2024年中考数学复习：与坐标有关的压轴题复习讲义

与坐标有关的压轴题复习讲义

由点坐标到线段长的破题之道

在平面直角坐标系xOy中，我们知道线段AB的长取决于两个端点的坐标.

在图1在线段AB〃y轴，则AB=yi-y2(yi)y2)；

在图2中线段AB〃x轴厕AB=%1-

(注：若不明确线段两个端点的位置情况或坐标大小，则线段长需要确保非负性，应写成坐标差的绝对值.)

在图3中，一般情况下，已知点A(X[,yi),B(X2,y2),若.心丰功且%丰%”则AB=J(久】一比2产+(%-有时会

222

记作AB=(xi-x2)+(yi-y2).

图1至图3的三种情况，是坐标系里由两点坐标得到线段长的具体途径，这其实是一个由“数”到“形”的过程,

是我们破解压轴题应该具备的技能.

例25在RtAABC中,AB=BC在RtAADE中,AD=DE,连接EC,取EC的中点M,连接DM和BM.

⑴若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图4,探索BM,DM的关系并给予证明；

(2)如果将图4中的AADE绕点A逆时针旋转小于45。的角，如图5，那么(1)中的结论是否仍成立?如果不成立，

请举出反例；如果成立，请给予证明.

图4图5

【分析】读完题目以后，同学们一定会很纳闷，这是一道纯几何推理的探索证明题，没有平面直角坐标系，

没有任何点的坐标，没有函数背景，何谈由点的坐标到线段长的计算呢?其实这是为了增强说服力，为了体现这一

课解题技能的重要性，老师特意选了这么一道貌似不可能破解的例题.

我们都知道探索两条线段的关系其实就是判断两条线段的数量关系与位置关系数量关系一般是等量关系，

位置关系就是平行或垂直,而这些数量关系或位置关系都可以在坐标系中体现出来.所以我们如果能将探究的图形置

于平面直角坐标系中，赋予图形中关键点的坐标，然后充分考虑等腰直角三角形的特征，那例题前面分析的内容与

方法就可以发挥作用了.

⑴如图6,在没有旋转前，点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，这属于特殊情况，也属于

比较常规的几何推理，我们不需要借助坐标就能轻松给出解答.由于BM,DM都是各自所在直角三角形中斜边上的

中线，而斜边又是公共的CE边，因此BM=DM=汉/Zl=2N3,N2=2z4,不难断定BM1DM,,因此

BM,DM的关系是相等且垂直，这样的结论也是(2)的探索方向.

⑵绕点A旋转后，(1)中的图形关系发生了改变，不能仅靠简单的推理发现BM,DM之间的关系，我们尝试

引入坐标以数形结合的方式进行探索.

如图7,以点A为坐标原点，AC所在直线为x轴，过点A作AC的垂线为y轴，建立平面直角坐标系.考

虑到AABC是等腰直角三角形，不妨设直角顶点B的坐标为(a,a)(a>0)厕顶点C的坐标为(2a,0).

如图8设动点D的坐标为(X,y)(由于旋转角小于45。,所以%>y>0)过点D作DGLAC于点G.过点E作

EF±DG于点F,贝谡证AADG04DEF(毕竟不能忽略题目本身是几何问题)相DF=AG=x,EF=DG=y，所以E点坐标为

((%—y，%+y).

因为C(2a,0),E(x-y,x+y),所以CE中点M的坐标为(土产，等)在本书里关于中点坐标的应用有专门的一课

来学习)，所以

2

DM?=卜_铲丫+（y_等丫=（等-a）+（沿1

BM2=（a-+（a-等）2=（詈）2+1一等）2

由此可以看出DM2=BM2,

因此DM=BM.

与此同时，BD2=（a—x）2+（a—y）2=2a2+x2+y2-2ax—2ay,

而DM2+BM2

=2DM2

=2|(*4+(守]

=2-a(x+y)+a2]

=x2+y2—2ax—2ay+2a2.

22

这说明DM+BM=BD?.根据勾股定理的逆定理则有DM1BM,从而BM与DM的关系在旋转后依然是

相等且垂直的.

B

【解答1】⑴如图9,BM与DM的关系是相等且垂直.环X

证明如下：/国《

因为在RtAABC中,AB=BC,/-------])~4'^.

所以/ABC=9(r,/ACB=45。.图9

因为在RtAADE中,AD=DE,

所以^ADE=90°=乙CDE.

因为点M是CE的中点，

所以在RtACDE中，DM=\CE=CM,在RtACBE中，BM=\CE=CM.

