2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义-几何部分测试检验卷

专题08几何部分测试检验卷

一、单选题

1.（2023•安徽芜湖・统考二模）如图，在四边形ABC。中，ZB=ZD=90。，AD=CD,现把四边形经过某种操

作，可以得到与它面积相等的等腰直角三角形，这个操作可以是（）

A.沿BD剪开，并将54D绕点。逆时针旋转90。

B.沿8。剪开，并将BAD绕点。顺时针旋转90。

C.沿AC剪开，并将，54。绕点C逆时针旋转90。

D.沿AC剪开，并将54D绕点C顺时针旋转90。

【答案】A

【解析】如图，沿3D剪开，并将,B㈤绕点。逆时针旋转90。，得到HCD,

:.NBDH=90°,

:.BD=DH,NBAD=NDCH,

ZABC=ZADC=90°,

ABAD+ZBCD=180°,

ZBCD+ZDCH=180°,

，点B,点C,点H三点共线，

区汨是等腰直角三角形，

故选：A.

2.（2023•河北衡水•衡水桃城中学校考模拟预测）如图，。是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边

长为内半径为R,边心距为广，则下列关系式错误的是（）

E

A.〃=Rcos36°B.=27?sin36°C.a=2rtan36°D.a=rsin36°

【答案】D

【解析】。是正五边形ABCDE的外接圆，

E

VOB=OC,OF±BC,

=-ZBOC=1x72°=36°,BF=~BC=-a,

2222

.•.；a=Rsin36。，即a=2Rsin36。，故B不符合题意；

Jo=rtan36。，即〃=2rtan36。，故C不符合题意；

cos36°=—,即r=7?cos36°,故A不符合题意；

R

故选：D.

3.（2023•湖南岳阳・统考二模）下列四个命题中，属于真命题的共有（）

①相等的圆心角所对的弧相等②对角线相等的四边形是矩形

③相似的两个图形一定是位似图形④三角形的内心到这个三角形三边的距离相等

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【解析】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以①错误；

对角线相等的平行四边形是矩形，所以②错误；

相似的两个图形不一定是位似图形，所以③错误；

三角形的内心到这个三角形三边的距离相等，所以④正确.

故选：A.

4.（2023•北京海淀•北理工附中校考三模）如图，内接于。，若：。的半径为6,NA=6O。，则BC的

C.6万D.12万

【答案】B

【解析】连接。民OC，则：ZB（9C=2ZA=120o,

:。的半径为6,

，=36=4万；

BC180

故选B.

5.（2023・河北保定•校考模拟预测）如图，六边形ABCDE尸为止六边形，4〃4，则N2-N1的值为（）

C.108°D.120°

【答案】A

【解析】如图,延长AB交乙于点G,

六边形ABCDEF为正六边形,

NG3C=360。+6=60°,

：.4=/BGE,

•：N2=NBGE+NGBC,

：.Z2-Z1=ZGBC=6O°.

故选：A.

6.（2023•河北保定•校考模拟预测）如图，在RtABC中，ABAC=90°,/为ABC的内心，延长C/交AB于

点、D,连接回，BI.若5/=4,BD=M,则48的长为（）

C.8D.6

【答案】A

【解析】./为ABC的内心，

:.C/平分/ACB,①平分/ABC,

ZICB+ZIBC=1(ZACB+ZABC)=90°-1ZA,

ABIC=180°-(90°-1/A]=90°+g/A=90°+45°=135°,

ZB/JD=45°,

•；4/平分/C43,

/MB=45°,

又：ZIBD=ZABI,

:..BIDs_BAI,

・BI_BD

・•丽—访，

即士也

BA4

解得

AB=^.

5

故选：A.

