE解得QUOTE≤m<2.4.(2024·闵行高一检测)函数y=3x(x≥2)的反函数g(x)=_______.

【解析】函数y=3x(x≥2)中，y≥9，所以反函数解析式为g(x)=log3x，x∈[9，+∞).答案：log3x，x∈[9，+∞)5.(2024·扬州高一检测)已知函数f(x)=lg(2+x2)，则满意不等式f(2x-1)<f(3)的x的取值范围为_______.

【解析】因为函数f(x)=lg(2+x2)，满意不等式f(2x-1)<f(3)，所以(2x-1)2<9，即-3<2x-1<3，解得-1<x<2.答案：(-1，2)6.已知函数f(x)=loga(x+2)+loga(3-x)，其中0<a<1.(1)求函数f(x)的定义域.(2)若函数f(x)的最小值为-4，求a的值.【解析】(1)要使函数有意义，则有QUOTE，解得-2<x<3.所以函数的定义域为(-2，3).(2)函数f(x)=loga[(x+2)(3-x)]=loga(-x2+x+6)=因为-2<x<3，所以因为0<a<1，所以≥logaQUOTE，即f(x)min=logaQUOTE，由logaQUOTE=-4，a-4=QUOTE，所以a=QUOTE.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.函数y=lg(x+QUOTE)是 ()A.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数【解题指南】利用定义，结合对数的运算推断.【解析】选B.已知函数的定义域是R，因为f(-x)=lg(QUOTE-x)=lg(QUOTE)=-lg(QUOTE+x)=-f(x).所以y是奇函数.2.函数y=logax在[2，+∞)上恒有|y|>1，则实数a的取值范围是 ()A.QUOTE∪(1，2) B.QUOTE∪(1，2)C.(1，2) D.QUOTE∪(2，+∞)【解析】选A.由题意可得，当x≥2时，|logax|>1恒成立.若a>1，函数y=logax是增函数，不等式|logax|>1即logax>1，所以loga2>1=logaa，解得1<a<2.若0<a<1，函数y=logax是减函数，函数y=loQUOTEx是增函数，不等式|logax|>1，即loQUOTEx>1，所以有loQUOTE2>1=loQUOTE得1<QUOTE<2，解得QUOTE<a<1.综上可得，实数a的取值范围是QUOTE∪(1，2).3.(2024·滨海高一检测)已知函数f(x)=|x|，且a=fQUOTE，b=fQUOTE，c=f(2-1)，则a，b，c的大小关系为 ()A.a<c<b B.b<c<aC.c<a<b D.b<a<c【解析】选A.由f(x)=|x|，知f(x)是R上的偶函数，且f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增.因为lnQUOTE<2-1<QUOTE，所以a<c<b.4.(2024·杭州高一检测)已知y=loga(2-ax)在[0，1]上单调递减，则a的取值范围为 ()A.(0，1) B.(1，2)C.(0，2) D.(2，+∞)【解析】选B.因为f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(0)>f(1)，即loga2>loga(2-a).所以QUOTE，所以1<a<2.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若fQUOTE>QUOTE恒成立，则f(x)称为[a，b]上的凸函数.下列函数中在其定义域上为凸函数的是 ()A.y=2x B.y=log2xC.y=-x2 D.y=QUOTE【解析】选BCD.依据题意：任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若fQUOTE>QUOTE恒成立，则f(x)称为[a，b]上的凸函数知：在函数y=f(x)的图象上任取不同的两点A，B，函数f(x)的图象总在线段AB(端点除外)的上方，则函数f(x)为凸函数，分别作出四个函数的图象，如图所示.所以视察y=log2x，y=-x2，y=QUOTE在其定义域上的图象，满意凸函数的概念，所以y=log2x，y=-x2，y=QUOTE是凸函数.6.设函数f(x)=loQUOTEx，下列四个命题正确的是 ()A.函数f(|x|)为偶函数B.若f(a)=|f(b)|其中a>0，b>0，a≠b，则ab=1C.函数f(-x2+2x)在(1，3)上单调递增D.若0<a<1，则|f(1+a)|>|f(1-a)|【解析】选AB.f(x)=loQUOTEx，x>0.函数f(|x|)=loQUOTE|x|，因为f(|-x|)=f(|x|)，所以f(|x|)为偶函数，A正确；若f(a)=|f(b)|，其中a>0，b>0，因为a≠b，所以f(a)=|f(b)|=-f(b)，所以loQUOTEa+loQUOTEb=loQUOTE(ab)=0，所以ab=1.因此B正确.函数f(-x2+2x)=loQUOTE(-x2+2x)由-x2+2x>0，解得0<x<2，所以函数的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，C不正确；若0<a<1，所以1+a>1-a，所以f(1+a)<0<f(1-a)，故|f(1+a)|-|f(1-a)|=-f(1+a)-f(1-a)=-loQUOTE(1-a2)<0，即|f(1+a)|<|f(1-a)|，因此D不正确.【光速解题】选项D中，可取a=QUOTE，易知QUOTE<QUOTE三、填空题(每小题5分，共10分)7.已知函数f(x)=loga(2x-a)，x∈QUOTE.当a=QUOTE时，函数的最小值为_______；若恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是_______.

