2024-2025学年新教材高中数学第九章统计单元质量评估含解析新人教A版必修第二册

第九章单元质量评估一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生500人，现用分层随机抽样的方法在这三个年级中抽取120人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为(C)A．40B．48C．50D．80解析：因为高一、二、三年级的人数比为4∶3∶5，所以从高三应抽取的人数为120×eq\f(5,12)＝50.2．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60m；从南方抽取了200个男孩，平均身高1.5m，由此可推断我国13岁的男孩平均身高为(C)A．1.54mB．1.55mC．1.56mD．1.57m解析：eq\x\to(x)＝eq\f(300×1.6＋200×1.5,300＋200)＝1.56.3．某校在“创新素养实践行”活动中组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，下面是将某年级60篇学生调查报告进行整理，分成5组画出的频率分布直方图(如图)．已知从左至右4个小组的频率分别为0.05，0.15,0.35,0.30，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有(分数大于或等于80分为优秀且分数为整数)(D)A．18篇B．24篇C．25篇D．27篇解析：第5个小组的频率为1－0.05－0.15－0.35－0.30＝0.15，∴优秀的频率为0.15＋0.30＝0.45，∴优秀的调查报告有60×0.45＝27(篇)．故选D.4．某次数学检测中，某一题目的得分状况如下：得分(分)01234百分率(%)37.08.66.028.220.2其中众数是(C)A．37.0%B．20.2%C．0分D．4分解析：由于众数是出现次数最多的数，由题表可知，0分出现的百分率最大，所以众数是0分．5．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分叉数后，计算出样本方差分别为seq\o\al(2,甲)＝11，seq\o\al(2,乙)＝3.4，由此可以估计(C)A．甲种水稻比乙种水稻分叉整齐B．甲、乙两种水稻分叉整齐程度相同C．乙种水稻比甲种水稻分叉整齐D．甲、乙两种水稻分叉整齐程度不能比较解析：由于方差反映了样本数据的稳定性，且seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，所以乙种水稻比甲种水稻分叉整齐．6．2024年，中国部分商品价格出现了上涨．某市为了稳定市场，确保农夫增收，某农产品三月份以后的每月市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，并使其与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，下表列出的是该产品今年前六个月的市场收购价格：月份1234567价格(元/担)687867717270则前七个月该产品的市场收购价格的方差为(B)A.eq\f(75,7)B.eq\f(76,7)C．11D.eq\f(78,7)解析：设7月份的市场收购价格为x，则f(x)＝(x－71)2＋(x－72)2＋(x－70)2＝3x2－426x＋15125＝3(x－71)2＋2，则当x＝71时，7月份的市场收购价格与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，即7月份的市场收购价格为71.计算前七个月该产品的市场收购价格的平均数是71，方差是eq\f(76,7).7．某班有56名同学，一次数学考试，经过运算得到平均成果为75分，标准差为s，后来发觉登记有错误，某甲得90分却记为70分，某乙80分误记为100分，更正后重新计算标准差s1，则s与s1的大小关系是(C)A．s＝s1B．s<s1C．s>s1D．不能确定解析：这两次计算的平均分没有改变，则s＝eq\r(\f(70－\x\to(x)2＋100－\x\to(x)2＋…,n))，s1＝eq\r(\f(90－\x\to(x)2＋80－\x\to(x)2＋…,n))，∴s>s1.8．小波一星期的总开支分布如图(1)所示，一星期的食品开支如图(2)所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为(C)A．30% B．10%C．3% D．不能确定解析：由题图可知，小波一星期的食品开支为30＋40＋100＋80＋50＝300(元)，小波一星期的总开支为eq\f(300,30%)＝1000(元)，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为eq\f(30,1000)×100%＝3%.故选C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是(BD)A．57.2B．62.8C．63.6D．3.6解析：当一组数据中的每个数同时加上一个数后，平均数相应增加，但方差不变，可知新数据的平均数为62.8，方差为3.6.故选BD.10．为了普及环保学问，增加环保意识，某高校随机抽取30名学生参与环保学问测试，得分(非常制)如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m0，平均值为eq\x\to(x)，则(BD)A．me＝m0B．m0<eq\x\to(x)C．me<m0D．me<eq\x\to(x)解析：由题图可知，30名学生的得分状况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即me＝5.5，由于5分出现的次数最多，故m0＝5.eq\x\to(x)＝eq\f(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10,30)≈6，所以m0<me<eq\x\to(x).11．下图为某地区2006年～2024年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．依据该折线图可知，该地区2006年～2024年(AD)A．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大解析：A项，由折线图知该地区财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势．故A项正确；B项，因为折线图中该地区财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的曲线倾斜程度不同，所以财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度不同．故B项错误；C项，由折线图知该地区在2006～2024年的财政预算内收入的增长量低于城乡居民储蓄年末余额的增长量，所以财政预算内收入年平均增长量低于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量．故C项错误；D项，由折线图知该地区城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大．故D项正确．故选AD.12．为了了解某校九年级1600名学生的体能状况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成果(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，依据统计图的数据，下列结论错误的是(AD)A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数估计值为25B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数估计值为27.5C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约为320D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约为32解析：由题图知，中位数是26.25，众数是27.5,1分钟仰卧起坐的次数超过30次的频率为0.2，所以估计该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人；1分钟仰卧起坐的次数少于20次的频率为0.1，所以该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有160人．