2024年高考数学模拟试题及参考答案

2024年高考数学模拟试题及参考答案

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/■（x）=（2"+2）lnx+2ax?+5.设若对任意不相等的正数再，/，恒有

则实数a的取值范围是（）

A.（—3,—1）B.（—2,—1）

C.（-co,-3]D.（-oo,-2]

2.在一个数列中，如果V/eN*，都有a/“+M,+2=左（左为常数），那么这个数列叫做等积数列，上叫做这个数列的

公积.已知数列｛q｝是等积数列，且4=1,%=2,公积为8,则％+4+…+4020=（）

A.4711B.4712C.4713D.4715

3.已知厂为抛物线V=4x的焦点，点A在抛物线上，且|A3=5,过点口的动直线/与抛物线瓦C交于两点，。为

坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为给出下列四个命题：

①在抛物线上满足条件的点A仅有一个；

②若P是抛物线准线上一动点，贝!||/么|+归。|的最小值为2而；

③无论过点尸的直线/在什么位置，总有AOMB=NOMC；

④若点。在抛物线准线上的射影为。，则三点3、。、。在同一条直线上.

其中所有正确命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

4.将一张边长为12cm的纸片按如图（1）所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个

有底的正四棱锥模型，如图（2）放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图（3）所示，则正四棱锥的体积是（）

由人△

n（n图⑵m（3）

B.…D.…

A.C.

3

1-X

5.函数〃x)=ln的大致图像为（)

1+x

sinB—cosAsinC,SABC=6,尸为线段AB上的一点，且

CACB

CP=x则工+工的最小值为（）

k同%y

7g4

A.----1-----B.12C.

123I°方¥

7.已知abRR,3+ai=b-(2a-l)z,则（)

A.b=3aB.6=6aC.b=9aD.b=12a

8.执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（

A.1B.2

C.3D.4

9.阅读下侧程序框图，为使输出的数据为3i，则①处应填的数字为

10.已知集合“={》|/=1}.N为自然数集，则下列表示不正确的是()

A.leMB.Af={-1,1}C.D.M匚N

11.下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为［0,+8)的是()

A.y=|lg(x+l)|B.y=x2C.y=2"D.y=In|x|

X

12.己知定义在R上的奇函数/(x),其导函数为/(x),当x»0时，恒有§/'(x)+/(x)>0.则不等式

x37(x)-(1+2x)3/(I+2x)<0的解集为().

A.{x|-3<%<-1}B.{x|-l<x<——}

C.｛%[x<—3或x>-l｝D.或x>-g｝

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.AABC的三个内角4B,C所对应的边分别为a,b,c,已知26cosA=2c+氐，则/B=.

14.已知函数/(x)=/+^+4X2+8X，-(X<,若函数g(x)=d〃x)+l有6个零点，则实数。的取值范围

%2+2%-1,x<-2,%>0

是.

15.若复数z=l—3i(i是虚数单位)，贝Uz4-10)=

16.已知函数/(xh-V+sinx,若/(a)=M,则/(—a)=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在AABC中，角4，B,C所对的边分别是。，b,c,且2a—c=26cosC.

⑴求sin(若C+B|的值；

(2)若人=如，求c—。的取值范围.

18.(12分)已知数列｛%｝满足对任意〃eN*都有2a“+i=a“+a〃+2,其前"项和为S"，且87=49,%是由与%3的等

比中项，4V4.

(1)求数列｛4｝的通项公式4;

(2)已知数列也｝满足a=2%+i,c=anbn,设数列｛%｝的前〃项和为求组3大于1000的最小的正整数九

on-5

的值.

19.(12分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于

艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆。及其内接等腰三角形ABC绕底边5C上的高所在直线AO

JT

旋转180°而成，如图2.已知圆。的半径为10an,设/849=。,0<。<彳，圆锥的侧面积为Sc".

(1)求S关于。的函数关系式；

(2)为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰A3的长度.

!A

E1图2

22p

20.(12分)已知椭圆M：T+£=l(a〉〃〉0)经过点40,—2),离心率为］

(1)求椭圆M的方程;

(2)经过点E(O,D且斜率存在的直线/交椭圆于2N两点，点3与点Q关于坐标原点对称.连接求证:

存在实数；I,使得左.=几^成立.

