2024-2025学年北师大版八年级数学上册复习：平面直角坐标系中平移与几何综合（压轴题专项讲练）解析版

平面直角坐标系中平移与几何综合

♦思维方法

正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从

可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。

逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发

进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采

用间接证明。

分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每

一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并

非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：

1.不重（互斥性）不漏（完备性）；

2.按同一标准划分（同一性）；

3.逐级分类（逐级性）。

♦知识点总结

一、点在坐标系中的平移

平面直角坐标内点的平移规律，设6>0：

（1）一次平移：P（x,j）—向右平移"个单号」尸（x+a,j）

P（X,-向下平移£个单位一>尸'（X,y~~b）

向左平移"个单位、

（2）二次平移：尸（x,WP（x—a,y+b）

再向上平移。个单

二、图形在坐标系中的平移

在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数。，相应的新图形就是把

原图形向右（或向左）平移。个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a,相应的新

图形就是把原图形向上（或向下）平移。个单位长度.（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加,

下移减.）

♦典例分析

【典例1】在直角坐标系中，已知线段4B,点力的坐标为（1,—2）,点B的坐标为（3,0）,如图1所示.

（1）平移线段4B到线段CD,使点4的对应点为。，点B的对应点为C,若点C的坐标为（一2,4）,求点。的坐

标；

（2）在第（1）的条件下，求三角形8CD的面积；

（3）平移线段4B到线段CD,使点C在y轴的正半轴上，点。在第二象限内，连接8C,BD,如图2所示.若

SABCD=7（S4BCD表示三角形BCD的面积），求点C、。的坐标.

【思路点拨】

（1）首先根据2,C点的坐标找到点的平移方式，然后根据点的平移规律即可得出答案；

（2）分别过点C,。作CE1久轴于点E,DFlx轴与点忆根据SABCO=s梯形COFE+S^BCE—S^BOF,即可

求解；

（3）首先根据3,C点的坐标找到点的平移方式，然后设出点C,。的坐标，利用面积求解即可.

【解题过程】

（1）解：点8的坐标为（3,0）,平移后的对应点C的坐标为（一2,4）,

可设3+a=—2,0+6=4,

：.a=—5,b=4,

即：点8向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C,

,•,点4的坐标为（1,一2）,

■■A点平移后的对应点。（—4,2）；

（2）解：如图，分别过点C,。作CE1%轴于点E,DFlx轴与点尸，则

CE=4QE=2,BF=3+4=7,DF=2,EF=4-2=2,

•'△BCD=S梯形CORE+S/^BCE-S/\BDF，

,",SABCD=5(DF+CE)xEF+-CExBE--DFXBF,

■■SABCD=1(2+4)x2+|x4x5-|x2x7=9；

设点C的坐标为(0,y),

•・•点C在y轴上，点。在第二象限，

••・线段向左平移3个单位，再向上平移y个单位得到线段CD,

•••。(—2,y—2),

■:S^BCD=SMOC+^ACOD—S.。。，S^BCD=7

弓OBx0C+10Cx2-10BXy=7,

111

；万x3xy+5yx2——x3x(y—2)-7,

■■y=4,

■•■C(0,4),D(-2,2).

♦学霸必刷

1.（2023七年级下•浙江•专题练习）如图所示，把三角形力8c向上平移3个单位长度，再向右平移2个单

位长度，得到三角形4$传1.

（2）写出点Bi的坐标;

（3）在了轴上是否存在一点P,使得三角形BCP与三角形28C面积相等？若存在，请直接写出点尸的坐标;

若不存在，说明理由.

【思路点拨】

（1）根据平移的要求分别确定点41、当、Ci的位置，即可得到三角形力IB】。；

（2）根据（1）的图形即可得到点&,当的坐标；

（3）先求出三角形力BC的面积为：X4X3=6,设点尸的坐标为（0即），列出方程：x4X|血—（—2）|=6,

求出巾=1或m=—5,即可求出点P的坐标.

【解题过程】

（1）解：如图，三角形力道修1即为所求作的三角形；

（2）解：点4的坐标为（0,4）,点&的坐标为（一1,1）；

____1

（3）解：由题意得三角形4BC的面积为5x4x3=6,

设点尸的坐标为（0即），

•.三角形BCP与三角形力BC面积相等,

•••|X4X|m—(―2)|=6,

二即+2|=3,

：.m+2=3或m+2=—3,

■•■m=1或TH=—5,

二点P的坐标是(0,1)或(0,—5).

2.(22-23七年级下•湖北武汉•阶段练习)如图，三角形4B'C是由三角形48C经过某种平移得到的，点/

与点4,点2与点9，点C与点(7分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系,

解答下列问题：

(1)分别写出点8和点夕的坐标，并说明三角形4BC是由三角形ABC经过怎样的平移得至I］的?

