2023年中考数学压轴大题专练：费马点问题（解析版）

专题12费马点问题

----------------------------->1

解题策略

一^7

费马（尸e"力?"1601年8月17日-1665年1月12日），生于法国南部图卢兹（Toulouse）附近的波蒙•

德•罗曼，被誉为业余数学家之王.1643年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上

的三个点/,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置.另一位数学家托里拆利成功地解

决了这个问题如图16ABC（三个内角均小于120°）的三条边的张角都等于120°,即满足//尸8=/

BPC=NAPC=12。。的点P,就是到点/,B,C的距离之和最小的点，后来人们把这个点尸称为“费马

点”.

下面是“费马点”的证明过程：如图2,将△/尸2绕着点2逆时针旋转60°得到△/'P'B,使得H

P'落在△NBC外，则为等边三角形，：.P'B=PB=PP'，

于是PA+PB+PC=P'A'+PP'+PC^A'C,

.•.当P,P,C四点在同一直线上时PN+PB+PC有最小值为4c的长度，

,：P'B=PB,NP'BP=60°,

.♦.△PAP为等边三角形，

则当H,P,P,C四点在同一直线上时，

ZSPC=180°-ZJP'P5=180°-60°=120°,

/APB=/APB=180°-/BPP=180°-60°=120°,

N/PC=360°-NBPC-/4PC=360°-120°-120°=120°,

满足/4P8=N8PC=//PC=120°的点尸，就是到点/,B,C的距离之和最小的点；

图1图2

经典例题

<,__________________/

【例1].如图(1),尸为△/2C所在平面上一点，且/APB=/BPC=/CPA=120°,则点P叫做△N8C

的费马点.

图⑴图⑵

⑴如点尸为锐角△N2C的费马点.且N/2C=60°,PA=3,PC=4,求尸2的长.

(2)如图(2),在锐角△/8C外侧作等边夕连接台夕.求证：BB'过△48C的费马点P,且

BB'=PA+PB+PC.

(3)已知锐角△NBC,ZACB=60°,分别以三边为边向形外作等边三角形N8D,BCE,ACF,请找出

△48C的费马点，并探究S&4BC与的和，S.BCE与SA^CF的和是否相等.

【分析】(1)由题意可得△NBPs/XBCP,所以尸52=PN・PC,即尸3=2仃；

(2)在8夕上取点尸，使N8PC=120°,连接/P,再在尸8上截取PE=PC,连接CE.由此可以证明

△PCE为正三角形，再利用正三角形的性质得到PC=CE,/PCE=60°,ZCEB'=120°,而△4C9为

正三角形，由此也可以得到/C=®C,ZACB'^6Q°,现在根据已知的条件可以证明△/CPg△BCE,

然后利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；

(3)作C尸平分N/C2,交2c的垂直平分线于点P,尸点即费马点；

要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从△/8C中分出一部分使得与的面积相等，则过/

作〃尸C交8C于连接。“、EM,就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可.

【解析】(1)VZPAB+ZPBA=180°-NAPB=60°,

ZPBC+ZPBA=ZABC=60°,

ZPAB=ZPBC,

又；NAPB=/BPC=120°,

AABPsABCP,

•••PA=PB

PBPC

:.PB2=PA・PC=12,

：.PB=2^3；

(2)证明：在89上取点尸，使/5PC=120°.连接NP,再在P9上截取尸E=PC,连接C£.

NBPC=120°,

：.ZEPC=60°,

...△PCE为正三角形，

:.PC=CE,NPCE=6Q°,NCEB，=120°.

•••△ZCb为正三角形，

：.AC=B'C,ZACB'=60°,

AZPCA+ZACE=ZACE+ZECB'=60°,

：.ZPCA=ZECB',

J.AACP^AB'CE,

：.ZAPC=ZB'£C=120°,PA=EB',

NAPB=ZAPC=ZBPC=120°,

尸为△48C的费马点.

:.BB'过AABC的费马，点P,且BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC.