21.(12分)设函数/"(x)=x-Lg(x)=rlnx,其中xw(0,1),，为正实数.

X

(1)若/(%)的图象总在函数g(x)的图象的下方，求实数♦的取值范围；

(2)设H(x)=(lnx—/+1)1+卜2_1)(1」1,证明：对任意尤40,1),都有〃(力＞0.

22.(10分)如图，三棱柱ABC—4用£中，侧面为菱形，ACLABl,AB=BC.

(1)求证：平面AB。；

(2)若AB,与C,NC34=60°,求二面角与-明-G的余弦值・

参考答案

、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

求解/（尤）的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数玉,马，构造新函数，讨论其单调性即可求解.

【详解】

/（X）的定义域为（0,+8），f'（x\=即土2+4以=2（2加+。+1）,

XX

当QV—1时，/（%）<0,故/（X）在（。,+8）单调递减；

不妨设再〈％,而av-1,知/（X）在（0,+8）单调递减，

从而对任意占、%2e（0,+co）,恒有/（♦）―/（/）=8,

%-%

即|/（再）-/（%2）|>8|再一

〃玉）-〃工2）28（巧-%），/（%）+8叫>/（^2）+8X2,

令g（*）=〃x）+8%，贝Ug〈x）=网±2+4G+8,原不等式等价于g（x）在（0,+。）单调递减，即

JC

6Z+1_.„

-------F26IX+4<0,

从而4<41="1）2因为（2x—l）2_

2/+12X2+12X2+1

所以实数a的取值范围是（-0-2]

故选：D.

【点睛】

此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.

2、B

【解析】

计算出名的值，推导出4+3=%（〃eN*）,再由2020=3x673+1,结合数列的周期性可求得数列｛4｝的前2020项

和.

【详解】

8,

由题意可知+14+2=8,则对任意的〃eN*，4/0，则2a3=8,，%=----=4,

由anan+ian+2=8,得％+。+2%+3=8，/.=。〃+1%+24+3，,二4+3=%，

2020=3x673+1,因此，tZj+tz9H-----=673(q+a。+/)+«=673x7+1=4712.

故选：B.

【点睛】

本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等

题.

3、C

【解析】

①：由抛物线的定义可知愣同=。+1=5,从而可求A的坐标；②：做A关于准线x=—1的对称点为A',通过分析

可知当A',尸,O三点共线时|B4|+|PO|取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值|4。|；③：设出直线/方程,

联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求左+左MC=0,从而可判断出NOMB/OMC

的关系；④：计算直线8,03的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点3、。、。在同一条直线上.

【详解】

解：对于①，设4(。力)，由抛物线的方程得/(1,0),贝U|AE|=a+l=5,故a=4,

所以4(4,4)或(4,-4),所以满足条件的点A有二个，故①不正确；

对于②，不妨设4(4,4),则A关于准线x=—l的对称点为4(—6,4),

H\PA\+\OP\=\PA'\+\OP\>|A'O|=V52=2而,

当且仅当A',尸,O三点共线时等号成立，故②正确；

对于③，由题意知，M(-l,0),且/的斜率不为0,则设/方程为：x=wy+l(m^0),

设,与抛物线的交点坐标为，联立直线与抛物线的方程为，

x=my+1。

<2"，整理得y~—4根>一4=0,贝1|%+%=4私乂%=-4,所以

Iy=4x

222

Xj+x2=4m+2,xYx2=(myl+l)(my9+1)=-4m+4m+1=1

：

刖“+kX।_%(々+1)+为(3+1)_2%+2%+2切1%

、MBMC%+]x2+1(Xj+1)(X2+1)Xx+X2+X1X2+1

2XA777—2^/7X4

=-3-------------=0.故MB,的倾斜角互补，所以NQWB=NOMC,故③正确.

4m2+2+1+1

对于④，由题意知。(一1,%),由③知，%+%=4血,%%=-4

则自B=&=—，左0£)=-丁2，由上OB-"攵0»=—+，2=--也2=0,

占％%%

知喘=%，即三点5、。、。在同一条直线上，故④正确.

