2024年中考数学复习：正方形存在性问题

正方形存在性问题

一阶方法突破练

1.如图，在正方形网格中有格点A,B,在网格中确定格点C,D，使得以A,B,C,D为顶点的四边形是正

方形.

第1题图

2.如图，在平面直角坐标系中，力（-弁0）乃（0，1）,平面内是否存在点1\4,N，使得以A,B,M,N为顶点的

四边形为正方形?若存在，求出M,N两点的坐标；若不存在，请说明理由.

第2题图

3.如图，抛物线y=/-2久-3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点P是直线BC下方抛物线上一

点，连接BP,以BP为边在图示一侧作正方形BPMN,当顶点M或N恰好落在抛物线的对称轴上时，求点P的坐

标.

设问进阶练

例如图，抛物线y=+1分别与X轴、轴交于B,A两点

OOy

⑴如图①，连接AB,以AB为边向上作正方形ABCD,求点C的坐标并判断点C是否在抛物线上?

例题图①

(2)将抛物线平移，平移后的抛物线的顶点为P,点Q为平面内一点，若以A,B,P,Q为顶点的四边形是面

积为5的正方形，求平移后的抛物线解析式；

例题图②

(3)点M是抛物线上一点，点H为平面内一点，连接BM,若点G在抛物线的对称轴上,是否存在以点B,

M,G,H为顶点且BM为边的四边形是正方形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

例题图③

综合强化练

22

1.创新题•探究性试题已知抛物线J:y=x+2kx+k-2的顶点为M.抛物线L2.y=ax+bx+c(a丰0)的顶

点为M'.

感知特例：

⑴当k=0k=0时，抛物线.心与抛物线心的部分自变量及其对应的函数值如下表所示：

X-1012

y=x2+2kx+k-2-1-2——2

y=ax2+bx+c(a^0)121

①抛物线L的解析式为抛物线L2的解析式为—；

②补全表格；

形成概念：

我们发现⑴中的抛物线G上的点和抛物线心上的点关于直线y=kx对称，则称抛物线.U与抛线物b是关于

k的反射抛物线.

探究问题：

⑵若抛物线.人与抛线物乙2是关于k的反射抛物线.

①当k=1时,NT的坐标为;

②在①的基础上，请求出抛物线.5的解析式，并在如图的网格中画出抛物线好的图象；

③点B是抛物线小上一点，点B的横坐标为1,过点B作x轴的垂线，交抛物线于点C,分别作点B,C

关于抛物线J的对称轴对称的点.B',C1连接BC,CC,B'C,当四边形BB'CC为正方形时，求k的值

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=产-2%-3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,直线

l\y=kx+b经过点A,C.

(1)求直线1的解析式；

(2)在第一象限内存在一点D,使得△4CD是以AC为直角边的等腰直角三角形，求点D的

坐标；

(3)(抛物线旋转后对应的两点)在直线AC左侧有一点M，将抛物线绕点M旋转180。得到新

抛物线，其中点A,C的对应点分别是A',C，,，若以A,C,A]C为顶点的四边形是正方形，求点

M的坐标.

备用图①

3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-2(a中0)与x轴相交于A(1,O),B(5,O)两点，与y轴

相交于点C,点D为抛物线的顶点.

⑴求抛物线的解析式及点D的坐标；

(2)求ABCD的面积；

(3)(抛物线上的动点+任意一点)点M为抛物线上一动点，点N为平面内一点，以A,M,I,N为顶点，AI为

对角线作正方形，是否存在点M，使点I恰好落在对称轴上?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图②

考向4正方形问题

一阶方法突破练

1.解:作正方形ACBD和正方形ABCD'如解图.

D'

第1题解图

2.解存在.

如解图，①当AB为正方形的边时（定线段为边），当M,N在x轴上方时，过点Mi作M1E±y轴于点E,过点N1

作NiD^x轴于点D.

VNNzDA=NBEMz=ZAOB=90;

NDN：1A+NN〃D=90°

•:NBAO+NNIAD=90°/.NDNIA=NBAO.

同理可得.NM1BE=NBAO,

NDNzA=NM^BE=ZBAO.

又•：NiA=MtB=AB,

NMD=ABM亚=AABO(依托一线三垂直模型构造全等三角形).

.A(-V3,0),B(0,l),

N]D=BE=0A=43,AD=MXE=OB=1,

+1)，M(一百-

当M,N在x轴下方时，

同理可得M2(l>1-V3),%(1-V3--V3);

②当AB为正方形的对角线时，作M3G±X轴于点G,过点M3作M3F±y轴于点F.

设AG二x厕0G=y/3—x,

22

vAB=y/OA+OB=2,同①可证得△AGM3BFM3,

M3F=M3G=OG=V3—x,

22

：.AM3=^-AB=五,AM专=AG+M3G,

2

2=/+(竟—%),

第2题解图

解得与=等舍去)，久2=等，

M3（-等，等），同理可得N3G券，F）,综上所述，符合条件的M,N的坐标为M（-l,V3+1）,N

{-V3-1，百）或M（l-1-V3）,W（1-遍-百）或M（-当土与号,NW^）（M,N两点的坐标可互换）.

3.解：1•抛物线的解析式为y=%2-2%-3「B（3,0）,抛物线的对称轴为直线x=l,

①如解图①，当点M在对称轴上时，过点P作PE垂直直线x=l于点E,过点B作BF±EP交EP的延长线于

点F,

•.zBPM=90°,/.zMPE+zBPF=90°,又,.NPBF+NBPF=90°,，NMPE=NPBF,

•.-BP=MP,zPBF=zMPE,zPFB=zMEP=90o,

APFB^MEP,.-.PF=ME,BF=PE,

设点P(m,m2-2m-3)(0<m<3),

则PE=m—1,BF=-m2+2m+3,

•••m—1=—m2+2m+3,

解得rnr=匕产,=上卢舍去),

②如解图②，当点N在对称轴上时，过点P作PF±x轴于点F,设对称轴交x轴于点G,

.NNGB=NPFB=NPBN=90°,

.•.zGNB+zNBG=90°,zPBF+zNBG=90°.

