2025年上外版高二数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年上外版高二数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、已知椭圆的两焦点为F1，F2，P在椭圆上，且满足则△PF1F2的面积是（）

A.1

B.

C.2

D.4

2、已知一组观测值具有线性相关关系,若对于求得则线性回归方程是A.B.C.D.3、三个数60.7、0.76、log0.76的大小顺序是（）A.0.760.76<60.7B.0.76<60.70.76C.log0.76<60.7<0.76D.log0.76<0.76<60.74、【题文】把89化为五进制数的首位数字是()A.1B.2C.3D.45、【题文】函数的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A,B是图象与x轴的交点，若则的值为（）

A.B.C.D.6、阅读图中所示的程序框图；运行相应的程序，输出的结果是（）

A.123B.38C.11D.37、已知点A（0，2）为圆C：x2+y2﹣2ax﹣2ay=0（a＞0）外一点，圆C上存在点P使得∠CAP=45°，则实数a的取值范围是（）A.（0，1）B.C.D.8、直线y=x被x2+（y+2）2=4截得的弦长是（）A.B.2C.D.29、已知i是虚数单位，则（）2015在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、共有400辆汽车通过某一段公路时的速度如右图所示，则速度在[50，70）的汽车大约有____辆．

（注：本题中速度的单位为km/h）

11、【题文】设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于________．12、【题文】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积S＝若a＝10，则bc的最大值是________．13、【题文】若＝m，且α是第三象限角，则sinα＝____14、命题“若x，y都是正数，则x+y为正数”的否命题是______．15、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2a4a6a8=120，且则S9的值为______．16、已知两定点M（-1，0），N（1，0），若直线上存在点P，使|PM|+|PN|=4，则该直线为“A型直线”．给出下列直线，其中是“A型直线”的是______

①y=x+1②y=2③y=-x+3④y=-2x+3评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

21、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）22、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）23、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共30分)24、用五个数字0；1，2，3，4组成没有重复数字的自然数，问：

（1）四位数有几个？

（2）比3000大的偶数有几个？

25、已知曲线在处的切线方程是（1）求的解析式；（2）求曲线过点的切线方程.26、如图，直四棱柱ABCD-A1B1C11中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=AA1=3；E为CD上一点，DE=1，EC=3．

（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；

（2）求点B1到平面EA1C1的距离；

（3）此问仅理科学生做（文科学生不做）求：二面角BC1-E的正弦值．评卷人得分五、计算题(共4题，共20分)27、1.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；(3)证明：(参考数据：ln2≈0.6931).28、1.（本小题满分12分）已知数列满足且（）。（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。29、解不等式组：．30、已知f（x）=∫1x（4t3﹣）dt，求f（1﹣i）•f（i）．评卷人得分六、综合题(共4题，共24分)31、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．32、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．33、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为34、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、A【分析】

由题意又

所以|F1F2|=2

所以所以三角形的直角三角形；

△PF1F2的面积是|PF1|•|PF2|=[（n-（n-2）]=1．

故选A．

【解析】【答案】利用椭圆的定义，求出|PF1|，|PF2|的长度，判断三角形△PF1F2的形状，然后求解△PF1F2的面积．

2、C【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于对于求得则根据线性回归方程必定过样本中心点可知a=2.1,b=0.6,故可知答案为C.考点：线性相关关系【解析】【答案】C3、D【分析】【解析】【答案】D4、C【分析】【解析】本题考查进位制的概念及十进制与其他进位制之间的换算.

故选C【解析】【答案】C5、C【分析】【解析】

试题分析：过点作轴，垂足为则在中，在中，故

，又故所以解得所以．

考点：1、三角函数的周期性；2、诱导公式.【解析】【答案】C6、C【分析】【分析】根据程序框图，第一圈，是，a=a2+2=3；第二圈，是，a=a2+2=11；第三圈，否，输出a=11，选C.7、B【分析】【解答】解：化圆的方程为标准方程可得（x﹣a）2+（y﹣a）2=2a2；

∴圆的圆心为C（a，a），半径r=|a|；

∴AC=PC=|a|；

∵AC和PC长度固定；

∴当P为切点时；∠CAP最大；

∵圆C上存在点P使得∠CAP=45°；

∴若最大角度大于45°；则圆C上存在点P使得∠CAP=45°；

∴=≥sin∠CAP=sin45°=

整理可得a2+2a﹣2≥0，解得a≥-1或a≤﹣-1；

又=≤1；解得a≤1；

又点A（0，2）为圆C：x2+y2﹣2ax﹣2ay=0外一点；

∴02+22﹣4a＞0；解得a＜1

∵a＞0，∴综上可得﹣1≤a＜1．

故选B．

【分析】化标准方程易得圆的圆心为M（a，a），半径r=|a|，由题意可得1≥≥sin∠CAP，由距离公式可得a的不等式，解不等式可得．8、B【分析】解：圆x2+（y+2）2=4的圆心坐标为（0；-2），半径为2