故选:C.

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的

斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.

4、B

【解析】

设折成的四棱锥的底面边长为。，高为h,则/?=@a，故由题设可得，a+a=12xY2na=4应，所以四棱锥的

222

体积V=；(4亚『x5xd应=8^6。m3,应选答案民

5、D

【解析】

通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.

【详解】

函数〃x)=ln£的定义域为{x|xw±l},当x=g时，/(1)=-ln3<0,排除B和C；

当x=—2时，/(-2)=ln3>0,排除A.

故选：D.

【点睛】

本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题.

6、A

【解析】

JT

在LABC中，设AB=c,5C=a,AC=Z?,结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cosC=0,可得C=5,

再由已知条件求得a=4,b=3,c=5,考虑建立以AC所在的直线为x轴，以所在的直线为V轴建立直角坐标

11

系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得4x+3y=12,然后利用基本不等式可求得一+一的最小值.

xy

【详解】

在匕ABC中，设AB=c,BC=a,AC=b,

sinB=cosAsinC,即sin(A+C)=cosAsinC,即sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC,/.sinAcosC=0,

71

0<A<TT,/.sinA>0,/.COsC=0,0<C<»,：.C=一

2

IbesinA4Q

AB-AC=9，即仍cosA=9,X5=—bcsinA=6,/.tanA=----------,

ARC2becosA3b

q=3(o=4i___________

22

SABC=3"=6则"=12,所以，\b3，解得人..-.c=^a+b=5-

[ab=12年3

以AC所在的直线为X轴，以8C所在的直线为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系,

则。(0,0)、4(3,0)、3(0,4),

P为线段AB上的一点，则存在实数彳使得AP=AAB=2(-3,4)=(-32,42)(0<2<1),

:.CP=CA+CB=(3-3A,42),

CACB

设6=【国则同=同=1,二1(1,0)，e2=(0,1)，

Cf昌+ygx=3—32

=xe,+ye2=(x,y),,消去;I得4x+3y=12,;.±+2=l,

CACBy=4A34

(11)区.上+工=

所以，—+—=—+—^+i+ii-2

xyy八343y4x12

当且仅当x=时，等号成立,

2-

因此，一1+一1的最小值为J3火+，7.

%y312

故选：A.

【点睛】

本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题,

CA

解题的关键是理解可是一个单位向量，从而可用x、y表示。尸，建立工、y与参数的关系，解决本题的第二个关

1cAi

键点在于由x=3-34,y=42发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属

于难题.

7、C

【解析】

两复数相等，实部与虚部对应相等.

【详解】

由3+以=b—（2a-l）z,

b—9a.

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的概念，属于基础题.

8、B

【解析】

列出循环的每一步，进而可求得输出的九值.

【详解】

根据程序框图，执行循环前：a=0,b=0,n=Q,

执行第一次循环时：a=l,b=2,所以：92+82<40不成立.

继续进行循环，…，

当。=4,6=8时，6?+2?=40成立，”=1,

由于a25不成立，执行下一次循环，

a=5,b=10,52+。2<40成立，71=2,aN5成立，输出的〃的值为2.

故选：B.

【点睛】

本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.

9、B

【解析】

考点：程序框图.

分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我

们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案.

解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：

Si是否继续循环

循环前11/

第一圈32是

第二圈73是

第三圈154是

第四圈315否

故最后当i<5时退出，

故选B.

10、D

【解析】

集合〃={2*=1}={_1』.N为自然数集，由此能求出结果.

【详解】

解：集合M={%|%2=1}={_1,1}.N为自然数集,

在A中，le",正确；

在B中，"={—11},正确；

在C中，0cM,正确；

在D中，加■不是N的子集，故D错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

11、B

【解析】

分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果.

【详解】

对于A,y=|ig(x+i)|图象如下图所示:

则函数》=旭5+1)|在定义域上不单调，a错误;

则y=4在定义域上单调递增，且值域为［0,+8),3正确;

对于C,y=2*的图象如下图所示：

则函数y=2,单调递增，但值域为(0,+“)，C错误;

对于。，y=1川］|的图象如下图所示：

则函数y=ln|x|在定义域上不单调，。错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题.