(2)连接B。，直接写出NC8O与4夕。。之间的数量关系；

(3)若点M(a—1,2b—5)是三角形N8C内一点，它随三角形4BC按(1)中方式平移后得到的对应点为点

N(2a—7,4—b),求0和6的值.

【思路点拨】

本题主要考查了坐标与图形，根据平移前后点的坐标判断平移方式，平移的性质，解题的关键在于能够熟

练掌握点坐标平移的规律.

(1)根据点在坐标轴的位置得到点8的坐标为(2,1),点方的坐标为(一1,—2),由此即可得到平移方式；

(2)由平移的性质可得则NB'C'B=4CBC',再根据BC1I#轴,得到NBC6=90。,贝此-NB'C'

0=AB'C'B-乙B'C'O=LBC'O=90°；

(3)根据平移方式可以得到a—1—3=2a—7,2b—5—3=4—b,由此求解即可.

【解题过程】

(1)解：由题图知，点2的坐标为(2,1),点方的坐标为(一1,一2),,

.•・三角形是由三角形4BC先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的.

(2)NCB6?与4方。。之间的数量关系为NCBO—NBC。=90°,

解：由平移的性质可得用C1IBC,

>

X

；/BCB=Z.CBC,

•••点8的坐标为(2,1),点。的坐标为(0,1),

.•.BC'llx轴,

.-.ABCO=90°,

：/CBC-Z.B'C'0=-乙B'CO=LBCO=90°,

.•ZCB。与NBC。之间的数量关系为NCBO—NBC。=90°；

(3)解：由平移方式可得可(2。一7,4—功是点用((1一1,26—5)先向左平移3个单位长度，再向下平移3个

单位长度得到的，

=

'-CL—1—3=2。-7f2b—5—34—b),

.,.a=3,5=4,

二a的值是3,b的值是4.

3.(2024七年级下•全国•专题练习)在平面直角坐标系中，O为原点，点4(0,2),5(-2,0),C(4,0).

(1)如图①，则三角形ABC的面积为

(2)如图②，将点3向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点。.

①求三角形△2CD的面积；

②点P(?n,3)是一动点，若△P4。的面积等于△C4。的面积.请直接写出点尸坐标.

【思路点拨】

本题考查了坐标与图形、点的平移、绝对值方程等知识，掌握运用数形结合的思想分析解决问题是解题关

键.

(1)根据题意得出。力=2,0B=2,。。=4,然后根据三角形面积公式直接计算即可；

(2)①连接。。，过点。作DEly轴于点E,过点。作DFlx轴于点F,由平移的性质可得点。坐标，根据

S&4CD=SA04D+Sa0CD—SA04C进行计算即可得到答案；②根据△P4。的面积等于△乙4。的面积，求解

即可.

【解题过程】

(1)解：•••4(0,2),B(-2,0),C(4,0),

：.OA=2,OB=2,OC=4,

.9.BC=OB+OC=6,

•••S2ABe=^BC.OA=gx6x2=6.

故答案为：6；

(2)解：①连接OD,过点。作DEIy轴于点E,过点。作OF1%轴于点F,

将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点。坐标为(5,4)

+S&OCD—^AOAC

111

=-OA-DE-OC-DF--0A-OC

111

=-x2x54--x4x4--x2x4

=9；

②如下图,

11

即有5X2x|m|=5x2x4,

解得m=±4,

••.P点坐标为(一4,3)或(4,3).

4.(22-23七年级下•广东广州•期中)如图1,在平面直角坐标系中力(a,0),B(0,b),其中a,b满足

(a-l)2+VFT3=0,现将线段力B先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段DC.

(1)直接与出点4B,C,。的坐标：A,B,C,D；

(2)若点P在x轴上，且使得三角形0cp的面积是三角形2BC面和的5倍，求点P坐标；

(3)如图2,点九)是三角形4BC内部的一个动点，连接AM,BM,CM,若三角形ABM与三角形4CM

面积之比为1:2,求小，n之间满足的关系式.

【思路点拨】

(1)先根据非负数的性质求出a、b的值，得到48的坐标，再根据“右加左减，上加下减”的平移规律求出

C、D的坐标；

(2)先求得S^BC和SMCP，再根据SADCP=*P・yD，求得CP的长度，根据C(5,o),即可求得点P坐标；

(3)用含n式子表示S^CM和S^BM，再根据题意列出等式即可.