(3)如下图,

作C尸平分NNC8,交BC的垂直平分线于点P,P点就是费马点;

证明：过/作〃尸C交3C于连接DW、EM,

VZACB^60°,ZCAF^60°,

ZACB=ZCAF,

J.AF//MC,

四边形AMCF是平行四边形，

又,：FA=FC,

四边形NMCF是菱形，

J.AC^CM^AM,且4c=60°,

•.,在AA4c与△E/0C中，

CA=CM,ZACB=ZMCE,CB=CE,

：.△BAg^EMC,

VZDAM=ZDAB+ZBAM=60Q+ZBAM

ZBAC=ZMAC+ZBAM=60°+ZBAM

：.ZBAC=ZDAM

在△NBC和△4DM中

AB=AD,NBAC=NDAM,AC=AM

:.AABC冬AADM(SAS)

故△NBC名AMEC沿4ADM,

在C3上截取CM,使CM=C4,

再连接/〃、DM、EM(辅助线这样做就是等边三角形了，后边证明更简便)

易证为等边三角形，

在△/8C与△MEC中，

CA=CM,ZACB=ZMCE,CB=CE,

：./\ABC^/\MEC(S4S),

：.AB=ME,ZABC=AMEC,

又,：DB=AB,

：.DB=ME,

VZDBC=ZDBA+ZABC=60°+ZABC,

NBME=/BCE+NMEC=6Q°+ZMEC,

：.NDBC=NBME,

J.DB//ME,

即得到DB与ME平行且相等，故四边形瓦0是平行四边形,

...四边形。BEN是平行四边形，

:，sABDN&SADAMAS^MAC=S&BE贮SXEMC^S“CF，

即S"BC^S"BD=SABCE^S“CF•

【例2】.探究问题：

(1)阅读理解：

①如图(A),在已知△NBC所在平面上存在一点尸，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点尸为△

ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△NBC的费马距离；

②如图(B),若四边形4BCD的四个顶点在同一圆上，则有此为托勒密定

理；

(2)知识迁移：

①请你利用托勒密定理，解决如下问题：

如图9),已知点尸为等边△/8C外接圆的前k任意一点.求证：PB+PC=P4；

②根据(2)①的结论，我们有如下探寻△NBC(其中//、NB、/C均小于120。)的费马点和费马

距离的方法：

第一步：如图(D),在△48C的外部以2c为边长作等边△BCD及其外接圆;

第二步：在任取一点尸'，连接P/、P'B、P'C、P'D.易知尸'A+P'B+P'C=P'A+(尸'

B+P'C)=P'A+P'D；

第三步：请你根据(1)①中定义，在图(D)中找出△NBC的费马点P,并请指出线段AD的长度

即为△/BC的费马距离.

(3)知识应用：

2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百

姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.

已知三村庄/、B、C构成了如图(E)所示的△48C(其中//、/B、NC均小于120°),现选取一点

P打水井，使从水井尸到三村庄N、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值.

(SE)

【分析】(2)知识迁移①问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式

两边都除以等边三角形的边长，即可获证.②问，借用①问结论，及线段的性质“两点之间线段最短”

数学容易获解.

(3)知识应用，在(2)的基础上先画出图形，再求解.

【解答】(2)①证明：由托勒密定理可知依

,:AABC是等边三角形

：.AB=AC=BC,

:.PB+PC=PA,

②尸'D、AD,

（3）解：如图，以BC为边长在△/8C的外部作等边△BCD,连接则知线段/。的长即为最短距

离.

:ABCD为等边三角形,BC=4,

：.ZCBD=6G°,BD=BC=4,

VZABC=3Q0,/.ZABD=90°,

在RtZUB。中，'：AB=3,BD=4,

:AD=22

-VAB+BD=V32+42=5〈km),

...从水井P到三村庄/、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为5痴.

【例3].如图，在平面直角坐标系xQy中，点8的坐标为（0,2）,点。在x轴的正半轴上，/ODB=

30°,为△80。的中线，过8、£两点的抛物线y=ax2+^y-x+c^轴相交于/、尸两点（/在尸

的左侧）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）等边△OMN的顶点〃、N在线段/£1上，求/£及/〃的长；

