2024-2025学年人教版高二数学上学期第三次月考卷（选修1~3章：空间向量与立体几何+平面解析几何+排列组合与二项式定理）（全解全析）

2024-2025学年高二数学上学期第三次月考卷（人教

B版2019）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教B版2019选修第一章占比20%（空间向量与立体几何），第二章占比56%（平面

解析几何），第三章占比24%（排列组合与二项式定理）。

5.难度系数：0.60o

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.将直线4：x-y+i=o绕点（01）逆时针旋转90。得到直线小则4的方程是（）

A.x+y-2=0B.x+y-l=0C.2x-y+2=0D.2x-y+l=0

【答案】B

【详解】・.•直线4的方程为4：x->+i=o,其斜率为1,设直线。的斜率为左，v/^4，=

由题意可知,（0,1）G1],（0,1）£4，二•4的方程为：歹一1二一（%—。），即工+y一1=0.故选：B.

2.已知抛物线V=2px（p>0）的焦点为尸，抛物线上一点尸CM）满足户可=2,则抛物线方程为（）

A./=；尤B.r=gxC.y2=2xD.y1=4x

【答案】D

【详解】由题意，得1+勺2,即。=2,所以抛物线方程为/=4x.故选：D.

3.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次（无并列情况）.甲、乙、

丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是

第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（）

A.44B.46C.48D.54

【答案】B

【详解】解法一：多重限制的排列问题：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲

的限制最多，故以甲为优先元素分类计数，甲的排位有可能是第二、三、四3种情况：①甲排第二位，乙

排第三、四、五位，包含丙的余下3人有A：种排法，则有lx3xA；=18；②甲排第三、四位，乙排第二位,

包含丙的余下3人有A；种排法，则有2xlxA；=12；③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2种排

法，丙不排第二位，有2种排法，余下2人有A；种排法，则有2x2x2xA；=16；综上，该5名同学可能的

名次排情况种数为18+12+16=46种.

4.过点*4,2）向圆+一2y+l=0作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）

710443

A.—B.——C.-D.-

10555

【答案】C

【详解】由一一2工+/一2>+1=0,得（x-lp+S-厅=1,所以圆心为半径为r=l,

设切点分别为伉C,连接尸工,如图，

则ZBPC为两切线的夹角，由于|尸/|=7（4-1）2+（2-1）2=屈,

所以sin/4P8=g^=与，由二倍角公式可得cos/CP8=l-2sin2/ZP8=1-2x[3]=-.故选：C.

5.已知平行六面体"CD-48c2的各棱长均为1,N44B="4D=60。,/DAB=90°,则|布卜

A.V3B.V5C.V2D.V2+1

【答案】B

【详解】取｛方，亚，五。为空间向量的基底，因为I9I=I痛I=I河I=1,=90。，=60。，

所以方•罚=0，4=；.因为葡二万+而+麴，所以=（方+通+石『

,2.2，，*2.“►‘‘・»，》.

=AB+AD+44+2ABAD+2AB-AA.+2ADAA,=1+1+1+0+1+1=5,

所以|何卜后故选：B

6.已知耳£分别是双曲线E:二-尤=1的左、右焦点，M是E的左支上一点，过月作N邛鸣角平分线的

412一一

垂线，垂足为N,。为坐标原点，则|ON|=（）

A.4B.2C.3D.1

【答案】B

22

【详解】双曲线上-匕=1的实半轴长为a=2,

412

延长巴N交直线叫于点〃，

由题意有=加印=|八与|,又。是片耳中点，所以

\ON\=^FxH\=^[\MH\-\MF^=^MF^-\MF^=a=2,故选：B.

7.如图，在四棱锥E-/8CD中，EC,底面4BCD,底面4B8为正方形，。为底面488的中心，P为

CE的中点，且EC=3C=1,则点O到直线。尸的距离为（）

E

D.叵

105

【答案】B

/_、2

------»2

故点O到直线。尸的距离为DO-.故选：B.