7.（2023•河南郑州・统考二模）如图，在平面直角坐标系中，己知点A（2,0）,ZOAB=120°,AB=AO=2,

且点3在第一象限内，将一AO3绕点。顺时针旋转，每次旋转60。，则第2023次旋转后，点B的坐标是（）

【答案】A

【解析】如图，过点3作轴与点R,

•.•点A（2,0）,ZO4B=120°,AB=AO=2,且点2在第一象限内,

/BQ4=/ABR=30。，

AR=ABsin30°=1,BR=ABcos300=y/3,OR=OA+AR=3,

2

•.•将A03绕点。顺时针旋转，每次旋转60。,

Z.ZB'OB=60°,

又ZAO8=30。，

民*关于x轴对称,

V2023-6=3371,

二第2023次旋转后，点8的坐标与9（3,-旧）的相同，即第2023次旋转后,点B的坐标是？（3,一8）.

故选A.

8.（2023•贵州遵义・统考三模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=一走了+

班与坐标轴交于A,B两点,

3

圆心在无轴上的P经过A,B两点，则P的半径为（）

A.1B.73C.2D.

【答案】C

【解析】如图所示，连接3尸,

;直线y=-*x+道与坐标轴交于A,B两点,

当x=0时，y=6

OB=5

当y=。时，x=3,

04=3

tanZBAO=—

3

NBA。=30。

ZBPO=6D°

sinZBPO

故选：C.

9.（2023•新疆喀什・统考三模）如图，在正方形ABC。中，对角线AG交于点。，点尸是3。边上一个动

点，PE工BD于点G,交A5于点E,P尸，AC于点H,交8于点E下列结论：①△BPG^PCH；②

CHPH

PH-+PG2=OP2;（§）—=—；@PE+PF=AC.其中正确的是（）

HCHF

A.①②③④B.①②③C.①②④D.③④

【答案】C

【解析】•••正方形ABCD中，对角线AC、交于点。，

ZPBG=ZPCH=45°,

:PELBD,PF1.AC,

:./XBPGSNCH,故①正确；

VPELBD,PF工AC,

：.PH//OB,PG//OC,

四边形OGPH是平行四边形，

VPELBD,即"GO=90°,

二四边形OGPH是矩形，

Z.OG=PH,

，PH2+PG2=OG2+PG2=OP2,故②正确；

,:NFCH=45°,ZFHC=90°,

.•.VA如是等腰直角三角形，则△。尸”只是直角三角形，

ACFH与AOPH不相似，

.OHPH

-故③不正确；

HCHF

ZPBG=Z.EBG=45°,ZPGB=ZEGB=90°fBG=BG,

：.APGB^AEGS(ASA),

PG=EG=-PE=OH,

2

同理，PH=FH=-PF=CH,

2

PG+PH=OC,

：.PE+PF=AC,故④正确；

综上，①②④正确；

故选：C.

10.（2023•河北邯郸・校考三模）如图1是边长为1的等边三角形铁丝框ABC,按图2方式变形成以A为圆心,

长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形ABC的面积是（）

A.1B.2C.；D."

【答案】C

【解析】设==

圆心角的度数为：——

71

180秒

•••扇形ABC的面积是—=1，

360~2

故选：C.

二、填空题

11.（2023・广东珠海・校考三模）若扇形的面积为4万，半径为2,则扇形的弧长是

【答案】4万

【解析】由题意得：R=2,S扇形=4万，

故可得：4万=；/x2,

解得：I=4兀.

故答案为：4*

12.(2023•湖南岳阳・统考二模)已知锐角NAO3=40。，如图，按下列步骤作图：①在。4边取一点。，以。为

圆心，0。长为半径画MN，交OB于点，连接CO.②以。。为圆心，。长为半径画GH，交OB于点E,

连接。E.则NCDE的度数为.

【答案】30。/30度

【解析】由作法得OC=OD,DO=DE,

OD=OC,

NOCD=NODC=1(180°-ZAOB)=1x(180°-40°)=70°,

DO=DE,

：.ZDEO=ZDOE=40°,

ZOCD=NCDE+NDEC,

ZCDE=ZOCD-ZDEC=70°-40°=30°.

故答案为:30°.

13.(2023・北京海淀•北理工附中校考三模)如图，AB为。的弦，半径OCLAB于点。，若A8=8,CO=2,

则0B的长是.

