2024年中考数学复习：遇到圆怎么作辅助线

遇到圆怎么作辅助线

11.1垂径定理

知识储备

1.垂径定理的相关知识

(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.数学语言表述如下：

①CD是直径，可推得②CD_LAB,③AM=BM,⑤AD=BD.@Ac=Bc

(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.数学语言表述如下：

CD±AB,

旧CD是直径,

x如图，

AM=BM

[AD=BD.

(3)垂径定理及相关命题如下表所示：

条件结论命题

①②③④⑤垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

①③②④⑤推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

①④②③⑤

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

①⑤②③④

②③①④⑤弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧

②④①③⑤垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和它所对

②⑤①③④的另一条弧

③④①②⑤平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦

③⑤①②④所对的另一条弧

④⑤①②③平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并具垂直平分弦F

2.垂径定理的应用思路

构造直角三角形」求线段的长

勾股定理

例题详析

例：点P是圆外一点，点M,N分别是弧油，丽的中点，求证："EF为等腰三角形.

思I维I路咯

专题十一I遇到圆怎么作辅助线

【解析】连接OMQN,分别交AB,CD于点G,H.

：M,N分别为弧脑，丽的中点，

•••0M1AB,ON1CD,即乙MGE=乙NHF=90°.

又’OM=ON,ZM=AN,•­•Z.MEG=乙NFH.

乙MEG=乙PEF,4NFH=乙PFE,,

••・Z-PEF=Z-PFE,・•.PE=PF,

.'.APEF为等腰三角形.

跟踪训练

1.半圆形纸片的半径为1cm,用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD

的长为cm.

M

2.如图所示，已知AB是OO的弦，C是屈的中点，AB=8,AC=2低求。O的半径.

3.如图,。O是.△4BC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10,BC=12,求0O的半径.

中I考I实战

4.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点P在第一象限,。P与x轴交于0,A两点，点A的坐标为(6,0),G>P

的半径为则点P的坐标为.

Ax

5.如图，在△ABC中，已知UCB=130°,Z.BAC=20°,BC=2,以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D,则BD

的长为—.

6.如图所示,AB是。O的直径,AE是弦,C是劣弧AE的中点过C作(CD1AB于点D,CD交AE于点F,过点C作

CG||4E,交BA的延长线于点G.

(1)求证:CG是。。的切线.

(2)求证:AF=CF.

(3)若Z.EAB=30°,CF=2,,求GA的长.

1L2无切点，证切线

L直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系来判别.

直线和圆相交—dvr

直线和圆相切-d=r

直线和圆相离一d>r

⑴定义：直线和圆只有一个公共点，这时说这条直线和圆相切.

(2)当圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线和圆相切.

基本图形

一

0B^0B

已知条件已知直线AB和圆0

辅助线作法过点0作OC垂直AB,交AB于点C

可用结论当OC的长等于圆0的半径时，AB是圆0的切线

理论依据当圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线和圆相切

例题详析

例:如图，在AABC中,.NC=90。,,点O,D分别为AB,BC的中点，作。O与AC相切于点E,在AC边上取一点F，使

DF=DO.

⑴求证:DF是。。的切线.

⑵若sinB=亨,CF=2,求。。的半径.

A

思I维路I径

【解析】(1)作OGLDF于点G,连接0E.

:点0,D分别为AB,BC的中点,

BD=DC,BO=OA,OD//AC,ZODG=ZDFC.

ZOGD=ZDCF=90°,OD=DF,

AOGD^ADCF(AAS),OG=CD.

AC是。O的切线,OE_LAC,ZAEO=ZC=90°,.\OE〃BC.

又VOD//CE,...四边形CDOE是矢巨开么

CD=OE,OG=OE,.\DF是。O的切线.

⑵设OE=x,贝！］BD=DC=OE=x.

•••sinB=立,NB=60",

2

・••在RtAOBD中,(OD=BD-tan60°=V3x,:.DF=V3x.

•・,在RtADCF中,DF2=CF2+DC2,・•.(V3x)2=22+解得x=OO的半径为V2.

