2023届高考数学特训营第4节-直线与圆、圆与圆的位置关系

第八单元第4节直线与圆、圆与圆的位置关系2023届1《高考特训营》·数学课程标准解读命题方向数学素养1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题1.直线与圆位置关系的判断逻辑推理数学运算直观想象2.圆的弦长问题3.圆的切线问题4.圆与圆的位置关系0102知识特训能力特训01知识特训知识必记拓展链接对点训练

Δ＜0Δ＞0

d＝r

d＝R＋r

d＝R－r

两组实数解40[思考]

若两圆相交，如何求公共弦所在直线方程？点拨：从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．[探究]

圆系方程有哪几种形式？点拨：(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0；(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．[注意]

该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解．1．[生活拓展]唐诗中的直线和圆“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片．2．[思想方法]类比思想及应用(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)·(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

1．[易错诊断]若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________．2．[教材改编]已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为________．答案：x＝3或4x＋3y－15＝0

A4．[真题体验](2021·新高考全国Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则下列说法正确的是(

)A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2ACD

所以点P到直线AB的距离小于10，但不一定大于2，故A正确，B错误；如图，当过B的直线与圆相切时，满足∠PBA最小或最大(P点位于P1时∠PBA最小，位于P2时∠PBA最大)，02能力特训特训点1特训点2特训点3特训点4[题组·冲关]1．(2022·山东省押题卷)已知直线ax＋by＋c＝0过点M(cosα，sinα)，则(

)A．a2＋b2≤1 B．a2＋b2≥1C．a2＋b2≤c2 D．a2＋b2≥c2解析：由cos2α＋sin2α＝1，可得点M在单位圆x2＋y2＝1上，所以直线ax＋by＋c＝0和圆x2＋y2＝1有公共点．特训点1直线与圆位置关系的判定【自主冲关类】D2．(多选题)(2022·河北二模)已知直线l：kx＋y＝0与圆M：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则下列说法正确的是(

)A．直线l与圆M一定相交B．若k＝0，则直线l与圆M相切C．当k＝－1时，直线l与圆M的相交弦最长解析：因为M：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，配方得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆M是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆．对于A，因为直线l：kx＋y＝0，直线l过原点，02＋02－2×0－2×0＋1>0，原点在圆外，所以直线l与圆M不一定相交，故错误；BCD对于B，若k＝0，则直线l：y＝0，直线l与圆M相切，故正确；对于C，当k＝－1时，直线l的方程为y＝x，过圆M的圆心，故正确；[锦囊·妙法]处理直线与圆的位置关系的三思路(1)判断直线与圆的位置关系常用几何法．(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系，解决问题．

特训点2圆的弦长问题【师生共研类】C

D

2．(2022·浙江四模)已知圆C：(x－1)2＋y2＝25与直线l：mx＋y＋m＋2＝0，若圆C关于直线l对称，则m＝________；当m＝________时，圆C被直线l截得的弦长最短．答案：－1

1解析：因为圆C：(x－1)2＋y2＝25关于直线l：mx＋y＋m＋2＝0对称，则圆心(1，0)在直线l：mx＋y＋m＋2＝0上，故有m＋0＋m＋2＝0，解得m＝－1.

特训点3圆的切线问题【师生共研类】过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程；当斜率不存在时，要加以验证．1．(2022·北京市检测)已知圆C经过点(－1，0)和(1，0)，且与直线y＝x－1只有一个公共点，则圆心C的坐标为(

)A．(0，0) B．(0，1)C．(0，－1) D．(0，1)或(0，－1)解析：因为圆C经过点(－1，0)和(1，0)，所以圆心一定在y轴上，设圆心为(0，b)．因为圆与直线y＝x－1只有一个公共点，即圆与直线y＝x－1相切．B

答案：(x－4)2＋y2＝4

特训点4圆与圆的位置关系【自主冲关类】A

2．(2022·青海西宁市二模)已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，圆C2：x2＋y2＋x－y－m2＝0(m>0)，若圆C2平分圆C1的圆周，则正数m的值为(

)A．3 B．2C．4 D．1解析：圆C1的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心为点C1(1，－2)，作差可得两圆的相交弦所在的直线为3x－5y－m2－4＝0，代入点C1(1，－2)，得3＋10－m2－4＝0，解得m＝3.故选A.A3．(2022·山东济南市二模)已知两圆相交于两点A(1，3)，B(t，－1)，两圆圆心都在直线x＋2y＋c＝0上，则t＋c的值为________．答案：－3解析：根据题意，由相交弦的性质，相交两圆的连心线垂直平分相