【解题过程】

(1)解："(a—1)2+7b+3=0,

•t.a—1=0,b+3=0,

■'■a—1,b——3,

•••4(1,0),B(0,—3),

•••将线段48先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段DC,

C(0+5,—3+3)=(5,0),+5,0+3)=(6,3),

故答案为：(1,0),(0,-3),(5,0),(6,3)；

(2)解：由⑴知，4(1,0),8(0,—3),C(5,0),0(0,0),

•••AC—4,OB=3,

・••SMBC=.OB=^x4x3=6,

33

ASADCP=WMBC=5X6=9,

#p.yD=到-3=9,

•••CP=6,

-C(5,0),

Pi(ll,0)，P2(-I,O)；

(3)解：•­,SAACM=^AC'\yM\=IX4(—n)=-2n,

=^AOAM+S^OBM—^AAOB

111

=2%•I'MI+—OB-\xM\-—OA-OB

1,、，33

=式一九)+/一5，

v三角形ZBM与三角形ZCM面积之比为1:2,

-2n=+—0,

整理得：3m+n=3或者71=3—37n或者TH=1—

5.(22-23七年级下•福建厦门・期末)若点「(%7)的坐标满足2、一％=2时，我们称点尸(叼)为“横和点”.

(1)判断点Q(4,3)是否为“横和点”，并说明理由；

(2)在平面直角坐标系中，将三角形ABC平移得到三角形DEF,点4B,C的对应点分别是点。，E,F.已

知点/(成荏)，点8(0力)，点。«力)，点”是“横和点”，点E的横坐标为m,且7n>o.

①若点B(O,b)是“横和点”，且三角形4BD的面积为2,求m的值;

11

②若点的坐标是a+-

C(a—m—3,2-4点E恰好落在%轴上，判断点F是否为“横和点”，并说明理由.

【思路点拨】

(1)根据“横和点”的定义进行求解即可：

(2)①先根据“横和点”的定义推出n=等，6=1,再根据点坐标的平移规律得到三角形4BC向右平移加

个单位长度，向上平移或向下平移|b—旬个单位长度得到三角形CEF,进而推出t=2m,再由三角形4BD

的面积为2,列出方程求解即可；

②先求出风小，0),再根据点坐标平移规律推出b—几=一詈，进而求出点F的坐标为(a—31a—9，

由此根据“横和点”的定义判断即可.

【解题过程】

⑴解:(1)点Q(4,3)是“横和点”,理由如下:

v2X3—4=2,

.•.点Q(4,3)是“横和点”;

(2)解：①•.•点力是“横和点”，

■,■2n—m=2,即n=

又•••点B(0,b)是“横和点”，

：,2b—0=2,即b=l,

•・•将三角形平移得到三角形DEF,点。与点8的纵坐标相同，点E与点4的横坐标相同，

・・・三角形48C向右平移m个单位长度，向上平移或向下平移|b-川个单位长度得到三角形。EF,

.,.t—m=m,即t=2m,

••三角形480的面积为2,

I

1-\b—n\=2,

・,»H=2

2

/.1-mz=2n,

解得m=2(负值舍去)；

②点尸是否为“横和点”，理由如下：

•・•点£落在x轴上，

・•.E(zn,0),

•・・将三角形平移得到三角形DEF,

.,.0—b=b—n,即九=2b,

,m+2

：.b—n=-----,

4

r点C的坐标是(a—m—3,^a+^mj,

•••点F的坐标为(a—m—3+m,^a+^m-即(a—3,^a—g),

,.12(|a—0—(a—3)—a—1—a+3-2,

・・•点/是'横和点”.

6.(22-23七年级下•湖北武汉•阶段练习)如图，平面直角坐标系中，4(a,0),B(0,b),C(0,c),6a+4+|2—〃

(2)如图2,点力以每秒小个单位的速度向下运动至4,与此同时，点Q从原点出发，以每秒2个单位的速度

沿x轴向右运动至。，3秒后，4、C、Q'在同一直线上，求小的值；

(3)如图3,点。在线段48上，将点。向右平移4个单位长度至E点，若△力CE的面积等于14,求点。坐标.

【思路点拨】

(1)由非负数的性质求出a=—4,b=2,求出c=—3,由4B,C三点的坐标可求出答案；

(2)根据三角形的面积关系S7,Q，4=SMQ,。+S梯形/Ac。可得出答案；

(3)连接OD,OE,,设。(m,n),由三角形面积关系得出m=2n—4,由平移的性质得出E(2n,n),

根据三角形的面积关系可求出答案.

【解题过程】

(1)•••VaT4+|2-b|=0,VaT4>0,|2-b|>0,

・•・Va+4=0.,\2—b\=0,

•••a=—4,b=2,

：•c=1(a—h)=—3,

・•・/(—4,0),8(0,2),C(—3,0),

:•BC—5,OA—4,

•••S^ABC=TxBCxOA=gx5x4=10；

(2)由题意知：OQ'=2x3=6,AA'-3m,

•JSz\4Q/=S&CQ©+S梯形

iii

A-x10x3m=-x6x3+-x(3+3m)x4,

5

・•・m=-.

设。(7n,7i),

SAAOB=S△力。o+S^DOB，

J•5x4x2=~x4xn4~-x2x(^—TTI),

:.m=2n—4,

•・•点。向右平移4个单位长度得到瓦点，

•••E(2n,Ti),

•••S4AOC+^/\AOE+SMOE=S/VICE，

•,.|x4x3+|x4xn+|x3x2n=14,

8

•••n=-,

4

/.m=2n—4=-

翼).