对I点巩I固

1.如图，AB是半圆O的直径，射线.AC128于点A,点P是射线AC上一动点，连接BP,将△2BP沿BP翻折，点A

落在点,4处，过点4作直线

⑴当Z.ABP=15。时,求证：EF是半圆。的切线.

(2)点P在射线AC上继续向上运动，直线EF是否会再次与半圆O相切，若相切，求出.NABP的度数；若不相切，

请说明理由.

C

EA'F

l

AOB

2.如图在△ABC中，。为AC上一点，以点0为圆心，0C长为半径作圆，该圆与BC相切于点C,过点A作AD1

B0,,交BO的延长线于点D,且AAOD=/.BAD.

(1)求证:AB为。。的切线.

⑵若BC=6,tanzXBC=*求。。的半径和AD的长.

3.如图，已知△04B中,。2=0B=10,sinB=*以点O为圆心，12为直径的。O交线段OA于点C,交直线OB于

点E,D,连接CD,EC.

⑴求证:AB为OO的切线.

⑵在⑴的结论下,连接点E和切点，交OA于点F,求CF的长.

中I考I实战

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M,交y轴的正半轴于点N.劣弧MN

的长为声，直线y=-疑+4与x轴、y轴分别交于点A,B.

⑴求证:直线AB与。O相切.

(2)求图中所示的阴影部分的面积(结果用兀表示).

11.3有切点，证切线

切线判定的相关知识

(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

(2)应用判定定理时的注意事项：

①切线必须满足两个条件：一是经过半径的外端；二是垂直于这条半径.

②切线的判定定理实际上是从“圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切”这个结论直接得出来的.

③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的

垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单地说成“无交点，作垂线，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆

有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”.

基本图形

已知条件直线AB与圆0有公共点B,求证AB为圆0的切线

辅助线作法连接OB

方法归纳证NOBA=90。厕当/OBA=90。时,AB为圆0的切线

例题详析

例：如图所示，是△ABD的外接圆，点C在直径AB的延长线上，^CAD=乙BDC.

(1)求证:CD是。。的切线.

⑵若CD=3,BC=2,.求。O的半径.

思I维I路径

【解析】⑴连接OD.

OD=OB,.\ZDBA=ZBDO.

VAB是。0的直径,，ZADB=90°,

ZDAB+ZDBA=90°.

VZCAD=ZBDC,

，ZBDC+ZBDO=90°,BPODXCD.

：D为。O上的一点，

.••直线CD是。。的切线.

(2)VZC=ZC,ZCAD=ZBDC,

.•.△BDC-^ADAC,

CD_BC3_2

••AC一C。'r2+AB~3'

解得AB的半径为J.

Z4

对I点巩I固

1.如图，在A4BC中.NC=90°,BD平分乙4BC”点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB长为半径作圆，。0恰好经

过点D.

⑴求证:直线AC是OO的切线.

⑵若乙4=30°,OO的半径是2,求线段CD的长.

2.如图,AB是。O的直径，点C是。O上一点.连接AC,BC,过点C作乙BCP=ZBXC,CP交AB的延长线于点P,弦CD平

分.”CB,,且交AB于点E,连接AD,BD.

⑴求证:PC为。O的切线.

(2)若0C=5,0E=1,求PC的长.

中I考I实战

3.如图,。O与△A8C的AC边相切于点C,与AB,BC边分别交于点D,E,DE\\OA,CE是。O的直径.

⑴求证:AB是。。的切线.

⑵若BD=4,EC=6,求AC的长.

4.如图,AB是。O的弦，过点O作(0C1OA,OC交AB于点P,且PC=CB.

(1)求证:BC是。。的切线.

⑵已知^BAO=25。,点Q是疯S上的一点.

①求乙4QB的度数；

②若=18,求弧而B的长.

11.4有切线，弦切角

1.圆的切线

⑴切线的性质.

①圆的切线垂直于经过切点的半径.

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

(2)切线的性质可总结如下.

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；

②直线过切点；③直线与圆的切线垂直.