〔\DP\]

r22

8.已知点尸为椭圆C:一+—=1上任意一点，直线I过OM:r+J?_©+3=0的圆心且与QM交于4B两

1612

点，则万.旃的取值范围是()

A.[3,35]B.[2,34]C.[2,36]D.[4,36]

【答案】A

22

【详解】。":/+/-©+3=0,gp(x-2)2+y2=l,则圆心M(2,0),半径为L椭圆方程,+3=1,

/=16万=12,则c2=a2_/=i6-12=4,c=2,则圆心肠(2,0)为椭圆的焦点，由题意48的圆的直径，且

|在|=2如图，连接PM,由题意知M为48中点，贝1」疝=一筱，可得

PAPB=(PM+MAy[PM+MB^=(PM+MB)=|两『话『=|两『-点尸为椭圆

22

。:上+匕=1上任意一点，则|尸M'=a-c=2,\PM\=a+c=6,由24PM<6,得

[6]2IminIImaxII

莎.丽=|同7/_]<3,35],故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知N*）展开式中共有8项.则该展开式结论正确的是（）

8

3

A.所有项的二项式系数和为128B.所有项的系数和为

C.系数最大项为第2项D.有理项共有4项

【答案】AD

n

【详解】A项，因为的展开式共有8项，所以〃=7.故所有项的二项式系数和为2,=128,故A

正确；B项，令x=l,可得所有项的系数和为11+g]，故B错误；因为二项展开式的通项公式为:

r=0,l,2,•・・,7.C项,当rEN*,1V-46,设北讨项系数最大,

解得；则厂=2,且"=&[£|<4=日尤4,第3项系数为系.当r=0时,

r>—

[3

"系数为1；当I时’小C也<1\一7_Z1_Z系数为1市由市1<7小1勺91故第3项的系

数最大；故C错误；D项，由7-5为整数，且「=0,1,2,…,7可知，厂的值可以为：0,2,4,6,所以二项

展开式中，有理项共有4项，故D正确.故选：AD.

10.如图，在平行六面体48。＞一45£2中，已知=40=/4=1，24"="AB=NB4D=60",E

为棱CG上一点，且4=2反，则()

A.BD\=EB.直线与/C所成角的余弦值为逅

6

71

C.4£，平面5。。4D.直线3R与平面/CG4所成角为一

4

【答案】ABD

，”—►,,一»—»，♦»―►-*—*—►—►—*—*—*—*I

【详解】不妨设/8=见/。=4/4=0,则|4|=|6]=|°|=1,〃・6=6・0=。・0=].对于人，因

BD、=BD+DD]=6—Q+c,故[BO]『=(6—5+3)=|3|2+|fe|2+|c|2+2(—5,b+b•c—3,cj

=3+2x]-gj=2,故5D]=C,故A正确；对于B,因西'=-Z+B+cJ,AC=a+bJ'J

Iy4C|=j(a+b)2=y/3,

AC•BD、=(a+b)-(-a+b+c)=-\a^+a-b+a-c-a-b+\b^+b-c=~i+^+i+^=I,AC所成

角为e，则cos"篇吸=/y造，故B正确;对于C,因

\AC\-\BD{\V3XV26

AXE=4G+C[E=a+b——c,DD{=c,

2

A^E-DDx=^+b一一c)-c=a-c+b-c-—|c|=-+-------=—A0,即4£与。D|不垂直，故同£不与平面

332233

垂直，故C错误；对于D,因赤=5%,%=£+瓦•=",因丽•就=0—芬(£+分=0,

BD-AAX=(JD—a)-c=0,则有8。_L_L44,因ZCc44=4/。,力41平面，故平面

ZC£4,即平面ZCG4的法向量可取为［二石“，又西=1+3+入设直线5,与平面/。£4所成角为

0,因几=（5一Q）•（-Q+刃+c）=l,|H|=1,|BDX|=V2,贝!Jsin"=1cos〈%5n〉|=—=^-,因

lxV22

ITTT

^6（0,-］,故夕=“故D正确.故选：ABD.