【解析】为，；。的弦，半径OCLAB于点。,

ABD=-AB=4,OC=OB,

2

设0C=Q3=r,

OD=OC-CD=r-2,

在中，由勾股定理，得：r2=42+(r-2)2,

解得：r=5；

.♦.03的长是5,

故答案为：5.

14.（2023・吉林长春・统考二模）某正六边形的雪花图案如图所示.这个图案绕着它的中心旋转一定角度后能

与自身重合，则这个旋转角的大小至少为_____度.

【答案】60

【解析】正六边形的雪花图案是中心对称图形，

这个图案绕着它的中心旋转一定角度后能与自身重合，则这个旋转角的大小至少为60°,

故答案为：60.

15.（2023•云南昆明・校考三模）在RtAABC中，ZC=90°,sinA=1,贝ijcos8=.

【答案】，

【解析】vZC=90°,sinA=y,

16.（2023・上海•一模）在及ABC中，ZA=90°,已知AB=1,AC=2,AD是的平分线，那么AO的

长是.

【答案】速

3

【解析】过B作交AD的延长线于E,

ZBAC=90°,AD是ZBAC的平分线，

：.ZBAE=45°,

・・・_ABE是等腰直角三角形,

:.BE=AB=1,

AE=y]AE2+BE2=A/2，

VZCAB=90°,AB上BE,

：.ACBE,

：.AACDSAEBD,

.ACAD

••茄一瓦‘

.2_AD

"T-V2-AD，

・g2V2

••AD-------，

3

故答案为：巫.

3

r

17.（2023•山东泰安・统考二模）如图，正方形4稣C°A的边长为1,正方形4与44的边长为2,正方形

2c24的边长为4,正方形A383c34的边长为8…依次规律继续作正方形4纥GA.,且点4,A”4,

A，…，4+1在同一条直线上，连接4G交，A4于点2,连接AG，交人&于点小，连接4C3,交43用

于点2,…记四边形4nQR的面积为、，四边形ABC。2的面积为邑，四边形482c的面积为S3,一，

四边形的面积为S",则S2023=.

【解析】•••正方形4综C°A的边长为1,正方形AAG4的边长为2,

AJDJ//A2G，A)4=L44=A2G=2、44=1+2=3,

A）AMA）4G，

・•・翁妥即"

A2=|

1222122X1-!

••a=S4纥c。A-S.4AA=1x1——xlx—=—=——=-------

23333

,3,2x2—1S-2522x3-1

同理可得：s=—=-—

233S3一了3

1

归纳类推得：s=--（"为正整数）,

"n3

,2x2023-1

故答案为：--.

3

18.（2023•河南郑州・统考二模）如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E为A8边的中点，点P是边BC上一

动点，连接PE,沿尸E折叠△P3E得到△»£.当射线所经过正方形ABC。的边的中点（不包括点E）时,

3尸的长为.

【答案】2或20-2

【解析】分三种情况：

(1)如图1,当射线EF经过正方形ABCD的边AD的中点G时，过点E作EQ〃交尸尸于点。,

图1

:在正方形45co中，AB=4,点E为AB边的中点，点G为AD边的中点,

/.BE=AE=AG=—x4=2,/4=90°.

2

ZA£G=ZAGE=45°.

,/沿PE折叠4PBE得到APFE,

/.EF=BE=2,ZEFP=ZB=90°.

■：EQ//AD,

：.ZAEQ=9Q°.

；.ZFEQ=ZAEQ-ZAEG=45°.

ZFQE=ZFEQ=45°.

:.FQ=EF=2,EQ=2-j2.

•/EQ//AD,AD//BC,

：.EQ//BC.

：.ZQEP=ZQPE.

：.PQ=EQ=2y/2.

：.BP=PF=PQ+FQ=2j2+2.

BC=4,

・••旅＞5C,点P在5c的延长线上，不合题意，舍去.

⑵如图2,当射线EF经过正方形ABC。的边CO的中点M时,

图2

•・•点E为AB边的中点，点M为。。边的中点，

：.EM//BC.

V?B90?,

ZBEM=90°.

•・•沿尸E折叠AP班得到APFE,

ZBEP=ZFEP=-ZBEM=45°,NEFP=NB=90。,EF=BE=2.