⑶切线性质的运用.

由切线的判定定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.简记作：见切

点，连半径，证垂直.

2.弦切角的相关知识(拓展内容)

⑴弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.

(2)弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半.

如图所示，直线PT切圆O于点C,BC,AC为圆O的弦，则有NPC4=NPBC(NPC4为弦切角).

超级模型

基本图形

1.匚

pJP

已知条件已知AP是0O的切线,AB是弦,PB交。O于点C

辅助线作法连接AC,连接A0并延长交。0于点D,连接BD

可用结论NACB=NPAB

AP是。O的切线，,ZOAP=ZOAB+NPAB=90。.又；AD是。O的直径,ZABD=90°,Z

理论依据OAB+ZODB=90°,.\NPAB=NODB（同角的余角相等）.又：NACB=NODB（同弧所对的圆周角相

等）,.•.NACB=NPAB

弦切角定理证明比较简单，所以不作为教材必备内容，故在解答题中使用时要书写证明过程,

而在非解答题中可以直接应用

例题详析

例：如图，半径为1的。M经过平面直角坐标系的原点O,且与x轴、y轴分别交于点A,B，点A的坐标为

（（V3>0）,OM的切线OC与直线AB交于点C.则.乙4。。=度.

思I维I路I径、斗

已知：半径为1的。M

点”的坐标为（方,0）

□中各角度数、

乙BOC=/-BAO）

【解析】AB=2,0A=V3,.-.cosNB力。=筹=y,-^OAB=30。，二^OBA=60°

VOC是0M的切线,；.乙BOC=4BAO=30°,

AACO=AOBA-Z.BOC=30。.故答案为30.

对I点巩I固

1.如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A,若NB=60。,,则《人口等于（）

A.30°B.60°C.90°D.1200

A

E-

（第1题图）（第2题图）

2.如图,AB是。。的直径,DB,DE分别切。。于点B,C,若NACE=25。,,则ND的度数是（）

A.50°B.55°C.60°D,65°

3.如图,AB是圆O的直径，圆O交BC于点D,且D是BC的中点,DELAC于点E,连接AD,有下列结论:

①AD_LBC;②/EDA=/B;③OA=|AC;(@DE是。O的切线.

G

其中，正确结论的个数是

A.lB.2C.3D.4

中I考I实战

4.如图，四边形ABCD内接于。O,AB是。0的直径CE切。0于点C,AE1CE且交。0于点D.

求证:⑴DC=BC;

(2)SC2=AB-DE.

1L5直角、直径的互化

圆周角定理

⑴定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上，②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可.

(2)定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

⑶推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.

(4)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

⑸在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技巧一定要掌握.

超级模型

基本图形

已知条件AB为0O的直径

辅助线作法连接AD或AC

可用结论/ADB=/ACB=90°

在圆中，见直径，可得直角；反之，若直角三角形为圆的内接三角形，则直角所对斜边为圆的直

径(辅助圆中详细讲解)

例题详析

例:如图，在AABC中,AB=AC以AB为直径的。O分别交AC于点D,交BC于点E,连接ED.求证:ED=EC.

思I维I路I径

已知：以48为直径的OO

作辅助线:连接力E

圆周角

定理

Z-AEB=9Q°

【解析】连接AE,

AB是0O的直径，,ZAEB=90°.

•/AB=AC,.\BE=CE,ZBAE=ZCAE,

•••-BE=­DE,

・・・BE=ED,・・・ED=EC.

对I点巩I固

1.如图,AB为(DO的直径,点C在。O上,ADLCD于点D,且AC平分/DAB.

(1)求直线DC与。O的交点个数；

⑵已知。O的半径长为3,AC=2愿，求AD的长.

11.6圆中的相交弦

相交弦定理（拓展内容）

（1）定理：圆内的两条相交弦，各弦被交点分成的两条线段长的积相等（或经过圆内一点引两条弦，各弦被这

点所分成的两线段的积相等）.

几何语言:在中，若弦AB,CD交于点P,则PA.PB=PCPD（相交弦定理）.