22

11.已知椭圆C:?+}=l（2>6>0）的左、右焦点分别为片、F2,上顶点为8,动点P在椭圆C上，则下

列描述正确的有（）

A.若APK耳的周长为6,则6=g

B.若当/耳时时，A尸耳耳的内切圆半径为且，则6=若

C.若存在尸点，使得理,程，贝

D.若|/码的最大值为2太则此［行,2）

【答案】ABD

22

【详解】对于A,由椭圆。:工+2=1（2>6>0）,可得。=2,因为人尸与耳的周长为6,所以2a+2c=6,解

4b

得C=l,因为所以4=1,解得b=G，故A正确；对于B,由。=2,可得

JT

|P耳|+|”|=2。=4,当/耳尸耳=§时，由余弦定理可得

（）2222

2c=|F\F?|=|^|+|P^|-2\PFX\-\PF2\COS出P*

=（|即|+|尸乙|）2-3|尸片卜|桃14a2_3|WH%I，则3|尸片「［打j=4/一4°2=462,解得

22

\PFl\-\PF2\=^b,所以‘收--1|.|PF,|.sinZF{PF2=—b,又△尸耳片的内切圆半径为",

所以S“F囱=；（|P百|+|神|+|月耳>，=，（2+。），所以，（2+°）=，/，所以2+C="=22-C"解

得。=-2（舍去）或c=l,所以b=g,故B正确；对于C,若PFJPF”则以。为圆心，c为半径的圆

与椭圆有交点，则6Wc,所以/WeZ,所以/4/-〃=4-〃，解得0<此后，所以存在尸点，使得刊「尸£,

则此（0,伪,故C错误；对于D,设尸（无,垃3（0力），

IPB|=7（X-O）2+（J-Z>）2=1（1_5）+（卜斤=+/+4

=「齐。-+）2-六+62+；=/（1-*）。-蜡/一喜+6二；又因为4Wy<6,因为下顶

11下1一手

点到上顶点的距离为26,又|P耳的最大值为26,故了=-6时取最大值，所以蜡解得后“<2,

故D正确.故选：ABD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知三棱锥尸-4BC的四个面是全等的等腰三角形，且PA=4C,PB=AB=2布,。为48中点,

PE=3EC,则二面角尸-。后-/的余弦值为.

2^/105

【答案】

35

【详解】由题意可知，三棱锥尸-N3C的四个面是全等的等腰三角形，且PA=46,PB=AB=2^,

则该三棱锥尸-ABC可补形为如图所示的长方体尸HCG-四Z4,

S.PA=BC=442,PB=AB=PC=AC=2y/5,

FA2+FP2+PA2=32FA=4

贝情（甘+川+江

=20,解得，尸尸=4,

FP2+FB2+AC2=20FB=2

以工尸,NT,NG分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则尸(4,0,4),4(0,0,0),3(4,2,0),

因为。为褴中点，PE=3EC，所以。（2,1,0）,£1|，4

所以益=（2,1,0）,反=而=（一2,1,-4）.

设平面E4D的法向量为］=区,必,4）,

2x+必=0

n,•AD=01

则」—

nx.DE=0

令％]=2,则必=—4,Z]=1,

则nx=（2,-4,1）为平面EAD的一个法向量.

设平面D即的法向量为%=（%2，歹2/2），

-----►

%,DE=0-X?+—力+4z2—0

则2一,即

nDP=0

2—2%2+%—4z2=0

令尤2=1,则必=2,z2=0,则“2=(1,2,0)为平面DE尸的一个法向量.

2—22222

所以=lx2+2x(―4)+1x0=—6,匐=^2+(4)+1=,|n2|=Vl+2+0=#).

设二面角尸-Z)E-N为a,由图可知a为锐角，

.可627105

同同721x7535

则二面角尸-OE-/的余弦值3晅.

35

故答案为：口叵.

35

13.设集合/是由所有满足下面两个条件的有序数组（占,尤2，£,匕户5，、6）构成：①x,e{-l,0,l}；②

1<|xj|+|x21+|x31+|x41+|x51+|x61<3；则集合/中的元素共有个.

【答案】232

【详解】当闻+闯+国+同+闫+同=1时,匕（7=1,2,3,4,5,6）有五个数是0,

另一个数为1或-1,这样（%,马用/4，%,%）有仁仁=12个；

当|西|十,21+|覆|+X|+|看|+X|=2时,x,。=1,2,3,4,5,6）中有四个数是0,

另两个数为两个1或两个-1或一个1和一个-1,

这样（再,乙/3，匕,0%）有亡+屐+人：=60个；

当㈤+闯+国+闯+国+同=3时,尤,6=1,2,3,4,5,6）中有三个数是0,

另三个数为三个1或三个-1或一个1和两个-1或两个1和一个-1,

这样（占户2，工3，工4，%，%）有亡+或+2*（2汜：=160个；

综上集合/中的元素共有232个.