∵圆心到直线y=x的距离为=

∴直线y=x被圆x2+（y+2）2=4截得的弦长为2=2

故选：B．

确定圆的圆心坐标与半径；求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形，即可求得弦长．

本题考查直线与圆相交，考查圆的弦长，解题的关键是求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形求得弦长．【解析】【答案】B9、D【分析】解：（）2015=（）2014•（）=[（）2]1007•（）

=i1007•（）=i4×251+3•（）=-i•（）==-i；

对应的坐标为（-）位于第四象限；

故选：D．

利用复数的四则运算进行化简；结合复数的几何意义进行判断即可．

本题主要考查复数的几何意义，利用复数的四则运算进行化简是解决本题的关键．【解析】【答案】D二、填空题(共7题，共14分)10、略

【分析】

∵直方图中[50；70）矩形的面积为：0.03×10+0.05×10=0.8；

即[50；70）之间求出的频率是0.8；

所以400辆汽车在[50；70）范围内共有400×0.8=320．

速度在[50；70）的汽车大约有320辆．

故答案为：320．

【解析】【答案】根据直方图；在[50，70）内的汽车的频率，代入其公式求解汽车的数目．

11、略

【分析】【解析】am＝2，am＋1＝3，故d＝1；

因为Sm＝0，故ma1＋d＝0；

故a1＝－

因为am＋am＋1＝5；

故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5即m＝5.【解析】【答案】512、略

【分析】【解析】S＝bcsinA＝即a2＝b2＋c2－2bcsinA，结合余弦定理，得sinA＝cosA，故A＝又根据余弦定理得100＝b2＋c2－bc≥2bc－bc，故bc≤＝100＋50【解析】【答案】100＋5013、略

【分析】【解析】依题意得α是第三象限角，sinα＜０，故sinα＝－．【解析】【答案】－14、略

【分析】解：命题“若x；y都是正数，则x+y为正数”的否命题是：

“若x；y不都是正数，则x+y是非正数”；

故答案为：若x；y不都是正数，则x+y是非正数．

根据四种命题之间的关系写出命题的否命题即可．

本题考查了四种命题之间的关系，是一道基础题．【解析】若x，y不都是正数，则x+y是非正数15、略

【分析】解：通分可得

=

==

又∵a2+a8=a4+a6=2a5；

∴==解得a5=

∴S9===9a5=

故答案为：

由已知式子通分化简可得a5的值，而求和公式和性质可得S9=9a5；代入计算可得．

本题考查等差数列的性质和求和公式，划归为a5是解决问题的关键，属中档题．【解析】16、略

【分析】解：由题意可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程是

①把y=x+1代入并整理得，7x2+8x-8=0，∵△=82-4×7×（-8）＞0；∴y=x+1是“A型直线”．

②把y=2代入得不成立；∴y=2不是“A型直线”．

③把y=-x+3代入并整理得，7x2-24x+24=0，△=（-24）2-4×7×24＜0；∴y=-x+3不是“A型直线”．

④把y=-2x+3代入并整理得，19x2-48x+24=0，∵△=（-48）2-4×19×24＞0；∴y=-2x+3是“A型直线”．

答案：①④．

点P的轨迹方程是把①②③④分别和联立方程组；如果方程组有解，则这条直线就是“A型直线”．

求出P点的轨迹方程后，用①②③④一个一个地进行验正，找到所有的“A型直线”．【解析】①④三、作图题(共7题，共14分)17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

21、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．22、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．23、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共30分)24、略

【分析】

（1）首位数字不能是0；其他三位数字可以任意；

∴四位数有C41A43=96个；（3分）

（2）比3000大的必是四位数或五位数。

A；若是四位数；则首位数字必是3或4．

①若4在首位，则个位数字必是0或2，有C21A32个数；

②若3在首位，则个位数字必是0或2或4，有C31A32个数。

∴比3000大的偶数且是四位数的有C21A32+C31A32=24个（2分）

B；若是五位数；则首位数字不能是0，个位数字必是0或2或4；

①若0在个位，则有A44个数；

②若0不在个位，则有C21C31A33个数。

∴比3000大的偶数且是五位数的有A44+C21C31A33=60（2分）

故；比3000大的偶数共有84个（1分）

【解析】【答案】（1）本题是一个计算问题；首位数字不能是0，其他三位数字可以任意，根据组合公式得到结果．

（2）比3000大的必是四位数或五位数；分成两类：一类：A；若是四位数，则首位数字必是3或4．另一类：B、若是五位数，则首位数字不能是0，个位数字必是0或2或4；

