高中数学同步讲义（人教B版2019选择性必修一）第03讲 1.1.2空间向量基本定理

.1.2空间向量基本定理TOC\o"1-3"\h\u题型1对共面向量概念的理解 2题型2向量共面的判定与证明 6题型3空间四点共面的条件 11◆类型1四点共面的判断 11◆类型2四点共面的证明 15◆类型3含参问题 20题型4空间向量基底概念及辨析 24题型5用空间基底表示向量 29题型6空间向量基本定理及其应用 35知识点一.共面向量一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.知识点二.共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得p=xa+yb,即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示。知识点三.空间四点共面的条件已知OA，OB，OC不共面，若OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1，则P，A，B，C四点共面.注意：共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量.（2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了.知识点四.空间向量的基本定理空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3基底和基向量如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量.题型1对共面向量概念的理解【方法总结】（1）任意两个空间向量都是共面向量；（2）若a，b不共线且同在平面α内，则p与a，b共面的意义是p在α内或p//α.【例题1】（多选）（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）下列命题中是真命题的为（

）A．若p与a,b共面，则存在实数xB．若存在实数x,y，使向量p=xaC．若点P,M,AD．若存在实数x,y，使MP=【答案】BD【分析】根据平面向量基本定理以及空间向量基本定理，可知B、D项正确；若a,b共线，则A结论不恒成立；若【详解】对于A项，如果a,b共线，则xa若p与a,对于B项，根据平面向量基本定理知，若存在实数x,y，使向量p=xa对于C项，如果M,A,B三点共线，则不论x,y取何值，xMA对于D项，根据空间向量基本定理，可知若存在实数x,y，使MP=xMA故选：BD.【变式1-1】1．(多选)（2022秋·福建泉州·高二晋江市季延中学校考期中）(多选)下列说法中正确的是（