.•.zGNB=zPBF.

•.-BN=PB,.-.APBF^BNG,.-.PF=BG.

B(3,0),对称轴为直线x=l,

.­.BG=2,/.PF=2.

将y=-2代入.y=x2-2x-3,可得x2-2x-3=—2解得/=1+/,不=1一&(舍去),

.•点P的坐标为(1+V2--2).

综上所述，点P的坐标为(

二阶设问进阶练

例解：⑴y=fx2-^-x+1,

oo

.-.A(0,l),B(2,0).

如解图①，以AB为边向上作正方形ABCD,过点C作CH±x轴于点H.

..AB=BC/ABC=90°,

..NABO+NCBH=90°.

又•.NABO+NBAO=90°,

.'.zBAO=zCBH.

•.zAOB=zBHC=90°,例题解图①

.“ABO学BCH(AAS).

.-.BH=AO=1,CH=BO=2,

..点C的坐标为(3,2);

将C(3,2)代入抛物线解析式验证，满足点C在抛物线上；

(2)-.OA=l,OB=2,.".AB=V5.

..以A,B,P,Q为顶点的四边形是面积为5的正方形，，AB为正方形的一条边.

分AP±AB和BP±AB两种情况讨论：

①当AP±AB时，如解图②，过点Pi作PiN，y轴于点N,

oo

•.zNAP1+zOAB=90,zOAB+zOBA=90,

•••NNAP]=ZOBA.

•••NANPN=ZBOA.AP!=BA,

.-.△APiN^BAO,

.-，AN=OB=2,P1N=OA=1,.-.P1(1,3).

易得点Pi,P2关于点A对称,则P2(-l,-l)；

②当BP±AB时，如解图②，同①可得点P3的坐标为(3,2),点P3关于点B对称的点P,的坐标为(L-2).

综上所述,点P的坐标为(L3)或(-1,-1)或(3,2)或(1,-2),

如解图③④⑤⑥，过点M作MK,直线%=总于点K,过点B作BZ,直线MK于点Z.

设M(m^m2—+1)厕K+1)Z0|租2—+1)

①如解图③④，易得aMKG2△BZM,「.MK=BZ,即m——=-m2——m+1,化简得25m2—95m+69=0,解得

-1066

19±底

②如解图⑤⑥，易得aGMK至△MBZ3.MK二BZ,即——m=-m2——m+L化简得25m2—35m—9=0,解得m

1066

综上所述，存在满足题意的点M,其坐标为(笑詈，喑)或G等，等)或(等

7-V856+V85A

1010),

三阶综合强化练

1.解：(l)@y=X2—2;y=—x2+2;

②口-2;

(2)①(-1,4)；【解法提不】1,Lf.y—%?+2kx+fc—2=(x+/c)k^+k—2,.顶点..M^—k,—k^+k—2),「.顶

点M'(-k,k2+k+2),-.k=l,/.M'(-l,4).

②•.・抛物线J与抛线物L2是关于y=l的反射抛物线，

，由⑵①得抛物线L2的解析式为y=-0+1产+4,画出函数图象如解图所示；

③当x=l时,y=l+2k+k-2,即B(l,3k-1),

，C(Ll-k),即BC=|2-4k|;

抛物线L的对称轴为直线%=-y=-fc;

.•.B'(-2k-l,3k-l),.-.BB'=l-2-2kl,

•••四边形BB'C,C是正方形，

..BC=BB',即|-2-2k|=|2-4k|,解得比=2,k2=0.

2.解:⑴直线I的解析式为y=-3x-3;

⑵如解图①，当NDAC=90。时，过点D作DE±x轴于点E,

•.A(-l,0),C(0,-3),/.OA=l,OC=3.

zDAE+zCAO=zDAE+zADE=90°,

.,.zADE=zCAO.

X-.AD=AC,zAOC=zAED=90°,

."ADE当CAO,，OA=DE=LOC=AE=3,

.­.OE=2,/.D(2,1);

当NACD=90。，此时点D在第四象限不符合题意，

二点D的坐标为(2,1);

第2题解图

(3)【思路点拨】构造一线三垂直模型，利用三角形全等即可求得点M的坐标.

如解图②，由题意得A)C',过点C作C1F±x轴于点F,

四边形A'C'AC是正方形，

.-.AC'=AC,zC'AC=zAOC=90o,

,•.zC'AF+zCAO=zCAO+zACO=90°,

..NC'AF=NACO,.,.AAC。%C'AF,

.•.AO=CF=l,AF=CO=3,.'.C'(-4,-l).

••点M是CC的中点

.-.M(-2,-2).

3.解：(1)抛物线的解析式为y=—#+3—2=—|(x—3尸+3D(3，§；

(2)如解图①，设抛物线的对称轴与BC的交点为H.-.B(5,0),C(0,-2),

二直线BC的解析式为y=|x-2,

由⑴得抛物线对称轴为直线x=3,将x=3代入y=|x—2,得好—

・•・"GY)，

2r8.412

DH=—I—=—,

555

112

=XX5=6;

SBCD=SDHB+SDHC2T

(3)【思路点拨】由题意作以A,M,I,N为顶点的正方形，设出M点坐标构造全等三角形，得对应边相

等，列方程求解M点坐标即可.

存在.

2i12八

设点M的坐标为2+yX—2L

分以下两种情况：

①如解图②③，过点M作AM的垂线，交对称轴于点I,过