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文档简介
函数图象上因动点产生的将军饮马问题复习讲义
解题策略将军饮马问题或类将军饮马问题
解答函数图象上折线和最短(将军饮马类)的题目时要分清哪个或哪几个点是定点,哪个或哪几个是动点,动点
在哪条直线上运动.
作辅助线的方法是作定点关于动点所在直线的对称点,然后转化为两点间线段最短或点到直线的距离垂线段最
短来解答,核心是"折化直".
作解答时注意准确求出点的坐标,求点的坐标时可结合几何知识,或者是联立解析式组成方程组求解,要记住
两点间距离公式哦!
模型将军饮马模型
具体几何模型详见”轴对称相关的最短路径问题(两点间线段最短)"
精选例题
例1.如图,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,O),B两点与y轴交于点C,过点C作CD
“轴交抛物线于另一点D,作DE_Lx轴,垂足为点E.双曲线y=沁〉0)经过点D,连接MD,BD.
(1)求抛物线的解析式;
⑵点N,F分别是x轴,y轴上的两点,当以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时,求出点N,F的坐
标;
解析
(1)由CD1y轴可得点D的纵坐标,根据反比例函数可求出点D的坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析
式;
(2)点M和点D为两个定点,点N和点F是x轴,y轴上的两动点,求以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小值,
实际上就是求.FM+MD+DN+NF的最小值,可应用第二篇第四章4.1中模型1-4进行解答.
解Q)由题意知C的坐标为(0,3),则D点的纵坐标为3.
把y=3代入y=[得x=2./.D的坐标为(2,3).
把A(-1,0),D(2,3)的坐标代入y=ax2+bx+3相
[0="6+3,解得fa=T,
[3=4a+2b+3用牛1守16=2.
,抛物线的解析式为y=-x2+2x+3;
(2)y=-x2+2x4-3=-(x-1)2+4.,顶点M的坐标为(1,4).
设M关于y轴的对称点为M:则M的坐标为(-1,4).
同理D点关于x轴对称点的坐标D,的坐标为(2,-3).
(卜_7
设直线MD为y=kx+b厕14"我?解得一了
IJ—乙K十u.b=一
I-3,
,直线MD的表达式为y=-1x+|.
直线M'D'交x轴于点(go),交y轴于点((0,|).
,当以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时,点N的坐标为(C,O),F的坐标((0,|).
例2.如图抛物线y=1x2+bx+c与直线y=|%+3交于A,B两点交x轴于C、D两点,连接AC、BC,已知A
(0,3),C(-3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线对称轴I上找一点M,使|MB-MD冏值最大,并求出这个最大值;
⑶点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ1P4交y轴于点Q,问:是
否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与△4BC相似?若存在,请求出所有符合条件的点P)
D
的坐标;若不存在,请说明理由.
4・,解析
(1)根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)根据对称性,可得MC=MD,根据解方程组,可得B点坐标,根据两边之差小于第三边,可得B,C,M
共线,根据勾股定理,可得答案;
(3)根据等腰直角三角形的判定,可得4CE,2C0,根据相似三角形的判定与性质,可得关于x的方程,根据
解方程,可得x,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案.
解⑴将A(O,3),C(-3,O)代入函数解析式得1_3;;:'=0,解得二'抛物线的解析式是y=j%2+|%+3;
(2)由抛物线的对称性可知,点D与点C关于对称轴对称,二对I上任意一点有MD=MC.
(1
联立方程组,「丁:3,解得片Z不符合题意,舍)匕二:
D+1+3,113,
当点B,C,M共线时,|MB-MD|取最大值,即为BC的长.
过点B作BE,x轴于点E.
在RMBEC中油勾股定理得
BC=y/BE2+CE2=
|MB-MD|取最大值为V2.
此时直线BC的解析式为y=-x-3,对称轴为工=一|代入得、=—抑
(3)存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与AABC相似,
在RbBEC中,.BE=CE=L,NBCE=45°.
在RbACO中,•.AO=CO=3,「.NACO=45。.
.•.zACB=180°-45o-45o=90°MiP作「6,丫轴于6点NPGA=90。,设P点坐标为
),
①当NPAQ=NBAC时,WAQSACAB.
.NPGA=NACB=90°/PAQ=NCAB,
/.△PGA^^BCA.
.BC_ACnr.PG_BC_1
,,PG-AGaAG-AC~3
.x_1
|X2+|X+3-33
解得打=l,x2=0(舍去).
••.P点的纵坐标为|xl2+|xl+3=6.
.•.P(l,6).
②当NPAQ=NABC时,APAQSACBA.
•.zPGA=zACB=90o,zPAQ=zABC.
.,.△PGA~AACB.