（3）点P为△/BO内的一个动点，设m=PA+PB+PO,请直接写出加的最小值，以及加取得最小值时,

线段/P的长.（备用图）

【分析】（1）已知点3的坐标，可求出08的长在RtZkOB。中，已知了NOZ）5=30°,通过解直角三

角形即可求得的长，也就得到了点。的坐标：由于E是线段AD的中点，根据2、。的坐标即可得

到E点的坐标；将8、E的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，由此确定抛物线的解

析式；

（2）过E作轴于G,根据/、E的坐标，即可用勾股定理求得NE的长；

过。作/E的垂线，设垂足为K,易证得△/OKs△/EG,通过相似三角形所得比例线段即可求得OK

的长；在RtZkQMK中，通过解直角三角形，即可求得的值，而/K的长可在Rt^/EK中由勾股定

理求得，根据4M=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的长；

（3）由于点尸到三顶点的距离和最短，那么点尸是△48。的费马点，即尸

=120°；易证得AOBE是等边三角形，那么尸/+PO+P8的最小值应为/£的长；求4P的长时，可作△

03E的外切圆（设此圆为O0）,那么O0与/£的交点即为加取最小值时P点的位置；设OQ与无轴的

另一交点（。点除外）为H,易求得点。的坐标，即可得到点，的坐标，也就得到了的长，相对于

。。来说，AE、/〃都是。0的割线，根据割线定理即可求得/尸的长.

【解析】（1）过E作EG_LOD于G（1分）

VZBOD=ZEGD=90°,ND=ND,

：.△800s△EG。，

■:点B（0,2）,NODB=30°,

可得08=2,0D=2V3；

•:E为BD中点,

•EGDEGD1

・,丽而而而

：.EG=1,GD=V3

0G=V3

.•.点K的坐标为（相，1）（2分）

耳-x+留过B（。，）、E（V3,）两点,

_221

:抛物线y-ax

l=a（Vs）2XV3+2,

可得1

抛物线的解析式为（3分）

（2）•・•抛物线与1轴相交于/、F,4在厂的左侧,

点的坐标为（W§,o）

；.AG=2f，EG=1,

...在△4GE中，ZAGE=90°,（2\[3）2+1^=V13（4分）

过点O作OKLAE于K,

可得△NOKS/X/EG

••-O-K-=-E-G-

AOAE

•OK1

..而幅

•••AK=VA02-0K2=-^7p-

LO

「△OMN是等边三角形，

ZNMO=60°

•„„„OK_^3-JU，

，，KM\anZKM0"V3=13'

/-AM=AK+KM-p->^AM=AK-KM=^7p-：（6分）

J.OJ.O

（写出一个给1分）

（3）如图；

以N8为边做等边三角形NO,B,以04为边做等边三角形402'；

易证。£=。8=2,/05£=60°,则△O8E是等边三角形；

连接。。'、BB'、AE,它们的交点即为加最小时，尸点的位置（即费马点）;

'：OA=OB',/B'OB=ZAOE=\50°,OB=OE,

.-.△AOE出AB'OB；

：.ZB/BO=/AEO；

VABOP=AEOP',而/BO£=60°,

.•.NPOP=60°,

.♦.△POP为等边三角形，

：.OP=PP',

PA+PB+PO=AP+OP'+P'E=AE；

即加最小=4E=、/13；

如图；作正△OBE的外接圆。0,

根据费马点的性质知NBPO=120°,jM/PBO+NBOPNGO。，而/班O=NEO8=60°；

；./PBE+NPOE=l8Q°,ZBPO+ZBEO^180°；

即3、P、。、E四点共圆：

易求得。（近，1）,则8（汉1,0）；

33

3

由割线定理得：AP'AE^OA'AH,

即：AP=OA・AH+AE=MX5e.A/13=5^^.

313

故："2可以取到的最小值为

当加取得最小值时，线段/尸的长为且叵.

13

（如遇不同解法，请老师根据评分标准酌情给分）

培优训练

1.已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果△ZBC是锐角（或直角）三角

形，则其费马点P是三角形内一点，且满足//依=/8?。=/。/〃=120。.（例如：等边三角形的费

马点是其三条高的交点）.若AB=AC=58c=2如，P为△48C的费马点，则PA+PB+PC=5:

若BC=2,AC=4,尸为△48C的费马点，则PA+PB+PC=2折.

【分析】①作出图形，过8,C分别作/。2夕=/。。尸=30°,勾股定理解直角三角形即可；

②作出图形，将绕点/逆时针旋转60°，2为△/5C的费马点则2,尸,四点共线，即P/+P2+PC

=BC,再用勾股定理求得即可.

