2024年中考数学复习：面积问题复习讲义

面积问题复习讲义

解题要点剖析

近年来，全国各地中考卷中频频出现“面积问题”的试题，成为中考数学卷中的一个亮点.面积问题常常

涉及三角形（三角形、全等三角形、相似三角形）、圆、扇形、四边形（平行四边形）、勾股定理等知识.求解

面积问题的一般方法：观察这个图形是否是规则图形，如果图形不规则，常常采用割补法求解；如果图形

是三角形或比较规则的四边形，常常需要借助相似三角形或勾股定理等知识求出相应的边长和高，最后利

用面积公式求解即可.

考题解析

例1（苏州）如图9-1所示,在菱形ABCD中,NA=6（F,AD=8,F是AB的中点过点F作FEXAD,垂足为

E.WAAEF沿点A到点B的方向平移，得到△4E下.设P、P分别是EF、EF的中点，当点A与点B重合时,

四边形PP'CD的面积为（）.

A.28V3B.24V3

C.32V3D.32V3-8

图9-1

分析如图9-2所示，连接BD,DF,DF交PP于H.易知AABD是等边三角形，由等腰三角形三线合一性

质可得：DF，AB进而可得DF，PP,故只需求出DH的长即可.

由平移的性质可得：PP'=AA'=CD=AB=8,PP'\\AA'\\CD

四边形PP'CD是平行四边形.

，DF±PP'.

在RtAAEF中,NAEF=90。/4=60。，4F==4,P为EF中点.

AE=2,EF=2V3,

•••PE=PF=V3.

在RtAPHF中,.NFP”=30°,PF=V3,HF=|?F=y.

在RtADFA中,AD=8,NA=60。，

•••DF=ADsinA=8xsin60°=4A/3.DH=DF-HF=4百一号=学.

s==8x受=28Vl

四边形PP'CD

解答A.

小结本题综合考查了菱形的性质、平移的性质、含30。角的直角三角形的性质、锐角三角函数的应

用、等腰三角形三线合一性质以及平行四边形的判定和性质.求解的关键是：先根据菱形的性质和等腰三角

形的性质，确定出DFXAB,这样就可以确定出四边形.PP'CD的高，再根据平移的性质和平行四边形的

判定可以判断，四边形.PP'CD是平行四边形，进而可得PP的长度，最后代入面积公式计算即可.

例2如图9-3所示，在平面直角坐标系中，曲线C是由函数y=:在第一象限内的图象绕坐标原点O

逆时针旋转45。得到的，过点4(-4/，4夜),B(2夜，2段)的直线与曲线C相交于点M、N,则AOMN的面

积为—.

图9-3

分析根据点A,B的坐标特征可得，直线0A的解析式为y=-x,直线0B的解析式为y=x,故OALOB,

建立如图9-4所示的新坐标系：以O为圆心，射线0B为x轴，射线OA为y轴.

曲线C在新坐标系下的解析式为V=/,根据勾股定理或者两点间的距离公式可得：OB=4,OA=8,故

在新的坐标系中,A(0,8),B(4,0),然后求出点M和N的坐标，最后利用ABOM的面积减去ABON的面积即可求

出AOMN的面积.

易求得直线AB的解析式为/=-2/+8,

r

y=-2x'+8,=3,

令y,=9解得

=2.

所以点M和N的新坐标分别为(1,6)和(3,2).

11

,'eS（）MN=S0BM~S0BN=-X4X6--X4X2=8.

图9-4

小结本题综合考查了一次函数、反比例函数、建立新坐标系、求两函数图象的交点坐标、勾股定理

以及割补法求面积等知识.若要求AOMN的面积，需要求出点M和N的坐标，但在原坐标系下很难求出，

结合点A和B的坐标特征，建立新的坐标系可以很容易表示出曲线C的解析式，进而容易求出点M和N

的坐标，这就是求解本题的核心所在.

例3运用图形变化的方法研究下列问题：如图9-5所示,AB是。O的直径,CD、EF是。O的弦，且AB

〃CD〃EF,AB=10,CD=6,EF=8,贝［|图中阳景乡部分的面积是().

A25

A.一71B.1071

2

C.24+4兀D.24+5兀

分析如图9-6所示，连接0C、OD.fiAB/7CD可知SAACD=SACD;连接

OE、OF,由AB〃EF可知SAAEF=SZkOEFm作直径CG,连接DG,由圆的直径

所对的圆周角是直角，可得NCDG=90。,由勾股定理可得：DG=A

7AB2—CD2="02_62=8,所以EF=DG.由在同圆或等圆中，等弦对等弧可

得：SADOO=SAOEF.故将阴景彳部分的面积转化为扇形OCD和扇形DOG的面积

之和，而这两个扇形的面积之和正好是半圆。的面积.

