2024年中考数学复习讲义：破解相似三角形与旋转

破解相似三角形与旋转

解题秘籍

解决相似三角形与旋转综合问题的关键就是掌握其基本图形的特征：(1)由一点引出的比例线段；(2)有两对相

似三角形同时出现，并能从图中分解或构造出旋转型相似三角形.

典型例题

在小ABC中,/CAB=9(F,AD，BC,垂足为D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上.

(D如图4-1AC:AB=1:2,EF±CB,^<ilE：EF=CD;

(2)如图4-2所示,AC:AB=1:V3,EFI2CE,,求EF:EG的值.

图4-1

思路分析

(1)通过证明.△ACD=A8EF来证明.EF=CD.

⑵题中要求的是一点引出的两条线段的比值，故而可以考虑构造“旋转相似型三角形”.可以有如下三种解题思

路.

c

图4-3

尝试解答

解后反思

本题考查了相似三角形的判定定理和性质定理，全等三角形的判定定理和性质定理，矩形的判定定理和性质

定理，解直角三角形等知识.解答第⑵问的关键是作辅助线，考虑到求解的是一点引出的两条线段的比值，故而想

到了将线段放入三个不同的三角形中，借助旋转来构造相似三角形，由此得到了三种解答思路.

实战演练

1.如图所示，△力BC内接于。O,AD1BC,,垂足为D,AE是。O的直径.CD=3,AD=6,BD=8,,求。0的面积.

（第1题）

2.如图所示,在矩形ABCD中,48=1,BC=2,4E1BD,,垂足为E,连接CE,过点E作PE1EC交AD于点P,求

AP的长.

B

（第2题）

3.在等腰三角形ABC中,AC=BC点P为BC边上一点(不与点B,C重合)，连接PA,以点P为旋转中心，

将线段PA顺时针旋转，旋转角与NC相等，得到线段PD,连接DB.

(1)当NC=90。时，请你在图1中补全图形，并求NDB4的度数；

⑵如图2所示若ZC=a,求的度数(用含a的代数式表示)；

(3)连接AD,若ZC=30°,23=2/APC=135。,,求AD的长.

图1图2

（第30

4.在△ABC中，CA=CB,在A4ED中，DA=DE”点D,E分别在CA,AB上.

⑴如图1所示若乙4cB=^ADE=90。,则CD与BE的数量关系是.

⑵若^ACB=AADE=120。,将△4ED绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD与BE的数量关系是.

⑶若^ACB=AADE=2a（0。<a<90。）,将△4ED绕点A旋转至如图3所示的位置,探究线段CD与BE的

数量关系，并加以证明（用含a的式子表示）.

（第4题）

5.如图所示，矩形ABCD中，乙4cB=30。,，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点

处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB,BC所在的直线相交,交点分别为E,

(1)当PE1AB,PF1BC时,如图1所示，则募的值为；

PF

(2)现将三角板绕点P逆时针旋转(以0。<a<60°),,如图2所示，求ff的值；

rr

⑶在⑵的基础上继续旋转的同时，点P沿CA移动，当(60°<a<90。,且AP:PC=1:2时，如图3所示,徐勺值是

否变化?证明你的结论.

★典型例题

(1)证明:在4ABC中,/CAB=9(F,AD_LBC,

ZCAD+ZACB=90°,ZB+ZACB=90°.AZCAD=ZB.

•/AC:AB=12点E为AB的中点,，AC=BE.

乙CAD=Z-B,

在^ACD与^BEF中.N4DC=乙BFE=90。，

AC=BE,

：.AACD^ABEF(AAS),

・・・EF=CD.

⑵解法一：如答图4-1所示，过点E作EH±AB交BC于点H.

VEH±AB,EF±CE,

AZAEG+ZHEG=90°,ZHEF+ZHEG=90°..'.ZHEF=ZAEG.iSAABC中,NCAB4

答国4-1

0°,AD±BC,

ZCAD+ZACB=90o,ZCAD+ZBAD=ZCAB=90°..\ZACB=ZBAD.

VEH±AB,ZCAB=90°,AAC//HE.ZACB=ZEHF.ANEHF=/BAD.

・•・△HEFs△AEG.EF:EG=HE:AE.

VAE=BE,.\EF:EG=HE:BE.

VAC^HE,.\RtABEH^RtABAC.AEH:EB=AC:AB.AEF:EG=HE:BE=CA:BA.

•・•EHLAB,EF1CEt

：.ZHEF+ZHEG=90°,ZHEF+ZBEF=90°.AZBEF=ZHEG.

・•・ABEF^AHEG.EF:EG二BE:HE.

VAE=BE,AEF:EG=AE:HE.^AABC中,NC

AB=90°,AD±BC,

・•・ZCAD+ZACB=90o,ZCAD+ZBAD=ZCAB=90o..\ZBAH=ZACB.

[fOZAEH=ZCAB=90°.ARtAAEH^RtACAB.

・•・AE:HE=AC:AB.EF:EG=AE:HE=AC:AB.

即EF:EG二AC:AB=1:V3.

解法三:如答图4-3所示，过点E作EHLAD,垂足为H,EQ，BC,垂足为Q.

EH±AD,EQ±BC,AD±BC,

四边形EQDH是矩形.，ZQEH=90°.

，ZFEQ+ZQEG=90°,ZGEH+ZQEG=90°.A/FEQ=NGEH.又/EQF=/E

HG=90。,Z\EFQsAEGH.

；.EF:EG=EQ:EH.

VEQ±BC,AD±BC,.，.QEZ/AD./.AE:EB=DQ:QB=1,

在矢巨开2EQDH中,HE=DQ=BQ,，EF:EG=EQ:BQ.在RtABEQ和Rt

ABCA中,tanB=g=^|=1：V3,

EF-.EG=1:V3.

实战演练

1.解:连接BE.

VAD是。O的内接△ABC的高,AE是。O的直径,；.ZABE=ZADC=90°.

ARAF

•・•Z.E=乙C,・•・ABEADC..

ADAC

在RtAADB和RtAADC中,CD=3,AD=6,BD=8,

AB=y/BDt+AD2=10,AC=y/AD2+CDX=3V5.AE==5V5.

AD6

2

•••。0的面积=(").兀=华兀

2.解:：AE_LBD,PE_LEC,；.ZAED=ZPEC=90°..\ZAEP=ZDEC.

：AE_LBD,矩形ABCD中/ADC=90°,；.ZEAD+ZADE=90°,ZADE-ZCDE=90°