7.(22-23七年级下•云南昆明・期末)如图，已知点力(a,0),B(6,0)满足(4a+b)2+|b—引=0.将线段ZB

先向上平移4个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD,连接AC,BD.

(2)点”从。点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动.设运动时间为/秒，当f为多少时，四边形

OMDB的面积等于10?

(3)在(2)的条件下，点M从。点出发的同时，点N从2点出发，以每秒［个单位的速度向左平移运动,

设射线DN交y轴于点£.在运动过程中S^EMO-SMEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若

变化，请说明理由.

【思路点拨】

(1)本题考查绝对值的非负性，完全平方的非负性，利用非负性可求a,b的值，即可得到答案；

(2)本题考查平移的性质，由平移的性质可得点C(0,4),点D(4,5),0/1=1,0B=4,OC=4,CD=5,

由面积关系可求解；

(3)分点8在线段0B上，点2在2。的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解；

【解题过程】

(1)解：,；(4a+6产+|6-4|=0,(4a+b)2>0,\b-4\>0,

：-b=4,a=—1,

.•.点4(—1,0),点B(4,0)；

(2)解：•••将线段4B先向上平移4个单位，再向右平移1个单位后得到线段C。，2(—1,0),点8(4,0),

•••点C(0,4),点D(4,5),OA=1,OB=4,

.'.OC—4,CD—5,

.•.四边形。CDB的面积=：X(4+5)X4=18,

•.•四边形。MDB的面积等于10,

•••点”在点C下方，

.•.四边形。MDB的面积=四边形。CDB的面积+SMDM=18+[x5x(t—4)=10,

4

(3)解：—S^OEN的值不会变化，

理由：如图1,当点N在线段。8上时，

•••S2XEMO—^AOEN=S四边形MONO，

••6△EMO—S^OEN—^AMOD+^AOND=]Xtx5+5X(4--t)X4=8;

如图2,当点N在X轴的负半轴时，

,:S&EMD~S^OEN=(S2XEMO+SAEOD)~(S&OEN+S^EOD)，

•^AEMD-S^OEN—S/XMOO—^ANOD=|xtx5——4)x4=8,

综上所述：S^EMD-SAOEN是定值8.

8.(22-23七年级下•湖北武汉•期中)如图，平面直角坐标系中，A(a,0),B(0,b),C(0,c),Va+3+(4-h)2

0,c=-CL—b.

(1)求4B、C的坐标和△4BC的面积；

(2)如图2,点/以每秒s个单位的速度向上运动至4,与此同时，点Q从原点出发，以每秒1个单位的速

度沿x轴向右运动至。，4秒后，在同一直线上，求s的值；

(3)如图3,点。在线段4C上，将点。向上平移2个单位长度至£点，若aABE的面积等于|,求点。的

坐标.

【思路点拨】

(1)非负性求出a,b,进而求出c的值，得到/、B、C的坐标，利用三角形的面积公式，进行求解即可；

(2)根据S44Q，4,=S梯形0448+S.BOQ”构建方程求解即可；

(3)连接。D,OE,设D(m,n),由三角形面积关系得出巾=2九一4,由平移的性质得出E(2n,zi),根据三角形

的面积关系，求解即可.

【解题过程】

(1)解：•.・V^TI+(4—b)2=0,

/.a+3=0,4—b=0,

.,.a=—3,b=4,

.,.c=-a—b=3—4=—1,

・・・4(—3,0)凤0,4),C(0,—1),

・・・△/BC的面积为擀X5x3=热

(2)由题意，得：AA'=4s,OQr=1x4=4,

•・・4(-3,0)凤0,4),

：.OA=3,OB=4,

：.AQ=7,

，:^^AQ'A'=S梯形+S^BOQ',

•••|x7x4s=1x(4+4s)x3+|x4x4,

解得：s=J；

4

设。(矶九)，

•••S△力oc=SAA0D+S^COD，

111

二5X3X1=]X3X(—71)+5X1X(—771),

：.m=—3n—3,

•・•将点D向上平移2个单位长度至E点，

；.E(—3?1—3,TL+2),

,:S^AOB=S△力OE+S^BOE+S/XBZE，

1113

A-x3x4=-x3x(n+2)+-x4x(3n+3)+-,

3

•••n=-g,

„6

：.m=-3n-3=-

9.(22-23七年级下•湖北武汉•期中)在平面直角坐标系中，点A(a,b)满足6=后二l+W^%+6.

(1)直接写出点”的坐标；

(2)如图，将线段。力沿x轴向右平移5个单位长度后得到线段BC(点。与点2对应)，在线段BC上取点

E(711,71),当71=2时，求。点的坐标；

(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在点尸使得S0EF=13,若存在，求出厂点坐标；若不存在，请说

明理由.

