2024-2025学年河南省南阳市高二年级上册12月联考数学质量检测试题（含解析）

2024-2025学年河南省南阳市高二上学期12月联考数学质量检测

试题

一、单选题(本大题共8小题)

1.设x,yeR,向量M=行=(1,k1),3=(2,-4,2),且3工分，b//c，则|万+4

等于(

A.272B.3c.VioD.4

2.已知〃=(0,1,2),加),若Z，b，"共面，则加=()

A.0B.1C.2D.-1

3.已知空间三点/(o,2,3),3(-2,1,6),c(l,-1,5),则下列命题正确的是()

A.若M为/C的中点，则点M的坐标为

B.若四边形/BCD为平行四边形，则点。的坐标为(-1,-2,8)

C.向量方与向量衣夹角为120。

D.以4瓦/C为邻边的平行四边形面积为7方

4.已知〃=(3,a+6,a-b)(a,6eR)是直线/的方向向量，〃=(1,2,3)是平面a的法向量,

若/_La,贝！Ja+26=)

A,”39

B.——C.6D.-

222

5.已知直线/的一个方向向量为Z=(2,-3,1),平面a的一个法向量为1=(3,1,-3),则

直线/与平面。的关系是(

A.lC\a=PB.ILaC.I/laD./ua或///c

6.设向量&是平面a的法向量,向量，是直线团的方向向量，且〃贝!]“展力=0”

是“机||a”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.在正方体/BCD-///C/D/中，AB=a,AD=b，AAx=c,若E为DDi的中点，F

在AD上，且BF=2FD,则丽等于(

[-1r]一

C.——a——b+—cD.—a——b+—c

33223

8.棱长为1的正四面体力BCD中，点£是4。的中点，则瓦5.段=（）

二、多选题（本大题共3小题）

9.若｛@,瓦?［是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（）

A.a,2b>3cB.a+bb+c9c+a

C.a+2b2b+3c3a—9cD.a+b+c>B,c

10.下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（）

A.点/（-3,-1,2）与川3,-1,-2）点关于了轴对称

B.点尸（2,-2,0）与点。（2,2,0）关于z轴对称

C.点/（T-1,4）与点3（3,-1,-4）关于平面xOz对称

D.空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分

11.已知空间中三点/（0,1,1）,2（2,2,1）,C（2,1,0）,则（）

A.|就卜石

B.无方向上的单位向量是（0,g,5）

C.3=(1,-2,2)是平面/BC的一个法向量

D数在左上的投影向量的模为与

三、填空题(本大题共3小题)

12.已知向量Z=(2,0,3),S=(-1,1,2),则|加=,a+2b=.

13.设直线心4的方向向量分别为1=(-2,2,1),3=(3,-2,加)，若则

m=

14.如图，在正六棱柱N8CDE尸片中.

(2)化简：DE+E^+FD+BB.+A^=.

四、解答题(本大题共5小题)

15.已知空间三点/(一2,0,2),2(-1,1,2),C(-3,0,4),设£=益,石=工.

(1)求2];

⑵若向量忘+另与左£-2坂互相垂直，求实数人的值.

16.如图，在棱长为6的正四面体O-N8C中，2而=反，点£为4D的中点，设

OA=a>OB=b>OC^c.

(2)求OE的长.

17.如图，在正方体NBCD-44G2中，及尸,G分别是棱/2,BC,CD的中点.

(1)证明：EF//4G；

(2)证明：AXF±QE.

18.如图所示，在直二面角。-43-E中，四边形/8C。是边长为2的正方形,

且平面ACE.

(1)求证：/£_!.平面BCE；

(2)求证：平面3DF_L平面4BCD.

19.如图，在直三棱柱N3C-4耳G中，CA=CB=^AAt=1,BC1AC,P为&B上的

动点，。为棱CC的中点.

(1)设平面480n平面/3C=/,若尸为48的中点，求证：尸。〃/；

⑵设3尸=2网，问线段4台上是否存在点尸，使得/尸工平面印。？若存在，求出实

数2的值；若不存在，请说明理由.

