2023年上海市15区中考数学一模汇编：证明题（解答题23题）（解析版）

2023年上海市15区中考数学一模汇编

专题09证明题（解答题23题）

一.解答题（共14小题）

1.（2022秋•浦东新区期末）如图，在△48C中，点。、尸分别是边2C、48上的点，4D和CF交于点£

(1)如果BF・AB=BD,BC.求证：EF-CE=DE-AE；

（2）如果4E，BF=2AF・DE,求证：ND是△/8C的中线.

【分析】⑴根据收•/5=助・2。，得到比例式巫=区，又因为成比例的边的夹角相等，证明△NAD

BDAB

s^CBF,所以对应角再因为对顶角相等得到

△AEFsACED,最后根据相似三角形的性质即可证明；

（2）过。作DG〃/8交比于G,根据平行线分线段成比例定理和已知条件等量代换即可证明.

【解答】证明（1）"：BF'AB=BD'BC,

.BF=BC

••丽AB，

：.ZBAD=ZBCF,

又：NAEF=NCED,

：./\AEF^/\CED,

.EF=AE

"EDCE，

:.EF・CE=DE,AE；

（2）过。作。6〃48交。尸于G,

.AE=AF

',EDDG!

,:AE，BF=2AF，DE,

.AE=2AF

"ED~W'

.AF=2AF

"DG~W'

即—工

FB2AF2

..CD=DG

,BC而，

•.•CD_1—J

BC2

为3c的中点，N。是△NBC的中线.

【点评】本题考查平行线分线段成比例定理、三角形中线定义等知识点，解题关键是恰当作出辅助线.

2.（2022秋•杨浦区校级期末）已知等腰△N8C中,，AB=AC,点。、E是边BC、NC上的点，且。=

3BD,联结BE,交点为F.

（1）若4F=4DF,求处的值.

EC

（2）若BD2=DF,AD,求证：BC2=4CE'AC.

A

BDC

【分析】（1）作/G〃台C,交延长线于G,证明A/G尸SADBF,根据相似三角形的性质得出

BD』CB，则NC=2C，进而得出期■=^■=1；

4ECBC

（2）根据已知条件证明得出/B4D=/FBD,进而证明△NBOs^BCE,根据相似三

角形的性质以及/5=/C2C=AD+CD=4AD,即可得证.

【解答】（1）解：作NG〃2C,交BE延长线于G,

BDC

YAG//BC,

，△AGFs^DBF,

\'AF=4DF,

：.AG=4BD,

,:CD=3BD,

；•BD=CB，

4

:.AC=BC,

又AG〃BC,

：.AAGEsACBE,

.AEAC,

ECBC

(2)证明：:BD2=DF-AD,

•.•-B-D--P-F-,

ADBD

,//BDF=/ADB,

：.△BDFs^ADB,

，NBAD=NFBD,

又,:/4BD=NACB,

：.AABOS△BCE,

•.•-B-D--A-B-,

CEBC

：.CE・AB=BD・BC,

又'：AB=ACBC=BD+CD=4BD,

•••CEAC=4-BCBC-

4

：.BC2=4CE-AC.

【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

3.(2022秋•金山区校级期末)已知：如图，在△N8C中，点。在边3c上，AE//BC,BE与AD、NC分

别相交于点F、G,AF2=FG'FE.

(1)求证：ACADsACBG；

(2)联结。G,求证：DG'AE=AB-AG.

【分析】(1)通过证明4Gs△尸可得/E4G=/E,由平行线的性质可得/£=/MC=/E4G,

且/NCD=/3CG,可证△CNOsZ\c8G；

(2)由相似三角形的性质可得竺=型，且NDCG=//C2,可证△CZX?sZ\C4B,可得幽=",

CBCGABCB

由平行线分线段成比例可得运二道,可得结论.

CBCG

【解答】证明：(1),:AF?=FG-FE.

.AF=EF

"FGAF'

ZAFG=ZEFA,

AFAGsAFEA,

：.ZFAG=ZE,

'JAE//BC,

：./E=ZEBC,

：.ZEBC=ZFAG,

'：/ACD=NBCG,

:.△CADs^CBG；

(2)•：ACADsACBG,

•CA__CD

"CBCG"

NDCG=NACB,

.,.△CDGs^CAB,

.DG=CG

"ABCB"

•：AE〃BC,

.AE=AG

,,而而’

•AG=GC

"AE而’

•DG_=AG

"ABAE'

；.DG，AE=4B，AG.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考

常考题型.