【思路点拨】

(1)根据非负数的性质求出。值，从而可得6值：

(2)设。的坐标为(%,0),根据平移得到8(5,0),C(9,6),则有BD=x—5,分别表示出相应部分的面积，

=^AAOD-S^BED=S四边形40BC—S4AEC，可得方程，解之求出工值即可得解；

(3)分点尸在。点左侧，点尸在。点右侧，两种情况，设F(k,0),表示出F。，根据已知面积，列出方程,

解之即可.

【解题过程】

(1)解：••力=—4+-4—a+6,

.,.a—4>0,4—a>0,

：.a=4,

=6,

・・・/(4,6)；

(2)设。的坐标为(%,0),由平移可得：8(5,0),C(9,6),

・•.BD=%—5,

vn=2,

1

:5ABED=-xBPx2=x—5,

\'AC=5,

1

：，SAACE=5xACx(6-2)=10,

i

,S四边形40BC=5x6=30,S4AOD=5xODx6=3%,

又四边形AOBE=^AAOD-S/\BED=S四边形40BC—

即3%—(%—5)=30—10,解得％=',

.•喏,0)；

(3)存在，理由是:

由(2)知。。=?

当点尸在。点左侧时，设F(k,O),贝同=当一k,

<SMEF=S塘FD—S&DE=|x(y—k)x6—3x得—fc)x2=13,

解得k=l,

尸点坐标为(1,0),

当点尸在。点右侧时，设F(k,0),则FD=k—宏

'''^AAEF=^AAFD~^AFDE=Q乂(卜-X6--X(k—费)X2=13,

解得k=14,

尸点坐标为(14,0),

综上所述，尸点坐标为(1,0)或(14,0).

10.(22-23七年级下•福建福州•期末)如图1,在平面直角坐标系中，已知点4(—5,—1),8(—3,2),将

线段4B平移至线段CD,使点4的对应点C恰好落在久轴的正半轴上，设点C的坐标为(匕0),点B的对应点。

(2)连接BD,BC.如图2,若三角形BCD的面积为8,求k的值；

(3)连接4D,如图3,分别作N&BC和乙4DC的平分线，交于点P,试探究NBCD和N8PD之间的等

量关系，并说明理由.

【思路点拨】

(1)由/,C的坐标变化得出平移方式，从而可得答案；

(2)如图，过B作BQLx轴于Q,过D作DHlx轴于〃，可得Q(—3,0),"(k+2,0),结合C(k,0),

B(—3,2),D(k+2,3),可得CQ=k+3,CH=2,由S梯形收”。一S^CBQ—S^CDH=8,再建立方程求解即

可;

(3)如图，过P作PEII4B,由平移的性质可得：ABWCD,可得4B||PE||CD,可得乙IBP=NBPE,

/-ADC=/-A,4ABC=LBCD,乙EPD=LPDC,=Z.BPE+^DPE=^ABP+ACDP,再结合角

平分线可得结论.

【解题过程】

⑴解：•.•点4(—5,-1),8(—3,2),设点C的坐标为(鼠0),

・•・平移方式为向右平移(k+5)个单位长度，再向上平移1个单位长度，

.•.D(/c+2,3)；

(2)如图，过B作BQlx轴于Q,过。作DHlx轴于

•,■<2(-3,0),H(/c+2,0),而C(k,0),B(—3,2),O(k+2,3),

.-.CQ=k+3,CH=2,

，S梯形BQHD-S^CBQ—SACDH~8,

111

.♦.式2+3)x(fc+5)-2><2x(fc+3)--x2x3-8,

解得：k=L

(3)4BPD=34BCD4A；理由如下：

如图，过P作P吐I4B,

由平移的性质可得：ABWCD,

.-.ABWPEWCD,

:./.ABP=/.BPE,/.ADC=/.A,4ABC=^BCD,Z.EPD=/.PDC,

"BPD=4BPE+Z.DPE=Z.ABP+乙CDP,

•••BP平分/ABC,DP平分N4DC,

.-.APBA=^ABC,乙PDC=%ADC,

:/BPD=)1ABC+1^ADC1=葵B1CD+

11.(23-24七年级上•黑龙江绥化•期中)如图，在平面直角坐标系中，点4B的坐标分别为2(0,a),B

(b,a),且a、b满足(a—2尸+g—4|=0,现同时将点4B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位,

分别得到点4B的对应点C,D,连接北，BD,AB.

(1)求点C,。的坐标及四边形4BDC的面积S四边形

(2)点P是四边形40DB上的一个动点，连接P4PO.当点P在BD上移动时(不与B,D重合)求—

的值.

