2024年高考数学第一轮复习：不等式证明（一）

6.2不等式的证明（一）

•学问梳理

1.均值定理：a+b^2y[ab；

abW(a+0)2(〃、eR+),

2

当且仅当〃4时取等号.

2.比较法：a—b>0=a>b,a-/?<0=>a<.b.

3.作商法：。>0,b>0,—>1=>a>b.

b

特殊提示

1.比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后须要推断差的符号，作差变形

的方向经常是因式分解后，把差写成积的形式或配成完全平方式.

2.比商法要留意运用条件，若色>1不能推出。>儿这里要留意a、b两数的符号.

b

・点击双基

1.若八6是正数，则巴也、g丝、这四个数的大小依次是

2a+bV2

"5号

lab

a+b

解析:

2ab

a+b

答案:

2.设0<x<l,贝U。=亚无，b=l+x,c=」一中最大的一个是

l-x

A.〃B.bC.cD.不能确定

解析：VO<x<l,；.1+尤>26=届>岳....只需比较1+x与一'一的大小.

1-X

1—X1—X1—X1—X

答案：c

3.（2024年春季上海，15）若a、b、c是常数，则“a>0且房一4m<0”是“对随意

xGR,有af+fcr+c>。”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件必要条件

解析：当〃>0,庐一4〃c<0时，ox2+/?x+c>0.

反之，“r+^x+cX）对x£R成立不能推出〃>0,/一4〃c〈0.

反例：a=b=0,c=2.故选A.

答案：A

4.（理）已知|〃+。|<一（？（〃、b、c£R）,给出下列不等式：

®a<—b—c；②a>—b+c；③a<b—c；④|。|<|加一c；⑤〈一以一c.

其中肯定成立的不等式是.（把成立的不等式的序号都填上）

解析：•.,|〃+。|<一。，〃（一一/?+c〈〃V—故①②成立，③不成立.

*/\a+b\<-c,\a+b\^\a\—\b\,\a\~\b\<—c./.\a\<\b\—c.

故④成立，⑤不成立.

答案：①②④

（文）若〃、/?£R,有下列不等式：①。2+3>2〃；②。2+后22（a-b—1）；③〃5+吩>

层庐+层/；④〃+•122.其中肯定成立的是.

a

解析：①〃2+3—2〃=（。-1）2+2>0,fl2+3>2（7；

②〃之+从一2。+2/?+2=（〃-1）2+（/?+1）220,4i2+/?2^2Qa-b—1）；

（3）tz5+Z75-aib1—a2bi=ai（/一庐）+序（庐一次）

二（居一户）（苏一/）=（〃+6）（a—b）2（〃2+ab+庐）.

•・•（Q—Z?）220,4+"+户20,但〃+b符号不确定，••・/+/?5>〃3/72+〃2。3不正确；

④a£R时，〃+—22不正确.

a

答案：①②

5.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度VI和在静水中的速度V2的大小

关系为.

解析：设甲地至乙地的距离为S,船在静水中的速度为也，水流速度为U（V2>V>0）,

则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间,

2

v2+vv2-VV2-V

C22

平均速度v尸型=吟一y.

tv2

…V2-V2V2.

・Vl-V2=--2----------V2=~——<0,..V1<V2.

V2V2

答案：V1<V2

•典例剖析

【例1】设〃>0,b>0,求证：（<）2（£-）2^a2+b2

ba

剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明.

证法一：左边一右边:（"）二扬一（布+新）

yjab

_Qy[a+y[b)Qa-y[ab+b)-y[abC\[a+VK)

y[ab

C.y[u+y[b^(a-2Jab+Z?)+y[b^Cyfu-y[b^)

=-----------------；——----------------=---------------；——--------------30.

4aby[ab

・••原不等式成立.

证法二：左边>0,右边>0,

左边(y[a+4b)Ca-\[ab+Z?)a-^l~ab+b2\[ab-4ab,

----=-------；——--------------=----；——---与-----——...=1.

右边+y/b)\[ab4ab

・••原不等式成立.

评述：用比较法证不等式，一般要经验作差(或商)、变形、推断三个步骤.变形的主要

手段是通分、因式分解或配方.在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二.下面的

例3则是公式法与配方法的综合应用.

【例2】已知〃、b、%、丁£区+且!>1，x>y.

ab

求证：二

x+ay+b

剖析：视察待证不等式的特征，用比较法或分析法较适合.