4.(2022秋•黄浦区校级期末)如图，在RtzXC/5与RtZkCE产中，ZACB=ZFCE=90°,ZCAB=Z

CFE,/C与昉相交于点G,3c=15,/C=20.

(1)求证：NCEF=NCAF：

(2)若AE=1,求//的长.

【分析】(1)由//。2=/尸。£=90°,NC42=/C7芭可以得出可以得出生

CBCE

ZB=ZCEF,由等式的性质就可以得出乙BCE=GCR就可以得出△BCEs/^cF就可以得出结论；

(2)由勾股定理可以得出/瓦可以得出3E的值由就可以得出或典，进而求出结

ACAF

论.

【解答】解：(1)证明：•：ZACB=ZFCE=90°,ZCAB=ZCFE,

:.ACABsACFE,

.CA_CF,NB=/CEF.

''CB'CE

•・•/ACB=/FCE,

：.ZACB-ZACE=ZFCE-NACE,

：./ACF=/BCE,

：.ABCEs^ACF,

：./B=NCAF,

：.ZCEF=ZCAF；

(2)VZACB=90°,BC=15,AC=20,

・•・由勾股定理，得

45=25.

■:AE=7,

；・BE=18.

・.•△BCEs^ACF,

・

•B•—C_B——E,

ACAF

•.1•5----1-8,

20AF

：.AF=24.

答：4F=24.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形相似是关键.

5.(2022秋•嘉定区校级期末)如图，已知点。在△48C的外部，AD〃BC,点、E在边AB上ZBAC=Z

AED.

(1)求证：AB・AD=BC・AE；

(2)在边/C取一点尸，如果，旭L=2E,求证：NAFE=ND.

BCAC

【分析】(1)利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；

(2)利用⑴中的结论和已知条件得到迪利用相似三角形的判定与性质得到再

ABAC

利用(1)中的结论和相似三角形的性质解答即可得出结论.

【解答】证明：(1)-：AD//BC,

：.ZDAE=ZB.

*.•ZBAC=ZAED,

：.LADEsABCA,

•.•-A-D--A-E-,

BCAB

：.AB'AD=BC'AE；

⑵••AD_AEAD_AF

•而而BC'AC

•.•-A-E--A-F-,

ABAC

,/ZEAF=ZBAC,

：.△AEFs^ABC,

：.ZAFE=ZC.

由（1）知：LADEsABCA,

：.ZADE=ZC,

：.ZAFE=ZD.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质

是解题的关键.

6.(2022秋•徐汇区期末)如图，在△/BC中，ZACB^90°,ZC=2C,点。是斜边48的中点，点E是

边NC上的一点，ZEDF^45°,。尸交射线8c于点足

(1)求证：ZADE=ZF；

(2)求证：BC2=2AE，BF.

【分析】（1）由//C8=90°,4C=BC,得N/=N2=45°,则/斤=135°-ZBDF,因为/£。户=

45°,所以/ADE=135°-ZBDF,则/ADE=ZF；

（2）由/。2+8。2=/82,^AD=BD,AB=2AD,推导出8。2=2/。2,由=ZADE=ZF,证

明△ADEs&BFD,得包■=£?•,贝1|凡即可证明3。2=2/02=2/£.3尸.

BFBD

【解答】证明：（1）'：ZACB=90°,AC=BC,

.•・N4=N5=45°,

AZF=180°-AB-ZBDF=135°-ZBDF,

*.*/EDF=45

二NADE=180°-/EDF-/BDF=T35°-ZBDF,

：.ZADE=Z.F.

(2);点。是48的中点，

；.AD=BD,AB=2AD,

'：AC2+BC2=AB2,

：.2BC2=(2AD)2=4必，

：.BC2=2AD2,

由(1)得=/ADE=NF,

：.LADEs△BFD,

.AD=AE

"BF而，

：.AD'BD=AE'BF,

：.2AD2=2AE，BF,

：.BC2=2AE'BF.

【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、相似三角形的判定与性

质等知识，证明即是解题的关键.

7.(2022秋•青浦区校级期末)已知：如图，在菱形/BCD中，点E、/分别在边/8、AD1.,BE=DF,

CE的延长线交DA的延长线于点G,CF的延长线交BA的延长线于点H.

