2024年中考数学复习：函数图象上因动点产生的将军饮马问题复习讲义

函数图象上因动点产生的将军饮马问题复习讲义

解题策略将军饮马问题或类将军饮马问题

解答函数图象上折线和最短(将军饮马类)的题目时要分清哪个或哪几个点是定点，哪个或哪几个是动点，动点

在哪条直线上运动.

作辅助线的方法是作定点关于动点所在直线的对称点，然后转化为两点间线段最短或点到直线的距离垂线段最

短来解答，核心是"折化直".

作解答时注意准确求出点的坐标，求点的坐标时可结合几何知识，或者是联立解析式组成方程组求解，要记住

两点间距离公式哦！

模型将军饮马模型

具体几何模型详见”轴对称相关的最短路径问题(两点间线段最短)"

精选例题

例1.如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,O),B两点与y轴交于点C,过点C作CD

“轴交抛物线于另一点D,作DE_Lx轴，垂足为点E.双曲线y=沁〉0)经过点D,连接MD,BD.

(1)求抛物线的解析式；

⑵点N,F分别是x轴，y轴上的两点，当以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时，求出点N,F的坐

标；

解析

(1)由CD1y轴可得点D的纵坐标，根据反比例函数可求出点D的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析

式；

(2)点M和点D为两个定点，点N和点F是x轴,y轴上的两动点，求以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小值，

实际上就是求.FM+MD+DN+NF的最小值，可应用第二篇第四章4.1中模型1-4进行解答.

解Q)由题意知C的坐标为(0,3),则D点的纵坐标为3.

把y=3代入y=[得x=2./.D的坐标为(2,3).

把A(-1,0),D(2,3)的坐标代入y=ax2+bx+3相

[0="6+3,解得fa=T,

[3=4a+2b+3用牛1守16=2.

，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3;

(2)y=-x2+2x4-3=-(x-1)2+4.，顶点M的坐标为(1,4).

设M关于y轴的对称点为M：则M的坐标为(-1,4).

同理D点关于x轴对称点的坐标D，的坐标为(2,-3).

(卜_7

设直线MD为y=kx+b厕14"我?解得一了

IJ—乙K十u.b=一

I-3，

，直线MD的表达式为y=-1x+|.

直线M'D'交x轴于点(go),交y轴于点((0，|).

，当以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时，点N的坐标为(C，O),F的坐标((0，|).

例2.如图抛物线y=1x2+bx+c与直线y=|%+3交于A,B两点交x轴于C、D两点，连接AC、BC,已知A

(0,3),C(-3,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线对称轴I上找一点M，使|MB-MD冏值最大，并求出这个最大值；

⑶点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA,过点P作PQ1P4交y轴于点Q,问：是

否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与△4BC相似?若存在，请求出所有符合条件的点P)

D

的坐标；若不存在，请说明理由.

4・，解析

(1)根据待定系数法，可得函数解析式；

(2)根据对称性，可得MC=MD,根据解方程组，可得B点坐标，根据两边之差小于第三边，可得B,C,M

共线，根据勾股定理，可得答案；

(3)根据等腰直角三角形的判定，可得4CE,2C0,根据相似三角形的判定与性质，可得关于x的方程，根据

解方程，可得x,根据自变量与函数值的对应关系，可得答案.

解⑴将A(O,3),C(-3,O)代入函数解析式得1_3；；：'=0,解得二'抛物线的解析式是y=j%2+|%+3；

(2)由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称，二对I上任意一点有MD=MC.

(1

联立方程组，「丁:3，解得片Z不符合题意，舍)匕二:

D+1+3,113,

当点B,C,M共线时,|MB-MD|取最大值，即为BC的长.

过点B作BE，x轴于点E.

在RMBEC中油勾股定理得

BC=y/BE2+CE2=

|MB-MD|取最大值为V2.

此时直线BC的解析式为y=-x-3,对称轴为工=一|代入得、=—抑

(3)存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与AABC相似，

在RbBEC中,.BE=CE=L，NBCE=45°.

在RbACO中,•.AO=CO=3,「.NACO=45。.

.•.zACB=180°-45o-45o=90°MiP作「6，丫轴于6点NPGA=90。,设P点坐标为

）,

①当NPAQ=NBAC时,WAQSACAB.

.NPGA=NACB=90°/PAQ=NCAB,

/.△PGA^^BCA.

.BC_ACnr.PG_BC_1

,,PG-AGaAG-AC~3

.x_1

|X2+|X+3-33

解得打=l,x2=0（舍去）.

••.P点的纵坐标为|xl2+|xl+3=6.

.•.P(l,6).