(3)当点P运动到什么位置时，直线OP将四边形4BDC的面积分成3:5两部分？(直接写出答案)

【思路点拨】

(1)根据条件确定/,8坐标，根据平移得到C,。两点的坐标；由/,B,C,。坐标确定四边形底和高,

即可求面积；

(2)过点P作力B、CD的平行线，根据平行线的性质可得乙4P0=NBAP+4D0P,从而可得答案;

(3)由S因边物BDC=8,5AOOB=|X3X2=3,如图，直线。P将四边形力BCD的面积分成3:5两部分，此

时P,B重合，P(4,2),当S四边形4cop=3时，设P(m,2),如图，再利用梯形的面积公式可得答案.

【解题过程】

(1)解：:("2)2+\b-4\=0,

•••a=2,b=4,

•••4(0,2)、8(4,2),

•••将点4B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位,

・・・C(—1,0)、D(3,0),

S四边形ABDC=CD-OA=4x2=8；

(2)解：由⑴中4(0解、8(4,2)、C(-LO)、。(3,0),可得酒8；

如图所示，过点P作PEII/8,则PE||43||CD,

・♦・乙BAP=乙APE,Z.DOP=乙OPE,

•••Z-BAP+乙DOP=Z-APE+Z.OPE=Z.APO,

/.BAP+Z.DOP不发生变化;

Z-APO

(3)解、■:S四边形ABDC=CD，°A=2x4=8,=—X3X2=3,

如图，直线。P将四边形450c的面积分成3:5两部分，

此时P,8重合,尸(4,2),

当S四边形ACOP=3时，设P(m,2),如图,

解得：m=2,

止匕时P(2,2),

综上：当P的坐标为(4,2)或(2,2)时，直线。P将四边形4BCD的面积分成3:5两部分.

12.(2023九年级上•全国•专题练习)如图1,在平面直角坐标系中，点力，B的坐标分别为4(a,0),B@0),

且a,b满足|a+6|+V3a—2b+26=0,现将线段力B先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得

到线段CD,其中点力对应点为C,点B对应点为D,连接AC,BD.

(1)请直接写出4B两点的坐标；

(2)如图2,点M是线段4C上的一个动点，点N是线段CD的一个定点，连接MN,MO,当点M在线段AC上

移动时(不与4C重合)，探究NDNM,乙OMN,NM08之间的数量关系，并说明理由；

(3)在坐标轴上是否存在点P,使三角形PBC的面积与三角形力BD的面积相等？若存在，请求出点P的坐标;

若不存在，试说明理由.

【思路点拨】

(1)根据非负数的性质求出a,b,即可求出答案；

(2)过点M作直线MEIL48,则/OME+NMOB=180。，再判断出NDNM+4NME=180。，即可得出结论;

(3)先求出△力BD的面积，再分点P在x轴和y轴上两种情况，根据三角形面积公式建立方程求解，即可得

出答案.

【解题过程】

(1)•••|a+6|+:3a—2b+26=0,

.'.a+6=0,3a—2b+26=0,

■■■a=—6,6=4,

M(-6,0),8(4,0)；

(2)4DNM+AOMN+乙MOB=360°,

理由：如图2,过点M作直线MEII4B,

图I

・••Z.OME+Z.MOB=180°,

•・・线段C。由线段平移得到，

・•.ABWCD,

ME\\CD,

:•乙DNM+乙NME=180°,

・•・乙DNM+乙OMN+乙MOB,

=乙DNM+乙NME+LOME+乙MOB,

=180°+180°

=360°,

"DNM+乙OMN+乙MOB=360°；

(3)如图，依题意可得4(—6,0),8(4,0),C(0,4),0(10,4),

•••S^ABD="鸟-yD=1x10x4=20,

①当点P在式轴上时，设点P(m,0),

则SAPRC=•OC=Tx|m-4|x4=2|m-4|,

・「SNBC=SMBO，

•••2\m-4|=20,

m=14或—6；

②当点P在y轴上时，设点尸（0,九）,

贝US^PBC=-OB=IX|n-4|X4=2|n-4|,

S/^PBC—^AABD>

•'-2\n-4|=20,

•••n=14或—6,

综上所述，存在点P,使三角形P8C的面积与三角形48。的面积相等，点P的坐标为(14,0)或(一6,0)或(0,14)

或(0,—6).

13.(22-23七年级下•河南洛阳・期末)如图，在平面直角坐标系中，点4B的坐标分别为(3,5),(3,0).将

线段48向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD,连接力C,BD.

(1)直接写出坐标：点C(，)，点D(,)；

(2)M,N分别是线段SB,CD上的动点，点M从点力出发向点B运动，速度为每秒1个单位长，点N从点D

出发向点C运，速为每秒0.5个单位长度，两点同时出发，求几秒后MN"轴？

(3)若点尸是x轴正半轴上一动点(不与点B重合)，问NDCP、NCP4与NP4B存在怎样的数量关系？请直

接写出结论.