12、D

【解析】

先通过二/'(x)+/co>o得到原函数g(x)=x"x)为增函数且为偶函数,再利用到V轴距离求解不等式即可.

33

【详解】

构造函数g(x)=x3[。),

则g'(X)=//(x)+51(X)=X2(X)+/(X)]

由题可知：/'(x)+/(x)〉O,所以g(x)=x3]))在X»O时为增函数;

由V为奇函数，/(%)为奇函数，所以g(x)=>[(x)为偶函数;

又%7(x)-(1+2x)3/(I+2x)<0,即d/(x)<(1+2x)3/(I+2x)

即g(x)<g(l+2x)

又g(x)为开口向上的偶函数

所以|x|<|l+2x|,解得x<—1或x〉—；

故选：D

【点睛】

此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、150°

【解析】

利用正弦定理边化角可得ZsinAcosB+J^sinAuO，从而可得cosB=，进而求解.

2

【详解】

由2Z?cosA=2。+百〃，

由正弦定理可得2sinBcosA=2sinC+J^sinA,

即2sin3cos4=2sin（A+B）+&sinA,

整理可得2sinAcosB+J^sinA=0，

又因为sinAwO,所以cos5=旦

2

因为0<5<180，

所以5=150，

故答案为：150°

【点睛】

本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和的正弦公式，属于基础题.

【解析】

由题意首先研究函数y=,(x)|的性质，然后结合函数的性质数形结合得到关于a的不等式，求解不等式即可确定实

数a的取值范围.

【详解】

当—1<x<0时，函数《X)=Y+2%在区间(-1,0)上单调递增,

很明显《X)e(TO)，且存在唯一的实数网满足小内)=-g,

当—1W/<O时，由对勾函数的性质可知函数y=/在区间-L-g上单调递减，在区间-g,0上单调递增，

91

结合复合函数的单调性可知函数y=厂+2x+,在区间(-1,%)上单调递减，在区间(七,0)上单调递增，且当

4x2+8x

21

x=M时，y=x+2x+----=1,

4x2+8x

考查函数y=,+2x—I］在区间(0,+a)上的性质，

由二次函数的性质可知函数y=,+2x—I］在区间(o,0-1)上单调递减，在区间(后-1,+8)上单调递增,

函数g(x)=4/(刈+1有6个零点,即方程4/(刈+1=0有6个根,

也就是If(x)|=—!有6个根，即y=|/(%)I与y=—!有6个不同交点，

aa

注意到函数y=三+2x关于直线尤=—1对称，则函数y=|/(x)|关于直线x=—1对称,

a45

综上可得，实数。的取值范围是一1，一

故答案为一L—

【点睛】

本题主要考查分段函数的应用，复合函数的单调性，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学

生的转化能力和计算求解能力.

15、35

【解析】

直接根据复数的代数形式四则运算法则计算即可.

【详解】

z=l+3z，z(z-10)=(l-3z)(l+3z-10)=30i.

【点睛】

本题主要考查复数的代数形式四则运算法则的应用.

16、-M

【解析】

根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数/(九)的奇偶性，利用函数奇偶性的性质求解即可.

【详解】

因为函数/(无X-x'+sinx,其定义域为R,

所以其定义域关于原点对称，

又/(-x)=_(-xy+sin(—%)=—(尤3+sinx)=-/(x),

所以函数/(%)为奇函数，因为

所以/(—a)=—

故答案为：

【点睛】

本题考查函数奇偶性的判断及其性质；考查运算求解能力；熟练掌握函数奇偶性的判断方法是求解本题的关键;属于中

档题、常考题型.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、⑴冬⑵卜点⑹

【解析】

(1)利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos5,进而求得3和A+C,代入求得结果；

(2)利用正弦定理可将c—a表示为2sinC—2sinA,利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin1C-,

根据正弦型函数值域的求解方法，结合。的范围可求得结果.

