2024年中考数学复习：直角三角形存在性问题复习讲义

直角三角形存在性问题复习讲义

解题策略

直角三角形的存在性问题和等腰三角形类似，采用的是直角顶点分类讨论法，即确定直角顶点角后，利用两点

间距离公式表示出各边的长度，然后利用勾股定理进行解答.解题过程中也会用到“三线合一"、勾股定理、三角函

数等相关知识.

1.直径所对的圆周角为直角，解答时，可以借助圆来初步确定满足条件的点的位置.定点为直角顶点时，可利用

"直线垂直公式”来求解.

问题分情况找点画图解法

分别过点A,B作AB

以AB分别表示出点A,B,

的垂线，与已知直线的交点

为直角边P的坐标，再表示出线段

Pi,P即为所求.

---------------/4AB,BP,AP的长度,由

已知A,B和直线1,取的中点为圆

ABQ①AB2=BP2+AP2,②BP2

在1上求点P,使APAB/唔—飞P*

以AB心，QA为半径作圆，与=AB2+AP2,0AP2=AB2+

为直角三角形.为斜边

已知直线的交点P2F3即为BP咧方程求解即可.

所求.

2.常用的两点之间距离公式：若A（xA,yA）,B（xB,yB）,!则AB=J（马—冲/+（以—如尸.

模型一两点定型

已知：二次函数y=久2—2%-3的图象与x轴交于A,B两点（A在左侧，B在右侧），与y轴交于C点.如图，

P是抛物线对称轴上一动点，若△PAC是直角三角形，求点P的坐标.

思路分析：A,C两点固定且已知，方法与等腰三角形存在性问题类似，采用直角讨论法，即三角形的三个角

分别为直角时的情况进行讨论.

直角三角形存在性问题的几何法作图，就是两条直线和一个圆，画出图形后求解即可.几何法更为直观，代数法

更为直接，可根据实际情况自己选择.可借助勾股定理求解.

已知：二次函数y=2%-3的图象与x轴交于A,B两点（A在左侧，B在右侧），与y轴交于C点，顶

点为D.

如图，P是抛物线对称轴上一动点，作PQII4C交x轴于点Q,若APTIQ是直角三角形，求出点P的坐标.

思路分析：A点固定，点P,Q变动，为一点定型模型，如图,4MQ为锐角，设对称轴与x轴交于点E,当

Q点在E的左侧时，NPQ力为钝角，不存在△P4Q是直角三角形.

所以只存在NAPQ为直角这一种情况.可以借助勾股定理或双垂直模型来解答.

精选例题

例1.如图抛物线y=a/+1+c交x轴于A,B两点交y轴于点C.直线y=-|x-2经过点A,C.

(1)求抛物线的解析式；

⑵点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M.设点P的横坐标为m.当WCM是

Q)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A,C的坐标，根据点A,C的坐标，利用待定系数法可求出二

次函数的解析式；

⑵由PM，x轴可得出nPMC/90。,分NMPC=90°及nPCM=90。两种情况考虑：

①当NMPC=90。时，PCllx轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；

②解法一:当NPCM=90。时，设PC与x轴交于点D,易证AAOOACOD,利用相似三角形的性质可求出点D的坐

标，根据点C,D的坐标，利用待定系数法可求出直线PC的解析式，联立直线PC和抛物线的解析式成方程组,

通过解方程组可求出点P的坐标.解法二：可应用勾股定理求解.解法三：可利用kAC-kCP=-1,求出kCP>,再利

用点C的坐标求出直线CP的解析式.

解(1)当x=0时，y=--x-2=-2,

，点C的坐标为(0,-2).

当y=0时，-2=0

解得x=-4.

二点A的坐标为(-4,0).

将A(-4,0),C(0,-2)代入y=a/+)+c得

06"2+;=0,解得(a/

二抛物线的解析式为y=^x2+lx-2;

(2)解法一:rPM^x轴，

.•.zPMC/900.

分两种情况讨论：

①当NMPC=90°时,PCllx轴,如答图1图.

..点P的纵坐标为-2.

当y=-2时，i%2+|x-2=-2,

解得Xi=-2,X2=0(舍去).

二点P的坐标为(-2,-2).答图1

②当NPCM=90°时，设PC与x轴交于点D,如答图2.

•.zOAC+zOCA=90°,zOCA+zOCD=90°,

.-.zOAC=zOCD.

又.NAOC=NCOD=90。，

.,.△AOCSACOD.

OD_OCBnOD_2

"OC~04制2—4。

.'.OD=1.

，点D的坐标为Q,0).

设直线PC的解析式为y=kx+b(k/O).

将C(O,-2),D(1,O)代入y=kx+b,得

(b=-2,解得(k=2,

h+b=0.照守lb=-2.

二直线PC的解析式为y=2x-2.

联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得

•y=2x—2,

12I1Q解得

y=-x+-%—2.

-42

二点P的坐标为(6,10).

综上所述，当APCM是直角三角形时，点P的坐标为(-2,-2)或(6,10).

解法二：设点P的坐标为+|m-2),点M的坐标为-2).

①当NMPC=90°时，有MP2+PC2=CM2,

2、2

即—|m—2—^m2—jm+2)2+(m—0)2+Qm2+—2+2^)=m2+—2+2^.

解得=-2,m2=0)(舍去).

.•点P的坐标为(2-2).