2

ZFEP=ZFPE=45°.

：-PF=EF=2.

：.BP=PF=2.

(3)如图2,当射线EF经过正方形ABCD的边3。的中点N时，

・・,点£为A5边的中点，点N为3C边的中点,

BN=BE=-x4=2.

2

4=90°,

:./ENB=/BEN=45。,EN=2拒.

沿PE折叠△尸3E得到APFE,

?.EF=BE=2,ZEFP=ZB=90°.

ZPFN=90°,FN=EN-EF=2应-2.

/./FPN=/FNP=45。.

•■PF=FN=2也-2.

BP=PF=2逝-2.

故答案是2或2志-2.

19.（2023•河北保定•校考模拟预测）如图，己知NA6®=40。，按下列步骤作图:

①在。4上取一点。，以点。为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点C,连接C。；

②以点。为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E,连接。£.

⑴若OC=3cm,则DE—cm；

(2)NCDE的度数为.

【答案】330。/30度

【解析】(1)由作法可得8=x,DO=DE,

DE=OC=3cm；

(2)OD=OC,ZAOB=40°,

ZOCD=ZODC=1(180°-ZCOD)=1x(180°-40°)=70°,

,:DO=DE,

：.ZDEO=ZDOE=AO°,

■:ZOCD=NCDE+ZDEC,

・・.ZCDE=70°-40°=30°.

故答案为：3,30°.

20.(2023•安徽宿州・校考一模)如图，正方形ABCQ的边长为4,E为边AO上任意一点，尸为破的中点，将

DE户绕点尸顺时针旋转90。得到△GHF,连接则。”的最小值为.

【答案】272

【解析】如图，连接AC、8。相较于点。，连接OF、AF、CH,BH,

:点尸是BE上的中点，4045=90。，

AF=EF=BF=-BE,

2

又：在正方形ABCD中，OA=OB,ZAOB=90°,

•*.O尸垂直平分48,

/.ZBOF=-ZAOB=45°,

2

由旋转可知，FH=EF,/EFH=9。。,

:.ZHFB=90°,HF=BF,

43也是等腰直角三角形，

/.BH=y/2BF，ZFBH=45°，

又：在正方形ABCD中，BC=6OB，NCBD=45。,

HBCBr-

：.—=—=J2,NHBC=NFBO,

FBOB

：.4HBCFBO,

：.ZBCH=ZBOF=45°,

又，:ZACS=45。，

...点〃在AC上，

...当DHLAC时，的值最小，此时0、X重合，则OC=V5OO，

力。=竿=；=2五，

夜V2

.•••08的最小值为：20，

故答案为：20.

三、解答题

21.（2023•江苏无锡・统考二模）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,连接30,点E在BD上,连接CE,

若Zl=N2.

⑴求证：AABDS^EDC.

(2)若NA=130。，BE=BC,求的度数.

【解析】⑴证明：

ZABD=ZEDC,

又：Z1=Z2,

AABDs/^EDC；

(2)；△ABDS^EDC,ZA=130°,

Z./DEC=130。,

ZBEC=50°,

BE=BC,

：.ZBEC=ZBCE=50°,

：.Z.DBC=180°-100°=80°.

22.(2023•江苏徐州•校考三模)如图，YABCD的对角线AC、BD交于点。,于点E,CF_L&)于

点下.

求证：

(1)AABE^/XCDF；

(2)四边形AECF是平行四边形.

【解析】⑴：四边形"CD是平行四边形,

AAB^CD,ABCD,

：.ZABD=ZCDB,

VAE±BD,CF±BD,

：.ZAEB=ZCFD,

：.AABE^ACDF(AAS)；

(2)证明：由(1)得：ABE^CDF,

:.AE=CF,

VAE.LBD,CF±BD,

：.ZAEB=NCFD,

:ZAEB-^-ZAEF=180°,NCFD+NCFE=180。,

:.ZAEF=ZCFE,

/.AECF,

・••四边形AECF是平行四边形.

23.(2023•新疆喀什・统考三模)如图，在矩形ABCD中，瓦)于点区于点孔连接AF、CE,

⑴求证：AE=CF；

⑵判断四边形AEC厂的形状，并说明理由.