证法一：(作差比较法)

..x_y_bx-ay

•，

x+ay+b(兀+Q)(y+Z?)

又工〉」且〃、b£R+,.,・b>〃>0.又x>y〉0,•\bx>ay.

ab

：.一上丝—>0,即」->一

(x+a)(y+力)x+ay+b

证法二：(分析法)

Vx>y、〃、/?£R+,・••要证--->―--，

x+ay+b

只需证明％(y+b)>y(x+a),即证xZ?>ya

而由L>工>0,...bAaX).又x>y>0,

ab

知明显成立.故原不等式成立.

思索探讨

该例若用函数的单调性应如何构造函数？

解法一：令于3易证/(x)在(0,+8)上为增函数，从而

x+ax+ay+人

再令g(x)=m，易证g(x)在(0,+8)上单调递减.

m+x

a、b^R+.：.a<b.

ab

：.g(a)>g(b),即」命题得证.

m+am+b

22

解法二：原不等式即为

二+12+i

ab

为此构造函数/（无）=上，xe（0,+8）.

x+1

易证/（x）在（0,+8）上为单调增函数，而二>2,

ab

2Z

即

x+a

2+]2+i>+6

ab

【例3】某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉6t,每南丽丽西而不

元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.

（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

（2）若供应面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210t时，其价格可享受9折实惠

（即原价的90%）,问该厂是否考虑利用此实惠条件?请说明理由.

解：（1）设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6xt,由题意知，面粉的保管等

其他费用为3[6尤+6（尤-1）+…+6X2+6X1]=9x（x+1）.

设平均每天所支付的总费用为竺元，则y产工[9x（x+1）+900]+6X1800

X

=—+9x+1080922-9x+10809=10989.

当且仅当9A出，即％=10时取等号，

X

即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.

（2）若厂家利用此实惠条件，则至少每隔35天，购买一次面粉，平均每天支付的总费

用为及元,则

y=-[9尤（x+1）+900]+6X1800X0.90=—+9x+9729（尤》35）.

2XX

令于（尤）=x+W2（%235）,

X

尤2〉尤1235,则/（尤1）—/（尤2）=（尤1+W^）—（X2+W^）

X2

_（兀2Xp（100-/工2）

xxx2

,.•兀2〉即235,^X2~X\>Q,%1%2>0，100—即入2<0.

.*./（XI）—f（X2）<0,f（XI）<f（X2）,

即/（尤）=x+WQ,当x235时为增函数.

X

当%=35时，f（x）有最小值，此时”<10989.该厂应当接受此实惠条件.

•闯关训练

夯实基础

1.设％>0,y>0,且孙一(x+y)=1,贝!j

A.x+yW2行+2B.x+y22V2+2

C.x+yW(V2+1)2D.x+y2(V2+1)2

解析：*.*x>0,y>0,・••孙W(%)2.

由孙一(x+y)=1得(x；.)之一(x+y)

.*.x+y^2+2V2.

答案：B

2.已知x、y£R,止y+V+l,N=x+y+xy,则Af与N的大小关系是

A.MNNB.MWNC.M=ND.不能确定

解析：M~N=x1+y2+l—(x+y+xy)

=-1[(f+y2—2孙)+(x2—2x+l)+(y2—2y+l)]

=1[(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2]20.

答案：A

3.设〃>0,b>0,a2+—=L则〃J1+庐的最大值是.

2

解析：a2+—=l=a1J+1=、.

222

_______2一+1£

a71+b2=V2•a•J-——,---------=\[2,2=^.

V2224

43A/^

答z/案：「二

4

4.若记号“※”表示求两个实数。和b的算术平均数的运算，即。※人二巴心，则两边

2

均含有运算符号“X”和“+”，且对于随意3个实数〃、b、c都能成立的一个等式可以是

角军析：※，=：+J6※〃=,

22

ab+c=ba+c.

答案：〃※匕+c=。※”+c.

思索：对于运算“※”安排律成立吗？

即(Z?+c)=〃※/?十〃※。.

答案：不成立

5.当机〉〃时，求证：m3—m2n_3mn2>2m2n—Gmn2+n3.

证明：丁(m3—m2n—3mn2)—(2m2n-6mn2+n3)=m3—3m2n+3mn2—〃=(加一〃)3

又m>n,Am—n>0.Qm~n)3>0,

BP(m3-m2H-3mn2)—(2m2n-6mn2+n3)>0.