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.

几何语言:在。0中若AB是。O的直径,CDJ_AB于点P,则.PC2=P4PB（相交弦定理的推论）.

基本图形③一③

CC

已知条件©0中的两条弦AB,CD相父于一点E

辅助线作法连接AC,BD

可用结论AAEC^ADEB;AEBE=DECE

如图.连接AC,BD,；.ND=NA,NB=/C（同弧所对的圆周角相等），

AAECs4DEB（两角对应相等的三角形相似），

理论依据

CE

.•.器=gB,；.AE-BE=DE-

相交弦定理同弦切角定理一样，非解答题可以直接应用，解答题中要证明其正确性，即将上

应用说明

面的理论依据重现即可

例题详析

例：如图，©O的半径为5,弦AB的长为8,过AB的中点E有一动弦CD（点C只在油上运动，且不与点A,B

重合），设EC=x,ED=y,下列能够表示y与x之间函数关系的图象是)

c

思I维潞I径

【解析】如图，连接AD,BC,贝［|/ADC=/ABC,/AED=NBEC,所以AADEs^CBE,所以AE-BE=DE-CE.^__^

因为弦AB的长为8,E为弦AB的中点，彳E

所以AE=BE=4,所以xy=16,即y=y.\\/

当CD为。0直径时，由。O的半径为5知CE+DE=10,连接OB,OE,由垂径定理及勾股定理可得OE=3,则

CE=2,DE=8,所以2<x<4.

故选C.

对I点巩I固

L如图，点P为弦AB上一点，连接0P,过点P作PC±OP,PC交0O于点C,若AP=4,PB=2,则PC=.

（第1题图）（第2题图）

2.如图，C,D是以AB为直径的半圆上的两个点（不与点A,B重合）,连接DC,AC,DB,AC与BD交于点P,若/

APD=a，则.=一.

3.如图，⑴已知：P为半径为5的。O内一点，过P点最短的弦长为8,则0P=

（2）在⑴的条件下，若。O内有一异于P点的Q点，过Q点的最短弦长为6,且这两条弦平行，求PQ的长.

（3）在（1）的条件下，过P点任作弦MN,AB,试比较PM-PN与PA•PB的大小关系，且写出比较过程.

⑷在⑴的条件下，过P点的弦CD=g,求PC.PD的长.

中I考I实战

4.如图，已知AB为。0的直径,C为。0上一点,（CD1AB于点D,AD=9,BD=4以C为圆心,CD长为半径的圆与。0相交

于P,Q两点弦PQ交CD于点E,则PEEQ的值是（）

pL-C\

A.24B.9C.6D.27

ODB

11.7切割线定理

1.切线长定理

⑴切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.

（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线

的夹角.

2.切割线相关知识（拓展内容）

⑴割线定义：直线与圆有两个公共点时，这条直线叫做圆的割线.

⑵切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

几何语言：

：PC切。0于点C,PBA是OO的割线（A,B是割线PBA与。0的交点），

・•.PC2=PA-PB（切害!）线定理）.

（3）切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.

几何语言：

\-PBA,PDC是OO的割线（A,B是割线PBA与。0的交点,C,D是割线PDC与。0的交点），

PD.PC=PA-PB彻割线定理的推论）（割线定理）.

基本图形

专题十一|遇到圆怎么作辅助线

续表

已知条件CP为圆0的切线,AB为圆0的割线,CP,AB交于点P

辅助线作法连接AC,BC,CO,并延长CO交圆0于点M,连接AM

可用结论△ACPsACBP,APBP=CP2

连接AC,BC,CO,并延长CO交圆0于点M,连接AM.

VPC是圆O的切线,；.OC_LPC,；.ZACP+ZACM=90°,

理论依据又；CM是圆O的直径,，ZM+ZACM=90°,.\ZACP=ZM.

ZM=ZCBP,.\ZACP=ZCBP,

义：NAPC=NCPB（公共角）,.•.△ACPs/\CBP,；.AP:CP=CP:BP,/.APBP