【详解】

(1)由正弦定理可得：2sinA—sinC=2sin5cos，C

A+B+C=7i/.sinA=sin(B+C)

2sin+C)—sinC=2sinBcosC+2cosBsin(7—sinC=2sinBcosC

即2cos5sinC=sinC

Ce(O,TT)..sinCwOCOSJB=-1

Be(O,^)=y:.A+C=^-

.(A+C八.2兀上

sin--------\-B=sin——二——

I2)32

rr.ac_b_A/3_

(2)由(1)知：sinB=sin—=——sinAsinCsinB^3

32

~2

:.c=2sinC9a=2sinA

/.c—<2=2sinC—2sinA=2sinC—2sin（B+C）=2sinC—2sinBcosC—2cosBsinC

=2sinC-^/3cosC-sinC=sinC-A/3COSC=2sin^C-^

…八2»八八2万n（n

QA+C=—..0<C<—..CG,一

333I3

2sin〔C—g1e[-6,6）,即c—a的取值范围为卜退,退）

【点睛】

本题考查解三角形知识的相关应用，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式和辅助角公式的应用、与三角

函数值域有关的取值范围的求解问题；求解取值范围的关键是能够利用正弦定理将边长的问题转化为三角函数的问题,

进而利用正弦型函数值域的求解方法求得结果.

18、（1）an=2n-l（2）4

【解析】

⑴利用2a“+i=%+a“+2判断｛4｝是等差数列，利用S7=49,求出%=7,利用等比中项建立方程，求出公差可得.

（2）利用｛4｝的通项公式。“，求出d=22"=4",c“=（2〃—>4",用错位相减法求出看=?+包『乂4华，最后

建立不等式求出最小的正整数.

【详解】

解：（1）任意〃eN*都有2。“+1=。“+。“+2，

二数列｛%｝是等差数列，

•/87=49,/.7g=49,「.a=n,

又，生是生与％3的等比中项，%<%，设数列｛%｝的公差为d，且d>0,

贝式7—dp=（7—3d）（7+9d）,解得d=2,

q=7—3d=1,

/.ctn=1+2（几一1）=2〃-1；

（2）由题意可知d=2?"=4",c'=（2〃一1卜平，

12

.-.7；!=1X4+3X4+?+（•〃—1①，

23

47；!=21X4+^X4+?+(n-)x向②，

①-②得：-37；,=4+2X42+2X43+?--+2X4,!-(2H-1)X4,1+1,

:.T=也+&±4向，

"99

.9。-2°_《Hi_^2n+2

6n-5

由叱-20>1000得，22n+2>1000-

6n-5

/.2〃+2210,

:.n>4,

「•满足条件的最小的正整数〃的值为4.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和前九项和公式及错位相减法求和.(1)解决等差数列通项的思路(1)在等差数列｛凡｝

中，％、d是最基本的两个量，一般可设出四和d,利用等差数列的通项公式和前九项和公式列方程(组)求解即可.(2)

错位相减法求和的方法：如果数列｛4｝是等差数列，也｝是等比数列，求数列｛。"女｝的前〃项和时，可采用错位相

减法，一般是和式两边同乘以等比数列｛2｝的公比，然后作差求解；在写“S.”与“qS“”的表达式时应特别注意将

两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S，,-qSj的表达式

19、(1)S=400兀sin6cos26，(0<0<-)(2)侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为竺园cm

23

【解析】

JT

试题分析：(1)由条件，AB=20cos^,BD=20cos^-sin^,所以S=400»sinecos2。，(0<^<—)；(2)

S=400万sin氏<”2。=400Hsine—sin3g)^x=sin。，所以得〃无)=》一/，通过求导分析，得“力在％=#

时取得极大值，也是最大值.

试题解析：

B

(1)设B］交BC于点D,过Ci作垂足为E,

在AAOE中，AE=lOcos。，AB=2AE=20cos^,

在AABD中，BD=AB-sin^=20cos^-sin^,

JI

所以S=400^sin0cos20，(0<^<—)

(2)要使侧面积最大，由(1)得：

S=4007rsin6^cos2^=400万卜ine-sin3®)

☆x=sin6,所以得了(%)=无一%3,

由/'(x)=l—3f=o得：%=乎

时，r(%)>o,当rW<o

所以/(%)在区间上单调递增，在区间上单调递减,

所以/(%)在x=¥时取得极大值，也是最大值;