故答案为：232

14.已知双曲线C*-点=1（。>0/>0）的焦距为4后，离心率为2,则双曲线的方程为.记片，8分

别为双曲线C的左、右焦点，过耳作直线/与双曲线C的右支交于42两点.设。,2分别为，ABFE

的内心，则|aal的取值范围是.

【答案】--^=112近,于

26L3）

22

【详解】因为双曲线C:三-右=1（。>0,6>0）的焦距为40,离心率为2,

ab

所以c=20，£=2,所以/=2,/=8一2=6,

a

22

所以双曲线的方程为土-匕=1;

记/耳，/鸟,耳耳上的切点分别为此N,E,有Q,E横坐标相等，

则\AM\=\AN\\FVM\=闺矶隹N|=\F2E\,由|/片|一|/用=2a,

即|/叫+|班卜（.时+|例|）=20,^\MF^-\NF^=2a,即闺同-|耳目=2°,

记Q的横坐标为％,则E（%,0）,于是Xo+c-（c-Xo）=2a,得x0=a,

同理可得，内心a的横坐标也为。，则有轴，设直线池的倾斜角为夕,

0n

则NOgQ=5，^OF2Oi=90°--,

.2。2。

sin耳+cos§2(c—a)20

在△Of中,|。1。2|=(0-Q)tan-^+tan^90°

-8cz°sin0sin6

som—cos—

22

由于直线/与双曲线。的右支交于a3两点，且一条渐近线的斜率为百，倾斜角为60。,

可得60°<。<120°,BP—<sin<9<l,所以2夜4益2<逑,

2sin63

所以|。02曲取值范围是

故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）已知（〃为正整数）.

⑴若c：+C；+C：+…+C：=64,求该式的展开式中所有项的系数之和;

⑵若C'+CF=465,求该式的展开式中无理项的个数；

（3）若〃=20,求该式的展开式中系数最大的项.

【详解】（1）由2”=C：+C；+C；+…+C：=64可得〃=6,令x=l可得（2-；]=16=1,所以展开式中所有项

的系数之和为1；------------------------------------------------------------------------------------------------4分

（2）若C：+C：2=465,则“+”7=465,解得〃=30,或“=-31舍去，

30_/[Y30—5,

/]、30

，3（,,

设的通项为&1=&0（2«）=（-l）,C；02-x-,

且re{0』,2,…,30},

所以当『=1,3,5,…,29时可得展开式中的无理项，所以共有15个无理项；-----------8分

/]\2020-r（1\r20-5r

20r

（3）设2百_”的通项为却|=C；。（2f卜至=（-1/C^02-x~,

且re{0,1,2,…,20},

最大的项『为偶数,

2022r

C'2O2-''>C^2-

则解得r=6,

C：o22fC片2』

20-30

206x~

T7=CIO2-=635043840x3,

所以展开式中系数最大的项为A=635043840^5.----------------------------------------------------13分

16.（15分）在Rt^4BC中，/C为直角，/C=2BC=6,点。,E分别在边/C和48上，且DE〃

BC,CD=2,如图甲.将△/£»£沿折起到△其■的位置，使4c点M在棱4。上，如图乙.

⑴求证：4c，平面3cDE；

⑵若“是4。的中点，求CN与平面4AE1所成角的大小；

（3）若平面5cM与平面48E的夹角的余弦值为篝，求需的值.

【详解】（1）证明：••・在图甲中，AC1BC,DE//BC,:.DELAC,在图乙中，DE±A,D,DELCD,

又AtDP\CD=D,gCDu平面4cD,/.DE±平面A.CD,■：4cu平面&CD,DE±4c,

X4C±CD,CD^DE=D,CD,DEBCDE,平面8CDE；------------------------4分

（2）由（1）可如图建立空间直角坐标系,

则C（0,0,0）,0（2,0,0）,£（2,2,0）,8（0,3,0）,4（0,0,2道），川（1,0,君）,

设平面48E的法向量为元=(x,y,z),

n-4B=3y-2^3z=0,

令尸2得为=(1,2,回

设CM与平面4BE所成角的大小为0,

472

20x2-2

TT7T

即CM与平面48E所成角的大小为:；----------------------------------9分

44

(3)。=(0,3,0),砺=(2,0,-2百)，豆=(0,0,2月).

设观=4丽,04241,则由=/+斓=卞+2而=(2尢0,2/(1_2)).