【解析】(1)证明：・・•四边形ABCD为矩形，

：.AB=CD,AB//CD,

:・ZABE=/CDF,

•：AE_LBD,CFJLBD,

ZAEB=ZCFD=90°f

：.AABE^ACDF(AAS),

AE=CF.

(2)四边形AEC歹为平行四边形；理由如下：

VAE±BD,CFrBD,

：.AE//CF,

,：AE=CF,

二四边形AECF为平行四边形.

24.(2023•浙江温州•校联考二模)如图，RtABC中，NABC=90。，点O,E分别为AB,AC的中点，延长。E

至尸，使EF=2DE,连结BE,CF,BF,其中即与AC相交于G.

A

⑴求证：四边形3CFE是平行四边形.

(2)已知5石=3,EG=DE,求防的长.

【解析】(D：点。，E分别为AB,AC的中点,

・・・OE是g/RC的中位线，

:,BC=2DE,BC//DE,

,:EF=2DE,

：.BC=EF,

・・・四边形是平行四边形；

(2)VRtABC中，NA6C=90。，点DE分别为AB,AC的中点,

ABC=2DE,AC=2BE,

•；BE=3,,

：.AC=6,EC=BE=3,

・・•在平行四边形BCEE中，

13

:.EG=-EC=~,

22

,:EG=DE,

3

・・・EG=DE=—,

2

：.BC=3,

ZABC=90°,

・・・Z4=30。，

・・・AB=cosZA-AC=—-6=3y/3,

2

.・・£)B=—,

2

・・,BC=EF,

：.EF=3,

39

・・.DF=DE+EF=—+3=',

22

，在心。5/中，BF=y/DF2+DB2=3A/3,

25.（2023•山东临沂・统考二模）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一

个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆

机构，，.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1,两个固定长度的“连杆”AP,3尸的连接点尸

在＜。上，当点P在。上转动时，带动点A,B分别在射线加，ON上滑动，OMLON.当AP与r。相

切时，点8恰好落在（。上，NO与圆交于点。，如图2.请仅就图2的情形解答下列问题.

（1）求证：NPAO=2NPBO；

20

（2）若O的半径为5,=y,求尸。的长.

【解析】（1）证明：连接。P,取y轴正半轴与。交点于点。，如下图:

•：OP=OB,

：.NOPB=NPBO,

NPOQ为PO5的外角，

...ZPOQ=ZOPB+ZPBO=2/PBO,

”与。相切，OM1ON,

ZPOQ+ZPOA=ZPOA+ZPAO=90°,

.・.ZPAO=ZPOQf

：.ZPAO=2ZPBO；

(2)如图，连接尸。，过点尸作。。的垂线，交OQ与点、D,如下图:

由题意：在RtAPO中，AO=yjAP2+PO2=—,

•/八”c

sinNPAO=OP=一3,

AO5

由(1)知：ZQOP=ZOAP,

*：ZAPO=ZODP=90°,

「.RtAPO^RtODP,

:・/POD=/PAO,

PD3

sinAPOD=sinZPAO=——=-,

OP5

3

PD=-x5=3,

:.OD=4POr-PEr=后臼=4，

DQ=QO-DO=5-4=1,

/.PQ/PB+DQ2="万=厢.

26.(2023・陕西西安・陕西师大附中校考模拟预测)(1)如图1,在.ABC中，AB=2,BC=3,ZB=30°,贝|ABC

的面积为------.

图1

(2)如图2,在。中，C是优弧43上一点，点尸在。外，且C、尸在直线的同一侧，试比较/C和NP

的大小关系，并说明理由问题解决.

(3)矩形花园ABCD中，AB=150m,AD=135m,E、尸分别为A3、CD的中点，G、H为花园内两个出

水GELAB于E,HF_LCD于F,且EG=10m,HF=45m,尸为线段AE上一点，现需在矩形内部过点？

铺设两条等长管道尸河、PN,PM、PN分别经过出水口G、H,且PM=PN=105m.请确定点尸的位

置，使得两管道围成的面积最大，并求出其面积最大值.