【解析】如图，过/作NOL8C,垂足为。，

过2,C分别作//MP=NDCP=30°,贝！|P8=PC,尸为△4BC的费马点,

\'AB=AC=41>BC=2«,

•"-BD=DC=yBC=V3'

.PDV3

,,tan30二二r二-'

BD3

:・PD=\,

・PD

・・PB=,=2,

sm3U

•*-AD=VAB2-BD2=77^3=2，

:.PA+PB+PC=5；

②如图：

,:AB=2QBC=2,/C=4,

：.AB2+BC2=\6,AC2=16,

：.AB2+BC2=AC2,ZABC=90°,

,*sinNBAC^"=sin30°，

AL/乙

：.ZBAC=30°,

将△/PC绕点/逆时针旋转60°,

由旋转可得：△4PC丝△/尸。，

：.AP'=AP,PC=PC,AC=AC,NCAC=NPAP=60°,

...△4PP是等边三角形，

AABAC=90°,

•.•尸为△/BC的费马点，

即3,P,P,。四点共线时候，PA+PB+PC=B。,

：.PA+PB+PC=BP+PP'+P'C=BC=yl^2+K（：,2=^（2^3）2+42=2>yy,

故答案为：5,277.

2.在△/8C中，若其内部的点9满足//必=482。=/。&=120°,则称P为△ABC的费马点.如图

所示，在△/2C中，己知NA4c=45°,设尸为△/2C的费马点，且满足NPA4=45°,P/=4,则4

PAC的面积为4，右.

【分析】如图，延长3P交4C于。，先说明△NAD是等腰直角三角形，是30°的直角三角形，

可得尸。和/D的长，根据费马点的定义可得/4PC=120°,从而可知△尸。C也是30°的直角三角形,

可得CD的长，根据三角形的面积公式可得结论.

【解析】如图，延长8P交NC于O,

•:NBAC=NPBA=45°,

：.ZADB=90°,AD=BD,

为△NBC的费马点，

ZAPB=ZCPA=nO°,

：.ZBAP=^0°-120°-45°=15°,

：.ZPAC=45°-15°=30°,

AZAPD^6Q°,

RtZ\P4D中，\'PA=4,

:.PD=2,AD=2如,

V120°,

：.ZCPD=U0°-60°=60°,

RtZXPDC中，/PCD=3Q°,

:.CD=2M，

；./C=/D+Cr)=2a+2通=4我，

.•.△尸/C的面积为当CPD=/X4FX2=4V3-

故答案为：4我.

3.如图，在边长为6的正方形/BCD中，点M,N分别为/8、8c上的动点，且始终保持8M=CN.连接

MN,以"N为斜边在矩形内作等腰Rt^MVQ,若在正方形内还存在一点P,则点尸到点/、点。、点0

的距离之和的最小值为3+3JQ.

【分析】根据勾股定理得到关于x的一元二次方程，根据函数的性质求得当8M=2N=3时，0点到

距离最近，此时0点是/C和AD的交点，过点。作于点初,，在△4D0内部过/、。分别

作/ATDP=NM'NP=30°，则/4PQ=NDPQ=120°，点尸就是费马点，此时P/+PO+PQ

最小，根据特殊直角三角形才求出/Q,PA,PD,P0的长，进而得出答案.

【解析】设BM=x,贝IBN=6-x,

'：MN2=BM2+BN2,

：.MN2=-X2+(6-x)2=2(x-3)2+18,

...当x=3时，MN最小,

此时0点离AD最近，

,:BM=BN=3,

点是/C和8。的交点，

:.AQ=DQ='J^AD=3近,

2

过点。作。_L/D于点M'，在△4DQ内部过分别作DP=AM14P=30°，则N4PD=/

APQ=ZDPQ=120°，点P就是费马点，止匕时上4+尸。+尸0最小,

在等腰中，40=。。=3近，QM'LAD,

：.AM=QM'

故cos30°=———，

PA

解得：PA=2M，则PM'=«,

故0P=3-«,同法可得PO=2«,

贝UPA+PD+PQ=2X273+3-73=3+35/3.

.,.点尸到点/、点。、点。的距离之和的最小值为3+3JE，

故答案为3+373.

4.如果点P是△/2C内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△Z8C的费马点.已经

证明：在三个内角均小于120°的△4BC中，当/4PB=N4PC=NBPC=12Q°时，尸就是△ABC的费

马点.若点尸是腰长为近的等腰直角三角形。E尸的费马点，则PD+PE+PF=、伍+1.