所以当sin。=立时，侧面积S取得最大值,

3

此时等腰三角形的腰长AB=2Ocos0=20Vl-sin2^=20

答：侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰A5的长度为空

3

22

20、(1)—+^-=1(2)证明见解析

64

【解析】

（1）由点A（0,—2）可得沙=2,由6=工=走，根据a?—。2=〃即可求解;

a3

y=kx+l

（2）设直线/的方程为丁=辰+1,联立Ix2y2可得（2+3左2）f+6日—9=0,设Q（XQ1）,N（X,,%）,由韦达定

—+—=1

I64

6k9

理可得石+羽=------7，x/2=----------7,再根据直线的斜率公式求得左AQ•阳N；由点6与点。关于原点对称，可设

2+3k~2+3k~

3（一和一%）,可求得心。^■AB，,即可求证.

【详解】

解：（1）由题意可知b=2,e=$=W,

a3

又a?一c?=",得a=A/6,c=^2,

22

所以椭圆M的方程为士+匕=1

64

（2）证明：设直线/的方程为丁=丘+1,

y=kx+1

2

联立《Xy2，可得（2+3左2）%2+6求—9=0,

—+—=1

164

设。（%，%）以（%2，为），

.6k9

则nl有X+九2=------7，尤1兀2=-------7,

122+3左2122+3左2

7y+27必+2

因为左AQ=，左4V=，

玉x2

所以.仁V=生生.比也="*2+33+%）+9=左2+2/_2—3k2=-2,

玉X?工1%2

7-必+2

又因为点6与点。关于原点对称，所以3（一和一％）,即怎B—,

一再

则有kAQ-kAB=A±Z.ZA±Z=1Z2L；由点Q在椭圆c：《+厘=1上，得4—%2=1石2,所以KB=--，

再一%]一%]6433

L=-AQ•L=3

所以/一丁石一下一，即&N=3&B，

3

所以存在实数X=3,使频N=^kAB成立

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程,考查直线的斜率公式的应用,考查运算能力.

21、(1)(0,2](2)证明见解析

【解析】

⑴据题意可得E(x)=/(x)-g(x)=x-L-lnx<0在区间(0,1)上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求

xr2_1X2_1

出满足不等式的f的取值范围；(2)不等式整理为」e——<-―由(1)可知当/=2时，-一->2,利用导数判

xex-x+1xlnxxlnx

断函数一-—的单调性从而证明一--<2在区间(0,1)上成立，从而证明对任意xe(0,1),都有H(x)>0.

xcx-x+1xcx-x+1''

【详解】

(1)解：因为函数/(九)的图象恒在g(x)的图象的下方，

所以;'(%)—g(x)=x—1—〃nx<。在区间(0,1)上恒成立.

设厂(%)二%一工一〃nx,其中%£(0,1),

所以严(x)=l+!—工=匚4扫，其中A=/一4，t>0.

XXX

①当4,,0,即0＜友2时，F(x)..O,

所以函数歹(%)在(0,1)上单调递增，F(%)<F(l)=0,

故/(x)-g(x)<。成立，满足题意.

②当产—4>0，即/>2时，设。(%)=三一比+1(0<]<1),

则。⑴图象的对称轴x=；〉l,6»(0)=1,。⑴=2一<0,

所以6(%)在(0,1)上存在唯一实根，设为的,则。(力<0,F(x)<0,

所以厂(工)在(罚,1)上单调递减，此时/(%)〉/(1)=0,不合题意.

综上可得，实数f的取值范围是(0,2].

(2)证明：由题意得H(x)=e*lnx

因为当xe(O,l)时，xe'—x+l>0，lnx<0,

g、i，、(x2-l)(xel-x+1)e*x2-1

所以H(x)>0oeXlnx>--------------------0~;------;<——•

v7xxe-x+1xinx

令h(x)=ex-x-l(O<x<l),则/zr(x)=ex-l>0,

所以/<%)在(0,1)上单调递增，可力〉/2(0)=0,即e，>x+l，

XX

所以xex-x+l>x(x+1)-1+1=X2+1,从而----------<—-——.

xex-x+1x+1

由(1)知当t=2时，x—工―21nx<0在xe(O,l)上恒成立，整理得三二1〉2.

xxlnx

令m(x)=——(0(尤<1),则要证H(x)>0,只需证m(x)<2.

