2024年中考数学复习：阅读理解题型复习讲义

阅读理解题型复习讲义

类型一情境阅读类阅读理解题

该类试题通常给出具体解法或阐明解题方向.从文本表述看，有展示全貌、留空补缺的，有需说明解

题理由的，也有先归纳规律再解决问题的.题型多样，重点考查学生的抽象概括能力、建模能力、决策判断

能力，强化学生的数学应用意识，提高学生的数学思维能力.

解答此类题的关键在于阅读，核心在于理解，目的是应用.通过阅读，理解材料中所提供的知识要点、

数学思想，进而找到解题方法，解决实际问题.

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例1阅读理解:对于X-(n+l)x+几这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：炉一(/+1)%+

n=x3—n2x—%+n=x(x2—n2)—(%—n)=x(x—n)(%+n)—(%—n)=(%—n)(x2+nx—1).

理解运用:如果x3—(n2+l)x+n=0,那么(x-n)(%2+nx-1)=0,即有x-n=ORJC.x2+nx—1=0,因此，方

程.x-n=0和％2+九％_i=0的所有解就是方程%3-(n2+l)x+n=0的解.

解决问题：方程％3—5%+2=0的解为

解析,・,炉一5%+2=0,

・••d—4%—%+2=0,

:.x(x2—4)一(%—2)=0,

x(x+2)(x-2)-(x-2)=0,

则(x-2)[x(x+2)-l]=0,即(%-2)(/+2%-1)=0,

x-2=0或％2+2%—1=0,

解得*=2或乂=-1±V2.

故方程/_5*+2=0的解为x=2或x=-l+&或x=-1-V2.

答案x=2或x=-1+鱼或x=-l-V2

例2(2021江苏盐城,27,14分)学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的

角度a,能得到一个新的点P.经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P也随

之运动，并且点P的运动轨迹能形成一个新的图形.

试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度a的大小来解决相关问题.

初步感知「，

如图1,设A(l,l),a=90。,点P是一次函数y=kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经

过点—...；

⑴点Pi旋转后彳导到的点P'i的坐标为；

图1

(2)若点P的运动轨迹经过点P'2(2,l),求原一次函数的表达式.

深入感悟

如图2,设A(0,0),a=45。,点P是反比例函数y=-久久<0)的图象上的动点，过点P'作第二、四象限角平分

线的垂线，垂足为M,求AOMP的面积.

Tc1

灵活运用

如图3,设X(l--V3),a=60。，点P是二次函数y=|x2+2V3%+7图象上的动点，已知点B(2,0)、

C(3,0),试探究ABCP的面积是否有最小值.若有，求出该最小值；若没有，请说明理由.

解析【初步感知】

⑴点绕点A(l,l)顺时针旋转90。后彳导到的点Pi的坐标为(1,3).

(2)由点P的运动轨迹经过点P'2(2,l),知P2(l,2),

将Pi(-1/)、Pz(l,2)代入y=kx+b符二2：'解得［I2，所以原一次函数的表达式为y=|x+1・

【深入感悟】1|7

过P点作x轴的垂线，垂足为N,连接OP,如图，\

:直线OM为第二、四象限角平分线，

ZNOM=45°,

又：/POP'=a=45°,

.•.ZP'OM=ZPON.

又：ZP'MO=ZPNO=90°,P'O=PO,

.•.△P'MO^APNO,

MO=SpNO,

:点P在反比例函数y=-i(%<0)的图象上,

【灵活运用】

解法一：连接AB,AC,分别将B,C绕A逆时针旋转60。得B；C,连接AB\AC,作AH±x轴于H,

VA(l,-V3),B(2,0),

.\OH=BH=1,

.•.OA=AB=OB=2,

.1•AOAB为等边三角形，此时B，与O重合，即B，(0,0).连接CO,

，ZOBA=60°,.\/CBA=120°,易知OC=3,OB=2,；.BC=1,

v^CAC=/-BAB'=60°,

-C'A=CA,

NCAB=/C'AB',在ACAO和ACAB中./.CAO=/.CAB,

.OA=BA,

：.AC'AO^ACAB(SAS).

C'O=CB=1,ZCOA=ZCBA=120°,iSC作C'G_Ly轴于点G,

在RtAC'GO中,/CGO=90o,NCOG=30。,

11

・•.C'G=OC'•sin"'OG=1x-=

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，OG=:即LGW），

•••直线oc的函数表达式为y=V3x.

设过点P且与OC平行的直线1的表达式为y=V3x+b,

・J^BCP'=^B'C'P>

・・・当直线1与抛物线相切时,S4BCP,取得最小值，

y=V3x+b,

人y=-x2+2V5%+7,

、2

即V3x+b=1x2+2V3x+7,

・•.|x2+V3x+7—b=0.

当A=0时,

y=V3%+y.

设直线1与y轴的交点为T,则r(o.m

1

RCTr

•••SBfCrp=S，，=30T-CG

1li1li

=-X—X———.

2228

...△BCP的面积的最小值为

O

解法—：同解法，可求得Spcp=Socp,，oc：y=V^x,

如图，设P(小心m2+2V3m+7)过点P作PM轴交直线0C于点M,PN，OC于点N厕M(m,V3m),

VS0CP=^OC-PN=^0C-^PM

=：PM=|+2V3m+7—V3m^j

.•.当爪=—值时，ABCP的面积取得最小值，11/8.