②当NPAQ=NABC时,APAQSACBA.

•.zPGA=zACB=90o,zPAQ=zABC.

.,.△PGA~AACB.

BC_ACggPG_AC_3

••AG-PG"AG-BC一'

X0

,,it—3.

-X2+-X+3-3

解得久1=一日(舍去),•孙=。(舍去).

，此时无符合条件的点P.

综上所述,存在点P(l,6).

精选练习

1.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A,C的坐标分别为(6,0),(4,3),经过B,C两点的抛物

线与x轴的一个交点D的坐标为(1.0).

(1)求该抛物线的解析式；

⑵若NAOC的平分线交BC于点E,交抛物线的对称轴于点F,点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小

2.如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于4(-1，0),B(5,0)两点与y轴交于点

c.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)若点D是y轴上的一点，目以B,C,D为顶点的三角形与△力8c相似，求点D的坐标；

(3)如图2,(轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直

线与BC,CE分别交于点F,G,试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最

大面积；

(4)若点K为抛物线的顶点，点M(4,m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P,Q,使四边形

PQKM的周长最小，求出点P,Q的坐标.

3.抛物线y=久2+。久+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,点A的坐标为(-1>0),点C的坐标为(

(O-3).点P为抛物线y=/+bx+c上的一个动点.过点P作.PD1x轴于点D,交直线BC于点E.

⑴求b、c的值；

(2)设点F在抛物线y=/+bx+c的对称轴上，当△力CF的周长最小时，直接写出点F的坐标；

(3)在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍?若存在，求出

点P所有的坐标；若不存在，请说明理由.

1.解:⑴：平行四边形OABC中,A(6,0),C(4,3),

.•.BC=OA=6,BC〃x车轴.

xB-xc+6=10,yB—yc—3,即B(10,3).

设抛物线yax2+bx+c经过点B、C、D(l,0),

a=—

100a+106+c=3,

16。+4b+c=3,解得\b=—.

a+b+c=0,

(2)如答图1,作点E关于x轴的对称点E'z

连接EF交x轴于点P.

•・・C(4,3),

OC—V42+32=5.

VBC/7OA,

・•・NOEONAOE.

VOE平分NAOC,

JZAOE=ZCOE.

:.ZOEC=ZCOE.

・・・CE=OC=5.

・•・xE=xc+5=9,即E(9,3).

，直线OE解析式为y=gx.

・・,直线OE交抛物线对称轴于点F,对称轴为直线：

(哈

••,点E与点E关于x轴对称，点P在x轴上，

•,.E'(9,-3),PE=PE'.

当点F、P、E，在同一直线上时，PE+PF=PE'+PF=FE®/J\.

设直线E'F解析式为y=kx+h,

9k+h=—3

h=21.

二・直线tF\y=—+21.

当+21=0时,解得:x=

3o

.•.当PE+PF的值最小时，点P坐标为((管,0).

2.解析：(1)根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；

(2)分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；

⑶先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；

(4)利用对称性找出点P,Q的位置，进而求出P,Q的坐标.

解:⑴•.•点A(-1,O),B(5,O)在抛物线y=ax2+bx-5上,

CL—b—5=0,

・••25a+5b—5=0,

b=—4,

..・抛物线的解析式为y=%2-4x-5；

⑵如答图1,令x=0,则y=-5,

.\C(0,-5).

,>.OC=OB.

ZOBC=ZOCB=45°.

；.AB=6,BC=5V2.

要使以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似，则有*=黑或霁=*

CDDCDCCL)

①当会割寸,CD=AB=6,

②当冷舸喘卷

25

ACD=—.

3答图1

皿0号).

即:D的坐标为(0,1)或(0<y)；

(3)设.//(t-t2-4t-5).

：CE〃x轴，

•••点E的纵坐标为-5.

VE在抛物线上，

・•・x2—4x—5=-5.

・・・x=0(舍)或x=4.

・・・E(4,-5).

・・・CE=4.

VB(5,0),C(0,-5),

二.直线BC的解析式为y=x-5.

F(t,t-5).

HF=t-5-(t2-4t-5)=-(t-j)2+Y-

：CE〃x轴,HF〃y轴，

.\CE±HF.

•'S3皿=}CE・HF=-2(/--1-)i+y.

当t=泄，四边形CHEF的面积最大为y.

当t=刘寸./―姓一5=与一I。一5=一半

•MT)；

(4)如答图2,：K为抛物线的顶点，，K(2,-9).

/.K关于y轴的对称点K,(-2,-9).

：M(4,m)在抛物线上，

•••点M关于x轴的对称点M,(4,5).

..•直线KM的