）A．a−b=B．若AB，CD共线，则AB∥CDC．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP=D．若P，A，B，C为空间四点，且有PA=λPB+μ【答案】CD【分析】根据共线向量的定义、共面和共线的性质进行逐一判断即可.【详解】由a−b=a+b，可得向量a,若AB，CD共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP=34若P，A，B，C为空间四点，且有PA=λPB+μPC(PB，故选：CD【变式1-1】2．（多选）（2022秋·山西运城·高二校考阶段练习）已知空间向量a,A．若a∥b,b∥c，则aC．若|a⋅b|=|a|⋅|b|，则a与b【答案】BC【分析】对于A，举例判断，对于B，由共面向量定理判，对于C，根据数量积的定义判断，对于D，举例判断.【详解】对于A，若b=对于B，由三向量共面的充要条件知B正确；对于C，若|a⋅b|=|a|⋅|b|且a,b为非零向量，则cos〈a,b〉=1，所以对于D，若a,c都与b垂直，故选：BC.【变式1-1】3．（2022秋·福建福州·高二福建省福州第二中学统考阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有ABB．a−b=a+C．若AB，CD共线，则ABD．对空间任意一点O不共线的三点A，B，C，若OP=xOA+yOB+zOC（其中x，y，z【答案】A【分析】根据向量加法三角形法则可判断A；根据向量模的定义可判断B；根据向量共线可判断C；通过x+y+【详解】根据向量加法三角形法则可知A对；若a、b同向共线则不满足a−b=若AB，CD共线，则AB//CD或重合，可知对空间任意一点P与不共线的三点A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC(x,y故选：A．【变式1-1】4．下列命题中错误的是______．（填序号）①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB+②a−b=a+③若AB、CD共线，则AB∥④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP=xOA【答案】②③④【分析】直接由向量的运算、向量的共线及向量的共面依次判断4个命题即可.【详解】对于①，AB+对于②，a−b=a+b或对于③，若AB、CD共线，则AB∥CD或对于④，若OP=xOA+y故答案为：②③④.题型2向量共面的判定与证明【方法总结】利用向量法证明向量共面的策略（1）若已知点P在平面ABC内，则有OPAP=xAB＋yAC或OP=xOA＋yOB＋zOc（x+y＋z=1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．（2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.【例题2】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）若a,A．a，a+b，a+c B．aC．a，a−c，a+c D．b【答案】A【分析】根据平面向量的基本定理，可得答案.【详解】对于A，设x,y∈R，则x对于B，设x,y∈R，则x对于C，设x,y∈R，则xa+对于D，设x,y∈R，则x故选：A.【变式2-1】1.（2022秋·山东淄博·高二沂源县第一中学校考阶段练习）如图，M、N分别是空间四边形ABCD的边AB、CD的中点，则向量MN与AD、BC______．（填“共面”或“不共面”）【答案】共面【分析】用AD、BC的线性关系表达出MN，从而得到共面关系.【详解】由图可知：MN=则向量MN与AD、BC共面.故答案为：共面【变式2-1】2．（2023春·高一课时练习）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱AA1【答案】共面【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到EO=【详解】根据空间向量的运算法则，可得：EO=−1又由空间向量的共面定理，可得向量EO与AC，AD共面．【变式2-1】3．（2022·高二课时练习）在正方体ABCD−(1)AB,(2)AB,(3)AB,【答案】(1)共面(2)共面(3)不共面【分析】（1）由AB//（2）由AB∩BC=B，（3）AB∩BC=B,(1)在正方体ABCD−A1所以AB//D故向量AB与D1(2)在正方体ABCD−A1BC⊂平面ABCD,A1D1⊄平面所以向量AB与BC共面，向量A1D1所以AB,(3)在正方体ABCD−A1B1C1而DD1所以向量AB,【变式2-1】4．（2022·高二课时练习）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1【答案】证明见解析【分析】通过证明M,N,P,Q,【详解】依题意可知RQ//A1同理可得SM//所以M,N,P,Q,【变式2-1】5．（2022·高二课时练习）如图所示，已知斜三棱柱ABC−A1B1C1，点M、N分别在A(1)用向量AB→和AA1(2)向量MN→是否与向量AB→，【答案】(1)MN→(2)是.【分析】（1）利用向量的线性运算得出AN→=1−kAB→+kAC→和（2）由（1）结合共面向量基本定理，即可得出结论.【详解】（1）解：∵AN→AM→∴MN→（2）解：由（1）可知，MN→∴向量MN→与向量AB→，【变式2-1】6．已知向量a,b,c不共面，并且【答案】向量p,【分析】利用空间向量基本定理得到r=3【详解】设r=xp+yq，则−7a+18b题型3空间四点共面的条件◆类型1四点共面的判断【例题3-1】（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）已知A、B、C是空间中不共线的三个点，若点O满足OA+2A．点O是唯一的，且一定与A、B．点O不唯一，但一定与A、C．点O是唯一的，但不一定与A、D．点O不唯一，也不一定与A、【答案】A【分析】由OA+2OB+3OC=0，可得OA=−2【详解】由空间向量的知识可知a,b,c共面的充要条件为存在实数因为OA+2所以OA=−2所以OA,所以O,因为OA+2OB+3所以点O唯一.故选：A.【变式3-1】1．（河南省新乡市2022-2023学年高二上学期期末数学试题）下列条件能使点M与点A,A．OMB．OMC．OMD．OM【答案】D【分析】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.【详解】设OM=xOA+y对于A，OM=OA−对于B，OM=OA+对于C,OM=−OA−对于D，OM=−OA−OB+3故选：D.【变式3-1】2．（2023春·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）在下列条件中，能使M与A，B，C一定共面的是（

）A．OM=2OA−C．MA+MB+【答案】C【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．【详解】解：空间向量共面定理，OM=xOA+yOB+zOC，若A，B，C不共线，且A对于A，因为2−1−1=0≠1，所以不能得出A，B，C，M四点共面；对于B，因为15+13+12=31对于C，MA=−MB−MC，则MA，MB，MC为共面向量，所以M与A，对于D，因为OM+OA+OB+OC=0，所以OM=−OA−故选：C．【变式3-1】3．（2022秋·山东菏泽·高二校考期末）对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有6OPA．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面【答案】B【分析】利用向量加减法，根据空间向量的加减法，可得AP,【详解】由6OP=OA即AP=2PB+3又因为三个向量有同一公共点P，所以P,故选：B.【变式3-1】4．（2023春·高一课时练习）已知点A,B,C,D分别位于四面体的四个侧面内，点A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】由OD=12OA+【详解】因为OD=所以12OD所以6OD即AD=所以A,但当A,存在OD=故选：A.【变式3-1】5．下列条件中一定使点P与A，B，C共面的有（