【解析】当a=QUOTE时，函数f(x)=loQUOTE在区间QUOTE上单调递减，当x=QUOTE时取最小值为QUOTE=QUOTE1=0.因为函数f(x)在区间QUOTE上恒有f(x)>0，所以a>1，且2×QUOTE-a>1；或0<a<1，且0<2×QUOTE-a<1.解得a∈∅，或QUOTE<a<1，所以QUOTE<a<1.答案：0QUOTE8.若函数y=loga(x2-ax+1)有最小值，则a的取值范围是_______.

【解析】令g(x)=x2-ax+1(a>0，且a≠1)，①当a>1时，y=logax在R+上单调递增，所以要使函数有最小值，必需g(x)min>0，所以Δ<0，解得-2<a<2，所以1<a<2；②当0<a<1时，g(x)=x2-ax+1没有最大值，从而不能使得函数y=loga(x2-ax+1)有最小值，不符合题意.综上所述：1<a<2.答案：1<a<2四、解答题(每小题10分，共20分)9.已知函数f(x)=loga(1-ax)(a>0且a≠1).(1)若a>1，解不等式f(x)<0.(2)若函数f(x)在区间(0，2]上单调递增，求实数a的取值范围.【解析】(1)因为a>1，loga(1-ax)<0，所以loga(1-ax)<loga1，所以0<1-ax<1，所以-1<-ax<0，解得0<x<QUOTE.所以a>1时，不等式的解集为QUOTE.(2)因为关于x的函数f(x)在区间(0，2]上单调递增，而t=1-ax在区间(0，2]上单调递减，所以0<a<1，且t>0.再由QUOTE，解得0<a<QUOTE，则实数a的取值范围为QUOTE.10.已知函数f(x)=log2(1+x2).求证：(1)函数f(x)是偶函数.(2)函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增.【证明】(1)函数f(x)的定义域是R，f(-x)=log2[1+(-x)2]=log2(1+x2)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数.(2)设x1，x2为区间(0，+∞)内的随意两个实数，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=log2(1+QUOTE)-log2(1+QUOTE)=log2QUOTE.由于0<x1<x2，则0<QUOTE<QUOTE，0<1+QUOTE<1+QUOTE，所以0<QUOTE<1，所以log2QUOTE<0，所以f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增.1.已知函数f(x)=QUOTE若f(2-a2)>f(a)，则实数a的取值范围是_______.

【解析】因为y=lg(x+1)在x>0上单调递增，y=2x-1，在x≤0上单调递增，所以f(x)=QUOTE在R上是增函数.又f(2-a2)>f(a)，所以a<2-a2，解得-2<a<1.答案：(-2，1)2.已知函数f(x)=loQUOTE(mx2-2x+3).(1)若f(x)在(-∞，2]上单调递增，求m的取值范围.(2)若f(x)的值域为R，求m的取值范围.【解析】因为f(x)=loQUOTE(mx2-2x+3).令y=loQUOTEt，t=mx2-2x+3，(1)由于f(x)在(-∞，2]上单调递增，所以t=mx2-2x+3在(-∞，2]