图3得用图

【解析】(l)：A8=2,3C=3,N8=30。

，一1113

△力BC的面积为一BCxABxsinB=—x2x3x—=—

2222

,3

故答案为：—

(2)ZC>ZP,理由：

如图，设A尸与［。的交点为Q,连接8。

则/C=ZAQ8,又ZAQB>/P

：.Z.OZP

(\3)/SisrI.vuN=-2-PM-PN-smZMPN=-2xlO5xlO5xsinZMPN

要使尸MN面积最大，只需NMPN最大.

如图，作经过点G、〃且和线段AE相切的圆，圆心记为0,切点记为P,

由⑵知,此时/MPN(即/GPH)最大.

连接OP、0G、OH、GH,过点。作O/LG"

VOG=OH,OI±GH

：.GI=-GH,ZGOI=-ZGOH

22

第261s图3

VEG=10,HF=45

GH=80

・・・GI=40

TAE与。相切于点尸,

・•・OPLAE

・•・四边形PE70是矩形

・•・OP=IE=10+40=50

・•・OG=50

404

：.sinZGOI=——

OG505

4

sinZGPH=-

5

14

:SPMN的最大值为5X105X105Xg=4410

检验：延长PG交5C于点延长P"交。。于点K,通过计算得

PG=10屈,PL=35屈,PH=30V10,PK=45AAO

30M<105<35A/TO

APG<PM<PL,PH<PN<PK

：.PM.PN分别经过点G、H,且都在矩形内部，符合要求.

综上，PAW面积的最大值为4410m2

27.(2023•上海・一模)如图，在RtaABC中，ZACB=90°.AB=13,CD〃AB.点£为射线。上一动点(不

与点C重合)，联结AE,交边BC于点F,154E的平分线交BC于点G.

(2)设CE=x,AE=y,当CG=2GB时，求y与x之间的函数关系式;

(3)当AC=5时，联结EG,若△AEG为直角三角形，求BG的长.

【解析】⑴过点C作CHLAE于H,

V-EF-CH

CEFEF

AF

uCAF-AFCH

2

9：CD//AB,

.EFCE

9AF~AB

VCE=3,AB=13.

.EF3

>•=,

AF13

.LCEF_=空一

"5皿AFIS-

(2)延长AG交射线8于点K,

-：CD//AB,

:.ZEKA=ZKAB,

丁AG平分/B4石，

・・・ZEAK=ZKAB,

：.ZEKA=ZEAK,

：.AE=EK,

,:CE=x,AE=y,

；.CK=CE+EK=CE+AE=x+y1

•：CD//AB,

.CKCG

~~GB

•;CG=2GB,

.CK

••一N,

AB

.%+y=2

13~

y=26-x.

(3)由题意，得：BC=n,

①当NAGE=90。时，

*.•AE=EK

：.AG=GK,

\9CD//AB,

.BGAG

=1,即5G=GC

*GC~GK

BG=-BC=6.

2

②当NAEG=90。时，则VACFSVGEF,

.CFEF

ZCFE=ZAFG,

*AF-FG

；・t.ECFs&GAF,

:./ECF=/FAG,

XVZFAG=ZGAB,ZECF=ZBf

：.ZB=/GAB,

：.GA=GB,

过点G作67\^，河于乂

113

BN=—AB=—,

22

ZBNG=NACB,ZB=NB

:…BGNBAC

.BGBN

**BA-BC

BG=—BN=—.

1224

28.（2023•河南南阳・统考二模）如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计（相对于当时的生产力）,

包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服，如图②是马车的侧面示意图，为车轮O的直径，过

圆心。的车架A8一端点C着地时，地面CD与车轮O相切于点。，连接AD,BD.

DC

图①图②

(1)求证/4=4。。；

(2)若3c=2米，DC二屈米,求车轮的半径.

【解析】(1)证明：连接OD,

DC

.8是。的切线，

，OD±DCf

ZBDC+ZODB=90°,

AB是。的直径，

ZODB+ZADO=90°,

/BDC=ZADO,

又OA=