【思路点拨】

(1)利用平移变换的性质求解；

(2)设t秒后MNII%轴，构建方程求解即可；

(3)分两种情形：①当点P在点B左侧时；②当点P在点B右侧时，利用平行线的性质分别求解即可.

【解题过程】

⑴解:由题意，可得C(-l,3),0(-1,-2).

故答案为：一1,3,-1,-2；

(2)设t秒后MN||x轴，如下图，贝XM=t,DN=0.5t,

・・弘(3,5)4(3,0),力(一1,一2),

.,.AB=5,DE=2,

;.BM—5—t,NE—0.5t—2,

・・・MN||%轴，

；.BM=NE,

5—t=0.5t—2,

解得t=y,

.•工=苧秒时，MN||x轴;

：./.PAB=乙APQ,

由平移的性质可知力B||CD,

■■CDWPQ,

：.Z.DCP=Z.CPQ,

：./.APQ+乙CPQ=^PAB+乙DCP,

BPZ.CPX=Z.DCP+"AB；

.•.Z-PAB=4APQ,

由平移的性质可知C0I4B,

■■PQWCD,

；ZDCP=乙CPQ=/.CPA+4ApQ,

即N。CP=/.CPA+"MB.

综上所述，乙DCP、NCP4与NP4B存在的数量关系为NDCP=NCP4+"4B或NCP4=NDCP+NP4B.

14.(2023八年级上•江苏•专题练习)在平面直角坐标系中，点A(a,5),B(h0),a,b满足，b+5

(1)求点4,B的坐标；

(2)如图1,平移线段4B至EF,使点/的对应点E落在y轴正半轴上，连接BF,AF.若SAABF=6,求点E

的坐标；

(3)如图2,平移线段A8至EF,点2的对应点E的坐标为(3,6),EF与y轴的正半轴交于点H,求点H的坐标.

【思路点拨】

本题考查的是坐标与图形面积，坐标系内点的平移规律，算术平方根的非负性的性质：

(1)根据非负数的性质先求解a,匕的值，从而可得答案；

(2)如图，过B作y轴的平行线，与过尸作x轴的平行线交于点N,M,设F(—4,冗)，结合S梯形-S.NB

—SQBMF=6,再建立方程求解即可；

(3)确定平移方式为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，可得F(-1,1),如图，过尸作x轴的平行

线与过E作y轴的平行线交于点Q,FQ与y轴交于点K,求解SAEFQ=[义4x5=10,设HK="，可得：

X1X72+[x(九+5)X3=10,再解方程可得答案；

熟练运用等面积法建立方程是解本题的关键.

【解题过程】

(1)解：•••vm>0,|a+1|>0,VFT5+|a+1|=0,

-a+1=0,b+5=0,

•*.a=—1,b=—5,

・・・/(—1,5),8(—5,0)；

(2)解：如图，过B作y轴的平行线，与过F作X轴的平行线交于点N,M,

则4至IJE向右平移了1个单位，8(—5,0),

设尸(-4#),

S梯形/NMF-S^ANB-S'BMF~6,

・••1(1+4)x(5-n)-1x4x5-1x1x(-n)=6,

7

・•・n=--,

7

•••F(-41)，

由平移的性质可得：E(0,5-今,即E(0给；

(3)解：•••4(—1,5),E(3,6),

•••平移方式为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，

•■•5(-5,0),

••.FC-1,1),

如图，过F作无轴的平行线与过E作y轴的平行线交于点Q,FQ与y轴交于点K,

11

SXEFQ=]X4x5—10,

・♦・设HK=n,

•••|xlxn+|x(n+5)x3=10,

解得：n=1,

59

：•OH=1+-=

44

9

“(0，》

15.(22-23七年级下•福建福州•期中)如图1,在平面直角坐标系中，点/、B在坐标轴上，其中4(0,①,

B(b,0),且满足|a—3|+-6—4=0.

(2)将线段平移到CD.点/的对应点是C(—4,0).点B的对应点是0.且C、。两点也在坐标轴上，过点

。作直线。Ml48,垂足为M,交CD于点、N.请在图1中画出图形，直接写出点。的坐标，并证明MNLCD；

(3)如图2,将48平移到C。、点N对应点C(—2,陶，连接4C、BC,8C交y轴于点E,若△力BC的面积等

于12,求点E的坐标及加的值.

【思路点拨】

(1)根据绝对值和算术平方根的非负性，求出。、6的值，即可得出答案；

(2)根据平移得出4BIICD,AB=CD,证明乙4B。=NDC。，根据AAS证明.•・△力。8三△D0C,得出

OA=OD=3；根据平行线的性质得出40NC=乙0MB=90°,即可得出MN1CD；

(3)过点C作CFly轴于点F,根据△ABC的面积等于12,求出。E=1即可；过B作BG1CF于G,过工作

•2

AH1BG于H,根据△力BC的面积等于12,求出。尸=右即可得出答案.