答案

1.【正确答案】B

xxl+lxV+1x1=0C1

\X=l

【详解】由题可得IyInc，

ly=-2

〔2-42i

所以向量3=(w),6=(l,-2,l),所以「+5=(2,T,2),

所以B+同=J⑵2+(-1)2+⑵2=3.

故选：B.

2.【正确答案】D

【详解】因为〃,5,。共面，所以c=+

即(―1,0,m)=即0,1,2)+即—U,1)=(—%x+y,2x+y),

则jx+〉=0,解得x=_l,y=l,加=—1.

2x+y=

故选：D.

3.【正确答案】D

【详解】对于A,因为〃为NC的中点，所以M

即故A错误;

对于B,因为四边形为平行四边形，所以羽=皮,

由方=(一2,-1,3),设D(x,y,z),则祝=(1一了,一1一％5一),

x=3

解得卜=0,即。(3,0,2),故B错误;

所以<一1一>二一1

5—z=3z=2

对于C,由方=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),

则刀.衣;=-2+3+6=7，|词=而；，|就|=.，

——AB-AX：71

所以8S"，心画画=布而已

所以向量焉与向量衣夹角为60。，故C错误;

对于D,由C知，cosZBAC=60°,%,二"？，|^c|=V14,

所以以为邻边的平行四边形面积为：

2x-|Z§||^c|-sinZ^C=JTxJTx^-=T,故D正确.

故选：D.

4.【正确答案】D

【详解】因为Z=(3,a+仇Q-b)(a,b£R)是直线/的方向向量，3=(1,2,3)是平面。的法

向量，且/_La,

[一一,3a+ba—b匚匚”[。+6=6々刀，曰1573

则〃〃〃,则；=。=「，所以'\,C，解得a=k'b=_二,

123[a-b=922

因止匕，a+26=£+2x]-g]=：.

故选：D.

5.【正确答案】D

【详解】因为=(2,-3,1>(3,1,-3)=6-3-3=0,

所以£_L3，贝!|/uc或///a.

故选：D

6.【正确答案】C

【详解】因为展法=0o@_Li7,

由_L力''可以推出“加//a”,

由“加//a”也可以推出

故“方位=0”是“m〃a”的充要条件.

故选：C.

7.【正确答案】B

【详解】而=而_瓦=；丽=卜

故选：B.

8.【正确答案】A

【详解】因为赤=0+而，

所以西•屋=而(<3+荏)=BA-CA+BA^AE,

又网=i可=1,祠=1俾，s=m，（就码=彳,

-------->TT12兀1

所以BACE=Ixlxcos—+lx—xcos——=—.

3234

故选：A.

9.【正确答案】ABD

【详解】由已知a,b,己不共面，则2b>33不共面，A选项正确；

y=1

T^a+b=x^b+c^+y（c+a^=ya+xb+^c+y,即<x=l方程无解，

x+y=0

所以5+B,b+c,5+万不共面，B选项正确；

3n=l

设之+2*=加（2b+3cj+z?（33-9c）=3na+2mb+°加-9n,即<2m=2，解得：

3m-9“=0

m=1

<n=—1>

I3

即,+2Z^=（2*+3/）+§（37-9,），所以3+2b，2b+3c>31-93共面，C选项错误；

设3+5+3=痛+〃/,显然三个向量不共面，D选项正确；

故选：ABD.

10.【正确答案】AD

【详解】点/（-3,-1,2）关于了轴对称的点是（3,-1,-2）,所以A选项正确；

点尸（2,-2,0）关于z轴对称的点是（-2,2,0）,所以B选项错误；

点/（-3,-1,4）关于平面xOz对称的点是（-3,1,4）,所以C选项错误；

空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，所以D选项正

确.

故选：AD.

11.【正确答案】ACD

【详解】由题意：^C=（2,0,-l）,CS=（0,1,1）,5C=（O,-l,-l）.

对A：因为=不2。+（—1）2=V5,故A正确；

CB（0,1,1）（C）

对B：因为『可=一五l=1°，—]-，—，即C3方向上的单位向量是5=-丁,故B

错误；

对C：因为五•就=（1,-2,2）-（2,0,-1）=2-2=0,M-SC=（1-2,2）-（0,-1,-1）=2-2=0,

所以万_1就，k_L灰?成立，故:是平面43C的一个法向量，故C正确；

BC-AC.2,0-1亚

对D：由』-----p==——^=当，故D正确.