故根3—小2〃-3根〃>22根2〃-6m〃2+〃3.

6.已知〃>1,几>0,求证：logo(〃+4)>loga+4(。+2几).

证明：logo(〃+X)-log(a+儿)(〃+24)

_lg(〃+4)lg(a+24)

Igalg(tz+A)

Ig?(Q+几)一1gQ•1g(Q+2/0

Va>L4>0,/.lga>0,1g(a+2/)>0,且IgaWig(a+24).

(a+2儿)<[(lga+lg：+2X))]2

=[」)/+2a/D[2<[lg)a+/D-】2=12((z+A)

22

.Ig?(a+A)—1ga•1g(a+2X)

••u.

1ga1g(〃+4)

loga(〃+4)>log(q+4)(a+2X).

培育实力

7.已知x>0,y>0,若不等式6+6W机恒成立，求实数机的最小值.

分析：,:G+6Wm/x+y恒成立,.•・m2恒成立.

Jx+y

：.m的最小值就是汇交的最大值.

、X+y

解：:C+6Wm\x+y恒成立,；.mNg+f恒成立.

Jx+y

Vx>0,y>0,Jx+y2

.6+6b6+6_/7

y/x+y4x+^y

~ir

：.m的最小值为血.

评述：分别参数法是求参数的范围问题常用的方法，化归是解这类问题常用的手段.

8.有点难度哟!

求证：在非Rt^ABC中，若a>b,ha、也分别表示a、/?边上的高，则必有〃+e>。+/2排

证明：设S表示△ABC的面积，则S=—ah=—bhb=—absinC.

2a22

ha=bsinC,hb=asinC.

(〃+/ia)­(b+hb)=a-^bsmC-b—4/sinC

=(〃一/7)(1—sinC).

IT

・.・CW—,.-.1-sinOO.

2

(〃—/?)(1—sinC)>0.

a+ha>b+hb.

探究创新

9.设二次函数/(x)=ox2+ta+c(〃>0),方程/(x)—%=0的两根沏、九2满意1<为<%2

a

(1)当工£(0,xi)时，证明xV/(x)<xi；

(2)设函数/(x)的图象关于直线k尤o对称，求证须<2~.

证明：(1)令尸(x)=f(X)—X,

*.*xi>冗2是方程/(%)—x=0的根，:・F(x)=a(x—xi)(x_X2).

当工£(0,X1)时，由于％1<%2，(%—即)(X—%2)>0.

又。>0,得F(x)-a(x—xi)(x—X2)>0,即(x).

又即一/(x)-x\—[x+F(x)]-x\~x+a(xi-x)(x—迫)=(xi-x)[1+a(x—12)]，

*.*0<x<xi<X2<—,为―x>0,l+〃(X—愈)ax~ax2>1—axi>0,

a

C.x\—f(x)>0,即/(x)<xi.

综上，可知X</(%)<X1.

A

(2)由题意知祀二一一.

la

Vxi>X2是方程/(%)—x=0的根，即处、X2是方程加+(/?—1)x+c=0的根，

.b-1,ba+%2)-1ax\+依2-1

••+'2=----•・・XQ---------------------------------------------------------.

a2a2a2a

又,.,以2<1,.,.Xo<-^-=—.

2a2

•思悟小结

1.比较法有两种形式:一是作差，二是作商.用作差法证明不等式是证明不等式中最基本、

最常用的方法.它的依据是不等式的基本性质.

2.步骤是：作差(商)一变形一推断.变形的目的是为了推断.若是作差，就推断与0的

大小关系，为了便于推断，往往把形式变为积或完全平方式.若是作商，两边为正，就推断

与1的大小关系.

3.有时要先对不等式作等价变形再进行证明，有时几种证明方法综合运用.

4.在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正一一各项均为正；

二定一一积或和为定值；三相等一一等号能否取得”.若忽视了某个条件，就会出现错误.

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教学点睛

1.在证明不等式的各种方法中，作差比较法是一种最基本、最重要的方法，它是利用不

等式两边的差是正数还是负数来证明不等式，其应用特别广泛，肯定要娴熟驾驭.

2.对于公式。+人》2痴，ab^(巴心)2要讲清它们的作用和运用条件及内在联系，

2