【解题过程】

(1)解：|a—3|+Vfa—4=0,

G—3=0,且b—4=0,

■■a—3,b—4,

点/的坐标为(0,3),点B的坐标为(4,0)；

(2)解：如图1,由平移的性质可知：AB\\CD,AB=CD,

图1

•・•OMA.ABf

.•"MB=90°,

.・ZONC=上OMB=90°,

・•・MNLCD；

•••将线段4B平移到CD,点4(0,3)的对应点是。(一4,0),即将线段48向左平移4个单位，向下平移3个单位;

故点8(4,0)的对应点。(0,-3).

(3)解：如图2,过点C作以'ly轴于点F,

由(1)可知,4、8两点的坐标为(0,3),(4,0),

OA=3,OB=4,

点c的坐标为(-2即)，

:.CF=2,OF=­m,

・・•△/BC的面积等于12,

A^^ACE+^AABE=12,

•••^AE-CF+^AE-OB=12,

即*3+OF)X2+|X(3+OE)x4=12,

解得：OE=1,

•・•点E的坐标为(0,—1)；

过B作BG1CF于G,过/作2H1BG于H,

则AHIICG,OF=BG,AH=尸G=OB=4,BH=。4=3,

•••CG=CF+FG=6,

•・•△ABC的面积等于12,

•••S梯形/HGC-S^ABH-S&BCG=^AABC=12,

即广(4+6)x(3+OF)—5x3x4—"6•。尸=12,

解得：OF=万,

3

•••—m=

3

m=--

即点E的坐标为（0,—1）,小的值为一看

16.（22-23七年级下•广东广州•阶段练习）如图所示，2（1,0）在x轴上、点8在y轴上，将AOAB沿x轴负

方向平移，平移后的图形为ADEC,且点C的坐标为（一3,2）.

（备用图）

（1）直接写出点E的坐标；

（2）在四边形48CD中，点P从点8出发，沿“BC-CD”移动.若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时

间为/秒，回答下列问题：

①当t=秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；

②求在运动过程中是否存在点尸，使得班的面积是△CB面积的一半，若存在，求出点尸的坐标：若

不存在，试说明理由；

③当3<t<5时，设4cBp=x。,NPAD=y。，ABPA=z°,试问x,y,z之间的数量关系能否确定？若能,

请用含x,y的式子表示z,写出过程；若不能，说明理由.

【思路点拨】

（1）根据平移的性质即可得到结论；

（2）①由点C的坐标为（一3,2）.得到BC=3,CD=2,由于点P的横坐标与纵坐标互为相反数；于是确定

点P在线段BC上，有PB=CD,即可得到结果；

②当点P在线段BC上时，由题意得BP=t,此时点P的坐标（一t,2）,根据△尸班的面积是△C45面积的一半，

得到孑X2=NN3X2,解得t=*即可得到点P坐标为（—Q）；当点P在线段CE上时，由题意得

CP=t-3,DP=5-t,DE=1,OE=2,此时点P的坐标（一3,5—t）,根据△尸班的面积是△C4B面积的一半，

得到3X2—邺等一等心一竽=3X《X3X2,解得t=*此时点P坐标为（一3,9，问题得解；

③在运动过程中存在点尸，使得匹的面积是aaB面积的一半，此时点P坐标为（—|,2）或（—3,故③

过P作PF11BC交28于尸，证明PF||AD,得到N1=乙CBP=£。，z2=/.DAP=y°,即可得到

Z.BPA=zl+Z2=x°+y°=z°,从而得到z=x+y.

【解题过程】

（1）解：••・点3在y轴上，点C的坐标为（一3,2）,AOAB沿x轴负方向平移，得至必DEC,

.•.△04B沿x轴负方向平移3个单位得到ADEC,

「点4的坐标是（1,0）,

.・•点E的坐标是（-2,0）；

故答案为:（-2,0）

（2）解：①••・点C的坐标为（-3,2）.

BC=3,CD—2,

,•,点P的横坐标与纵坐标互为相反数；

•••点P在线段8c上，

：.PB=CD,

即t=2

当t=2秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；

故答案为：2

②如图1,当点P在线段BC上时，由题意得BP=t,此时点P的坐标（一t,2）,

DEO\AxDE0\Ax

图1图2

■.APEB的面积是△CB面积的一半，

.-.|tx2=|x|x3x2

解得yI，

此时点P坐标为（―I，2）；

如图2,当点P在线段CE上时，由题意得CP=t—3,DP=5—t,DE=3—2=1,OE=2,此时点P的坐标

（—3,5—t）,

•:APEB的面积是△C48面积的一半，

...3*2—中—中—竽4x"3X2,

解得t=I，

此时点P坐标为（一3,（）.

答：在运动过程中存在点P,使得△PE2的面积是△C42面积的一半，此时点P坐标为（一|,2）或（-3,J；

③能确定.

如图3,过P作P