高一数学讲义（人教A版2019）12集合间的基本关系（七大题型）

1．2集合间的基本关系目录TOC\o"12"\h\z\u【题型归纳目录】 3【思维导图】 3【知识点梳理】 3【典型例题】 4题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 4题型二：韦恩图及其应用 6题型三：由集合间的关系求参数的范围 8题型四：集合间的基本关系 10题型五：判断两集合是否相等 13题型六：根据两集合相等求参数 14题型七：空集的性质 16

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一．集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集．记作：读作：A包含于B（或B包含A）．图示：（2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等．记作：读作：A等于B．图示：知识点诠释：（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．（2）当不是的子集时，我们记作“（或）”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．知识点二．真子集若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集．记作：A⫋B（或BA）读作：A真包含于B（或B真包含A）知识点三．空集不含有任何元素的集合称为空集，记作：．规定：空集是任何集合的子集．结论：（1）（类比）（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）若则（类比，则）（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0．【典型例题】题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题【典例11】（2024·江苏南京·三模）集合的子集个数为（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】D【解析】由题意，得,故集合A子集个数为个.故选：D.【典例12】（2024·高一·广东梅州·开学考试）集合的真子集的个数是（

）A．4 B．3 C．8 D．7【答案】D【解析】由题可得：，所以集合的真子集个数为；故选：D【方法技巧与总结】（分类讨论是写出所有子集的方法）1、分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏．2、若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用．【变式11】（1）写出集合的子集和真子集．（2）写出集合的所有子集和真子集．（3）写出集合的所有子集和真子集．【解析】（1）子集：，；真子集：；（2）子集：，，，；真子集：，，；（3）子集：，，，，，，，；真子集：，，，，，，．【变式12】（2024·高一·福建泉州·阶段练习）已知集合.(1)写出集合M的子集、真子集;(2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数;(3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?【解析】（1）由题意可知，所以其子集为：，真子集为；（2）由题意可知，所以其子集为：，共个，真子集为：，共个，非空真子集为：，共个；（3）由（1），（2）可猜想含有n个元素的集合其子集个数为个，真子集个数为个，非空真子集个数为个.【变式13】（2024·高一·云南昆明·期中）已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】，又，，故集合为包含元素和，且为的子集，故集合可以为：，则集合的个数是个.故选：B.题型二：韦恩图及其应用【典例21】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意得．故选：C【典例22】（2024·高一·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】，又，所以⫋，选项B符合，故选：B.【方法技巧与总结】Venn是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用．【变式21】（2024·高一·河南新乡·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意得：由题意得，所以N是M的真子集．故选：B【变式22】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={1，0}和N={x|x2x=0}关系的韦恩(Venn)图是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】化简集合，判断集合没有包含关系，即可得出答案.，集合没有包含关系故选：A题型三：由集合间的关系求参数的范围【典例31】（2024·高一·上海杨浦·期中）已知集合，集合.(1)若，求实数的取值范围(2)若，求实数的值【解析】（1）若，则，即实数的取值范围为；（2）若，则即实数的值为2.【典例32】（2024·高一·上海·课堂例）已知集合，且，且.求实数k的取值范围.【解析】因为，当，即时，，满足条件；当，即时，有，解得，此时；综上所述，实数的取值范围为，故的范围为.【方法技巧与总结】（根据集合之间关系，求参数的值或范围）1、求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示．2、涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视．【变式31】（2024·高一·上海·课堂例）已知集合，.是否存在实数，使得？若存在，求a的值；若不存在，说明理由.【解析】因为，，，所以1是的根，即，解得，当时，，符合，故存在，使得.【变式32】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）已知，若，求a的取值范围．【解析】①若为空集，则，解得；②若为单元素集合，则，解得，将代入方程，得，解得，所以，符合要求；③若为双元素集合，则，即，此时，即，解得；综上所述，或.【变式33】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，．(1)若，求m的取值范围．(2)若，求m的取值范围．【解析】（1）若，如图所示，则，解得，所以m的取值范围为；（2）若，有和两种情况，当时，，解得，当时，如图所示，则，解得，综上，m的取值范围为．【变式34】（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根.(1)若，求出实数的值；(2)若，求实数的取值范围.【解析】（1）因为，故，又的两根分别为，故，故；（2）因为，故，又的两根分别为，故，解得，故实数的取值范围是.题型四：集合间的基本关系【典例41】（2024·高三·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①，②⫋，③，④正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确；对于②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以⫋，故②正确；对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为，两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误；对于④：因为集合的元素为，集合的元素为，两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误；综上所述：正确的个数为2.故选：B.【典例42】（2024·高一·全国·课前预习）已知是正数，是正整数，是实数，那么之间的关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】集合的关系如图：故选：B.【方法技巧与总结】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的．这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）．【变式41】（2024·高三·河北唐山·阶段练习）已知集合，则下列表述正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由,得,所以，故C正确；对于A,故A错误；对于B,,故B错误；对于D,故D错误.故选：C.【变式42】（2024·高一·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】任取，则，，所以，所以，任取，则，，所以，所以，所以，任取，则，，所以，所以，又，，所以，所以，故选：C.【变式43】（多选题）（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，，下列说法正确的是（

