2024年内蒙古赤峰市中考数学试题（含答案解析）

2024年赤峰市初中毕业、升学统一考试试卷数学

温馨提示：本试卷卷面分值150分，共8页，考试时间120分钟.

一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡

的对应位置上按要求涂黑.每小题3分，共42分）

1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

2.央视新闻2024年5月31日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超52000000000度，为我

国经济社会绿色发展提供了强劲动能.将数据52000000000用科学记数法表示为（）

A.5.2xl09B.0.52X1011C.52x1()9D.5.2x101°

3.将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则N1的大小为（)

C.115°D.120°

4.下列计算正确的是（）

Aa2+a3—a5B.(a+1>)~=C.a6-i-a3=crD.(/)=ab

5.在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法母送的是（）

A,为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50

B.了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查

C.了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性

D.甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差5年=2.5,S[=2.3,则发挥稳定的是甲

3x-2<2x①

6.解不等式组＜时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（

2(x+l)>x-l②

A.B.

-302-302

7.如图，是正〃边形纸片的一部分，其中/,根是正〃边形两条边的一部分，若/,M所在的直线相交形成

的锐角为60°,则〃的值是（）

1

A.5B.6C.8D.10

8.某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如下表.根据抽样调

查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（）

视力4.7以下4.74.84.94.9以上

人数3941334047

A.120B.200C.6960D.9600

9.等腰三角形的两边长分别是方程尤2_］（）x+21=0的两个根，则这个三角形的周长为（）

A17或13B.13或21C.17D.13

10.如图，AD是。的直径，AB是「。的弦，半径连接CD,交于点E,ZBOC=42°,

则ZOED的度数是（）

A.61°B.63°C.65°D.67°

11.用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块。型钢板；用1块8型钢板可制成5块C型钢板和2块。型

钢板.现在需要58块C型钢板、40块。型钢板,问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢

板尤块，用2型钢板y块，则可列方程组为（）

(3x+2y=403x+5y=40j3x+5y=58J3x+4y=58

B.《“

14x+2y=40

4x+5y=584x+2y=585x+2y=40

12.如图，JSC中，AB=BC=1,ZC=72°.将绕点A顺时针旋转得到八钻'。'，点3'与点

8是对应点，点C与点C是对应点.若点C恰好落在8C边上，下列结论：①点8在旋转过程中经过的路

1Ao

径长是=〃；②5N〃5C；③BD=C'D；@—=——.其中正确的结论是（）

BCC

2

A.①②③④B.①②③C.①③④D.②④

13.如图，数轴上点A,8分别表示数a,a+b,"，若AM>&饮，则下列运算结果一定是正数的是（）

-------1-------------1-----1------->

AMB

A.a+bB.a—bC.abD.时一b

14.如图，正方形A3CD的顶点A,C在抛物线y=-必+4上，点。在y轴上.若AC两点的横坐标分

A.m+n=lB.m—n=1C.inn=1D.一=1

n

二、填空题（请把答案填写在答题卡对应的横线上.每小题3分，共12分）

15.请写出一个比6小的整数

16.因式分解：3am2-3a=

17.综合实践课上，航模小组用无人机测量古树A8高度.如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上,

且AC=10米,无人机从C处竖直上升到达D处,测得古树顶部B的俯角为45°,古树底部A的俯角为65。,

则古树AB的高度约为米（结果精确到0.1米；参考数据：sin65°«0.906,cos65°«0.423,

tan65°«2.145).

18.编号为A,B,C,D,E的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如下

表:

收割机编号A,BB,CC,DD,EA,E

所需时间（小时）2319202218

则收割最快的一台收割机编号是.

三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤.共8题，满分96分）

3

19.(1)计算：+(兀+1)+2sin60°+12--\/3|；

(2)已知/—。―3=0,求代数式(a—2y+(。一l)(a+3)的值.

20.如图，在ABC中，。是A3中点.

(1)求作：AC的垂直平分线/(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹);

(2)若/交AC于点E,连接。E并延长至点F,使EF=2DE，连接BE,CF.补全图形，并证明四边

形5CFE是平行四边形.