因为机(力=后~£>0,所以加(九)在(0,1)上单调递增，

[x+1J''

所以7〃(x)<m⑴=/<2,即加(％)<2在(0,1)上恒成立.

综上可得，对任意％e(0,1),都有H(x)>0成立.

【点睛】

本题考查导数在研究函数中的作用，利用导数判断函数单调性与求函数最值，利用导数证明不等式，属于难题.

22、(1)见解析(2)-

7

【解析】

(1)根据菱形性质可知，51C,结合AC1A8]可得。4=。。=。4,进而可证明三A3OC,即

Be11OA,即可由线面垂直的判定定理证明BQ1平面AB。；

(2)结合(1)可证明0Ao5。4两两互相垂直.即以。为坐标原点，的方向为X轴正方向，|08|为单位长度,

建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面与的和平面C]AA的法向量，即可求得二面角四-A4-&的

余弦值.

【详解】

(1)证明：设3clBC=O,连接。4,如下图所示:

•.•侧面54GC为菱形,

ABCX1BXC,且。为用C及Bq的中点，

又AC1A8],则AC43]为直角三角形，

：.OA=OC=OBl,

又AB=BC,

:.ABOA=ABOC,(SSS)

.-.OA±OB,即

而OA,B©为平面AB®内的两条相交直线,

BQ，平面A31G.

(2)AB上B[C,BQ工BQ,ABcBQ=B

.•.4C_L平面ABO,

QAOu平面ABO,

BXC1AO,即Q4_LO%

从而OA,OB,OBl两两互相垂直.

以。为坐标原点，05的方向为x轴正方向，|03|为单位长度，建立如图的空间直角坐标系O-孙z

NCBB[=60°,

•••ACBB]为等边三角形,

AB=BC,

•，-A(0,0,^(0,~~~,0),C(0,-,0)，

.・.A耳=[o,g,—今],朋=34=1—1，4,O]AG=AC=[o「¥，-

人人J〃•的=0z)=o

设平面耳的法向量为〃=(x,y,z),则「八，即《「，

n-AA.=0J3

1"-x+—y=Q

[3•

可取〃=(1,6,百)，

_..m-AC=0

设平面。[叫的法向量为加，贝叶?।.

m-AAj=0

同理可取m=(1,一道)

n-m11

■/cos<n,m>=।-----r=p-=——=r=—,

/i-|m|xV?7

由图示可知二面角B.-M-Q为锐二面角，

二面角片—A4—G的余弦值为1.

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定方法，利用空间向量方法求二面角夹角的余弦值,注意建系时先证明三条两两垂直的直线,

属于中档题.

2024年上海高考数学试题及答案

2024年上海市高考数学试卷

2024.06

填空题(本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7~12题每题5分)

1.设全集。={1,2,3,4,5},集合/={2,4},求，=

2,已知小)=产X>°,/(3)=________

1,x<0

3.已知xeR,则不等式x?-2x-3<0的解集为

4.已知/(x)=x3+a(xeR),且/(x)是奇函数，则°=

5.已知AeR,£=(2,5),b=(6,k),且£〃讥则左的值为

6.在(x+1)"的二项展开式中，若各项系数和为32,则X2项的系数为

7.已知抛物线/=4x上有一点尸到准线的距离为9,那么点尸到x轴的距离为

8.某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，4题库有5000道题，B题库有4000道题,

C题库有3000道题，小申已完成所有题，已知他回答《题库的正确率是0.92,8题库的正

确率是0.86,C题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，正确率是

2

9.已知虚数z,其实部为1,且z+—=m(meR),则实数加为

z

10.设集合4中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，

则集合中元素个数的最大值为

11.已知点3在点C正北方向，点。在点C的正东方向，BC=CD,存在点4满足

ZBAC=\6.5°,ND4c=37。，则乙BC4=(精确到0.1度)

12.无穷等比数列{0“}满足首项％>0,q>\,记/“={x-y|x,y©