【分析】过点。作。于点M,在△8DE内部过E、尸分别作/〃石尸=/河灯=30°,则/£尸/=/

EPD=NEPD=120°,点P就是费马点，求出尸£,PF,。尸的长即可解决问题；

【解析】如图过点。作DALLE尸于点在△3OE内部过E、尸分别作/〃EP=NMFP=30°,则/

£PF=NEPO=N£P£)=120°,点尸就是费马点，

在等腰RtZ\Z>£尸中，DE=DF=近,DMLEF,

：.EF=42DE=2

：.EM=DM=\,

故cos30。=副_,

PE

解得：尸£=2/1_,则

33

故。p=i-Yl_,同法可得尸尸=2叵

33

贝l|PD+PE+PF=2X^Zl,+1-2^=V3+1.

33

故答案为a+L

5.法国数学家费马提出：在△N3C内存在一点P,使它到三角形顶点的距离之和最小.人们称这个点为费

马点，此时P4+P3+PC的值为费马距离.经研究发现：在锐角△/3C中，费马点尸满足

=ZCPA=120°,如图，点尸为锐角△N8C的费马点，且尸N=3,PC=4,NABC=60°,则费马距离

为7+2日.

【分析】根据相似三角形的判定和性质，即可求解.

VZAPB=ZBPC=ZCPA=120,ZABC=60°,

.,.Zl+Z3=60°,Zl+Z2=60°,Z2+Z4=60°,

/.Z1=Z4,Z2=Z3,

ABPCSAAPB

•PC=PB

"PBPA'

即P#=12

；.尸2=2愿.

PA+PB+PC=7+2正

故答案为：7+2«.

二.解答题（共20小题）

6.定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三

角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”.

【基础巩固】

（1）如图1,在等腰RtzX/BC中，NB4c=90°,40为3c边上的高，己知4D上一点E满足NDEC=

60°,AC=既,求4E+BE+CE=12+；

【尝试应用】

（2）如图2,等边三角形/8C边长为4«，E为高线上的点，将三角形NEC绕点N逆时针旋转

60°得到三角形/FG,连接斯，请你在此基础上继续探究求出等边三角形N3C的“最近值”；

【拓展提高】

（3）如图3,在菱形488中，过的中点£作垂线交CD的延长线于点R连接/C、已知

/BDA=75°,AB=6,求三角形最近值”的平方.

图1图2图3

【分析】（1）△CDE为含30°角直角三角形，可求出CE的长度，进而得出结果.

（2）△/£尸为等边三角形，可得4E+BE+CE=EF+BE+GF,故当8、E、F、G四点共线时，EF+BE+GF

最小,进而可得//班=/4£'。=/8£。=120°,即可求出结果.

（3）作。于点可知所=。屈=工＜8,进而可推出448尸为等腰直角三角形，结合（2）中

2

的结论，当点尸满足：N4PF=NBPF=/4PB=120°时,P4+PB+PF最小,进而结合（1）中方法求

出结果.

【解析】（1）'：AB=AC,ZBAC=90°,AC=式^，

：.BD=CD=AD=4«，

VZDEC=60°，

：.DE=^-=4,

:.AE=AD-DE=4-73-4，CE=BE=2DE=8,

:.AE+BE+CE=4A/3-4+8X2=12+4^3;

故答案为：12+4\/§;

(2)由题意可得：AE=AF,NEAF=60°,

...△E4尸为等边三角形，

：.AE=EF=AF,

：.AE+BE+CE=EF+BE+GF,

,:B、G两点均为定点，

...当8、E、F、G四点共线时，EF+BE+GF最小,

：.ZAEB=120°,ZAEC=ZAFG=120°,

：.ZBEC=120°,

此时E点为等边△ABC的中心，

:.AE+BE+CE=34E=3X学'=12,

V3

故等边三角形/8C的“最近值”为12；

(3)如图，过点。作于点

VZBDA=15°,AB=AD,

:.NDAB=30°,

：.2DM=AD=AB,

,:AB〃CD,

：.EF=DM,

：.2EF=AB,

:.AE=BE=EF=3,

AAEF与ABEF均为等腰直角三角形，

△/时为等腰直角三角形，

设尸为E尸上一点，由(2)得：ZAPF=ZBPF=ZAPB=nOa时，P4+PB+PF最小,

此时：£尸=举_=愿，

:.AP=BP=2EP=2^3>FP=EF-EP=3-

:.AP+BP+FP=2V3+2>/3+3-V^=3+3«，

：.（AP+BP+FP）2=（3+及巧）2=36+18f，

...三角形ATO“最近值”的平方为36+18近.

7.如图①，尸为△/8C所在平面上一点，且//依=/2尸。=/。"=120°,则点尸叫做△4BC的费马

点.