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某高校有甲，乙两个数学建模爱好班，其中甲班40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成果，算得甲班的平均成果是90分，乙班的平均成果是81分，则该校数学建模爱好班的平均成果是__85__分.解析：平均成果为eq\f(40×90＋50×81,90)＝85(分)．14．为了检验某自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆菌的个数，化验结果如下：每升水中大肠杆菌个数01234升数17201021则所取50升水中平均含有大肠杆菌__1__个/升，估计全部消毒过的自来水中平均每升水的大肠杆菌的含量为__1__个．解析：50升水中平均含有大肠杆菌为eq\f(0×17＋1×20＋2×10＋3×2＋4×1,50)＝1(个/升)，这是样本平均值，可以用它估计总体．15.如图是依据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为__9__.解析：设样本量为n，则(0.1＋0.12)n＝11，解得n＝50，故气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18＝9.16．设样本数据x1，x2，…，x2018的方差是5，若yi＝3xi＋1(i＝1,2，…，2018)，则y1，y2，…，y2018的方差是__45__.解析：依据题意，设x1，x2，…，x2018的平均数为eq\x\to(x)，y1，y2，…，y2018的方差为s2，则eq\x\to(x)＝eq\f(1,2018)(x1＋x2＋…＋x2018)，5＝eq\f(1,2018)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(x2018－eq\x\to(x))2]，若yi＝3xi＋1(i＝1,2，…，2018)，则y1，y2，…，y2018的平均数为eq\f(1,2018)[(3x1＋1)＋(3x2＋2)＋…＋(3x2018＋1)]＝3eq\x\to(x)＋1，则y1，y2，…，y2018的方差为s2＝eq\f(1,2018)[(3x1－1－3eq\x\to(x)＋1)2＋(3x2－1－3eq\x\to(x)＋1)2＋…＋(3x2018－1－3eq\x\to(x)＋1)2]＝9×eq\f(1,2018)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(x2018－eq\x\to(x))2]＝45.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题10分)某电视台实行颁奖典礼，邀请来自三个地区的20名演员演出，其中从30名A地区演员中随机选择10人，从18名B地区演员中随机选择6人，从10名C地区演员中随机选择4人．试用抽签法确定选中的演员，并确定他们的表演依次．解：第一步，先确定演员．(1)将30名A地区演员从1至30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上编号1～30，然后放入一个不透亮小筒中摇匀，从中抽出10个号签，则相应编号的演员参与演出；(2)运用相同的方法分别从18名B地区演员中抽取6人，从10名C地区演员中抽取4人．其次步，确定表演依次．确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面写上1～20这20个数字，代表表演依次，让每个演员抽一张，每人抽到的号签上的数字就是这位演员的表演依次．18．(本小题12分)某纺织厂订购一批棉花，其各种长度的纤维所占的比例如表所示：纤维长度/厘米356所占的比例(%)254035(1)请估计这批棉花纤维的平均长度与方差；(2)假如规定这批棉花纤维的平均长度为4.90厘米，方差不超过1.200平方厘米，两者允许误差均不超过0.10视为合格产品．请你估计这批棉花的质量是否合格？解：(1)eq\x\to(x)＝3×25%＋5×40%＋6×35%＝4.85.s2＝(3－4.85)2×0.25＋(5－4.85)2×0.4＋(6－4.85)2×0.35＝1.3275.由此估计这批棉花纤维的平均长度为4.85厘米，方差为1.3275.(2)因为4.90－4.85＝0.05<0.10,1.3275－1.200＝0.1275>0.10，故棉花纤维长度的平均值达到标准，但方差超过标准，所以可认为这批产品不合格．19．(本小题12分)在某中学实行的电脑学问竞赛中，将高一两个班的参赛的学生成果(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制出如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，其次小组的频数是40.(1)求其次小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？解：(1)其次小组的频率为1－0.30－0.15－0.10－0.05＝0.40，补全频率分布直方图如图所示．(2)eq\f(40,0.40)＝100.答：这两个班参赛学生人数为100.20．(本小题12分)已知一组数据：125121123125127129125128130129126124125127126122124125126128(1)填写下面的频率分布表：分组频数累计频数频率[120.5,122.5)20.1[122.5,124.5)30.15[124.5,126.5)80.4[126.5,128.5)40.2[128.5,130.5]30.15合计201(2)画出频率分布直方图；(3)依据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数．解：(2)频率分布直方图如图：(3)在[124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5，(2)图中虚线对应的数据是124.5＋2×eq\f(5,8)＝125.75，故中位数为125.75.eq\x\to(x)＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8，平均数为125.8.21．(本小题12分)为选派一名学生参与全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校学习基地现场进行加工直径为20mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据如下面的图表所示(单位：mm)．数据平均数方差完全符合要求的个数A200.0262B20seq\o\al(2,B)5依据测试得到的有关数据，试解答下列问题：(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成果好些；(2)计算出seq\o\al(2,B)的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成果好些；(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际状况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由．解：(1)因为A，B两位同学成果的平均数相同，B同学加工的零件中完全符合要求的个数较多，由此认为B同学的成果好些．(2)因为seq\o\al(2,B)＝eq\f(1,10)×[5×(20－20)2＋3×(19.9－20)2＋(20.1－20)2＋(20.2－20)2]＝0.008，且seq\o\al(2,A)＝0.026，所以seq\o\al(2,A)>seq\o\al(2,B)，在平均数相同的状况下，B同学的波动小，所以B同学的成果好些．(3)派A同学去参赛较合适．理由：从题图中折线走势可知，尽管A同学的成果前面起伏大，但后来渐渐稳定，误差小，预料A同学的潜力大，而B同学前期稳定，后面起伏变大，潜力小，所以选派A同学去参赛较合适．22．(本小题12分)某工厂有工人1000名，其中25