•C—CC

••圆锥侧~加水力咏OEF

=S梯欣D+,球=S梯形ODG=S梯形=-^x52=y

解答A.

图9-6

小结本题综合考查了平行线间的距离处处相等，圆的基本性质（直径所对的圆周角是直角，在同圆

或等圆中相等的弦所对的弧相等）,勾股定理以及“转化”思想等方法.求解的关键是：首先把不规则的阴影

部分的面积转化为扇形OCD和扇形OEF的面积之和，但由于中心角/COD和/EOF不好求，故通过构

造新直径CG,然后把扇形OEF的面积转化为扇形DOG的面积，最后把阴影面积转化为扇形OCD和扇形

DOG的面积之和，而它们的和正好是半圆的面积.

例4如图9-7所示，在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,DE平分NADO,交AC于点E.把

AADE沿AD翻折得到AADE,点F是DE的中点，连接AF,BF,EF.若AE=则四边形ABFE的面积是一

图9-7

分析四边形ABFE，是不规则图形，直接求面积很难进行，故需要用割补法求面积.如图9-8所示，连

接EB,EE,作EMLAB,垂足为点M,EE交AD于点N.先求出EM,EN,根据角平分线的性质可求OE和OA

的长，进而可求AB和BD的长.根据S=&SEDB和$圆锥侧AEF。-2sADE^DFE'=2S—可求出

EFBADE

SAEFB和S四边形AEFE',最后把S四边形，S"FB和SAAEB加起来就是四边形ABFE’的面积

四边形ABCD是正方形.

.•.AB=BC=CD=DA,AC_LBD,AO=OB=OD=OC,NDAC="AB=4DAE'=45°.

根据轴对称性可得：△ADE=AADE'=AABE„AD垂直平分EE,.

•••乙NAE=乙NEA=^MAE=^MEA=45°,AE=V2,

•••AM=EM=EN=AN=1.

•?ED平分.N4D0,EN1DA,EO1DB,

：.EN=EO=1,AO=V2+1.

AB=y[2A0=2+V2.

^AEB=SAED-^ADE'

=|x（2+V2）xl=l+^,

**,SBDE=^ADB-2SAEB

=5x（2+V2）x（2+V2）-2x（1+f）=1+V2.

BQE

•••DF=EF,\SEFB=|S=

SDEE，=^ADE-^AEE'=2X（1+-jxV2xV2=V2+l,

s_1c_1+涯

、DFE，=2^DEE，~2'

3+V2

S四边形AEFE，=2SADEFFE，=2X（1+务等2，

..S四边形ABFE'一'四边形AEFE，+^AEB+‘EPI

3+V2,,1+V26+3V2

=--------FH--------=

222,

解答"I空

小结本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、三角形中线的性质、角平

分线的性质以及割补法求面积等知识.求解的关键在于先把所求四边形分割为比较容易求面积的一个新四边

形和两个三角形，再根据基本定理和性质，求相应的边长和高，最后利用割补法求这个新四边形的面积，

并把分割得到的新四边形和两个三角形的面积相加.

例5如图9-9所示，在边长为a的正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60。彳导到线段BM,

连接AM并延长，交CD于点N,连接MC,则AMNC的面积为（）.

分析思路1:易知AMBC是等边三角形，所以BM=CM=BC=a,/MBC=/MCB=/BMC=60。.因为

AB=BC,所以AB=BM,易知.N力MB=丁。°=7s°,Z.NMC=180°-75°-60°=45。如图9-10所示,

作NEJ_CM,垂足为点E.设NE=x，贝（].ME=NE=x,CE=遮NE=百久.因为V3x+%=a,所以%=磊=

•^―a,因此SAMNC=[xax'^―a—a2.

思路2:要求AMNC的面积，只需求出CN和边CN上的高.如图9-11所示，作MF，BC,MG，CD,垂足分

别为点F和点G.因为AMBC是等边三角形，所以BF=CF.又因为AB〃MF〃CD,由平行线分线段成比例定理

可得:AM=MN.因为MG〃AD,所以DG=GN.在RtAMCG中,.NMCG=90°-60°=30°,MG=|MC=

|a,CG=yMC=与a,所以GN=DG=CD—CG=a—?a.所以CN=CG-GN^^-a-=

y[3a-a.因止匕SMNC=~~a?.