BC_ACggPG_AC_3
••AG-PG"AG-BC一'
X0
,,it—3.
-X2+-X+3-3
解得久1=一日(舍去),•孙=。(舍去).
,此时无符合条件的点P.
综上所述,存在点P(l,6).
精选练习
1.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A,C的坐标分别为(6,0),(4,3),经过B,C两点的抛物
线与x轴的一个交点D的坐标为(1.0).
(1)求该抛物线的解析式;
⑵若NAOC的平分线交BC于点E,交抛物线的对称轴于点F,点P是x轴上一动点,当PE+PF的值最小
2.如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于4(-1,0),B(5,0)两点与y轴交于点
c.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)若点D是y轴上的一点,目以B,C,D为顶点的三角形与△力8c相似,求点D的坐标;
(3)如图2,(轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点,过点H且与y轴平行的直
线与BC,CE分别交于点F,G,试探究当点H运动到何处时,四边形CHEF的面积最大,求点H的坐标及最
大面积;
(4)若点K为抛物线的顶点,点M(4,m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上分别找点P,Q,使四边形
PQKM的周长最小,求出点P,Q的坐标.
3.抛物线y=久2+。久+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1>0),点C的坐标为(
(O-3).点P为抛物线y=/+bx+c上的一个动点.过点P作.PD1x轴于点D,交直线BC于点E.
⑴求b、c的值;
(2)设点F在抛物线y=/+bx+c的对称轴上,当△力CF的周长最小时,直接写出点F的坐标;
(3)在第一象限,是否存在点P,使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍?若存在,求出
点P所有的坐标;若不存在,请说明理由.
1.解:⑴:平行四边形OABC中,A(6,0),C(4,3),
.•.BC=OA=6,BC〃x车轴.
xB-xc+6=10,yB—yc—3,即B(10,3).
设抛物线yax2+bx+c经过点B、C、D(l,0),
a=—
100a+106+c=3,
16。+4b+c=3,解得\b=—.
a+b+c=0,
(2)如答图1,作点E关于x轴的对称点E'z
连接EF交x轴于点P.
•・・C(4,3),
OC—V42+32=5.
VBC/7OA,
・•・NOEONAOE.
VOE平分NAOC,
JZAOE=ZCOE.
:.ZOEC=ZCOE.
・・・CE=OC=5.
・•・xE=xc+5=9,即E(9,3).
,直线OE解析式为y=gx.
・・,直线OE交抛物线对称轴于点F,对称轴为直线:
(哈
••,点E与点E关于x轴对称,点P在x轴上,
•,.E'(9,-3),PE=PE'.
当点F、P、E,在同一直线上时,PE+PF=PE'+PF=FE®/J\.
设直线E'F解析式为y=kx+h,
9k+h=—3
h=21.
二・直线tF\y=—+21.
当+21=0时,解得:x=
3o
.•.当PE+PF的值最小时,点P坐标为((管,0).
2.解析:(1)根据待定系数法直接确定出抛物线解析式;
(2)分两种情况,利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标;
⑶先求出直线BC的解析式,进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式,即可求出最大值;
(4)利用对称性找出点P,Q的位置,进而求出P,Q的坐标.
解:⑴•.•点A(-1,O),B(5,O)在抛物线y=ax2+bx-5上,
CL—b—5=0,
・••25a+5b—5=0,
b=—4,
..・抛物线的解析式为y=%2-4x-5;
⑵如答图1,令x=0,则y=-5,
.\C(0,-5).
,>.OC=OB.
ZOBC=ZOCB=45°.
;.AB=6,BC=5V2.
要使以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似,则有*=黑或霁=*
CDDCDCCL)
①当会割寸,CD=AB=6,
②当冷舸喘卷
25
ACD=—.
3答图1
皿0号).
即:D的坐标为(0,1)或(0<y);
(3)设.//(t-t2-4t-5).
:CE〃x轴,
•••点E的纵坐标为-5.
VE在抛物线上,
・•・x2—4x—5=-5.
・・・x=0(舍)或x=4.
・・・E(4,-5).
・・・CE=4.
VB(5,0),C(0,-5),
二.直线BC的解析式为y=x-5.
F(t,t-5).
HF=t-5-(t2-4t-5)=-(t-j)2+Y-
:CE〃x轴,HF〃y轴,
.\CE±HF.
•'S3皿=}CE・HF=-2(/--1-)i+y.
当t=泄,四边形CHEF的面积最大为y.
当t=刘寸./―姓一5=与一I。一5=一半
•MT);
(4)如答图2,:K为抛物线的顶点,,K(2,-9).
/.K关于y轴的对称点K,(-2,-9).
:M(4,m)在抛物线上,
•••点M关于x轴的对称点M,(4,5).
..•直线KM的
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