）个①PC=②OP③OP=④OPA．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据向量共面的充要条件判断即可.【详解】①因为PC=13PA+23PB，所以PA，PA，PB为共面向量，所以点②OP=13OA+13OB+13OC⇒AP=对于③④显然不满足，故③④错；故选：C.◆类型2四点共面的证明【例题3-2】（2023·全国·高二专题练习）如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=【答案】证明见解析【分析】根据题意，由空间向量共面定理分别证得AC,AD,【详解】因为AC=AD+所以由共面向量定理可得AC,AD,因为AC,AD,AB有公共点A，所以A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面.【变式3-2】1．（2023春·高一课时练习）如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1【答案】证明见解析【分析】通过证明向量MQ、MN、MP共面来证得M,【详解】令D1A1=a所以MN=12MQ=设MQ=λMN则12μ−则MQ=2MN+MP．所以向量MQ、所以M、N、P、Q四点共面．【变式3-2】2（2023·江苏·高二专题练习）已知O,A,B,C,D,(1)A,(2)AC//(3)OG=【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据向量的共面定理，即可求解；（2）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解；（3）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】（1）解：因为AC=由共面向量的基本定理，可得AC,又因为AC,AD,AB有公共点（2）解：因为OE=则EG==k所以AC//（3）解：由（1）及OE=可得EG=所以OG=EG−【变式3-2】3．如图所示，四面体O−ABC中，G，H分别是△ABC(1)试用向量a,b,(2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．【答案】(1)MN=−1(2)证明见解析【分析】（1）结合空间向量的线性运算即可求出结果；（2）证得MN=（1）MN=−12OA=−12a因为OG=1（2）因为GH=OH−所以GH=13(b所以MNGH四点共面．【变式3-2】4．（2023春·高一课时练习）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；(2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM=【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）通过证明EG=EH+（2）利用空间向量运算证得结论成立.【详解】（1）EG=EH+所以EG=EH+（2）14◆类型3含参问题【例题3-3】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知O为空间任意一点，A,B,C,A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【分析】由题设条件推得OP=m【详解】因为BP=所以由BP得OP−即OP=因为O为空间任意一点，A,所以m+2+1=1，故m故选：A.【变式3-3】1．（2023春·高一课时练习）已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若A．λ=1360 B．λ=1760【答案】A【分析】根据向量共面定理，结合向量运算，整理可得系数的方程组，求得参数，可得答案.【详解】A,B,C,M四点共面的充要条件是由OM=2λOA+2故选：A.【变式3-3】2．(多选)（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）以下能判定空间四点P、M、A、B共面的条件是（

）A．MP=2MA+3C．PM⋅AB=0 D．PM【答案】ABD【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断.【详解】对A：若MP=2MA+3对B：若OP=12对C：若PM⋅AB=0，则PM对D：若PM∥AB，可知直线PM,故选：ABD.【变式3-3】3．（2023·全国·高二专题练习）已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x,y满足ODA．45 B．255 【答案】D【分析】根据共面向量的性质，结合配方法进行求解即可.【详解】因为OD=xOA+y所以x+y−1=1，即x所以当y=1时，x故选：D【变式3-3】4．（2023春·高二课时练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、DD1的中点，P是棱A1B1上靠近A1【答案】34/【分析】设AB=a，AD=b，AA1=c，用基底a,b,c表示向量PM、【详解】设AB=a，AD=b，NM=MQ=由题意可知，PM、NM、MQ共面，设MQ=即λb所以，34m+故答案为：34【变式3-3】5．（2022·高二课时练习）如图，在三棱锥P−ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若PD→=【答案】为定值4；证明见解析；【分析】联结AG并延长交BC于H，由题意，令PA→,PB然后根据点D，E，F，M共面，故存在实数λ,μ，满足DM→【详解】联结AG并延长交BC于H，由题意，令PA→则PM==1联结DM，点D，E，F，M共面，故存在实数λ,满足DM→=λ因此PM→由空间向量基本定理知，(1−λ故1m题型4空间向量基底概念及辨析【方法总结】基底的判断思路（1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底.（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.【例题4】（浙江省杭州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）若a,A．b+c,b,−b−C．a+b，a−b，【答案】C【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对选项A：−b−c对选项B：a=12a+b+对选项C：假设c=λa对于选项D：(a+b故选：C【变式4-1】1．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SAA．AB,12C．AB,12【答案】A【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.【详解】因为SA⊥所以SA⊥AB，因为AB⊥AC，AB=1，BC所以空间的一个单位正交基底可以为AB,故选：A【变式4-1】2．（2022秋·河南新乡·高二统考期中）若a,A．a+b，a−b−c，3aC．2a+b，a−c，3a+【答案】C【分析】采用假设向量共面，则根据共面向量定理可列出方程组，根据该方程组解的情况，判断选项A,B,D,根据2a【详解】对于A，假设a+b，a−则存在实数x,y使得a+此方程组无解，假设不成立，a+b，a−对于B,假设a−2b，a+则存在实数m,n使得a−2此方程组无解，假设不成立，a−2b，a+对于C,因为2a故2a+b，a对于D,假设a−2b，b+则存在实数s,t使得a−2此方程组无解，假设不成立，a−2b，b+故选：C【变式4-1】3．（2023秋·河北保定·高二统考期末）在以下命题中：①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA−2OB−2OC，则④若a，b是两个不共线的向量，且c=λa⑤若a,b,A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】直接利用空间基底，共面向量，共线向量的基础知识的应用求出结果．【详解】空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.①根据空间基底的定义，三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；故命题①正确．②由空间基底的定义，若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线，若a，b不共线，则a，b共面，一定有向量与a，b不共面；故命题②正确．③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，当OP=2OA−2OB−2OC时，若P，A，B，C四点共面，则AP=λAB+μAC，④若a，b是两个不共线的向量，且c=λa+μb(λ,⑤利用反证法：若{a设a+b=x(b+c)+y(c+a)(x,真命题有3个.故选：D【变式4-1】4．（多选）（2022秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期末）设a,A．若a⊥b，bB．a+c，b+C．对空间中的任一向量p，总存在有序实数组(x,D．存在有序实数对，使得c【答案】BC【分析】根据空间向量的基本定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【详解】对于A，a⊥b，b⊥c，不能得出a⊥c，也可能是对于B，假设向量a+b，b+c，c+a共面，则化简得(x+y)c=(1−x)b对于C，根据空间向量基本定理知，对空间任一向量p，总存在有序实数组(x,y,z)，使p=对于D，因为a,b,c是空间一个基底，所以a与b、故选：BC．【变式4-1】5．（多选）（2023春·广东·高二统考阶段练习）已知O，A，B，C为空间的四个点，则（