21.某校田径队为了调动队员体育训练积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励.为确定一个适当的成

绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：

收集数据77787672847591857879

8970Q1Q17A74as

75918077757587857677

整理、描述数据

成绩/分72747576777879808284858791

人数/人11a433b111314

分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表:

平均数众数中位数

80C78

解决问题

(1)表格中的4=；b=；c=；

(2)分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目

标应定为分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为分；

(3)学校要从91分的A,B,C,。四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训.请利用画树状

图法或列表法，求A,B两名队员恰好同时被选中的概率.

22.一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天

修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相

等.

4

（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；

（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天

的工期，两队最多能修复公路多少千米？

23.在平面直角坐标系中，对于点以（X，X）,给出如下定义：当点N（%2，%），满足石+々=%+>2时，称

点N是点M的等和点.

（1）已知点”（1,3）,在可（4,2）,乂（3,—1）,乂（0,—2）中，是点M等和点的有；

（2）若点〃（3,—2）的等和点"在直线丁=%+人上，求b的值；

k

（3）已知，双曲线％=—和直线内=%-2,满足％<乃的无取值范围是兄>4或—2<xv0.若点尸在

x

k

双曲线％=—上，点P的等和点。在直线为=x-2上，求点尸的坐标.

x

24.如图，ABC中，NACB=90。，AC=BC,。经过8,C两点，与斜边AB交于点E,连接CO并延

长交A5于点交（。于点。，过点E作所〃CD,交AC于点足

（1）求证：ER是「0的切线；

⑵若BM=4亚,tanZBCD=,求O河的长.

25.如图，是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究.下面是该

小组绘制的水滑道截面图，如图1,人从点A处沿水滑道下滑至点8处腾空飞出后落入水池.以地面所在的

水平线为x轴，过腾空点8与x轴垂直的直线为y轴，。为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道

和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分.根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下

三个问题，请你解决.

5

7

(1)如图1,点8与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为一米，点C到点B的水平距离为

8

3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为；

(2)如图1,腾空点B与对面水池边缘水平距离。石=12米，人腾空后的落点。与水池边缘的安全距离

0E不少于3米.若某人腾空后的路径形成的抛物线3D恰好与抛物线ACB关于点8成中心对称.

①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线3D的解析式；

②此人腾空飞出后的落点。是否在安全范围内？请说明理由(水面与地面之间的高度差忽略不计)；

(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固.如图2,水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道

距地面4米的点M处竖直支撑的钢架另一条是点/与点8之间连接支撑的钢架8M.现在需要在水

滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定

在钢架上，另一端固定在地面上.请你计算出这条钢架的长度(结果保留根号).

26.数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论,提出探究问题.如图1,在一ABC中，AB=AC,

点。是AC上的一个动点，过点。作。于点E,延长ED交及1延长线于点足

请你解决下面各组提出的问题:

(1)求证：AD=AF；

r)pAD

(2)探究——与吗的关系;

DEDC

AniDF2AD4^.DF8

某小组探究发现，当——=一时,―；当——=一时,

DC315E3DC5DE5

请你继续探究:

①当处=z时,DF

直接写出——的值；

DC6DE

②当四m,DF

=一时,猜想——的值(用含m,〃的式子表示)，并证明;

DCnDE

(3)拓展应用：在图1中，过点尸作抨垂足为点P,连接C/，得到图2,当点。运动到使

AAp

NACF=NACB时，若——=—,直接写出一的值(用含相，”的式子表示).

DCnAD

6

答案解析

一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡

的对应位置上按要求涂黑.每小题3分，共42分）

1.【答案】A

【详解】A.是轴对称图形，故A符合题意；

B.不是轴对称图形，故B不符合题意；

C.不是轴对称图形，故C不符合题意；

D.不是轴对称图形，故D不符合题意.

2.【答案】D

【详解】解：52000000000=5.2xlOlo.

3.【答案】B

【详解】解：如图所示：

由题意得：Z3=Z2=30°

Z1=180°-Z3-45°=105°

4.【答案】D

【详解】解：A、/与/不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意;

B、=a2+2ab+b2^a2+b2,故此选项不符合题意；

C、a6^a3=a3^a\故此选项不符合题意；

D、故此选项符合题意.