设平面3cM的法向量为比=(。,ac),

m-CB=3b^0,

解得6=0,

m-CM=22fl+2^(l-2)c=0,

令c=2,得0=百(九一1),故而=(血(力-1),0,4,

|V3(22-1)|

2V2X73(2-1)2+A228

解得几=：1或：2，

所以聋的值为;或!■.----------------------------------------------------------------15分

43

17.(15分)已知圆C的圆心是直线x+y-3=0与直线x+2y-4=0的交点，且和直线x+l=0相切，直线

/:(m+2)x+(l-2m)y-10=0,直线/与圆C相交于尸，0两点.

(1)求圆C的标准方程；

(2)求直线/所过的定点；

(3)当A。。的面积最大时，求直线/的方程.

[x+y-3=0\x=2/、

【详解】(1)\x+2y_4=Q^\y=l,圆C的圆心的圆心坐标为(2』)，且和直线X+1=O相切,

所以圆C的半径为2-(-1)=3,

所以圆C的标准方程为C:(X-2)2+(J-1)2=9：----------------------------------------------------------4分

(2)由(加+2)x+(l-2加)y-10=0,得加(x-2y)+2x+y—10=0,

x-2y=0Jx=4

由区+"]0=00jy=2，

.•.直线/过定点。(4,2)；------------------------------------------------------------------------------------------------9分

(3)♦.•邑02=30尸卜|。。卜五11//^。，.・.当/尸。。=90。时，AC尸。面积最大,

此时ACP。为等腰直角三角形，故圆心到直线/的距离1=1,=3后,

22

()

・•・|X2m+42++l-…2m-1)02|=53亿r-解得机=±屋1

・••止匕时/的方程为：7x+y—30=0或x+y—6=0.----------------------------------------------------------15分

18.(17分)已知椭圆喏+f1=l(a>6>0)经过点小卷)，且离心率为;.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若/,3是椭圆C上关于坐标原点。对称的两点，点。(4,0),连结可并延长交C于点M,连结D8交

C于点N.

①若/为线段。/的中点，求点N的坐标;

②设ADMN,的面积分别为y，S2,若"=:,求线段O/的长.

cl

a2

【详解】(1)由已知得

a=2

解得卜=g,

C=1

所以椭圆的方程是《+武=1.-------------------------------------------------------------------------------------------------

4分

43

(2)(1)设4(%o，yo),O(4,0),・・・M(2%—4,2%)

yjk

由z,河均在椭圆c±,

22

至+区=1

,I43

(2x。-4)-4疗

143

解得，y0=±^~,

-o

(+匹

A1，—

148J8分

x—4

(2)设ZM方程为x=my+4,^(xo,yo),5(-xo,-jo),r>(4,O),m=-^-----,

•Vo

x=my+4

得3(m2y2+8my+16)+4y2=12(3m2+4)/+24my+36=0,

3x2+4/=12

36=36=364=364=3/

3/+43『一4J“3(x：-8x°+16)+4y；60-24/5-2x0,

3%

：.y

M5—2XQ

y.V=36=36:=36」=3/

B

同理,N(%0+4?!?|3(x；+8xo+16)+4*60+24/5+2x0

—3%

<q-DMDNsmZMDN

・3__、ADMN__2__________________

邑S.DAB-DA-DBsinZADB

2

^DMDNyN_9=9=3

DADBy0-yQ(5-2x0)(5+2x0)25-4x；7

19.（17分）在平面内，若直线/将多边形分为两部分，多边形在/两侧的顶点到直线/的距离之和相等，

22

则称/为多边形的一条“等线”.双曲线氏、-与=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为片、F2,其离心率为

ab

2,且点P为双曲线E右支上一动点，直线机与曲线E相切于点P,且与E的渐近线交于A、B两点,且

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点A在点5上方.当轴时，直线了=1为，耳耳的等线.已知双曲线氏*-彳=1.>0,6>0）在其

上一点尸（x°,%）处的切线方程为苦一等=1.

⑴求双曲线E的方程；

⑵若昨岳是四边形AF\BF2的等线，求四边形AFtBF2的面积；

（3）已知。为坐标原点，设标=，点G的轨迹为曲线T,证明：「在点G处的切线〃为△/片区的等线.

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【详解】⑴解：在双曲线E邑-2=1（。>0/>0）的方程中，令x=c,解得尸士幺，

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