根据组合数公式得到结果．

25、略

【分析】试题分析：（1）根据曲线在处的切线方程是得到进而将些等式化成关于的方程组即可求解进而可得的解析式；（2）因为本小问强调的是过点的切线问题，故需要先设切点的坐标进而得到切线方程再将代入得求解关于的方程即可得出或进而可写出所求切线的方程.（1）因为所以又因为函数在处的切线方程是所以所以6分（2）设曲线过点的切线的切点为则由此时切线方程为因为切线过点所以即或所以所求切线的方程为或12分.考点：导数的几何意义.【解析】【答案】（1）（2）所求切线的方程为或26、略

【分析】

（1）运用勾股定理判断BE⊥BC，由BB1⊥平面ABCD，得BE⊥BB1，BE⊥平面BB1C1；

（2）运用等体积的方法求解，三棱锥E-A1B1C1的体积=×=V=S=d；从而求解出．

（3）确定∠B1HO为所求二面角的平面角．在直角梯形A1B1C1D1中．

本题考查了空间点线面的求解，空间角的求解，属于难题．【解析】（1）证明：过B作CD的垂线交CD于F；

则BF=AD=EF=AB-DE=1，FC=2

在Rt△BFE中，BE=在Rt△BFC中，BC=

在△BCE中因为，BE2+BC2=9=EC2；故BE⊥BC

由BB1⊥平面ABCD，得BE⊥BB1，BE⊥平面BB1C1；

（2）三棱锥E-A1B1C1的体积=×=

在Rt△A1D1C1中，A1C1==

同理，EC1==EA==

因此S=3．

设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱B1-EA1C1锥的体积；

V=S=d，从而d=d=

（3）过B1作B1O⊥平面A1C1E于O，则B1O⊥A1C1；

作OH⊥A1C1于H，连结B1H，∴A1C1⊥平面B1OH；

∴A1C1⊥B1H

∴∠B1HO为所求二面角的平面角．直角梯形A1B1C1D1中；

A1C1==

S=A1B1×A1D1=C1•B1H；

∴B1H=

所以sin∠B1HO===

即二面角B1-A1C1-E1的正弦值为五、计算题(共4题，共20分)27、略

【分析】【解析】

(1)f'(x)＝1＋，由题意，得f'(1)＝0Þa＝02分(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋bóx－lnx＋2x＝x2＋bóx2－3x＋lnx＋b＝0设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)则g'(x)＝2x－3＋＝4分当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下表。x(0，)(，1)1(1，2)2g'(x)＋0－0＋G(x)↗极大值↘极小值↗b－2＋ln2当x＝1时，g(x)最小值＝g(1)＝b－2，g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根高考+资-源-网由ÞÞ＋ln2≤b≤28分(3)∵k－f(k)＝lnk∴nk＝2ó(n∈N，n≥2)设Φ(x)＝lnx－(x2－1)则Φ'(x)＝－＝当x≥2时，Φ'(x)＜0Þ函数Φ(x)在[2，＋∞)上是减函数，∴Φ(x)≤Φ(2)＝ln2－＜0Þlnx＜(x2－1)∴当x≥2时，∴＞2[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋()]＝2(1＋－)＝.∴原不等式成立.12分'【解析】【答案】(1)a＝0(2)＋ln2≤b≤2(3)原不等式成立.28、略

【分析】【解析】

（1）由题得又则3分（2）猜想5分证明：①当时，故命题成立。②假设当时命题成立，即7分则当时，故命题也成立。11分综上，对一切有成立。12分【解析】【答案】（1）（2）有成立。29、解：由|x﹣1|＜3解得﹣2＜x＜4；

由＞1得﹣1=＞0；

解得3＜x＜5；

所以，不等式解集为（3，4）．【分析】【分析】根据不等式的解法即可得到结论．30、解：f（x）=（t4+）|1x=x4+﹣2f（1﹣i）=（1﹣i）4+﹣2=+

f（i）=i4+﹣2=﹣1﹣i

f（1﹣i）f（i）=6+5i【分析】【分析】先根据定积分求出函数f（x）的解析式，然后分别求出f（1﹣i）与f（i）即可求出所求．六、综合题(共4题，共24分)31、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）32、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y