5.【答案】D

【详解】解：A、为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50,说

法正确，本选项不符合题意；

B、了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查，说法正确，本选项不符合题意；

C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性，说法正确，本选项不符合题

7

思；

D、甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差=2.5,Sj=2.3,则发挥稳定的是乙，故原说

法错误，符合题意;

6.【答案】C

3x-2<2x①

【详解】解:'2（x+l）>x-l②

解不等式①得，%<2,

解不等式②得，x>-3,

所以，不等式组的解集为：—3W尤<2,

在数轴上表示为：

-4_।_।_।_।~

-302

7.【答案】B

【详解】解：如图，直线/、加相交于点A,贝UNA=60°,

•••正多边形的每个内角相等，

...正多边形的每个外角也相等，

故选：B.

8.【答案】D

33+40+47

【详解】解：16000x»u"=9600,

200

视力不低于4.8的人数是9600,

9.【答案】C

【详解】解：由方程/_10*+21=0得，为=3,X]=7,

V3+3<7.

...等腰三角形的底边长为3,腰长为7,

8

这个三角形的周长为3+7+7=17,

10.【答案】B

【详解】解：：半径OCLAB,

AC=BC，

ZAOC=ZBOC=42°,ZAOB=84°,

AC=AC,

ZD=-ZAOC=21°,

2

Z.OED=ZAOB-ZD=63°,

11.【答案】C

【详解】解：设用A型钢板尤块，用2型钢板y块,

3x+5y=58

由题意得:

4x+2y=40

12.【答案】A

【详解】解：：=ZC=72°,

:.ZBAC=/C=TT,ZABC=180°-2ZC=36°,

由旋转的性质得NAB'C=NA3C=36°,ZB'AC=ZBAC=72?,ZAC'B'=NC=72。,

ZAC'B'=ZADC=72。,AC=AC,

ZACC=ZC=72°,

ZCAC=36°,

ZCAC=ZBAC=36°,

/.ZB'AB=72°—36°=36°,

由旋转的性质得AB'=A6，

ZABB'=ZAB'B=1(180°-36°)=72°,

①点2在旋转过程中经过的路径长是:①说法正确;

1805

9

②•.•N3'AB=NABC=36°,.•.JB'A〃3C；②说法正确；

③•；ZDCB=720-36°=36°,

：.ZDCB=ZABC=36°,

：.BD=C'D；③说法正确；

④ZBB'D=ZABC=36°,ZB'BD=ABAC=72°,

•••/XB'BD^^BAC,

.AB_B'B公匕汪工施

・・--------.④说法正确；

ACBD

综上，①②③④都是正确的，

13.【答案】A

【详解】解：数轴上点A,M,B分别表示数a,a+b,b,

AM=a+b—a=b>BM=b—(a+b^=—a,

,/AM>BM,

原点在A,M之间，由它们的位置可得a<0,>>0且同<同，

.'.a+b>0,a-b<0,ab<0,\a\-b<0,

故运算结果一定是正数的是a+A.

14.【答案】B

【详解】解：如图，连接AC、BD交于点、E，过点A作MN轴于点过点、B作BN上MN于点、N,

四边形ABCD是正方形，

..AC、30互相平分，AB=AD,ABAD=9Q°,

:.ZBAN+ADAM=9Q°,ZDAM+ZADM=90°,

:.ZBAN=ZADM.

ZBNA=ZAMD=9Q°,BA=AD，

:..ANB^,0MA(AAS).

10

:.AM=NB,DM=AN.

点A、C的横坐标分别为冽、”,

A(m,-m2+4),C(n,-n2+4).

:.E(3,一二"+8),M(0,一■+4),

22

设_D(O,Z?),贝！］5(加十七—An2—+8—b),N(jn+n,-m2+4),

：.BN=-n2+4-Z?,AM-m,AN-n,DM=n^-4+Z?.

又AM=NB,DM=AN,

—n2+4—b=m9〃=机2一4+人.

/.b=—n2—m+4.

••/.n=m2—4—n2—m+4.

/.(m+n)(m—ri)=m+n.

点A、。在y轴的同侧，且点A在点。的右侧，

/.m+n^O.

：.m—n=l.

二、填空题(请把答案填写在答题卡对应的横线上.每小题3分，共12分)

15.【答案】1(或2)

【详解】试题分析：先估算出石在哪两个整数之间，即可得到结果.

-2=A/4<V5<79=3)

.满足条件的数为小于或等于2的整数均可.