解答C.

小结本题综合考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、平行线分

线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识.思路1利用解直角三角形的方法求AMNC底边CM上

的高；思路2利用相似三角形的判定和性质得到DG=GN,进而根据间接法可求出CN的长度.

例6我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全

等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图9-12所示的

矩形由两个这样的图形拼成.若a=3,b=4,则该矩形的面积为().

A.20B.24

D.-

2

分析要求矩形的面积，只需求出小正方形的边长.故设小正方形的边长为X,则矩形的一边长为3+X,

另一边长为4+x,根据全等三角形的性质和勾股定理可得：(a+%)2+(6+%)2=(a+6产即(%+3)2+

(x+4)2=7%.%2+7%=12..•.该矩形的面积为(3+x)(4+%)=炉+7x+12=24.

解答24.

小结本题以刘徽勾股形为背景创造了一个全新的面积问题，综合考查了全等三角形的性质、勾股定

理以及整体代入法等知识.本题的关键是借助勾股定理建立方程模型，然后利用整体代入法求矩形的面积.

例7如图9-13所示,在等腰RtAABO中,NA=90。,点B的坐标为(0,2).若直线l:y=mx+m(m加肥AABO

分成面积相等的两部分，则m的值为一.

分析如图9-14所示.y=mx+m=m(x+l),函数y=mx+m一定过点(一1,0).

当x=0时,y=m.直线1与y轴的交点C的坐标为(0,m).

由等腰RtAABO易知，直线AB的解析式为y=-x+2,

2-m

X--

令『二解得，［常’.:点D的坐标为篇品).

y一而,

直线l:y=mx+m（m¥O）把AABO分成面积相等的两部分,

SBCD=2^ABO'

|x(2-m)x=|x|x2xl,解得，m=与乎或m=亚/(舍去).

解答一.

小结本题综合考查了一次函数的图象，待定系数法求解析式，联立方程组求两直线交点坐标，点的

坐标与线段的长相互转化以及解分式方程等知识.求解的关键是先画出示意图，然后利用数形结合的思想和

点的坐标与线段的长之间相互转化，分别表示出相关三角形的面积，并建立方程模型，最后注意要检验方

程的根是否符合题意.

例8如图9-15所示.菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为（一10,

0）,对角线AC和OB相交于点D且ACOB=160.若反比例函数y=久久＜0）的图象经过点D,并与BC的

延长线交于点E,则SAOCE:SAOAB=

分析如图9-16所示，作CG±AO于点G,作BHXAO于点H.

AC-0B160,•••S斗…=-AC-OB=80.

差锥狈He2

-I-1

•••So.=2S~7=40,即-AO•CG=40.

2菱形OABC2

VA(-10,0),BPOA=10,ACG=8.

在RtAOGC中./OGC=9()o,OC=OA=10,CG=8,

・•.OG="02-82=6.故点C的坐标为(-6,8).

•；D为AC的中点,.•.点D的坐标为(-8,4).

：D在反比例函数y=f勺图象上，

图9-16

・・.k=-8x4=-32.

即反比例函数解析式为y=子.

当y=8时,x=-4,则点E（-4,8）.ACE=2.

•­•SaEE=\CE-CG=|x2x8=8,SOAB=|X0-BH=|x10x8=40,

^OCE-^OAB=1：5.

解答1：5.

小结本题综合考查了菱形的性质、勾股定理、反比例函数、点的坐标与线段的长相互转化以及中点

坐标公式等知识.求解的关键是先根据菱形的等面积法求出边OA上的高，然后利用勾股定理求出点C的坐

标，接着利用中点坐标公式求出点D的坐标，进而求出反比例函数解析式和点E的坐标，最后直接计算所

求的三角形的面积即可.

模拟训练

1.如图9-17所示,面积为1的等腰RtAOA1A2,^OA2A1=90。,以OA?为斜边在△。人企外作等腰

RSOA2A3,以OA3为斜边在AOA2A3外作等腰RtAOA3A《以OA4为斜边在AOA3A&外作等腰

RtAOA4A§......连接A1A3,A3A5,A5A7…分别与OAzQAdQAe…父于点2,外,%…按此规律继续下去,记

△OB1A3的面积为S“OBzA的面积为S2,A0B34的面积为S3,…，。当力2n+i的面积为S团厕S团=（用含正

整数n的式子表示）.

2.如图9-18所示已知正方形ABCD,点E是BC边的中点DE与AC相交于点F,连接BF,下列结论：

①SAABF=S