②当NPCM=90。时，有CM2+PC2=PM2,

z22

即+(_37n_2+2)+(m—0)+Qm+|m—2+2^)=(^―|m—2—^m—1m+2^.

解得rrii=6,m2=0(舍去).

.•点P的坐标为(6,10).

综上所述，当SCM是直角三角形时，点P的坐标为(-2,-2)或(6,10).

解法三:当NMPC=90°时,同前面解法；

当NPCM=90°时,PC^CM,

直线BC的解析式为y=-|x-2.

设直线PC的解析式为y=2x+b,将C(0,-2)代入解析式，

解得b=-2.

，直线PC的解析式为y=2x-2.

以下步骤同解法一.

此外，当NPCM=90。时，还可以构造"一线三等角"相似模型求解，此处略，有兴趣的同学可以尝试一下.

例2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)与y轴交与点C(0,3),与x轴交于A,B

两点，点B坐标为(4,0),抛物线的对称轴方程为.x=1.〃

(1)求抛物线的解析式；亲、

(2)点M从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点N/

从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个点到达终点时，心与一凶官

另一个点也停止运动.设AMBN的面积为S,点M运动时间为t,试求S与t的函数关系，并求

S的最大值；

(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使AMBN为直角三角形?若存在，求出t值;若不存在，请说明

理由.

▲/解析

(1)用待定系数法列出关于系数a,b,c的解析式，通过解方程组求得它们的值；

(2)设运动时间为t秒.先利用三角形的面积公式列出SAMBN与t的函数解析式，再利用二次函数的图象性质

进行解答；

⑶B点固定,M,N点不固定/MBN固定，讨论ZNMB和.分别为90时的情况，根据余弦函数，得关于

t的方程，解方程可得答案.

解(1)1,点B的坐标为(4,0),抛物线的对称轴方程为x=l.

二点A的坐标为(-2,0).

把点A(点0),B(4,0),点C(0,3),分别代入y=ax^+bx+c(a丰0)得

3

I=----,

8

4a—2b+3=0,解］曰

入3

16a+46+3=0.蝌守b=e

c=3.

所以该抛物线的解析式为y=-1x2+^+3;

⑵设运动时间为t秒，则AM=3t,BN=t.

.•.MB=6-3t.

由题意，得点C的坐标为(0,3).答图1

在Rt^BOC中，BC="32+42=5.

如答图L过点N作NH±AB于点H.

.-.NHllCO.

ABHN-ABOC.

当AMBN存在时,0<t<2,

，当t=l时，SMBNE=Yo-

答：运动1秒时AMBN的面积最大，最大面积是总;

(3)如答图2、3,在RfOBC中,COSNB

DC□

设运动时间为t秒，则AM=3t,BN=t.

.,.MB=6-3t.

当NMNB=90°时,CQSZB=—==即-^―=

MB56-3t5答图2

化简得17t=24.解得t=|i.\y

当NBMN=90°时,COSNB==*

化简，得19t=30.解得t=篇

综上所述，±或"海寸，AMBN为直角三角形.A\0乂

答图3

精选练习

1.如图，在平面直角坐标系中，函数y=-ax2+2ax+3a(a)0)的图象交x轴于点A、B,交y轴于点C,它

的对称轴交x轴于点E.过点C作CD||x轴交抛物线于点D,连接DE并延长交y轴于点F,交抛物线于点G.直线

AF交CD于点H,交抛物线于点K,连接HE、GK.

HCA

]E\Bx

(备用图)

(1)点E的坐标为:；

(2)当△是直角三角形时，求a的值；

(3)HE与GK有怎样的位置关系?请说明理由.

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=--+法+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.且直线.y=久-6

过点B,与y轴交于点D,点C与点D关于x轴对称，点P是线段0B上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物

线于点M,交直线BD于点N.

(1)求抛物线的函数解析式；

⑵当△的面积最大时，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在点Q,使得以Q,M,N三点为顶点的三角形是直角三角形?若存在,

直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

精选练习

1.解:⑴对于抛物线y=—ax2+2ax+3a,对称轴x=-----=1,

-2a

・・・E(1,O),

故答案为(1,0)；

⑵如图，连接EC.

对于抛物线y=—ax2+2ax+3a,令x=0狷至!]y=3a,

令y=0,—a/+2ax+3a=0,解得x=-l或3,

AA(-l,0),B(3,0),C(0,3a),

•・・C,D关于对称轴对称，

・•・D(2,3a),CD=2,EC=DE,当NHEF=90。时,

VED=EC,

JNECD=NEDC,

ZDCF=90°,

JZCFD+ZEDC=90°,ZECF+ZECD=90°,

ZECF=ZEFC,JEC二EF=DE,

VEA/7DH,

i

FA=AHt.•・AE=^DH,

VAE=2,ADH=4,

•・・HE_LDF,EF=ED,・・.FH=DH=4,在RtACFH中，则有42=22+(6以,解得a=乎或一枭不符合题意舍弃)，

,_V3

CL=—.

3

当NHFE=90。时，

,.,OA=OE,FO±AE,JFA=FE,

OF=OA=OE=1,3a=1,

i

a=3

综上所述，满足条件的a的值为日或

(3)结论:EH〃GK.

理由:由题意A(-l,0),F(0,-3a),D(2,3a),H(—2,3a),E(l,0),...直线AF的解析式y=-3ax-3a,直线DF的解析式为y=3ax-

3a,

y=—3ax—3a,

由

y=—ax2+2ax+3a,

X——1,—Li.x=6,

解得y=。，或