16.【答案】3a(/«+l)(7W-l)

【详解】解：3a苏-3a=3a(后-1)=+,

17.【答案】11.5

【详解】解：如图，过点。作。V01AB，交AB的延长线于点

Q5-----中

''\'、、XI

:V'甲

I\

I\

C：-------U

四边形ACDM是矩形，.../)£=AC=1O米,

11

；NBDM=45°,ZADM=65°,ZM=90°,

：.5DN是等腰直角三角形，

=DE=10米，

在Rt^ADM中，AM=DM-tanZADM=10tan65°«10x2.145«21.45（米），

AB=AM-BM=21.45-10=11.45-11.5（米），

古树AB的高度约为11.5米.

18.【答案】C

【详解】解：同时启动A,B两台收割机，所需的时间为23小时，

同时启动B,C两台收割机，所需的时间为19小时，

得到C比A快；

同时启动B,C两台收割机，所需的时间为19小时，

同时启动C,D两台收割机，所需的时间为20小时，

得到B比D快；

同时启动A、B两台收割机，所需的时间为23小时，

同时启动A,E两台收割机，所需的时间为18小时，

得到E比B快；

同时启动C,D两台收割机，所需的时间为20小时，

同时启动D,E两台收割机，所需的时间为22小时，

得到C比E快.

综上，收割最快的一台收割机编号是C.

故答案为：C.

三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤.共8题，满分96分）

19.【答案】（1）6；（2）7.

【详解】解：（1）原式=3+l+2x3+2—百

2

—4+y/3+2-y/3，

=6；

（2）・・・片—〃—3=0，

,,—Q=3，

12

(a-2)一+(a-l)(a+3)

=a2—4a+4++2a—3，

=2al—2a+1>

=2（a~-a）+l,

=2x3+1,

=7.

20.【答案】（1）见解析（2）见解析

【小问1详解】

解：直线/如图所示，

证明：补全图形，如图

BC

由（1）作图知，E为AC的中点，

：£>,E分别为AB，AC的中点，

DE//BC,DE=-BC,

2

•：EF=2DE,即：DE=-EF,

2

:.EF=BC,

•：EF//BC,

：.四边形BCFE是平行四边形.

21.【答案】（1）5；2；75

13

(3)A,8两名队员恰好同时被选中的概率为工.

(2)78；80

6

【小问1详解】

解：根据收集的数据知a=5；b=2；

出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则c=75；

故答案为：5；2；75；

【小问2详解】

解：•••由统计图可知中位数为78分，

如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分,

如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分，

因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大，

可以估计，如果成绩目标应定为80分，努力一下都能达到成绩目标.

故答案为：78；80；

【小问3详解】

解：画树状图表示所有等可能结果如图所示，

/N/N小/N

BCDACDABDABC

共有12中等可能事件，A,8两名队员恰好同时被选中的情况有2种，

21

8两名队员恰好同时被选中的概率为=一=一，

126

答：A,2两名队员恰好同时被选中的概率为

22.【答案】(1)甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米;

(2)15天的工期，两队最多能修复公路105千米.

【小问1详解】

解：设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路(X+3)千米,

由题意得生=里

xx+3

解得x=6,

经检验，6是原方程的解，且符合题意,

%+3=9,

14

答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；

【小问2详解】

解：设甲队的工作时间为加天，则乙队的工作时间为（15-m）天，15天的工期，两队能修复公路w千米,

由题意得w=6机+9（15—m）=一3m+135,

m>2（15—m）,

解得m>10,

■：-3<0,

w随机的增加而减少，

当帆=10时，W有最大值，最大值为卬=—3x10+135=105,

答：15天的工期，两队最多能修复公路105千米.

23.【答案】⑴乂（4,2）和色（。,-2）；

（2）6=5；

（3）（Y,—2）或（2,4）.