（1）如果点尸为锐角三角形ABC的费马点，且N4BC=60°.

①求证：/XABPsABCP；

②若P4=3,PC=4,求尸8的长.

（2）已知锐角三角形N2C,分别以AB、/C为边向外作正三角形4BE和正三角形/CD,CE和AD相交

于尸点，连结/P,如图②.

①求/CPD的度数；

②求证：尸点为△N3C的费马点.

【分析】（1）①由三角形内角和定理可求NP8/+/P/8=60°,可证/P8C=N3/P,可得结论；

②由相似三角形的性质可得达迪，即可求解；

PBPC

（2）①由“SAS”可证△/（7£1丝△4D3,可得/1=/2,即可求解；

②通过证明△/£>尸sac尸P,可得更口1,可证△NFPsacDF,可得//火=//。£>=60°,可得结

CPPF

论.

【解答】（1）①证明：,・,点尸为锐角三角形45。的费马点,

NAPB=NBPC=ZCPA=120°,

ZPBA+ZPAB=60°,

VZABC=60°,

AZABP+ZPBC=60°,

ZPBC=/BAP,

又：ZAPB=ZBPC,

：.AABPs^BCP,

②解：,:AABPs^BCP,

••--P-A二PB，，

PBPC

又：尸/=3,PC=4,

••--3-=1PB-，

PB4

:・PB=2Q

(2)①解：设/C与3D的交点于R

如图，:△/BE与都为等边三角形，

/.ZBAE=ZCAD=6Q°,AE=AB,AC=AD,

：.ZBAE+ZBAC=ZCAD+ZBAC,即NE4C=ZBAD,

在和△408中，

M=AD

<ZEAC=ZBAD>

LEA=AB

:.LACE咨AADB(SAS),

：.Z1=Z2,

VZ3=Z4,

；.NCPO=N6=N5=60°；

②证明：VZ1=Z2,Z5=Z6,

Z.△ADFs^CFP,

•.•-A-F=DF='，

CPPF

：.AF，PF=DF，CP,

"：ZAFP=ZCFD,

：./\AFP^/\CDF,

；.NAPF=/4CD=60°,

ZAPC=ZCPD+ZAPF=120",

Z5PC=120°,

.,.NZP2=360°-NBPC-N4PC=12Q°,

尸点为△/BC的费马点.

8.如图1,D、E、尸是等边三角形48c中不共线三点，连接BE、CF,三条线段两两分别相交于D、

E、F.已知NEDF=60°.

(1)证明：EF=DF；

(2)如图2,点M是矶)上一点，连接CN,以CM为边向右作△CMG,连接EG.若EG=EC+EM,

CM=GM,NGMC=NGEC,证明：CG=CM.

(3)如图3,在(2)的条件下，当点M与点。重合时，若GD=4,请问在△NCD内部是否

存在点P使得尸到△/口)三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试

说明理由.

【分析】(1)可先推出NC4尸=N/AD,再证△/CF0ZX8/。，即可得出结论；

(2)在£尸上截取连接MN,可推出△EMN是等边三角形，可证△NCMgZXEG”,然后推出

△CMG是等边三角形，从而问题得证；

(3)先求得/。=竺应，将△DPC绕点。顺时针旋转60°至△O0G,连接/G,可得△PD0是等边三

3

角形，于是4P+尸D+C尸=4P+PQ+0G,故当4、尸、0、G共线时，4尸+尸。+。尸最小=4G,最后解斜三

角形/OG,从而求得.