'—J7

\AC\A/2+15

故选：ACD

12.【正确答案】V6(0,2,7)

【详解】空1,因为向量1=(-1」,2),所以⑻=,(-1)2+12+22=遍；

空2,因为向量£=(2,0,3),5=(-1,1,2),

所以£+2办=(2,0,3)+2(-1,1,2)=(0,2,7).

故逐；(0,2,7).

13.【正确答案】10

【详解】由已知'，3即a/B，

贝!Ja-b=(-2)x3+2x(-2)+lxm=0,

解得加=10,

故答案为.10

UUUL.

14.【正确答案】ADX西

【详解】(1)丽-访-血+西+丽+市

AF+FE+AB+33^015+DC=AE+ABl+0

—AE+ED1—ADX.

(2)读+丽+而+西+适

=DE+EF+FD+BB[+B、D[

=DF+FD+BDi=0+BDi=BDi

故语;西

15.【正确答案】(1)-1

(2)4=2或后=_g

【分析】(1)先求出£花的坐标，再利用向量数量积的坐标公式计算即得；

(2)先求出|印,|〜和13，再利用向量垂直的充要条件列出方程，代入化简计算即

得左值.

【详解】(1)由题意，£=刀=(1,1,0),1=而=(-1,0,2),则

a.S=(l,l,0).(-l,0,2)=-l；

(2)由(1)可得|a|=5|=追，

因向量的+石与石-25互相垂直，则得：

(ka+b)-(ka-2b)=k2\a^-ka-b-2\b^2k2+k-10=0,

解得，k=2或k=3

2

—►1一1-]一

16.【正确答案】(1)。£=立+/+于

236

(2)730

【详解】(1)解：依题意，OE=OA+AE=OA+^AD=OA-^(OD-04

=-OA+-OD=-04-^(OB+BD)=」方J砺J反

2222226

=-OA+^OB+-(pC-OB)

226

1一11一

——U.H—b7H----C,

236

—>1-1一1一

即OE=—4+—6+—c.

236

(2)解：因为|西『=(g@+gB+gc)2=;同2+詈,2+!同

=9+4+6+-^-x|a|x|^|xcosj-+^-x|c|x|z)|xcosy+-^-x|a|x|c|xcosy=30,

所以巧卜胸，即0£的长相.

17.【正确答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【详解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2,则

£(2,1,0),尸(1,2,0)，4(2,0,2),。工0,2,2),

故配=(-2,2,0),丽=(-1,1,0),

由于布>2方，故而//而，显然E尸，4G不重合，故E尸〃4G；；

故砺•年=(-1,2-2).(2-1-2)=-2-2+4=0,

因此好_L*,故4尸_L£E

18.【正确答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【详解】(1)为正方形，ABCVAB,

「二面角为直二面角，BC_L平面4EB,

以线段的中点为原点O,0E所在直线为x轴，所在直线为了轴,

过。点平行于/。的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系。-孙z,

则40,-1,0),5(0,1,0),C(0,l,2),£)(0,-1,2),

设双尤0,0,0)(%>0),

•.•尸为CE上的点，^C=(-x0,l,2),

：.^EF=AEC=(-2x0,2,22),/.^((l-A)x0,A,22),

BF=((1—^)x0,A—1,2A),AC=(0,2,2),AE=(x0,l,0),

VSFliFffiACE,AE、NCu平面/C£,.,.而•就=2(4-1)+42=0,

S.BF-AE=(l-A)x^+A-l=0,解得%=1,A=1,A£(1,0,0),F(|,1,|),

所以2g=(1,1,0),砺=(-1,1,0),AAE-BE=0,AE1BE,

；BC_L平面/即，NEu平面/£3,/.BCLAE,

又BCcBE=B,BC、BEu平面BCE,/E_L平面BCE；

(2)由题意可知，平面48C。的法向量为瓦=(1,0,0),

__222__►

设面BDF的法向量为加=(%//),