(1)求证：△BECs^BCH；

(2)如果求证：AG=DF.

【分析】(1)由菱形的性质得出CD=C2,ND=/B,证明△CD尸丝△CAE(5L4S),由全等三角形的性

质得出得出/H=/BCE,则可得出结论.

(2)利用平行线分线段成比例定理结合已知条件解决问题即可.

【解答】(1)证明：：四边形/BCD是菱形，

：.CD=CB,/D=/B,

•：DF=BE,

:.ACDF%ACBE(S4S),

/DCF=/BCE,

'：CD//BH,

：.ZH=ZDCF,

：.ZH^ZBCE,

：.ABECsABCH.

(2)证明：,:BE2=AB・AE,

.ABBE

"BF"AE'

'：CB//DG,

：./\AEG^/\BEC,

•AE=AG

"BE而’

.AG=BE

,,而AB'

"：BC=AB,

:.AG=BE,

"；△CDF”ACBE,

：.DF=BE,

J.AG^DF.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知

识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

8.（2022秋•黄浦区期末）已知：如图，点D、尸分别在等边三角形/2C的边C2的延长线与反向延长线

上，且满足

求证：(1)△ADBs&AC；

(2)AF-AD=BC'DF.

【分析】(1)由△4BC是等边三角形，可得AB=BC=AC,乙4BC=/4CB=60°,所以

=120°,由BO・CF=BC2,可得BD・CF=4BJC,§PBD：AC=4B：CF,进而可得结论；

(2)由(1)知，AADBsAFAC,所以/D4B=NF,易证△4D8s△包％,所以AD：DF=AB：AF,

即AD'AF=AB-DF,再由48=8C可得结论.

【解答】证明：(1)：△NBC是等边三角形，

：.AB=BC=AC,ZABC=ZACB=60°,

AZABC^ZACB^120°,

"：BD'CF=BC1,

：.BD'CF=AB'AC,即BD：AC=AB：CF,

：.AADBsAFAC；

(2)由(1)知，AADB^AFAC,

：.ZDAB=ZF,

,//D=/D,

：.△ADBsAFDA,

：.AD：DF=AB：AF,BPAD-AF^AB'DF,

：.AF'AD=BC'DF.

【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题

关键.

9.(2022秋•闵行区期末)已知：如图，在△48C中，48=/C,点。、£分别是边NC、N8的中点，DFA.

AC,DF与CE相交于点尸，/尸的延长线与AD相交于点G.

(1)求证：/4BD=NACE；

(2)求证：CD2=DG'BD.

【分析】(1)利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；

(2)利用线段垂直平分线的性质和(1)的结论，依据相似三角形的判定与性质解答即可.

【解答】证明：(1);点。、E分别是边/C、48的中点，

：.AE=^AB,AD=^-AC,

22

'：AB^AC,

：.AD=AE.

在△4D2和△/EC中，

'AD=AE

-ZBAD=ZCAE-

tAB=AC

/./\ADB^/\AEC(SAS),

ZABD=ZACE；

(2)•.•。尸L4C,点。是边NC的中点，

二。尸是/C的垂直平分线，

：.FA=FC,

：./FAC=/ACE.

由(1)知：ZABD=ZACE,

：.NFAC=NABD.

,//ADG=NBDA,

：.AADGsABDA,

•.•-A-D--B-D-,

DGAD

：.AD2^DG-BD.

:点。是边的中点,

：.AD=—AC^CD,

2

：.CD2=DG'BD.

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似

三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

10.（2022秋•静安区期末）如图，在梯形N8CD中，AD//BC,分别交对角线NC、底边8c于点£、F,

S.AD'AC=AE-BC.

（1）求证：AB//FD-,

（2）点G在底边上，8c=10,CG=3,联结NG,如果△NGC与的面积相等，求尸C的长.

B

【分析】（1）根据题意可证明，△AEDs^CAB,所以N4ED=/C4B,则48〃FD；

（2）根据三角形的面积公式及相似三角形的性质可得出结论.