所以BM=DM,/1=2N3,N2=2N4.

所以NBMD=Zl+Z2=2(Z3+Z4)=2ZACB=90°.

所以BM_LDM,且BM=DM.

(2)旋转后⑴中的结论仍成立.理由如下：

如图10,以点A为坐标原点，AC所在直线为x轴，过点A作AC的垂线为y轴，建立平面直角坐标系.

因为AABC是等腰直角三角形,

所以设点B的坐标为(a,a),则点C的坐标为(2a,0).

设点D的坐标为(x,y),由题意得x>y>0.

作DGLAC于点G,EF±DG于点F,连接BD.

因为AADE是等腰直角三角形，

所以AADG义ZXDEF,

所以DF=AG=x,EF=DG=y,

所以点E的坐标为(x--y,x+y).

因为点M是CE的中点，且C(2a,0),

图10

所以点M的坐标为(土黄，等).

所以BM2=("-)2+("等『=(钓2+(”乎)2

DM2=1_黄)2+(y一?)2=(等—42+(亨)2,

BD2=(a-x)2+(a-y)2=2a2+x2+y2-2ax-2ay,

所以BM2=DM2,

即BM=DM,

所以BM2+DM2=2DM2=2(等-+2(钥？

=2a②+x2+y2—2ax-2ay

所以BM2+DM2=BD2.

所以/BMD=90。，

所以BM,DM的关系依然是BMLDM,

且BM=DM.

【经验分享】（1）根据点的坐标通过常规的代数运算，可以解决复杂的几何问题，我们采用的这种新颖的方法

使问题获得了解决，相信会给大家对数学的理解增加很深的印象.

（2）这道压轴题若采用传统的几何推理的方式,会有不小的难度（想挑战自己的同学不妨先独立思考）,关键是如

何合理地添加辅助线进行沟通，这里仅提供一种几何解法供大家对照理解.

【解答2］（几何解法）

延长DM到点N,使MN=DM,

连接CN,则易证△EDMg/kCNM（如图11）.

所以CN=ED=AD,

ZMED=ZMCN.

所以DE〃CN.

延长AD,CN,设交点为H,AH与BC交于点G(如图12).

因为AD_LDE,

所以ADXCN.

即AH±CH.

在AABG与ACHG中.

因为/ABG=NCHG=90°.

NAGB=NCGH,

所以/BAD=NBCN.

又因为AB=BC,AD=CN,

所以ABAD^^BCN^I^13).

所以BD=BN,ZABD=ZCBN.

因为/ABD+/DBC=90。，

所以/CBN+NDBC=90。，

fiPZDBN=90°.

在ABDN中,/DBN=90o,BD=BN,M是DN的中点，所以DM=BM,且DM_LBM.

坐标法妙解与线段长有关的综合题

平面直角坐标系中，当点的坐标与函数、三角形、四边形等知识结合起来以后，可以充分发挥它的神奇功能.

在函数方面，由点的坐标可以确定函数解析式，也可以由函数图象获得一些特殊点的坐标；在几何方面，可以由点

的坐标得到距离、得到线段长，也可以由点的坐标得到锐角三角函数值，还可以与平移、旋转、轴对称等图形变换

结合起来.

例如图1,点A的坐标是(-2,0),点B的坐标是(6,0)点C在第一象限内且.△OBC为等边三角形直线BC交

y轴于点D,过点A作直线.力E1BD,垂足为E,交OC于点F.

⑴求直线BD的函数解析式；

⑵求线段OF的长；

(3)连接BF,OE,试判断线段BF和OE的数量关系,并说明理由.

【分析】有了上一课的学习经验，这道例题的分析我们就通过下面的思维导图来展现.注意观察、理解我们是

如何由已知点的坐标出发，经过怎样的计算与推理过程，把落脚点放在了哪些点的坐标上，最后使得⑴⑵⑶的答

案都顺利呈现.

->

B(6・0)fC(3・3")OC：,y=73

i

v

BC：3,=—+6V3

I

L.L—叵,273

AE：k'+攀■*\y~3r+3fE(4,2痣)

OE=2"

oo

y=—底工+G底

I

［产区+述

,33fF(1.")—BF=2"

.J=A/3j'

I

OF=2

【解答】⑴如图2,作(CG1x轴于点G.

图2

因为AOBC是等边三角形,B(6.0).

所以。B=6,0G=巳。8=3,NC08=60°,

所以CG=0G•tan60。=373,

所以点C的坐标为((3,3百).