解后反思

本题是以旋转为背景的探究题，综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质，运用

等边三角形的性质与判定，构造全等三角形，从P点的运动中找到取得最值的位置是解决问题的关键.

类型二代数新定义类阅读理解题

命题者对于数与式、方程、不等式、函数等代数内容，给定一个新概念、新运算，要求学生完成此

种新定义情境下的任务.这类问题考查学生解读文本、分析处理信息的能力.解题时，要充分挖掘文本内容,

将陌生的新定义转换成熟悉的已学知识或方法.再根据有关知识解决题目要求的问题.

例3定义新运算“a*b”:对于任意实数a,b,都有a*b=(a+b)(a-b)-l,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法

运算，例4*3=(4+3)(4-3)-1=7-1=6.若x*k=x(k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况为()

A.有一个实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根

D.没有实数根

解析•••x*k=x(k为实数)是关于x的方程，

(x+k)(x-k)-l=x,

整理得,一久一人2—1=0,

•••A=(—I/-4(-k2-1)=4/+5>0,

•.•方程有两个不相等的实数根.

答案C

例4(2021湖南长沙,24,10分)我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点

关于y轴对称,则把该函数称为“T函数，，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点1根据该约定,

完成下列各题.

⑴若点A(l,r)与点B(s,4)是关于x的“T函数〃y=[一/"<°)'是常数)的图象上

\.tx2(x>0,t0,1

的一对“T点”，则r=_,s=,t=_(将正确答案填在相应的横线上)；

⑵关于x的函数y=kx+p(k,p是常数)是“T函数”吗?如果是，指出它有多少对“T点”；如果不是，请说明理

由；

⑶若关于x的“T函数"y=ax2+bx+c(a)0,且a,b,c是常数)经过坐标原点O,且与直线

-1

l:y=mx+n(n#0,n>0,且m,n是常数)交于M(Xi,yQ,N(X2,y2)两点当x»X2满足(1-Xi)+x2-1时，直线1是否

总经过某一定点?若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由.

解析⑴r=4,s=-l,t=4.

详解:".•点A(l,r)与点B(s,4)是一对“T点”,

.,.点A(l,r)与点B(s,4)关于y轴对称，

r=4,s=-l,

/.A(1,4),B(-1,4).

将A(l,4)代入y=t通得t=4.

⑵假设y=kx+p是“T函数”.

设A(d,q),B(-d,q)是y=kx+p上的一对“T点”，

(kd+p=q,circle!

"[—kd+p=q,circle!

由①+②得p=q,由①-②得2kd=0.

又算0,k=0,y=p.

当k=0时,y=kx+p为“T函数”，有无数对“T点”.

当k加时,y=kx+p不是“T函数”.

(3)直线1经过定点(1,0).

V=772%+77,

"_肖去y,彳导a%2一小久一7?=0,

(V—CLX

"=一1

•­,(1-Xi)-1+%2=1,即-7―=1一久2，

1—

(1久1)(1—%2)=1,即久2(%1+久2)=0,------=0,

aa

-n-m=0,•*.n=-m,

.•.y=mx-m=m(x-l),即当x=l时,y=0,

，直线1过定点(L0).

类型三几何新定义类阅读理解题

针对三角形、多边形、圆等几何内容，给出一个关于几何概念、公式、性质等方面的新定义.要求学

生在新的几何背景下，进行相关的计算与证明.此类问题考查学生加工处理信息、识图读图等方面的能力.

解题时要仔细研读文本，建立新概念、新公式、新性质与所学知识间的连接，选择恰当的几何模型，灵活

运用几何方法解决给定的问题.

例5(2021四川遂宁,20,9分)已知平面直角坐标系中，点P(x°,y。)和直线Ax+By+C=0(其中A,B不全为0),则点

P到直线Ax+By+C=0的距离d可用公式4=卓邦炉来计算.

例如:求点PQ2)到直线y=2x+l的距离.因为直线y=2x+l可化为2x-y+l=0,其中A=2,B=-1,C=1,所以点P(l,2)

\Ax+By+C\|2xl+(-l)x2+l|_1_V5

到直线y=2x+1的距离d=00

>JA2+B2―V22+(-l)2―—西_F

根据以上材料，解答下列问题:

(1)求点M(0,3)到直线y=V3x+9的距离；

⑵在⑴的条件下,。M的半径r=4,判断。M与直线y=V3x+9的位置关系，若相交，设其弦长为n,求n

的值；若不相交，说明理由.

解析(1)•••y=+9可变形为V3x-y+9=0,则其中4==—1,C=9,

由公式可得d=〔"3+91=3.

[(可+(-1)2

•1•点M到直线y=V3x+9的距离为3.

(2)由(D可知，圆心到直线的距离d=3,圆的半径r=4.

：d<r,.,.直线与圆相交，则弦长n=2xV42-32=2位.

解题技巧

第(1)问直接利用公式计算即可；

第⑵问根据半径和点到直线的距离判断直线与圆的位置关系，再根据垂径定理求弦长.

例6(2020湖南怀化,21,12分)定义:对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形.

(1)下面四边形是垂等四边形的是一.(填序号)

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形.

⑵图形判定:如图1,在四边形ABCD中,人口〃8