•••△45。是等边三角形，

：.AC=AB,

NACB=60°,

：.ZCAF+ZDAB=60°,

;乙以)尸=60°,

/.ZDAB+ZABD=60°,

AZCAF=AABD,

■:AF=BD,

：.AACF^ABAD("S),

：.EF=DF；

EF=DF,NEDF=60°,

斯是等边三角形，

/.ZDEF=60°,

在跖上截取EN=£M,连接MM

CN=CE+EN=CE+EM=EG,

・・・△瓦MV是等边三角形，

：.ZCNM=60°,

,：4GMC=/GEC,Za=Zp,

/./NCM=/EGM,

•:CM=GM,

：.丛NCMm丛EGM(SAS),

：.ZMEG=ZCNM=60°,

・・・NC£G=180°-ZMEG-ZFED=60°,

：.ZGME=ZGEC=60°,

\'CM=GM,

•••△CMG是等边三角形，

/.CG=CM；

(3)解：如图3,

由(1)(2)知，

△DEF和△CDG是等边三角形，

：.ZCFD=60°,CD=GD=4,

CDLAD,

：.ZCDF=90°,

：.AD=CF=———=§巨,

sin60°3

将△DPC绕点。顺时针旋转60°至△O0G,连接4G,

：.AD=DQ,CP=QG,

：./\PDQ是等边三角形，

:.PD=PQ,

：.AP+PD+CP=AP+PQ+QG,

.•.当4、P、0、G共线时，AP+PD+CP最小=/G,

作GH±AD于H,

在Rt/XDG”中，

GH=1~DG=2,

2

DH=^~DG=2g,

2

：.AH=AD+DH=3'J工+2禽=_14退,

33

•'•^G=VGH2+AH2

T（哈2+22

小

C.AP+PD+CP的最小值是亲/而.

9.【问题情境】

如图1,在△/BC中，ZA=120°,AB=AC,BC=5M，则△48C的外接圆的半径值为5.

【问题解决】

如图2,点尸为正方形45CD内一点，且/APC=90°,若48=4,求/尸的最小值.

【问题解决】

如图3,正方形/2C。是一个边长为3gcm的隔离区域设计图，CE为大门，点E在边2C上，CE=

Mem,点尸是正方形4BCD内设立的一个活动岗哨，到3、E的张角为120°,即/APE=120°,点

4、。为另两个固定岗哨.现需在隔离区域内部设置一个补水供给点。，使得0到/、D、P三个岗哨的

距离和最小，试求。/+。〃+。产的最小值.（保留根号或结果精确到1cm,参考数据北心1.7,10.52=

图1图2图3

【分析】（1）作出三角形的外接圆。，证明△0A4是等边三角形，利用三线合一性质计算即可；

（2）点尸在以8c为直径的圆上，根据圆心，P,月三点共线时/尸最小，计算即可；

（3）如图3,设N8PE所在圆的圆心为点0,根据（1）可得NAPE所在圆的半径，以点。为旋转中心,

将顺时针旋转60°,得到△DFN,当N,F,Q,P,。共线时，Q/+0D+0尸最小，构造直角三

角形求解即可.

【解析】（1）如图1,作△4BC的外接圆。，作直径4D,连接

\'AB=AC,

：.AOLBC,ZBAO^60°,

'：OA=OB,

:,AOBA是等边三角形，

：.AB=OA=OB,

设/。与3C交于点E,8E=_k8C=显1_,

22

在直角三角形ABE中，

VsmABAO=^-,

AB

573

：.AB=5,

.\OA=5,

故答案为：5；

(2)如图2,

■:/BPC=9Q°,

二点在以8c为直径的圆上，设圆心为点O,

则OP=LBC=2,

2

：.o,P,/三点线时/尸最小，

在直角三角形48。中，

^<9=VAB2-K)B2=2相,

'：PO=2,

的最小值为：AO-PO^2yf5~2；

簿

-9-

(3)如图3,设N3PE所在圆的圆心为点O,根据(1)可得N2PE所在圆的半径为一一=2,以点。

2

为旋转中心，将△D0/顺时针旋转60°,得到△DEN,当N,F,Q,P,。共线时，/+。£>+。尸最小,

过点N作NGL4B交A4的延长线于点G,连接ZN,则是等边三角形，过点。作OMLGN于放

交8C于点〃，连接。8,

.四边形48CZ•是正方形,

J.AD//BC//GN,

：.OHLBC,

,:BE=2^,

:.BH=a，

.--O//=^Qg2_BH2=i,

"：AD=DN,NADN=60°,

.♦.△4VD是等边三形，且4N=3«,NNAD=60°,

:"GAN=30°,

.•.GN=ZNsin30°AG=ANcos300=2,

22__

.•.aW—O//+AB+/G—9+1+3相一11+3我，MN-GN-BH--V3=<

22________22

.•・尔=如2+亦=,券+37^）2+阵）201,

.•.0/+8+0P最小值为：11-2=9（cw）.

10.在平面直角坐标系中，二次函数〉=亦2+云-8的图象与x轴交于/、8两点，与y轴交于点C,直线y

=履+反（左¥0）经过点N,与抛物线交于另一点凡已知OC=2CM,OB=3OA.