）A．不存在实数使得B．当时，C．当时，D．存在实数使得【答案】AD【解析】选项A：若集合，则有，因为此方程组无解，所以不存在实数使得集合，故选项A正确.选项B：当时，，不满足，故选项B错误.若，则①当时，有，；②当时，有此方程组无实数解；所以若，则有，故选项C错误，选项D正确.故选：AD.题型五：判断两集合是否相等【典例51】（2024·高一·上海·随堂练习）下列集合，，，中，有一个与众不同的集合是（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】易知，，，只有B表示，其它A、C、D均表示，B与众不同．故选：B【典例52】（2024·高一·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（

）A．整数，整数集B．，C．，D．，【答案】C【解析】A选项，整数中的元素是整数，整数集中的元素是整数集，故不是同一集合；B选项，中的元素是，中的元素是，故不是同一集合；C选项，与都表示直线上的所有点，故是同一集合；D选项，中的元素是数1，2，中的元素是有序数对，故不是同一集合；故选：C.【方法技巧与总结】判断两集合是否相等，关键在于确认它们是否拥有完全相同的元素，即两个集合中的每一个元素都能在另一个集合中找到，且元素的数量也相同。不考虑元素的排列顺序，只关注元素的存在性和数量。若满足这些条件，则两个集合相等。【变式51】（2024·高一·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】A：根据集合元素具有无序性，则，故A正确；B：和是不同元素，故B错误；C：图为中的元素是有序实数对，而中的元素是实数，所以C错误；D：因为中有两个元素，即4，3，而中有一个元素，即，所以D错误.故选：A【变式52】（2024·高一·湖北宜昌·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】A选项：与不是同一个点，A选项错误；B选项：集合是点集，集合是数集，B选项错误；C选项：根据集合中元素的无序性可知，是同一个集合，C选项正确；D选项：集合是数集，集合是点集，D选项错误；故选：C.题型六：根据两集合相等求参数【典例61】（2024·高三·湖南常德·阶段练习）若集合，则．【答案】【解析】因为，可得，所以，当时，，显然不成立；所以，解得或（舍去），所以.故答案为：.【典例62】（2024·高一·全国·课后作业）已知集合A含有两个元素1和2，集合B表示方程的解组成的集合，且集合A与集合B是同一个集合，则a＝；b＝．【答案】－32【解析】因为集合A与集合B是同一个集合，且，所以，即1，2是方程的两个实数根，所以，解得.故答案为：，2【变式61】（2024·高一·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则.【答案】【解析】依题意可知，由于，所以，此时，所以，解得或（舍去），所以.故答案为：.【变式62】（2024·高一·全国·竞赛）已知，若集合，则.【答案】2【解析】因为，所以，于是可得或，由得，而无解，所以，所以=2.故答案为：2【变式63】已知集合，其中，若，则．【答案】【解析】，即，又，所以，解得，当时，，与元素的互异性矛盾，所以．时，符合要求，故答案为：【方法技巧与总结】根据两集合相等求参数，关键在于利用集合相等的定义：两个集合相等当且仅当它们拥有完全相同的元素。这意味着，我们可以通过比较两个集合的元素，建立等式或不等式关系，进而求解参数。求解过程中，需要确保集合中的元素满足相等条件，从而解出参数的值。题型七：空集的性质【典例71】（2024·高一·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】根据元素与集合、集合与集合关系：是的一个元素，故，①正确；是任何非空集合的真子集，故、，②③正确；没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确；所以①②③④⑥正确.故选：C【典例72】（2024·广东·一模）下列各式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A选项，的表示格式不对，元素与集合间用，不能用等号，故A不正确；对于B选项,正确，因为事任何集合的子集；对于C选项,因为事任何集合的子集,所以有，故C不正确；对于D选项,由于空集中没有任何元素，所以事错误的，故D不正确，故选B.【方法技巧与总结】空集是特殊的集合，它不包含任何