备战2023年高考数学一轮复习-第2讲-常用逻辑用语

第2讲常用逻辑用语第一章集合、常用逻辑用语与不等式考向预测核心素养主要考查充分、必要条件的判断、含有一个量词的命题的否定及真假判断，题型以选择题为主，低档或中档难度.数学抽象、逻辑推理01基础知识回顾一、知识梳理1.充分条件、必要条件与充要条件命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题“若p，则q”和“若q，则p”都是真命题推出关系p____qp____qp____q条件关系p是q的______条件，q是p的______条件p不是q的______条件，q不是p的______条件p是q的__________条件，简称为______条件⇒⇔充分充分充分必要必要必要充要2.全称量词和存在量词

全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题含有__________的命题叫做全称量词命题含有__________的命题叫做存在量词命题命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“_______________”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“_____________”全称量词存在量词∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)3.全称量词命题和存在量词命题的否定命题命题的否定结论全称量词命题∀x∈M，p(x)____________________全称量词命题的否定是______________存在量词命题∃x∈M，p(x)____________________

存在量词命题的否定是______________∃x∈M，¬p(x)存在量词命题∀x∈M，¬p(x)

全称量词命题

常用结论1.p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件.2.从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若A＝B，则p是q的充要条件；(3)若A

B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.3.含有一个量词的命题的否定规律：“改量词，否结论”.二、教材衍化1.(人A必修第一册P21例3(3)改编)“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：因为xy＞0x＜0，y＜0，且x＜0，y＜0⇒xy＞0，所以“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的必要不充分条件.√2.(人A必修第一册P31习题1.5T3(1)改编)命题：“∃x∈Z，|x|∉N”的否定是____________________.答案：∀x∈Z，|x|∈N一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(

)(2)q不是p的必要条件时，“p

q”成立.(

)(3)“梯形的对角线相等”是全称量词命题.(

)(4)“并非∀x∈M，p(x)”是全称量词命题.(

)√×√√二、易错纠偏1.(含一个量词的命题否定不当致误)命题p：∀x∈(0，＋∞)，sinx＞x的否定为(

)A.∃x∈(0，＋∞)，sinx＞xB.∃x∈(0，＋∞)，sinx≤xC.∃x∈(－∞，0]，sinx＞xD.∃x∈(－∞，0]，sinx≥x解析：因为原命题是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即¬p：∃x∈(0，＋∞)，sinx≤x.√√2.(多选)(充要条件理解不当致误)设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是(

)A.x＜1 B.x＞1C.x＞－1 D.x＞33.设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的________条件.答案：必要不充分√02核心考点共研考点一全称量词命题与存在量词命题(综合研析)复习指导：理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【解析】

(1)由于存在量词命题的否定是全称量词命题，所以改变量词，否定结论即可.√【答案】

(2)1(1)全称量词命题中的量词可以省略.(2)判断含量词的命题的真假有两种思路：根据量词的意义从命题本身判断或利用命题的否定的真假进行判断.|跟踪训练|1.(2022·河南驻马店高三阶段性检测)已知命题p：∃x∈(0，＋∞)，3x>x3，则¬p是(

)A.∃x∈(－∞，0)，3x≤x3

B.∃x∈(－∞，0)，3x>x3C.∀x∈(－∞，0)，3x≤x3

D.∀x∈(0，＋∞)，3x≤x3解析：根据特称命题的否定可知，¬p：∀x∈(0，＋∞)，3x≤x3.√答案：(－∞，－1]考点二充分条件、必要条件的判断(自主练透)复习指导：理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1.(2021·高考天津卷)已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件√解析：由题意，若a>6，则a2>36，故充分性成立；若a2>36，则a>6或a<－6，推不出a>6，故必要性不成立；所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件.故选A.2.设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件解析：当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0，3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；若直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合.综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件，故选A.√3.(2021·高考浙江卷)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件.故选B.√4．(2021·高考北京卷)设函数f(x)的定义域为[0，1]，则“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的(

)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：若函数f(x)在[0，1]上单调递增，则f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，而f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，并不能得到f(x)在[0，1]上单调递增，所以“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的充分而不必要条件．√充分条件、必要条件的2种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据p，q成立的对应集合之间的包含关系进行判断.[提醒]

判断充要条件需注意3点(1)要分清条件与结论分别是什么.(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断.(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明.考点三充分条件、必要条件的应用(思维发散)复习指导：通过条件之间的关系探求参数范围是充分、必要条件的重要应用，解决关键是将条件之间的关系转化为集合之间的关系.(链接常用结论2)已知条件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若p是q的必要条件，求实数m的取值范围.【解】

由题易知，P＝{x|－2≤x≤10}，由p是q的必要条件，知S⊆P.则

所以0≤m≤3.即m的取值范围是[0，3].1.本例中，若x∉P是x∉S的必要条件，求实数m的取值范围.解：若x∉P是x∉S的必要条件，则x∉S⇒x∉P，所以x∈P⇒x∈S，所以P⊆S，则所以m≥9，故实数m的取值范围是[9，＋∞).2.若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，所以

方程组无解，即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.根据充分条件、必要条件求解参数范围需注意以下2点：(1)将条件间的关系转化为集合间的关系，列出关于参数的不等式；(2)注意端点处函数值的检验.

√解析：当a＝0时，f(x)＝－2x＋3，在区间[1，3]上为减函数，所以不合题意，舍去；综上，函数f(x)＝ax2－2x＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是a≥1.2.若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________.解析：由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.答案：303课后达标检测√

√√√A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件√3.(2022·北京十一学校高一期中)已知命题p：“∀a≥0，都有x2＋2ax＋a2≥0”，则命题p的否定是(

)A.∃a≥0，使得x2＋2ax＋a2≤0B.∀a≥0，使得x2＋2ax＋a2<0C.∃a≥0，使得x2＋2ax＋a2<0D.∀a<0，使得x2＋2ax＋a2≤0解析：原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论，所以C选项符合.√A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件解析：因为p：|2x－3|<1⇔1<x<2，q：

≤1⇔1≤x<2，而(1，2)是[1，2)的真子集，所以p是q的充分不必要条件.√5.(2021·高考全国卷甲)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：是递增数列，则(

)A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：当a1<0，q>1时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn}递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{Sn}递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，不存在.所以甲是乙的必要条件.√6.(多选)(2022·常州10月调研)若x2－3x－4<0是－3<x<a的充分不必要条件，则实数a的值可以是(

)A.3B.4C.5D.6解析：由x2－3x－4<0，得(x－4)(x＋1)<0，解得－1<x<4，令A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|－3<x<a}，由题意得A

B，所以a≥4，故选BCD.√√7.(多选)(2022·汉川市第二中学期中测试)下列说法正确的有(

)A.不等式3x2＋7x＋2<0的解集是B.“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件C.命题p：∀x∈R，x2>0，则¬p：∃x∈R，x2<0D.“a<5”是“a<3”的必要条件√√√

8.若命题p的否定是“∀x∈(0，＋∞)，

>x＋1”，则命题p可写为____________________.答案：∃x∈(0，＋∞)，

≤x＋19.(202