【小问1详解】

解：由V（1,3）,2（4,2）得，%+々=%+%=5,

.♦.点N（4,2）是点/的等和点；

由"（1,3）,抽（3,-1）得，为+*2=4,%+%=2,

'/x1+x2^yl+y2,

/.M（3,-l）不是点〃的等和点；

由”（1,3）,乂（0,-2）得，%+尤2=%+/=1，

.•.乂（0,—2）是点/的等和点；

故答案为：N"4,2/DN3（0,—2）；

【小问2详解】

解：设点N的横坐标为。，

,••点汽是点"（3,—2）的等和点，

点N的纵坐标为3+。—（—2）=。+5,

15

...点N的坐标为(a,a+5),

:点N在直线y=x+b上,

a+5=a+b,

b=5；

【小问3详解】

解：由题意可得，k>0,双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点A、3,如图，由

必<%时x的取值范围是％>4或—2<%<0,可得点A的横坐标为4，点B的横坐标为—2,

把x=4代入y=x—2得,,=4—2=2,

4(4,2),

把4(4,2)代入乂=人得,2=5

X

•,.左=8,

8

反比例函数解析式为乂

x

设点。的横坐标为"，

•.•点Q是点尸的等和点,

Q

点。的纵坐标为m+n——

m

Q\n,m+n--

\m

..•点。在直线为=》—2上,

・上8.

..m+n=n—2,

m

Q

整理得，m——+2=0,

m

去分母得，m2+2m—8=0,

解得叫=-4,叫=2,

经检验，加=-4,m=2是原方程的解,

:.点尸坐标为(-4,—2)或(2,4).

16

24.【答案】（1）见解析⑵OM=#）

【小问1详解】

证明：连接0E,延长£0,交。。于点P,连接P。,3D,如图,

•；AB=BC,ZACB=9Q°,

A是等腰直角三角形，

二NABC=45。，

：。是。。的直径，

J.ZCBD=90°,

：.ZBDE=ZCBD-ZABC=90°-45°=45°,

ZEPD=ZDBE=45°,

ZDOE=2ZDPE=2x45°=90°,

；EF//CD,

：./FEO=NDOE=90°,即OE±EF,

是C0的半径，

EF是］。的切线；

【小问2详解】

17

解：：/BDC=90。，tanZBCD=-,

2

•DB-1

••=,

BC2

BC=AC,

.DB_1

••一,

AC2

,：ZDMB=ZCMA,ZA=ZDBM,

,DBMsACM,

.BMDMDB1

"AMCM~AC^2'

BM=4A/2，

•••AM=IBM=8A/2，

AB=AM+3M=8四+4夜=120，

在等腰直角三角形ABC中，AC-+BC2^AM\

：.AC2+AC2AM2=（12后『，

解得，AC=12,

：.AC=BC=12,

：.DB=；BC=6,

在比BDC中，CD=y/BC2+DB2=V122+62=6A/5,

•••CO=DO=3y/5,

乂CM2,

；.CM=2DM,

：.2DM+DM=CD=6A/5,

；•DM=26

：.0M=OD-DM=3/-2下=也

i7

25.【答案】（1）y=o（x+3）+—

88

18

(2)①此人腾空后的最大高度是竺米，解析式为丁=-3『+竺；②此人腾空飞出后的落点。在安

888

全范围内，理由见解析

(3)这条钢架的长度为2J万米

【小问1详解】

解：根据题意得到水滑道ACB所在抛物线的顶点坐标为C且过点8(0,2),

7

设水滑道ACB所在抛物线的解析式为丁=。(％+3)7+-

8

将5(0,2)代入，得：2=a(O+3『+Z,即9a=统

88

1

a=一

8

197

•••水滑道ACB所在抛物线的解析式为y=—(x+3)一+—；

88

【小问2详解】

解：①••人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线ACB关于点8成中心对称,

则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为y=--x+Z7)2+c,

8

人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线ACB的顶点坐标

3DC-3,g关于点3(0,2)成中心

对称,

25

人腾空后的路径形成的抛物线5。的顶点坐标为I3,y,即/?=3,c=—,

8

25

此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线6D的解析式为:

8

，=-&-3)气鼻

1925

由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：y=--(x-3)+—,

88

令y=0,则—，(x—3》+生=0,即(％—3)2=25

88

二.1二8或1二―2(舍去，不符合题意)，

•••点0(8,0),

二.OD=8，

0£=12,

19

:.DE=OE—OD=4>3,

•••此人腾空飞出后的落点。在安全范围内；

【小问3详解】

解：根据题意可得M点的纵坐标为4,

17,

令y=&(x+39)+-=4,即(x+3)=25,

,-.%=2(舍去，不符合题意)或x=—8,

设BM所在直线的解析式为y=k