）A．若OA,B．若{OA,OBC．若OA与BC共线，则存在一个向量与OA,D．若OM=xOA【答案】BD【分析】结合基底的定义依次判断各选项即可.【详解】由OA,假设{OA+OB,OA所以OC=m+所以{OA因为OA与BC共线，对于任意非零向量a，都满足OA,BC,由OM=xOAx+所以xMA因为x+y+不妨设x≠0，则MA若M，A，B，C四点共面，则存在唯一实数对λ,μ使得所以OM−所以OM=1−所以1−λ−μ故选：BD.题型5用空间基底表示向量【方法总结】（1）若p=xa+yb+zc，则xa+yb+zc叫做向量a，b，c的线性表达式或线性组合，或者说p可以由a，b，c线性表示.（2）对于基底{a，b，c}，除了应知道a，b，c不共面外，还应明确以下三点：①基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，选用不同的基底，同一向量的表达式也可能不同；②由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0；③空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的，一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的不同概念.【例题5】（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC，BD相交于O，M为OA．14a+C．−14a【答案】C【分析】由空间向量的线性运算结合图形计算即可.【详解】

如图所示，CM=故选：C【变式5-1】1．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，P是CA1

A．QP=310C．QP=310【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为P是CA所以AP=又因为点Q在CA1上，且所以AQ=1所以QP=故选：C.【变式5-1】2．（浙江省杭州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）如图，在四面体ABCD中，AE=λAB，AH=λAD，

(1)求证：E、F、G、H四点共面．(2)若λ=13，设M是EG和FH的交点，O是空间任意一点，用OA、OB、OC、OD【答案】(1)证明见解析(2)OM【分析】（1）证明出EH//（2）由（1）可得出EH=12FG，可得出EH//FG，则EMMG=EHFG=12【详解】（1）证明：因为EH=FG=所以EH=λ1−λFG，则EH//FG，因此E（2）解：当λ=13时，AE=1因为CG=23CD，即由（1）知，EH=13BD，又因为EH、FG不在同一条直线上，所以，EH//则EMMG=EHFG=所以，OM=4【变式5-1】3．（2023秋·高二课时练习）如图，空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，D为BC的中点，设OA=a，OB=b，OC=

【答案】OG【分析】由已知得AD=12AB+由OH=23【详解】由已知得OB−OA=因为G是△ABC所以AD=12所以OG=又因为H是△OBC所以OH=GH=【变式5-1】4．（2022·高二单元测试）对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点．(1)试证：EF→与BC→，(2)AD→=a→，AB→=b→，AC→【答案】(1)证明见解析(2)BF→【分析】（1）连接AC，取AC的中点P，连接PE，PF，根据直线与平面平行的判定定理可得AD∥平面PEF，BC∥平面PEF，从而可得向量EF与BC，AD共面；（2）直接利用向量的加减法运算得答案．【详解】（1）

证明：如图，连接AC，取AC的中点P，连接PE，PF．∵P，F分别为AC，CD的中点，∴AD∥PF．又∵PF⊂平面PEF，AD⊄平面PEF．∴AD∥平面PEF．同理可证，BC∥平面PEF．∴向量EF与BC，AD共面.（2）解：BF=1