设直线BD的解析式为y=kx+b,

代入B,C坐标狷

(3k+b=3V3

解得\k=一?

所以直线BD的解析式为y=-V3x+6V3.

⑵由(1)知，直线BD的解析式为y=-V3x+6V3.

因为AE±BD,

所以设直线AE的解析式为y-fx+瓦(直线AE与BD的一次项系数乘积为-1),

代入点A的坐标(-2,0),得瓦=竽，

所以直线AE的解析式为y=日比+手

由⑴知，点C的坐标为(3.3V3),

设直线OC的解析式为y=k1X,

代入点C,解得匕=V3,

所以直线OC的解析式为y=V3x.

，_V32A/3

根据题意,解方程组y=5■久+=,

、y=V3x

解得｛；二击所以点F的坐标为((1，百)，

所以OF=Jl2+(V3)2=2.

(3)线段BF和OE的数量关系是相等.理由如下：

因为直线BD的解析式为y=-V3x+6低

直线AE的解析式为y=gx+竽,

y=—V3x+6V3'x=4

所以联立y/32V3，解得

y=——xH-----?=

iJ33

所以点E的坐标为((4,2百).

所以0E=+(2何之=2V7.

因为B(6,0),F(l,V3),

所以BF=J(6-I)2+(0-V3)2=2位.

所以BF=OE.

【经验分享】当坐标系中两个一次函数的图象即两条直线垂直时，它们的一次项系数的乘积为-1,关于这方

面的详细说明，在《中考数学是这样考好的》一书的第33技中有详细的介绍，有不明白的同学不妨找来一看.在例

26的分析中，直线AE解析式的确定就依赖于已知点A的坐标和AELBC这样的条件.

坐标法妙解与角度有关的综合题

所谓的坐标法只是想让同学们重视点的坐标在压轴题中的重要性，不仅是由点的坐标可以转化为线段长，还可

以与其他图形性质结合，解决与角度有关的问题，本质上更多的还是数形结合的数学解题思想的运用.

例如图1抛物线y=3)2-1与X轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)与y轴交于点C,顶点为D.

⑴求点A,B,C,D的坐标；

(2)连接CD,过原点。作OELCD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点E,连接AE,AD,求证:NAEO=

^ADC.

【分析】⑴根据二次函数的性质，快速、准确地求出抛物线上A,B,C,D这四个关键点的坐标属于常规要

求，计算后得2(3-V2-0),B(3+夜，0),C(0,()，。⑶-1),且抛物线的对称轴为x=3.(l)虽然容易上手，只是在后续

(2)的解题中如何发挥(或意识到)这些点坐标的意义就值得学习了.

⑵中首句“连接CD”是最普通的几何语言，但是放在综合题里就意味着坐标系中的一次函数图象，暗示我们可

以由⑴中的C,D两点的坐标，求出直线CD的解析式为y=-|x+

如图2,(2)中第二句“过原点。作OELCD”,可由刚求出的直线CD的解析式得出直线OE的解析式为y=|x,

因点E又在对称轴x=3上,所以当x=3时,y=2，则第五个点E的坐标为(3,2).

2

由端点4(3—鱼，0),E(3,2)求线段AE的长：AE2=[3-(3-V2)]+(2—0尸=6;由端点

4(3-鱼，0),。(3,一1)求线段AD的长：AD2=[3-(3-V2)]2+(-1-0)2=3;再由抛物线对称轴上两点D(3,

-1),E(3,2)求线段DE的长：=[2-(-1)F=9,这时能发现AE2+AD2=。盾,从而ADLAE以上由点的坐标计

算推理所得新结论“ADLAE”就与已知条件“OELCD”相呼应，二者结合形成了推导角常用的“蝶形图”，因而结论/

AEO=ZADC成立.

或者，根据两组垂直“ADLAE”与“OELCD”，结合圆中直径的相关定理，我们想到点A,点H在以DE为直

径的圆上，同AH所对的圆周角相等，所以NAEH=/ADH,即^AEO=^ADC.

【解答】(1)因为抛物线y=黑刀-3尸-1与x轴交于A,B两点，

2

解方程|(x-3)-1=0得%!=3-V2,%2=3+V2,

所以点4(3-V2-0),B(3+V2.0).

因为抛物线y=-3)2-1=一3x+:与y轴交于C点，

所以点

因为抛物线y=久久-3)2-1的顶点是D.

所以点D(3,-1),对称轴为直线x=3.

⑵设直线CD的解析式为y=kx+b,

代入C(0<1).D(3--l),

得,b=5.解得「=

(3k+b=