3

（1）求抛物线与直线的解析式；

（2）如图1,若点尸是x轴下方抛物线上一点，过点尸做尸R于点〃，过点P做「。〃》轴交抛物

线于点0,过点P做W“轴于点〃'，K为直线PH，上一点，且尸K=2遥PQ,点/为第四象限内

一点，且在直线尸。上方，连接"、IQ,IK,记/=号「||一^。，m=IP+IQ+IK,当/取得最大值时，

求出点P的坐标，并求出此时m的最小值.

（3）如图2,将点/沿直线方向平移13个长度单位到点过点M做MNLx轴，交抛物线于点

N,动点。为x轴上一点，连接九化）、DN,再将沿直线翻折为△MDN'（点M、N、。、N'

在同一平面内），连接NN、AN'、NN',当△/AW'为等腰三角形时，请直接写出点。的坐标.

图1图2

【分析】(1)令二次函数x=0,解出C点坐标(0,-8),根据已知条件可知点/(-4,0)点8(12,

0).代入解析式从而求得抛物线和直线解析式.

(2)设点尸坐标的横坐标为0,求出对称轴为直线x=4,根据对称性求出点。的坐标，从而求出尸。的

长度，延长PK交直线NR与点利用一次函数解析式求出点M的坐标，尸M线段长可表示，利用△

PHMsAAEO,求出尸〃的长度，则/可用点〃的代数式表示，从而求得最大值，点尸坐标也可求出，

由m=IP+IQ+IK求其最小值可知，点/为△尸。K的“费马点

(3)由点/平移13个单位可知点〃■的坐标，则点N的坐标可求为(8,-8)可求/N的长度，的

长度为13,因为翻折可知的长度也为13,则N'在以点M为圆心13个单位长度为半径的圆上运

动，再利用等腰三角形求出点。的坐标.

【解答】解(1)♦.)=办2+如-8与了轴的交点为。，令x=0,尸-8

.•.点C(0,-8)

:.oc=s

'：OC=1OA,OB=3OA

：.OA=4,08=12

：.A(-4,0)B(12,0)

将点A代入直线解析式可得0=-4什互

3

解得左=_L

12

将点N和点3代入抛物线中

(0=16a_4b_8

l0=144a+12b-8

解得a=—,-—

63

(2)设点尸的坐标为(p,12_g-8)

63

-区=4

b

.♦.抛物线的对称轴为直线x=4

点。-1-p2-yp-8^

b0

:・PQ=2p-8

,：PK=2MPQ

:.PK=4MD-16V3

/./HPM=AMAH'

•..直线解析式为y=-Lx3,令x=°，y=--

1233

：.OE=^-

3

VOA=4

根据勾股定理得.•./石=里

3

/.COS/ENO=U^=AZ.

AE13

•PH=2221116

13p13p13

,:]=^PH-LPQ

24

2+214JH)-A(2/J-8)=-(p-5)2+85

213p13p134

.•.当°=5时，/取最大值此时点尸(5,2)

2

：.PQ=2,PK=473

如图2所示，连接。K,以P0为边向下做等边三角形尸00,连接KD,在KD取/,

使/尸/。=60°,以P/为边做等边三角形/尸尸，连接

'：IP=PF,PQ=PD,ZIPQ=ZFPD

：./\IPQ^/\FPD

:.DF=IQ

：.IP+IQ+IK=IF+FD+IK=DK,止匕时m最小

过点。作£）四垂直于KP

,/NKPD=/KPQ+NQPD=150°

：./PDN=30°

,:DP=PQ=2

：.DN=1,根据勾股定理得尸

在△KZ)N中，KN=543,DN=1,根据勾股定理得长。=2^^

：.m的最小值为2旧

(3)设MW■与x轴交于点J

13,cosZAMJ=-l^.

13

，AJ=\2,根据勾股定理得MJ=5

\'OA=4,：.OJ=8

：.M(8,5)

当x=8时，代入抛物线中，可得y=-8

：.N(8,-8),MN=13

在△4W中，根据勾股定理得

•••点。为x轴上的动点，根据翻折，MN'=13,所以点N'在以M为圆心，13个单位长度为半径的圆

上运动，如图3所示

①当N'落在NN的垂直平分线上时

tan/MT以=丝=芭

82

.,.tanZWJ=A,-：MJ=5

2

根据勾股定理得儿心=旦叵

33

-：MDX为NGMJ的角平分线

•••M-G=--G-D

MJDJ