【解答】（1）证明：

J.AD-.AE=BC：AC,

'JAD//BC,

NDAE=/ACB,

：.△AEDs^CAB,

：./AED=NCAB,

J.AB//FD-,

（2）根据题意可得，Saagc=.2£=2_,

^AABCBC10

'：EF//FD,

：.△EFCs/xABC,

.SAEFC〈CF）2=CF、

,△ABCBC100

AAGC和面积相等,

2

.3=CF

*'Ioloo"

解得

【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式等相关知识，根据题意表达三角形

的面积比，得出方程是解题关键.

11.(2022秋•浦东新区校级期末)已知：如图，在△48C中，点。，£分别在边48,8c上，BA-BD=BC

•BE

(1)求证：DE'AB=AC-BE-,

(2)如果求证：4E=AC.

【分析】(1)由8/得也结合48=/3,证A4BCsAEBD得鲤■即可得诬

BCBDBEED

(2)先根据AC2^AD'AB证△/OCS/UCB得//CD=ZB,再由组里•证△RIE'S△BCD得NB4E=

BCBD

/BCD,tg®ZAEC=ZB+ZBAE,/ACE=NACD+/BCD可得/4EC=/4CE,即可得证.

【解答】证明：(1)；BA・BD=BC・BE,

•.A•-B----B-E-，

BCBD

又：/B=/B,

：.LABCsAEBD,

•.A•-B----A-C--,

BEED

；.DE・AB=AC,BE；

(2)\'AC2=AD-AB,

•.•AC=AB,

ADAC

*.*/DAC=/CAB,

：.△ADCs^ACB,

：.NACD=/B,

・•・ABAEsABCD,

：.NBAE=NBCD,

NAEC=NB+NBAE,ZACE=/ACD+/BCD,

：.ZAEC=NACE,

；・AE=AC.

【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似

是解题的关键.

12.（2022秋•青浦区校级期末）已知：如图，在△N8C中，AB=AC,点尸在边NC上，DF与

8E相交于点G,且/EDF=/4BE.

求证：（1）ADEFsABDE；

(2)DG・DF=DB,EF.

【分析】（1）由/2=/C,根据等边对等角，即可证得：NABC=N4CB,又由DE〃2C,易得N4BC+

ZBDE=180°,ZACB+ZCED=1SO°,则可证得：ZBDE=ZCED,又由已知尸=//BE,则可

根据有两角对应相等的三角形相似，证得ADEFs4BDE；

（2）由（1）易证得DE2=DB*EF,又由/台即二/0信与证得：AGDE^AEDF,则

可得：DE2=DG'DF,则证得：DG'DF=DB'EF.

【解答】证明：（1）；AB=AC,

：./ABC=/ACB,

"：DE//BC,

：.ZABC+ZBDE=ISO°,ZACB+ZCED=ISO°.

：.ZBDE^ZCED,

"：ZEDF=ZABE,

/.ADEFsABDE；

(2)由△DEFs^BDE,得叫上殳.

DEEF

:.DE2=DB-EF,

由ADEFsABDE,得/BED=/DFE.

•：/GDE=NEDF,

:.丛GDEs^EDF.

•.•-D-G--D-E-,

DEDF

:.DE2^DG-DF,

：.DG-DF=DB'EF.

【点评】此题考查了相似三角形的性质与判定.注意有两角对应相等的三角形相似以及相似三角形的对

应边成比例定理的应用，还要注意数形结合思想的应用.

13.(2022秋•杨浦区期末)如图，Rt448C中，ZACB=9Q°,。是斜边45上的中点，£是边3C上的点，

4E与CD交于点F,且4c2=CE・CB.

(1)求证：AELCD-,

(2)连接如果点£是8c中点，求证：NEBF=/EAB.

A

【分析】(1)先根据题意得出△/CBs△EC4,再由直角三角形的性质得出CD=4D,由NC4O+//2C

=90°可得出/NCD+N£/C=90°,进而可得出//FC=90°；

(2)根据/£_LCD可得出N£FC=90°,ZACE=ZEFC,故可得出△ECFs再由点£是BC

的中点可知CE=2E,故巫月■,根据/BEF=得出ABEFs&4EB,进而可得出结论.

EABE

【解答】证明：(1),：AC2=CE'CB,

•••-A-C=-C-B-.

CEAC

又NACB=NECA=90°

△ACBs^ECA,

：.ZABC=ZEAC.

;点。是48的中点，

：.CD=AD,

：.ZACD=ZCAD

"：ZCAD+ZABC=90°